Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều -Tài liệu Vật lý - P2

Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




II. MẠCH RLC CÓ L THAY ðỔI

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho mạch ñiện xoay chiều RLC trong ñó L có thể thay ñổi ñược. Tìm giá trị của L ñể
a) cường ñộ hiệu dụng I của mạch ñạt giá trị cực ñại.
b) công suất tỏa nhiệt của mạch ñạt cực ñại. Tính giá trị P
max.
c) hệ số công suất của mạch bằng k cho trước.
d) công suất tiêu thụ của mạch là P
0
cho trước.
e) ñiện áp hiệu dụng hai ñầu L ñạt cực ñại.
f) ñiện áp hiệu dụng giữa hai ñầu ñoạn mạch RL cực ñại.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
( )
max min
2
2
2
1
0
L C
L C
U U
I I Z Z Z L
Z C
R Z Z
= = → ⇔ ←→ − = ⇔ =
ω
+ −

Vậy
2
1
L
C
=
ω
thì I
max
và giá trị
ax
.
m
U
I
R
=

b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I
2
R. Do R không ñổi nên P
max
khi I
max
2
1
.
L
C
→ =

ω

Từ ñó
2
2
ax ax
.
m m
U
P I R
R
= =

c) Ta có
( )
( )
2
2
2
2
2
os
φ
L C L C
L C
R R R
k c k R Z Z Z Z
Z k
R Z Z
 

= = ⇔ = ⇔ + − = ⇒ − =
 
 
+ −

d)
( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
0 0
2
2
0 0

L C L C L
L C
U U U
P I R P Z Z R Z Z R Z
P P
R Z Z
= ⇔ = → − = − ⇔ − = ± − ⇒ =
+ −

e)
( )
( )
min
ax

2 2 2
2
2 2
2 2
. . .
1
L L L L L
m
L C
L C C
L L L L
U U U U U
U I Z Z Z U y
Z
y
R Z Z
Z Z Z
R R
Z Z Z Z
= = = = = = ⇒ ←→
+ −
   
−
+ + −
   
   

Với
2
2

2
1 ,
C
L L
Z
R
y
Z Z
 
= + −
 
 
ñặt
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
1
1 2 1
C C C
L
x y R x Z x R Z x Z x ax bx c
Z
= → = + − = + − + ≡ + +

Do hệ số
(
)
2 2
0

C
a R Z
= + >
→ y
min
khi
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
1
.
2
2
C C C
L
L C
C C
Z Z R Z
b
x Z
a Z Z
R Z R Z
− +
= − = − ⇔ = → =
+ +

C
Ự
C TR

Ị

TRONG M
Ạ
CH ðI
Ệ
N XOAY CHI
Ề
U
-

PH
Ầ
N 2

Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y

ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


Khi ñó
(
)
( )
2 2 2
2
2 2
min
2 2 2 2
ax
2
min
2 2
'
4
C C
L C

m
C C
C
Z R Z
R U U U
y U R Z
a a R Z R Z R
y
R
R Z
− +
∆ ∆
= − = − = − = → = = = +
+ +
+

Vậy
( )
ax
+
= + =
2 2
2 2
.
C
L C L
m
C
R Z
U

U R Z khi Z
R Z


Chú ý:
- Khi L = L
1
hoặc L = L
2
mà công suất P (hoặc cường ñộ hiệu dụng I) không ñổi thì ta có
+
=
1 2
L L
C
Z Z
Z
2

- Khi U
L
cực ñại thì ta có
( )
= + +
2
2 2 2
L R C
max
U U U U

- Khi U
L
cực ñại thì ñiện áp hai ñầu ñoạn mạch RC vuông pha với ñiện áp u của hai ñầu mạch.
- Khi L = L
1
hoặc L = L
2
mà U
L
không ñổi, ñồng thời khi L = L
o
mà U
L
ñạt cực ñại thì ta có hệ thức liên hệ
giữa
các ñại lượng là
o 1 2
2 1 1
, (*).
L L L
= +

Chứng minh (*):

( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2

2 2
L L
L L L L
L C L C
Z Z
U U I Z I Z
R Z Z R Z Z
= ⇔ = ⇔ =
+ − + −

(
)
(
)
(
)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2
1 2 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2
1

1
2 2
2
2
L L L L C L L C
L L L L L L C L L C L L C L L C
L L L L C L L L L C L L
C L L L L C L L
L L L L
R Z Z Z Z Z Z Z Z
R Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
R Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z
R R Z
Z Z Z Z
⇔ − = − − −
   
⇔ − + = − − − − + −
   
   
⇔ − + = − − +
   
− − +
= ⇔ =
− +
2 2
1 2 1 2
1 1
2 2
2 2

L L L L
C C C C
L L L L
Z Z Z Z
Z R Z Z
Z Z Z Z
 
− ←→ + =
 
 
+ +
 

Từ ñó ta ñược
2
1 2
2 2
1
2
L L
C
C L L
Z Z
R Z
Z Z Z
+
=
+

Khi L = L

o
mà U
L
ñạt cực ñại thì
2 2
1 2 1 2 1
2 2
1 1
1 2
2
1 2 1 1 2 1 1
.
2
o o
o o â
L L L L
C
L L
C L L L L L L L L o
Z Z Z Z
R Z
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z L L L
+
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = +
+

f)
( )

2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
.
. .
2 2
1
L
RL RL L
L C L C C L C
L C
L L
U R Z
U U U U
U I Z R Z
Z
y
R Z Z Z Z Z Z Z
R Z Z
R Z R Z
+
= = + = = = =
+ + − −
+ −
+
+ +

Với

2
2 2
2
1 ,
C L C
L
Z Z Z
y
R Z
−
= +
+
ñặt
2
2 2
2
1
C C
L
Z xZ
Z x y
R x
−
= → = +
+

Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Ta có
( )
( )
2 2
2 2
2 2

2
2 2
2 2
4
2
2
0 0
4
0
2
C C
L
C C
C
C C
Z Z R
x Z
Z x xZ R
y y x xZ R
R x
Z Z R
x

+ +

= =
− −

′ ′
= ⇒ = ⇔ − − = ⇔


+
− +

= <



Lập bảng biến thiên ta ñược
2 2
min
4
.
2
C C
Z Z R
y x
+ +
⇔ =

Thay giá trị của x ta ñược
(
)
2 2
min
2
2 2 2 2
2 2
4 4
4 2 2 4

4
C C C
C C
R R
y
R Z Z R Z
Z R Z
= =
+ + +
+ +

( )
(
)
(
)
2 2
2 2
max
2
min
2
2 2
4
4
. .
2 2
4
4
C C

C C
L
RL
C C
U Z R Z
Z R Z
Z
U U U
U U
R R R
y
R
Z R Z
+ +
+ +
⇒ = = = = =
+ +

Vậy khi L biến thiên ñể U
RL
max thì ta có
( )
(
)

+ +

=



+ +

= =

2 2
2 2
max
4
2
4
.
2
C C
L
C C
L
RL
Z Z R
Z
U Z R Z
Z
U U
R R

Ví dụ 1:
Cho mạch ñiện RLC có
4
10
R 100 3
Ω, C (F).

2π
−
= =
Cuộn dây thuần cảm có ñộ tự cảm L thay ñổi
ñược. ðiện áp giữa hai ñầu ñoạn mạch là u = 200cos(100πt) V. Xác ñịnh ñộ tự cảm của cuộn dây trong
các trường hợp sau ?
a) Hệ số công suất của mạch cosφ = 1.
b) Hệ số công suất của mạch
3
cos
φ .
2
=

c) ðiện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực ñại.
d) ðiện áp giữa hai ñầu ñoạn mạch RL; RC cực ñại.
Hướng dẫn giải:
Ta có
C
1
Z 200
Ω.
ωC
= =

a) Từ cosφ = 1 → mạch có cộng hưởng ñiện. Khi ñó
L C
2
Z Z 200
Ω L (H).

