Tài liệu phân loại và phương pháp giải nhanh vật lý chương i cơ học vật rắn

Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
Chơng I: Cơ học vật rắn
Phần I: Kiến thức cơ bản
1 . Mối liên hệ chuyển động thẳng dài và chuyển động quay:
Chuyển động với quỹ đạo thẳng Chuyển động quay quanh một trục cố định
Gia tốc dài:
)'(
t
va
=
(m/s
2
) (1a)
Vận tốc dài:
atvv
ds
+=
=
)'(
t
x
(m/s)
(2a)
Toạ độ dài:
2
2
1
attvxx
dds
++=
(m) (3a)

Quãng đờng đi trong khoảng thời gian t:
2
2
1
attvS
d
+=
(m) (4a)
Mối liên hệ: quãng đờng-vận tốc-gia tốc:
Savv
ds
=
2
22
(5a)
Gia tốc góc:
)'(
t

=
(Rad/ s
2
) (1b)
Vận tốc góc:
t
ds

+=
=
)'(

t

(Rad/ s) (2b)
Toạ độ góc:
2
2
1
tt
dds

++=
(Rad) (3b)
Góc quay trong khoảng thời gian t:
2
2
1
tt
d

+=
(Rad) (4b)
Mối liên hệ: toạ độ góc-vận tốc góc-gia tốc
góc:

=
2
22
os
(5b)
Trong chuyển động quay biến đổi đều xung quanh một trục cố định thì:

Vận tốc dài:

.Rv
=
(m/s) (6)
Gia tốc tiếp tuyến:

.' Rva
t
==
; (m/s
2
) (7)
Gia tốc pháp tuyến:
2
2

R
R
v
a
n
==
(m/s
2
) (8)
Gia tốc toàn phần: a=
42422222

+=+=+

RRRaa
nt
(m/s
2
) (9)
2. Mô men lực, mô men quán tính:
Độ lớn mô men lực:
)(
'.
t
LIdFM
===

(Nm) (10)
Trong đó:
d là cánh tay đòn kẻ từ tâm quay vuông góc với phơng của lực.
F là độ lớn của lực tác dụng.
I là mô men quán tính của vật.
là gia tốc góc.
Mô men quán tính của một vật có khối lợng m đối với trục quay cách trọng tâm của nó
một khoảng d là:
2
mdII
o
+=
(11)
Trong đó:
I
o
là mô men quán tính của vật đối với trục quay đi qua trọng tâm.

d là khoảng cách từ trọng tâm tới trục quay của vật.
Mô men quán tính của vật:

=
2
ii
rmI
(kgm
2
) (12)
- Thanh có mặt cắt ngang nhỏ, chiều dài
l
:
2
12
1
mlI
=
(13)
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 1
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
- Vành tròn bán kính R:
2
mRI
=
(14)
- Đĩa tròn đặc dẹt bán kính R:
2
2
1

mRI
=
(15)
- Hình cầu đặc bán kính R:
2
5
2
mRI
=
(16)
- Hình cầu rỗng bán kính R:
2
3
2
mRI
=
(17)
3.Mô men động l ợng - ph ơng trình động lực học:
Mô men động lợng:

.IL
=
(18)
Phơng trình động lực học:
)'(
t
L
dt
dL
M

==
(19)
Định luật bảo toàn mô men động lợng: Khi tổng đại số các mô men ngoại lực tác dụng
lên vật rắn quay quanh một trục cố định bằng không thì mô men động lợng của vật rắn
đối với trục quay đó là không đổi. Trong trờng hợp vật rắn có I=const thì vật rắn không
quay hoặc tiếp tục quay đều. Trong trờng hợp I thay đổi thì vận tốc góc của vật cũng thay
đổi.
4. Chuyển động của khối tâm vật rắn:
Công thức xác định toạ độ khối tâm:


=
i
ii
c
m
xm
x
;


=
i
ii
c
m
ym
y
;

=
i
ii
c
m
zm
z
(20)
Chuyển động khối tâm của vật rắn đợc coi là chuyển động của một chất điểm có khối lợng
bằng khối lợng của toàn bộ vật rắn và chịu một lực bằng hợp tất cả các ngoại lực tác động
vào vật:
c
maF
=

.
Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến:
222
2
1
)(
2
1
2
1
cciiid
mvvmvmW
===

(J) (21)
5.Động năng của vật rắn quay quanh một trục:
Động năng của vật rắn quay quanh một trục:
2
2
2
222
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
1

IIrmrmvmW
iiiiiiid
=====

(J) (22)
Động năng của vật rắn chuyển động song phẳng:
22
21
2

1
2
1

ImvWWW
Cd
+=+=
(J) (23)
Trờng hợp vật rắn là khối hình trụ bán kính R, lăn không trợt:

Rv
C
=

6. Cân bằng tính của vật rắn:
Điều kiện để vật rắn cân bằng trong không gian
0
0
0
0
21
21
21
21
=+++=
=+++=
=+++=
=+++=

nzzzz
nyyyy
nxxxx
ni
MMMM
MMMM
MMMM
FFFF


(24)
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 2
1
F
+
2
FF=
F
1
2
F
F
d1 d2
A
B
O
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
7. Hợp lực song song:

a. Hợp hai lực song song cùng chiều
21
; FF

:
Độ lớn: F=F
1
+F
2
; (25)
Điểm đặt nằm giữa, cách F
1
; F
2
lần lợt các đoạn
d
1
; d
2
thoả mãn hệ thức:
1
2
2
1
d
d
F
F
=
(chia trong) (26)

b. Hợp hai lực song song ngợc chiều
21
; FF

:
Độ lớn: F=F
1
-F
2
; (nếu F
1
>F
2
) (27)
Điểm đặt nằm ngoài cách F
1
; F
2
lần lợt các đoạn
d
1
; d
2
thoả mãn hệ thức:
1
2
2
1
d
d

F
F
=
(chia ngoài) (28)
8. Điều kiện cân bằng của một vật rắn có trục quay cố định:
tổng hợp giá trị đại số của các mô men lực đối với trục quay đó bằng 0:
0
21
=+++=

ni
MMMM
(29)
Phần II: các dạng bài tập
Dạng 1: Các bài toán về chuyển động quay quanh một trục cố định
Ph ơng pháp chung:
- Khi gặp bài toán vật rắn bắt đầu quay từ trạng thái nghỉ thì vận tốc góc ban đầu
0
=
o

.
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 3
1
F >
2
F
F= F
2
-F

1
d2
d1
F
2
F
F
1
A
B
O
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
- Khi biết 3 trong 4 thông số


,
d

,

, t, bắt tìm thông số còn lại, ta sử dụng phơng
trình góc quay:
2
2
1
tt
d

+=
(1).

- Khi biết 3 trong 4 thông số
d

,
s

,


,

bắt tìm thông số còn lại, ta sử dụng phơng
trình mối liên hệ:

=
2
22
ds
(2).
Ví dụ 1: Một đĩa tròn đặc bắt đầu quay quanh trục cố định với gia tốc không đổi. Sau 10
giây đĩa quay đợc 50 vòng. Hỏi:
1. Gia tốc của đĩa?
2. Vận tốc trung bình trong quá trình quay đó?
3. Số vòng đĩa quay đợc trong 20 giây tiếp theo?
4. Vận tốc của đĩa ở giây thứ 50?
5. Đến giây thứ 50, ngời ta tắt nguồn điện đĩa quay chậm dần do tác dụng của mô men ma
sát. Đĩa quay đợc thêm 100 vòng nữa rồi dừng hẳn.
a. Tính gia tốc của đĩa khi đó?
b. Tính mô men của lực ma sát tác dụng lên đĩa trong quá trình đĩa quay chậm lại? Biết
đĩa có khối lợng m=400g, bán kính đĩa r=10cm.

c. Tính thời gian kể từ khi tắt nguồn cho tới khi đĩa dừng lại hẳn?
6. Tính mô men của ngoại lực tác dụng lên đĩa trong quá trình đĩa quay ở giai đoạn ban
đầu?
Bài làm
1. Gia tốc góc của đĩa:
Ta có:
2
11
2
1
2
111
2
1
2
1
0
2
1
tttt
o

=+=+=
)/(2
10
2.50.2
2
2
22
1

1
srad
t




===
2. Vận tốc trung bình của đĩa:
)/(10
10
2.50
1
1
sRad
t
tb




==


=
3. Số vòng mà đĩa quay đợc trong 20 giây tiếp theo:
Vận tốc góc của đĩa tại giây thứ 10 là:
)/(2010.20
01
sradt

=+=+=
Số vòng quay đợc của đĩa trong 20 s tiếp theo là:
Ta có:
400)(80020.2
2
1
20.20
2
1
22
2212
==+=+=
radtt

(vòng).
4. Vận tốc góc của đĩa ở giây thứ 50:
)/(10050.20
50
sradt
ot

=+=+=
=
5a. Khi bắt đầu chuyển động chậm dần, vận tốc góc của đĩa là
)/(100
1
srad

=

. Khi đĩa
dừng lại, thì
0
2
=

, ta có:

=
'2
2
1
2
2
)/(25
2.100.2
)100(0
2
'
2
2
2
1
2
2
srad

=

=

=
5b. Tính mô men của lực ma sát:
Đĩa quay chậm lại là do tác dụng của lực ma sát, do đó:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 4
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
)(05,0)25.(1,0.4,0.
2
1
'.
2
1
'.
22
NmmrIM
ms