π
= = → =

b) Khi
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
L C L C
3 R 3
cosφ 4R 3Z 3 R Z Z R 3 Z Z
2 Z 2
 
= ⇔ = ⇔ = = + − → = −
 

Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y

ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


Thay số ta ñược
L
L C
L
3
L (H)
Z 300Ω
R
π
Z Z 100
Z 100Ω 1
3
L (H)
π

=
=



− = ± = ± → ←→


=
=


c) Theo chứng minh trên, U
L
ñạt cực ñại khi
(
)
2
2
2 2
C
L
C
100 3 200
R Z
35
Z 350
Ω L (H).
Z 200 10π
+
+
= = = → =

Giá trị cực ñại là
( )
( )
2
2 2 2
L C
max
U 100 2 100 42
U R Z 100 3 200 V.
R 3
100 3
= + = + =

d) Khi L biến thiên ñể U
RL
max thì ta có
( )
( )
2
2
2 2
C C
L
L
RL
max
200 200 100 3
Z Z 4R
Z 232
2 2

Z
232
U U. 100 2. 189,4 V.
R
100 3

+ +
+ +
= = = Ω



= = =



Lại có,
( )
( )
( )
L C
2
RC RC RC
2 2 2
max
RC C
max
Z Z 200
U I.Z U
U 100 2 100 42

U . R Z 100 3 200 V
R 3
100 3
= = Ω


= ⇒ ⇔

= + = + =



Ví dụ 2:
Cho mạch ñiện RLC, L có thể thay ñổi ñược, ñiện áp hai ñầu mạch là
(
)
u 170 2cos 100
πt V.
=
Biết rằng
4
10
R 80
Ω, C (F).
2π
−
= =
Tìm L ñể
a) công suất tỏa nhiệt trên R cực ñại. Tính P
max

b) công suất tỏa nhiệt có giá trị P = 80 W.
c) ñiện áp hiệu dụng giữa hai ñầu L ñạt cực ñại. Tính giá trị cực ñại ñó.
d) ñiện áp hiệu dụng giữa hai ñầu ñoạn mạch RL cực ñại. Tính giá trị cực ñại ñó.
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có R = 80 Ω, Z
C
= 200 Ω.
a) Do
2
max L C
2
P I R P Z Z 200
Ω L (H).
π
= → ←→ = = ⇔ =

Khi ñó
2 2 2
2
max max
2
U U 170
P I R R 361,25W.
R R 80
= = = = =

b)
( )
2 2

L
2
22
2
L
L
3,5
L (H)
Z 350Ω
U 170 .80
π
P I R 200 R 80 80
Z 50Ω
Z
1
80 Z 200
L (H)
2π

=
=


= = ⇔ = ⇔ = → ←→


=
+ −

=




c) ðiện áp hiệu dụng hai ñầu L ñạt cực ñại khi
2 2
2 2
C
L
C
R Z
80 200 58
Z 232
Ω L (H).
Z 200 25π
+
+
= = = → =

Giá trị cực ñại của U
L
là
( )
2 2 2 2
L C
max
U 170
U R Z 80 200 85 29 V.
R 80
= + = + =

Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


d) Ta có, khi L biến thiên ñể U
RL

max thì ta có
( )
2 2
2 2
C C
L
L
RL
max
Z Z 4R
200 200 4.80
Z 228
2 2
Z 228
U U. 170. 484,6 V.
R 80

+ +
+ +

= = = Ω



= = =



Ví dụ 3:
Cho mạch ñiện RLC có L thay ñổi ñược. ðiện áp hai ñầu mạch ñiện là

(
)
u 200 2cos 100
πt V.
=
Khi mạch có
1
3 3
L L (H)
π
= = và
2
3
L L (H)
π
= = thì mạch có cùng cường ñộ dòng
ñiện hiệu dụng nhưng giá trị tức thời lệch pha nhau góc 2π/3 rad.
a) Tính giá trị của R và C.
b) Viết biểu thức của cường ñộ dòng ñiện chạy trong mạch.
Hướng dẫn giải:
Ta có
1 2
L L
Z 300 3
Ω, Z 100 3Ω.
= =

a) Do
( ) ( )
1 2

1 2
1 2
1 2
1 2
L L
2 2
L C L C
2 2
1 2 1 2 L C L C
L L
L C C L
C
Z Z
Z Z Z Z
I I Z Z R Z Z R Z Z
Z Z
Z Z Z Z
Z
2
=

− = −


= ⇔ = ⇔ + − = + − → ←→

+

− = −
=






Chỉ có một trường hợp thỏa mãn, thay số ta ñược
1 2
4
L L
C
Z Z
10
Z 200 3
Ω C (F).
2
2 3π
−
+
= = → =

Gọi φ
1
là ñộ lệch pha của u và i khi L = L
1
, φ
2
là ñộ lệch pha của u và i khi L = L
2
.
Ta có

1
2
L C
1
L C
2
Z Z
300 3 200 3 100 3
tan φ
R R R
Z Z
100 3 200 3 100 3
tan φ
R R R
−

−
= = =



−
−

= = = −



Do
1 2

L C C L 1 2
Z Z Z Z
− = − →ϕ = − ϕ

Mặt khác
1 2
1
1
L L
2
2
π
φ
φ 0
3
Z Z
φ 0 π
φ
3

=

>


> → ←→
 
<



= −



Từ ñó ta ñược
π 100 3
tan 3 R 100
Ω.
3 R
= = → =

Vậy các giá trị cần tìm là
4
10
R 100
Ω, C (F).
2 3π
−
= =
b) Viết biểu thức của i:
 Với
1
C L o
200 2
R 100
Ω, Z 200 3 Ω, Z 300 3Ω Z 200Ω I 2 A.
200
= = = → = → = =
Khóa h
ọ

c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -


ðộ lệch pha của u và i :
1
L C
u i i

Z Z
100 3 π π π
tan
φ 3 φ φ φ φ i 2cos 100πt A.
R 100 3 3 3
−
 
= = = ⇒ = = − ⇒ = − → = −
 
 

 Với
2
C L o
200 2
R 100
Ω, Z 200 3 Ω, Z 100 3Ω Z 200Ω I 2 A.
200
= = = → = → = =

Ta có
( )
2
L C
u i i
Z Z
100 3
π π π
tan
φ 3 φ φ φ φ i 2cos 100πt A.

3 3 3
R 100
−
−
−
= = = − ⇒ = = − ⇒ = → = +

Ví dụ 4: (Trích ðề thi TSðH 2011).
ðặt ñiện áp xoay chiều
(
)
=
u U 2 cos 100
πt V
vào hai ñầu ñoạn mạch
mắc nối tiếp gồm ñiện trở thuần R, tụ ñiện có ñiện dung C và cuộn cảm thuần có ñộ tự cảm L thay ñổi
ñược. ðiều chỉnh L ñể ñiện áp hiệu dụng ở hai ñầu cuộn cảm ñạt giá trị cực ñại thì thấy giá trị cực ñại
ñó bằng 100 V và ñiện áp hiệu dụng ở hai ñầu tụ ñiện bằng 36 V. Giá trị của U là
A. 80 V. B. 136 V. C. 64 V. D. 48 V.
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Ví dụ 5:
Cho ñoạn mạch ñiện xoay chiều có R = 60 Ω
ΩΩ

Ω; tụ C và cuộn dây thuần cảm L, U
AB
= 120 V, f =
50 Hz. Khi thay ñổi L có một giá trị của
,
=
1 25
L H
π
thì ñiện áp hai ñầu cuộn dây ñạt giá trị cực ñại
U
Lmax
= 200 V. Tính giá trị của C?
A.
−
=
3
10
C F.
8π
B.
−
=
4
10
C F.
8π
C.
−
=

3
10
C F.
4π
D.
−
=
4
10
C F.
4π

……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–

Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7 -


……………………………………………………………………………………………………………………
………
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1:
Cho mạch ñiện RLC có
−
= =
4
10
C ( F ), R 120
Ω.
0,9π
ðiện áp hai ñầu mạch là

=u 200 2cos(100
πt )V,
L có thể
thay ñổi ñược.
a) Tính L ñể U
Lmax
. Tính giá trị U
Lmax
b) Tính L ñể
=
L
U 175 2V .