====
5c. Tính thời gian kể từ khi tắt nguồn điện cho tới khi đĩa dừng lại hẳn:
Ta có:
t'
12

+=
)(4

25
1000
'
12
st
=


=

=




6. Gọi M là mô men ngoại lực tác dụng vào đĩa, khi đó mô men hợp lực tác dụng lên đĩa là:

IMMM
mshl
=+=
)(054,0)05,0(2.1,0.4,0.
2
1
2
1
2
1
2
NmMmrMIM
msms

====
.
Ví dụ 2: Một đĩa tròn đờng kính 50cm, đang quay với vận tốc góc 120 vòng/phút thì tăng
tốc trong vòng 4 giây. Tốc độ tại cuối thời điểm tăng tốc đạt giá trị 360 vòng/phút.
1. Tính góc quay của đĩa quay đợc trong thời gian đó.
2. Tính vận tốc dài của một điểm trên vành của đĩa sau khi đĩa tăng tốc đợc 2s.
Bài làm
1.Ta có
)/(4
60
2.120
1
srad



==
;
)/(12
60
2.360
1
srad



==
Tìm gia tốc của đĩa theo công thức:
t

dS

+=
)/(2
4
412
2
srad
t
ds




=

=

=
.
Vậy góc quay đợc của đĩa trong 4s là:
16324.2.
2
1
4.4
2
1
22
==+=+=

tt
d
vòng.
2. Vận tốc dài của đĩa tại thời điểm 2 giây sau khi tăng tốc đợc tính theo công thức:

Rv
=
. Trong đó:
)/(82.24 sradt
d

=+=+=
.
Vậy:
)/(28.25,0 smRv

===
Ví dụ 3: Một bánh đà bán kính R=1m, có mômen quán tính I=1,5.10
-3
Kgm
2
, chịu tác
dụng của lực F tiếp tuyến với bánh đà trong vòng 5s, vận tốc góc của bánh đà tăng từ 0
đến 400Rad/s. Sau đó thôi tác dụng lực, bánh đà quay chậm dần sau 25s thì dừng lại hẳn.
Tìm lực đã tác dụng lên bánh đà F=?
A. F=0,096N B. F=0,144N C. F=0,196N D. F=0,325N
Bài làm
Trong 5s đầu vận tốc góc của đĩa đợc tính theo công thức:
)/(4000
11111

sradtt
o
=+=+=

)./(80
5
400
2
1
srad
==

Vởy mô men hợp lực tác dụng lên bánh đà là:
)(10.12080.10.5,1
33
1
NMIM
HL

===

Sau khi ngừng tác dụng lực, đĩa quay chậm với gia tốc góc
2
do tác dụng của momen ma sát. Ta có:
0400
22212
=+=+=
tt

)./(16

25
4000
2
2
srad
=

=

Vậy mô men ma sát là:
)(10.24)16.(10.5,1
33
2
NMIM
MS

===

Ta có:
MSHL
MMM
+=
[ ]
)(10.14410.)24(120
33
NMMMM
MSHL

===
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 5

Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
Vậy ngoại lực tác dụng lên bánh đà là:
)(144,0
1
10.144
3
N
R
M
F
===

Ví dụ 4: Một xe chạy trên một đờng cong bán kính cong R=500m, với gia tốc a=2m/s
2
. Tại
thời điểm t=10s, tính:
1. Vận tốc dài, vận tốc góc, gia tốc hớng tâm, gia tốc toàn phần và gia tốc góc của xe?
2. Tính đoạn đờng mà xe đi đợc khi t=10s?
3. Tính thời điểm mà gia tốc hớng tâm bằng gia tốc tiếp tuyến?
Bài làm
1. Khi t=10s, ta có:
Vận tốc dài:
)/(2010.20 smatvv
o
=+=+=
Vận tốc góc:
)/(04,0
500
20
srad

R
v
===

Gia tốc hớng tâm:
)/(8,0
500
20
2
22
sm
R
v
a
n
===

(hoặc
)/(8,004,0.500
222
smRa
n
===

)
Gia tốc toàn phần:
)/(15,228,0
22222
smaaa
tn

=+=+=
Gia tốc góc:
)/(004,0
500
2
2
srad
R
a
t
===

2. Quãng đờng xe đi đợc khi t=10s:
)(10010.2.
2
1
0
2
1
22
0
mattvS
=+=+=
Góc quay đợc khi t=10s:
)(2,010.004,0.
2
1
10.00
2
1

22
radtt
oo
=++=++=

(hoặc

RS
=
)(2,0
500
100
rad
R
S
===

)
3 Giả sử thời điểm t, gia tốc hớng tâm bằng gia tốc tiếp tuyến, ta có:
tn
aa
=
2