……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………

………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Bài 2:
Cho mạch ñiện RLC có L có thể thay ñổi ñược. ðiện áp hai ñầu mạch là
=u 100 2cos(100
πt )V.
Khi
= =
1
1
L L ( H )
π
và
= =
1
3
L L ( H )
π
thì mạch có cùng công suất tỏa nhiệt P = 40 W.
a) Tính R và C
b) Viết biểu thức của i ứng với các giá trị L
1
và L

2
.
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 9 -


……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………

……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ

y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 10 -


……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Bài 3:
Cho mạch ñiện RLC có
−
= =
4
10
C ( F ), R 80
Ω.
2
π
ðiện áp hai ñầu mạch là
=u 170 2cos(100

πt )V ,
L có thể
thay ñổi ñược. Tìm L ñể
a) công suất tỏa nhiệt cực ñại, tính giá trị P
max
b) công suất tỏa nhiệt của mạch ñạt P = 80 W.

……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 11 -


……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………

………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Câu 1: ðặt ñiện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và có tần số không thay ñổi vào hai ñầu ñoạn mạch gồm
ñiện trở R, cuộn cảm thuần L và tụ ñiện C ghép nối tiếp. Giá trị của R và C không ñổi. Thay ñổi giá trị của L
nhưng luôn có
2
2L
R
C
<
thì khi
1
1
L L (H)
2
π
= =
, ñiện áp hiệu dụng giữa hai ñầu cuộn cảm thuần có biểu thức là
1
L 1 1
u U 2 cos(

ωt φ )V
= +
; khi
2
1
L L (H)
π
= =
thì ñiện áp hiệu dụng giữa hai ñầu cuộn cảm thuần có biểu thức là
2
L 1 2
u U 2 cos(
ωt φ )V
= +
; khi
3
2 2
L L (H)
π
= =
thì ñiện áp hiệu dụng giữa hai ñầu cuộn cảm thuần có biểu thức
là
3
L 2 3
u U 2 cos(
ωt φ )V
= +
. So sánh U
1
và U

2
ta có hệ thức ñúng là
A. U
1
< U
2
B. U
1
> U
2
C. U
1
= U
2
D.
2 1
U 2U .
=

III. MẠCH RLC CÓ C THAY ðỔI
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho mạch ñiện xoay chiều RLC trong ñó C có thể thay ñổi ñược. Tìm giá trị của C ñể
a) cường ñộ hiệu dụng I của mạch ñạt giá trị cực ñại.
b) công suất tỏa nhiệt của mạch ñạt cực ñại. Tính giá trị P
max
ñó.
c) ñiện áp hiệu dụng hai ñầu C ñạt cực ñại.
Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 12 -


d) ñiện áp hiệu dụng giữa hai ñầu ñoạn mạch RC cực ñại.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
( )
max min L C

2
2
2
L C
U U 1
I I Z Z Z 0 C
Z L
R Z Z
= = → ⇔ ←→ − = ⇔ =
ω
+ −

Vậy
2
1
C
L
=
ω
thì I
max
và giá trị
max
U
I .
R
=

b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I
2

R. Do R không ñổi nên P
max
khi I
max
2
1
C .
L
→ =
ω

Từ ñó
2
2
max max
U
P I R .
R
= =

c) ðiện áp hiệu dụng hai ñầu tụ ñiện là
( )
( )
C C C C C min
max
2 2 2
2
2 2
L C
L C

L
2 2
C C L C
U U U U U
U I.Z .Z .Z U y
Z
y
R Z Z
Z Z
Z
R R
1
Z Z Z Z
= = = = = = ⇒ ←→
+ −
   
−
+ + −
   
   

Với
2
2
L
2
C C
Z
R
y 1

Z Z
 
= + −
 
 
, ñặt
( )
( )
2
2 2 2 2 2
L L L
C
1
x y R x 1 Z x R Z x 2Z x 1
Z
= → = + − = + − +

Do hệ số
(
)
2 2
L
a R Z 0
= + >
→ y
min
khi
( ) ( )
2 2
L L L

C
2 2 2 2
C L
L L
2Z Z R Z
b 1
x Z
2a Z Z
2 R Z R Z
− +
= − = − ⇔ = → =
+ +

Khi ñó
(
)
( )
2 2 2
2
L L
2 2
min C L
2 2 2 2
max
2
L L
min
2 2
L
Z R Z

' R U U U
y U R Z
4a a R Z R Z R
y
R
R Z
− +
∆ ∆
= − = − = − = → = = = +
+ +
+

Vậy
( )
ax
2 2
2 2
L
C L C
m
L
R Z
U
U R Z khi Z .
R Z
+
= + =


Chú ý:

- Khi C = C
1
hoặc C = C
2
mà công suất P (hoặc cường ñộ hiệu dụng I) không ñổi thì ta có
+
=
1 2
C C
L
Z Z
Z
2

- Khi U
C
cực ñại thì ta có
( )
= + +
2
2 2 2
C R L
max
U U U U

- Khi U
C
cực ñại thì ñiện áp hai ñầu ñoạn mạch RL vuông pha với ñiện áp u của hai ñầu mạch.
- Khi C = C
1

hoặc C = C
2
mà U
C
không ñổi, ñồng thời khi C = C
o
mà U
C
ñạt cực ñại thì ta có hệ thức liên
hệ giữa các ñại lượng là
1 2
o
C C
C .
2
+
=

Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–

Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 13 -


d)
( )
2 2
C
2 2
RC RC C
2 2 2 2 2
2
C L L C L L C
L C
2 2 2 2
C C
U. R Z
U U U U

U I.Z . R Z
Z
y
R Z Z 2Z Z Z 2Z Z
R Z Z
1
R Z R Z
+
= = + = = = =
+ + − −
+ −
+
+ +

Với
2
L L C
2 2
C
Z 2Z Z
y 1 ,
R Z
−
= +
+
ñặt
2
L L
C
2 2

Z 2xZ
Z x y 1
R x
−
= → = +
+

Ta có
( )
( )
2 2
L L
2 2
L
L L
2 2
L
2
2 2
2 2
L L
Z Z 4R
x Z
2Z x xZ R
2
y y 0 x xZ R 0
R x
Z Z 4R
x 0
2


+ +

= =
− −

′ ′
= ⇒ = ⇔ − − = ⇔

+
− +

= <



Lập bảng biến thiên ta ñược
2 2
L L
min
Z Z 4R
y x .
2
+ +
⇔ =

Thay giá trị của x ta ñược
(
)
2 2

min
2
2 2 2 2
2 2
L L L
L L
4R 4R
y
4R 2Z 2Z 4R Z
Z 4R Z
= =
+ + +
+ +

( )
(
)
(
)
2 2
2 2
L L
L L
C
RC
max
2
min
2
2 2

L L
U Z 4R Z
Z 4R Z
Z
U U U
U . U.
2R R 2 R
y
4R
Z 4R Z
+ +
+ +
⇒ = = = = =
+ +

Vậy khi C biến thiên ñể U
RC
max thì ta có
( )
(
)

+ +

=


+ +

= =



2 2
L L
C
2 2
L L
C
RC
max
Z Z 4R
Z
2
U Z 4R Z
Z
U U.
2R R

Ví dụ 1:
Cho mạch ñiện RLC có R = 100 Ω, L = 1/π (H), C thay ñổi. ðiện áp hai ñầu mạch có biểu thức
là
(
)
=
u 100 2 cos 100
πt V.
Tìm giá trị của ñiện dung C ñể
a) mạch tiêu thụ công suất P = 50 W.
b) mạch tiêu thụ công suất cực ñại. Tính P
max

c) U
Cmax

Hướng dẫn giải:
Ta có
L
R 100
Ω, Z 100 Ω
= =

a)
( )
2 2
C C
2
2
2
2
C C
C
100 Z 100 Z 0
U 100 .100
P I R 50 R 50 50
100 Z 100 Z 200
Ω
Z
100 100 Z
− = =
 

= = ⇔ = ⇔ = ⇔ →
 
− = − =
+ −
 

Nhận nghiệm Z
C
= 200 Ω ta ñược
4
10
C (F).
2
π
−
=

Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th

ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 14 -


b) Từ P = I
2
R ta thấy do R không ñổi nên
4
max max L C C L
10
P I Z Z 0 Z Z 100 C (F).
−
←→ ⇔ − = ⇔ = = Ω → =
π