RR
=
2222
)( tt
o

=+==
)(81,15)(105
004,0
11
sst
====

Ví dụ 5: Một cánh quạt đang quay thì đợc tăng tốc với gia tốc góc không đổi, sau 10s cánh
quạt quay đợc 75 vòng. Tốc độ góc của cánh quạt tại cuối thời điểm tăng tốc trên là 10
vòng/s.
1. Tìm vận tốc góc của cánh quạt khi nó bắt đầu tăng tốc?
2. Viết phơng trình chuyển động của bánh xe, lấy gốc thời gian ban đầu cánh quạt bắt đầu
quay từ trạng thái nghỉ; tọa độ góc ban đầu của bánh xe
2
0


=
rad.
Bài làm
1. Gọi ;
1
và
2
lần lợt là gia tốc góc, vận tốc góc của cánh quạt trong quá trình tăng tốc.
Tìm

,
1

từ hệ phơng trình:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 6
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn




=
+=


2
2
1
2
2
12
t



=
+=

)150.(2)20(
1020
2
1
2
1

=
=

)/(10
)/(
1
2
srad
srad


2. Phơng trình chuyển động quay của cánh quạt là:

222
00
2
1
22
1
.0
22
1
ttttt

+=++=++=
(rad).
Dạng 2: Bài tập về truyền động
Ph ơng pháp chung:
- Các bài toán về truyền động có thể có các dạng: Truyền động giữa các bánh răng gắn
trực tiếp với nhau; truyền động giữa các bánh răng thông qua dây xích hoặc truyền động
giữa các bánh đà thông qua dây cô roa. Trong các bài toán truyền động, vận tốc dài của
các bánh truyền động tại các vị trí tiếp xúc luôn bằng nhau nên ta có:
+ Đối với những bài toán đã biết bán kính của các bánh răng thì:
nn
RRR

===

2211
(1)
+ Đối với những bài toán đã biết số lợng răng trên các đĩa truyền động thì:
nn
NNN

===

2211
(2).
Trong đó N
1
; N

2
; là số bánh răng trên các đĩa truyền động.
Ví dụ1: Một xe đạp có đờng kính bánh xe là 1m, bắt đầu chuyển động trên đờng. Sau 40
giây, vận tốc của xe là 18km/h. Biết líp xe có 15 bánh răng, đĩa xe có 60 bánh răng.
1. Tìm gia tốc góc của đĩa xe?
2. Ngời đó tiếp tục tăng tốc với một gia tốc không đổi. Hỏi muốn vận tốc góc của đĩa xe
đạt đợc là 5 rad/s, thì chân ngời phải đạp thêm bao nhiêu vòng nữa?
Bài làm
1. Gọi
1
; N
1
;
2
; N
2
lần lợt là vận tốc góc và số lợng bánh răng của líp xe và đĩa xe. Do líp
và bánh xe đợc gắn thành một hệ thống nhất (coi nh là một vật rắn quay quanh 1 trục cố
định) nên vận tốc góc của líp và bánh xe phải bằng nhau.
Vận tốc của xe đạp cũng chính là vận tốc khối tâm của bánh xe nên ta có:
smhkmRvv
C
/5/18.5,0.
11
=====

)/(10
1
srad
=

áp dụng công thức (2) ta có:
2211

NN
=
)/(5,2
60
10.15
2
11
2
srad
N
N
===


Gọi
2

là gia tốc góc của đĩa xe, ta có:
t
2022

+=
)/(0625,0
40
05,2
2

022
2
srad
t
=

=

=


Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 7
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
2. Khi vận tốc góc của đĩa xe là
srad /5'
2
=

, thì đĩa xe phải quay thêm một góc là
2


.
áp dụng công thức

=
2
22
ds
. Ta có:

88,23
2
150
)(150
0625,0.2
5,25
2
22
22
===

=

=



rad
ds
(vòng).
Dạng 3: Bài tập về động năng của vật rắn
Ví dụ: Ròng rọc có dạng đĩa đặc bán kính r=5cm, khối lợng m
o
=2kg có thể quay
quanh một trục nằm ngang. Hệ thống vật và ròng rọc đợc bố trí nh trên hình
vẽ. Hòn bi có khối lợng m=3kg, lúc đầu đợc treo ở độ cao cách mặt đất h=2m.
1. Tính vận tốc của hòn bi và vận tốc góc của ròng rọc khi hòn bi chuẩn bị chạm
đất.
2. Thay hòn bi bằng một lực kéo F=30N thì sau khi kéo dây đợc 2m, vận tốc
góc của ròng rọc là bao nhiêu?

Bài làm
1. Gọi v là vận tốc của hòn bi và vận tốc góc của ròng rọc khi vật bắt đầu chạm đất, ta
có:

rv
=
Mô men quán tính của đĩa:
)(10.2505,0.2.
2
1
2
1
2422
kgmmrI

===
áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta có:
22222
2
1
2
1
2
1
2
1

mrImvImgh
+=+=

)/(54,109
)05,0.310.25(
2.10.3.2
)(
2
242
srad
mrI
mgh
=
+
=
+
=


Vận tốc của hòn bi:
)/(48,554,109.05,0 smrv
===

2. Khi kéo ròng rọc bằng lực F=30N trên một đoạn đờng S=2m, khi đó lực thực hiện một
công, toàn bộ công đó đợc chuyển thành động năng của ròng rọc. Ta có:
2
2
1
.

ISF
=
)/(089,219

10.25
2.30.22
4
srad
I
FS
===


Ví dụ 2: Một thanh đồng chất chiều dài l, khối lợng m đợc treo vào một điểm cố định trên
đầu thanh. Một vật khác đợc coi nh một chất điểm khối lợng m bay tới với vận tốc v
0
đập
vào đầu thanh nh hình vẽ. Sau va chạm, hai vật bị dính vào nhau và quay quanh điểm
treo với vận tốc góc . Tìm ?
Bài làm:
Sau va chạm, mô men quán tính của hệ hai vật đối với trục quay đi qua O là:
2222
21
3
4
)
2
.(
12
1
mlml
l
mmlIII =+

+=+=
áp dụng định luật bảo toàn động năng trớc và sau va chạm, ta có:
22
0
2
1
2
1

ImvW
==
3
2
4
3
0
2
2
0
2
0
l
v
ml
mv

I
mv
===

Dạng 4: Mô men quán tính, mô men động l ợng và bảo toàn mô men động l ợng
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 8
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
Ví dụ 1: Cho cơ hệ gồm thanh OA đồng chất, tiết diện đều, chiều
dài
l
có thể quay quanh một trục cố định, thẳng đứng nh hình vẽ.
Vật và thanh cùng có khối lợng M có thể trợt trên thanh. Ban đầu
vật đợc giữ tại trung điểm của thanh nhờ một sợi dây
l
l/2
mảnh không giãn. Khi hệ đang quay với vận tốc góc
8
=
o

rad/s thì vật bị tuột khỏi giây
và trợt tới và bị giữ lại tại A.
1. Tính mô men quán tính của thanh đối với trục quay tại O.
2. Tính mô men quán tính của hệ khi vật nằm tại B.
3. Tính mô men quán tính của hệ khi vật nằm tại A.
4. Tính vận tốc góc của hệ khi vật ở A.
Bài làm
1. Mô men quán tính của thanh đối với trục quay tại O:
2222
3

1
)
2
(
12
1
Ml
l
MMlMdII
T
o
T
=+=+=
2. Mô men quán tính của vật khi nằm tại B:
22
4
1
)
2
.( Ml
l
MI
V
==
Mô men quán tính của hệ khi vật nằm tại B:
222
12
7
4
1

3
1
MlMlMlIII
VT
A
=+=+=
3. Mô men quán tính của vật khi nằm tại A:
2
MlI
V
=
Mô men quán tính của hệ khi vật nằm tại A:
222
3
4
3
1
MlMlMlIII
VT
A
=+=+=
4. Tính vận tốc góc của hệ khi vật ở A: áp dụng định luật bảo toàn mô men động lợng ta
có:
AB
LL
=

AoB
II
=

.
)/(5,3
16
7
12
7
3
4
2
2
srad
Ml
Ml
I
I
oo
A
oB
====



Ví dụ 2: Một quả bóng có khối lợng 0,12kg đợc buộc vào một
sợi dây luồn qua một lỗ thủng nhỏ trên mặt bàn. Lúc đầu quả
bóng chuyển động trên đờng tròn bán kính 40cm với vận tốc
dài 80cm/s. Sau đó kéo sợi dây qua lỗ xuống dới một đoạn
15cm. Hãy xác định:
1. Tốc độ của quả bóng trên đờng tròn mới.
2. Công của lực kéo dây.
Bài làm

1. Tốc độ của quả bóng trên đờng tròn mới:
áp dụng định luật bảo toàn mô men động lợng, ta có:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 9
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
21
LL
=
2
2
21
2
1

mrmr =
)/(12,5
)15,04,0(
8,0.4,0
22
2
11
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2

1
2
srad
r
vr
r
r
v
r
mr
mr
=

====


2. Công của lực kéo dây:
Ta có
)/(2
4,0
8,0
1
1
1
srad
r
v
===

)(06,02.4,0.12,0

2
1
12,5.25,0.12,0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22222
1
2
1
2
2
2
2
2
11
2
2221
JmrmrIIWWA
dd
=====