Khi ñó,
2 2 2
2
max max

2
U U 100
P I R R 100 W.
R R 100
= = = = =

c) (U
C
)
max
khi
2 2
2 2 4
L
C
L
R Z 100 100 10
Z 200
Ω C (F).
Z 100 2π
−
+ +
= = = → =

Khi ñó,
( )
2 2 2 2
C L
max
U 100

U R Z 100 100 100 2 V.
R 100
= + = + =

Ví dụ 2:
Cho mạch ñiện RLC có C thay ñổi, ñiện áp hai ñầu ñoạn mạch là
(
)
u 200 2cos 100
πt V.
=

Khi
4
1
10
C C (F)
4π
−
= =
và
4
2
10
C C (F)
2π
−
= =
thì mạch có cùng công suất P = 200 W.
a) Tính R và L.

b) Tính hệ số công suất của mạch ứng với các giá trị C
1
, C
2.

Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta tính ñược
1 2
C C
Z 400
Ω, Z 200 Ω.
= =

a) Theo giải thiết ta có
1 2
1 2
C C
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 L C C L L
Z Z
3
P P P 200 I R = I R Z = Z Z Z Z Z Z 300
Ω L (H)
2
π
+
= = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − ⇔ = = → =

Với Z
L

= 300 Ω, P
1
= 200 W ta ñược
( )
1
2 2
2 2
2
2 2
2
L C
U 200 R
R 200 200 R 200R 100 0
R 100
R Z Z
= ⇔ = ⇔ − + =
+
+ −

Giải phương trình ta ñược nghiệm duy nhất R = 100 Ω.
Vậy
3
R 100
Ω, L (H).
π
= =

b) Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp của C
1
và C

2
.
 Khi
( )
4
2
2
1
10 R 100 1
C C (F) Z 100 300 400 100 2 Ω cosφ
4π Z
100 2 2
−
= = → = + − = → = = =

 Khi
( )
4
2
2
1
10 R 100 1
C C (F) Z 100 300 200 100 2 Ω cosφ
2π Z
100 2 2
−
= = → = + − = → = = =

Nhận xét :

Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 15 -


Trong hai trường hợp L thay ñổi và C thay ñổi chúng ta thấy vai trò của L và C là bình ñẳng nên hoán ñổi vị
trí của L và C ta sẽ ñược kết quả

( )
( )

+
= + ←→ =



+

= + ←→ =


2 2
2 2
2 2
2 2
L
C L C
max
L
C
L C L
max
C
R Z
U
U R Z Z
R Z
R Z

U
U R Z Z
R Z

Ví dụ 3:
Cho mạch ñiện RLC có C thay ñổi, ñiện áp hai ñầu ñoạn mạch là u = 200cos(100πt) V. ðiều
chỉnh C ñến các giá trị
4
10
(F)
π
−
hoặc
4
10
(F)
5
π
−
thì i
1
và i
2
ñều lệch pha với u một góc π/3 rad.
a) Tính R, L.
b) Viết biểu thức i
1
và i
2

Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết ta tính ñược
1 2
C C
Z 100
Ω,Z 50Ω.
= =

Gọi φ
1
và φ
2
tương ứng là các ñộ lệch pha của u và i ứng với hai trường hợp của C.
Ta có
1 2
L C L C
1 2
Z Z Z Z
tan
φ ; tan φ .
R R
− −
= =

Do i
1
và i
2
ñều lệch pha với u cùng một góc π/3 nên |φ
1

| = |φ
2
| = π/3 và trái dấu nhau (do u cố ñịnh).
Do
1 2
1
1
C C
2
2
π
φ
φ 0
3
Z Z
φ 0 π
φ
3

= −

<


> → →
 
>


=




Từ ñó ta ñược
1
2
L C
L
L
L C
L
Z Z
3
π
Z 75Ω
L (H)
tan 3
Z 100 R 3
4π
3 R
25 3
Z Z
25 3
R Ω
Z 50 R 3
π
R
Ω
tan 3
3