Ví dụ 3: Một bánh đà có mômen quán tính là 0,25 (kg.m

2
). Mô men động lợng của nó tăng
từ 5 kgm
2
/s lên 10 kgm
2
/s trong vòng 2s. Tính:
1. Mô men lực trung bình tác dụng vào bánh đà?
2. Bánh đà đã quay đợc một góc bằng bao nhiêu? Giả sử gia tốc góc không đổi.
3. Công đã cung cấp cho bánh đà?
4. Công suất trung bình cung cấp cho bánh đà?
Bài làm
1. Mô men lực trung bình tác dụng vào bánh đà:
)(5,2
2
510
12
Nm
t
LL
t
L
M =

=


=

=
2. Góc quay của bánh đà trong 2s:
Gia tốc góc:
)/(10
25,0
5,2
2
srad
I
M
===

Vận tốc góc ban đầu của bánh đà:
)/(20
25,0
5
1
1
srad
I
L
===

Vận tốc góc sau đó của bánh đà:
)/(40
25,0
10
2
2
srad

I
L
===

Goi

là góc quay của bánh đà trong 2s đó, ta có:

2
2
1
2
2
=
55,9
2
60
)(60
10.2
2040
2
22
2
1
2
2
===

=

=



rad
(vòng)
3. Công đã cung cấp cho bánh đà:
)(15020.25,0
2
1
40.25,0
2
1
2
1
2
1
222
1
2
212
JIIWWA
dd
====

4. Công suất trung bình cung cấp cho bánh đà:
)(75
2
150
W

t
A
P
===
Dạng 5: Bài toán về chuyển động của các loại ròng rọc:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 10
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
Ví dụ 1: Cho hệ hai vật m
1
>m
2
treo vào ròng rọc đợc coi nh một đĩa
tròn đặc có khối lợng m
o
nh hình vẽ. Dây treo không co giãn và có khối
lợng nhỏ không đáng kể. Thả vật m
1
, m
2
để cho chúng chuyển động.
1. Khi m
o
=0, tìm gia tốc của hệ và lực căng của sợi dây?
2. Khi
0

o
m
, tìm gia tốc của hệ và lực căng của sợi dây?
Bài làm

Chọn chiều dơng hớng thẳng đứng xuống dới. Xét các lực tác dụng lên vật m
1
, m
2
ta có:





=+
=+
2
2
22
1
1
11
amTP
amTP
(1)
Do sợi dây không co giãn, nên
21
aaa
==
hay
21
aaa
==
1. Khi bỏ qua khối lợng m

o
thì
TTT
==
21
, chiếu các lực của phơng trình (1) lên trục toạ
độ, ta có:



==
==
amamTP
amamTP
22222
11111



==
==

amamTP
amamTP
2222
1111
)3(
)2(
Lấy (2) trừ (3) ta đợc:
ammPP )(

2121
+=

21
21
)(
mm
gmm
a
+

=
(m/s
2
)
2. Khi kể đến khối lợng m
o
của ròng rọc:
Giả sử ròng rọc quay với gia tốc góc
r
a
=

, khi đó hợp các mô men lực tác
dụng lên ròng rọc đối với trục quay:

=

IM
o

IrTrT
=
21
2
21
)/(
r
Ia
r
raI
r
I
TT
===

(4)
Xét các lực tác dụng vào vật ta đợc hệ phơng trình (1). Chiếu các lực của phơng trình (1)
lên trục toạ độ, ta có:



==
==
amamTP
amamTP
22222
11111

)6(

)5(
Lấy (5) trừ (6) ta đợc:
ammTTPP )()()(
211221
+=+
.
Kết hợp (4), ta đợc:
amm
r
Ia
PP )()(
21
2
21
+=

a
r
I
mmgmm )()(
2121
++=

o
o
mmm
gmm
r
rm
mm

gmm
r
I
mm
gmm
a
5,0
)(
5,0
)()(
21
21
2
2
21
21
2
21
21
++

=
++

=
++

=
(m/s
2

)
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 11
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
Ví dụ 2: Cho vật m
1
treo vào ròng rọc đợc coi nh một đĩa tròn đặc có khối l-
ợng m
o
nh hình vẽ. Dây treo không co giãn và có khối lợng nhỏ không
đáng kể. Thả vật m
1
để cho chuyển động.
1. Tìm gia tốc chuyển động của vật m
1
.
2. Tính vận tốc góc và góc quay của ròng rọc khi vật m
1
tụt xuống một
đoạn là h. Biết bán kính của ròng rọc bằng r.
Bài làm
1. Chọn chiều dơng hớng thẳng đứng xuống dới. Xét các lực tác dụng lên vật m
1
ta có:
amTP
1
=+
(1)
Chiếu các lực của phơng trình (1) lên hệ trục tọa độ ta có:
amTgm
11