3
3 R
−


 
=
=
− = = −


 


− = −
   
 
←→ → ←→
   
−
=
− =

  

=
= =

 




b) Viết biểu thức i
1
và i
2
tương ứng với các giá trị của C
 Khi
( )
1
2
2
C o
25 3 50 3 100 2
Z 100
Ω Z 75 100 Ω I 2 6 A.
3 3
50 3
3
 
= → = + − = → = =
 
 
 

ðộ lệch pha của u và i tương ứng là
1 u i i 1
π π π
φ φ φ φ i 2 6 cos 100πt A.
3 3 3

 
= − = − ⇒ = → = +
 
 

 Khi
( )
2
2
2
C o
25 3 50 3 100 2
Z 50
Ω Z 75 50 Ω I 2 6 A.
3 3
50 3
3
 
= → = + − = → = =
 
 
 

Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l

í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 16 -


ðộ lệch pha của u và i tương ứng là
1 u i i 1
π π π
φ φ φ φ i 2 6 cos 100πt A.
3 3 3
 
= = − ⇒ = − → = −
 
 

Ví dụ 4: (Trích ðề thi TSðH 2011).
ðặt ñiện áp xoay chiều
(
)
=
u U 2 cos 100
πt V
(với U không ñổi, t tính
bằng s) vào hai ñầu ñoạn mạch mắc nối tiếp gồm ñiện trở thuần R, cuộn cảm thuần có ñộ tự cảm
1
H
5
π

và tụ ñiện có ñiện dung C thay ñổi ñược. ðiều chỉnh ñiện dung của tụ ñiện ñể ñiện áp hiệu dụng giữa hai
bản tụ ñiện ñạt giá trị cực ñại. Giá trị cực ñại ñó bằng
U 3
. ðiện trở R bằng
A. 10 Ω
ΩΩ
Ω. B.
20 2
Ω
ΩΩ
Ω. C.
10 2
Ω
ΩΩ
Ω. D. 20 Ω

ΩΩ
Ω.
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Ví dụ 5:
Một ñoạn mạch ñiện gồm ñiện trở R, cuộn dây thuần cảm L và tụ ñiện C mắc nối tiếp. ðặt vào
hai ñầu ñoạn mạch ñó một ñiện áp
(
)
=
u U 2 cos
ωt V
và làm thay ñổi ñiện dung của tụ ñiện thì thấy ñiện
áp hiệu dụng giữa hai bản tụ ñạt cực ñại bằng 2U. Quan hệ giữa cảm kháng Z
L
và ñiện trở R là
A. Z
L
= R. B. =
L
R
Z .
3
C.
=
L

Z R 3.
D. Z
L
= 3R.
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Ví dụ 6:
Cho mạch ñiện RLC, C thay ñổi, ñiện áp ñầu mạch là
3,2
u 120 2cos(100
πt)V, R 240Ω, L (H).
π
= = =
Tìm
giá trị của C ñể
a) I = I
max,
P = P
max
. Tính I
max
, P
max
. Tính U
L
khi ñó.
b) (U
C

)
max
. Tính giá trị (U
C
)
max

……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ

t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 17 -


……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Ví dụ 7:
Cho mạch ñiện RLC, C thay ñổi, ñiện áp hai ñầu ñoạn mạch là u = U
0
cos(100πt) V. Khi thay ñổi C
ñến các giá trị
4
1
10
C C (F)

2
π
−
= =
và
4
1
10
C C (F)
π
−
= =
thì mạch có cùng công suất, nhưng i
1
và i
2
(ứng với 2 giá trị
của C) ñều lệch pha với nhau một góc π/3. Tính R và ω biết
1,5
L (H).
π
=

……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………

………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
……………………………………………………………………………………………………………………
………
Khóa h
ọ
c

V
ậ
t l
í

12

–
Th
ầ
y
ð
ặ
ng Vi
ệ
t Hùng

Cực trị trong mạch ñiện xoay chiều.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 18 -


Giáo viên : ðặng Việt Hùng
Nguồn :
Hocmai.vn