=
(2)
Giả sử ròng rọc quay với gia tốc góc
r
a
=

, khi đó mô men lực tác dụng lên ròng rọc đối với
trục quay:
rTIM
o
.
==

2
)/(
r
Ia
r
raI
r
I
T
===

(3)
Thay (3) vào (2) ta đợc:
am
r
Ia

gm
1
2
1
=
gmmma
r
I
ma
101
2
1
)5,0()(
=+=+
01
1
5,0 mm
gm
a
+
=
(4)
2. Khi vật m
1
tụt xuống đợc một đoạn h thì vật đi hết thời gian là t, ta có:
22
0
2
1
2

1
atattvh
=+=
a
h
t
2
=
.
Khi đó đĩa đạt vận tốc góc là:
2
0
22
r
ha
a
h
r
a
t
r
a
t
===+=

(rad/s), trong đó a tính từ (4).
Góc quay đợc của ròng rọc:
r
h
a

h
r
a
ttt
22

2
1
2
1
2
1
22
0
===+=

(rad).
Ví dụ 3: Cho hai vật m
1
, m
2
treo vào ròng rọc đợc coi nh
một đĩa tròn đặc có khối lợng m
o
nh hình vẽ. Dây treo
không co giãn và có khối lợng nhỏ không đáng kể. Thả cho
các vật chuyển động.
Tìm gia tốc chuyển động của mỗi vật trong hai trờng hợp:
1. Hệ số ma sát giữ m
2

và mặt sàn là à.
2. Bỏ qua ma sát giữa m
2
và mặt sàn.
Bài làm
Sau khi thả cho hệ chuyển động, vật m
1
sẽ bị tụt xuống. Chọn chiều dơng trùng với chiều
chuyển động của mỗi vật.
1. Khi kể tới lực ma sát, xét các lực tác dụng vào mỗi vật ta có:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 12
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn





=+
=+
2
2
2
1
1
11
amFT
amTP
ms
(1)
Do sợi dây không co giãn, nên

21
aaa
==
hay
21
aaa
==
. Chiếu các lực của hệ phơng trình
(1) lên trục tọa độ đã chọn chiều dơng, ta có:



==
==
amamFT
amamTP
ms 2222
11111
)3(
)2(
Lấy (2) cộng (3) ta đợc:
ammTTFP
ms
)(
21121
+=+
(4)
Giả sử ròng rọc quay với gia tốc góc
r
a

=

, khi đó mô men lực tác dụng lên ròng rọc đối với
trục quay:
rTTrTrTIM
o
)(
2121
===

2
21
)/(
r
Ia
r
raI
r
I
TT
===

(5)
Thay (5) vào (4), ta đợc:
amm
r
Ia
gmgm )(
21
2

21
+=
à
gmm
r
I
mma )()(
21
2
21
à
=++

021
21
5,0
)(
mmm
gmm
a
++

=
à
(6)
2. Khi không kể tới lực ma sát, tức hệ số ma sát à=0, thay vào hệ thức (6), ta đợc:
021
1
5,0 mmm
gm

a
++
=
(7)
Ví dụ 4: Cho hai vật m
1
, m
2
treo vào ròng rọc đợc coi
nh một đĩa tròn đặc có khối lợng m
o
nh hình vẽ. Dây treo
không co giãn và có khối lợng nhỏ không đáng kể. Mặt
phẳng nghiêng hợp với phơng nằm ngang một góc . Thả
cho các vật chuyển động.
Tìm gia tốc chuyển động của mỗi vật trong hai trờng hợp:
1. Hệ số ma sát giữ m
2
và mặt sàn là à.
2. Bỏ qua ma sát giữa m
2
và mặt sàn.



Ph ơng pháp chung:
Đối với loại bài toán này ta cha biết vật nào sẽ bị tụt xuống dới, vì vậy chúng ta phải
giả sử một vật nào đó bị tụt xuống, chọn chiều dơng trùng với chiều chuyển động. Khi tính
gia tốc của các vật, nếu đợc kết quả a>0 thì điều giả sử là đúng. Nếu a<0 thì điều giả sử là
sai, chúng ta phải xác định chiều chuyển động ngợc lại và tính tính toán từ đầu. Chú ý

tuyệt đối không đợc phép sử dụng kết quả vừa tính toán khi giả sử không đúng chiều
chuyển động để tính toán các bớc tiếp theo, vì với mỗi chiều chuyển động sẽ cho các kết
quả gia tốc có độ lớn khác nhau.
Bài làm
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 13
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
Bài toán thứ nhất: Vật m
1
bị tụt xuống, vật m
2
bị kéo lên:
1. Giả sử vật m
1
tụt xuống, thì vật m
2
sẽ bị kéo lên. Khi đó lực ma sát tác dụng vào
vật m
2
có chiều nh hình vẽ. Chọn chiều dơng trùng với chiều chuyển động của mỗi vật.
Xét các lực tác dụng vào mỗi vật ta có:





=++
=+
2
22
2

1
1
11
sin amgmFT
amTP
ms

(1)
Do sợi dây không co giãn, nên
21
aaa
==
hay
21
aaa
==
. Chiếu các lực của hệ phơng trình
(1) lên trục tọa độ đã chọn chiều dơng, ta có:



==
==
amamgmFT
amamTP
ms 22222
11111
sin

)3(

)2(
Lấy (2) cộng (3) ta đợc:
ammTTgmFP
ms
)(sin
211221
+=+

(4)
Giả sử ròng rọc quay với gia tốc góc
r
a
=

, khi đó mô men lực tác dụng lên ròng rọc đối với
trục quay:
rTTrTrTIM
o
)(
2121
===

2
21
)/(
r
Ia
r
raI
r

I
TT
===

(5)
Thay (5) vào (4), ta đợc:
amm
r
Ia
gmgmgm )(sincos
21
2
221
+=
à
gmmm
r
I
mma )sincos()(
221
2
21
à
=++


021
221
5,0
)sincos(

mmm
gmmm
a
++

=
à
(6)
2. Khi không kể tới lực ma sát, tức hệ số ma sát à=0, thay vào hệ thức (6), ta đợc:
021
21
5,0
)sin(
mmm
gmm
a
++

=

Bài toán thứ hai: Vật m
2
bị tụt xuống, vật m
1
bị kéo lên:
1. Giả sử vật m
2
tụt xuống, thì vật m
1
sẽ bị kéo lên.

Khi đó lực ma sát tác dụng vào vật m
2
có chiều nh hình
vẽ. Chọn chiều dơng trùng với chiều chuyển động của mỗi
vật. Xét các lực tác dụng vào mỗi vật ta có:





=++
=+
2
22
2
1
1
11
sin amgmFT
amTP
ms

(1)



Do sợi dây không co giãn, nên
21
aaa
==

hay
21
aaa
==
. Chiếu các lực của hệ phơng trình
(1) lên trục tọa độ đã chọn chiều dơng, ta có:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 14
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn



==
==
amamFTgm
amamPT
ms 22222
11111
sin

)3(
)2(
Lấy (2) cộng (3) ta đợc:
ammTTFPgm
ms
)(sin
212112
+=+

(4)
Giả sử ròng rọc quay với gia tốc góc

r
a
=

, khi đó mô men lực tác dụng lên ròng rọc đối với
trục quay:
rTTrTrTIM
o
)(
1212
===

2
12
)/(
r
Ia
r
raI
r
I
TT
===

(5)
Thay (5) vào (4), ta đợc:
amm
r
Ia
gmgmgm )(cossin

21
2
212
+=
à
gmmm
r
I
mma )cossin()(
212
2
21
à
=++


021
212
5,0
)cossin(
mmm
gmmm
a
++

=
à
(6)
2. Khi không kể tới lực ma sát, tức hệ số ma sát à=0, thay vào hệ thức (6), ta đợc:
021

12
5,0
)sin(
mmm
gmm
a
++

=

(7)
Dạng 6: Bài tập về khối tâm, trọng tâm của vật rắn, áp dụng biểu thức chia lực
Ví dụ 1: 1. Xác định trọng tâm của một bản mỏng đồng chất hình tròn bán kính R bị
khoét mất một lỗ hình vuông cạnh R/2 nh hình vẽ.
2. Xác định trọng tâm của bản mỏng đồng chất hình vuông cạnh 2a bị khoét một lỗ tròn
đờng kính a.
Bài làm
1. Gọi P
1
là trọng tâm của cả hình tròn lớn, P
2
là trọng tâm
của phần hình vuông bị khoét. Với hình lỗ rỗng bị khoét, ta
biểu diễn bằng véc tơ
2
P
hớng lên nh hình vẽ.
Do bản mỏng đồng chất, nên khối lợng và trọng lợng tỉ lệ với
diện tích, áp dụng công thức hợp của hai lực song song ta có:
1

2
2
1
2
1
d
d
S
S
P
P
==
1
1
2
2
4
4
d
R
d
R
R
+
=

1
1
4
4

d
R
d
+
=

4
4
11
R
dd
+=

4
)14(
1
R
d
=


416
1

=

R
d
Vậy trọng tâm nằm cách tâm của hình tròn một đoạn
416

1

=

R
d
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 15
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
2. Gọi P
1
là trọng tâm của cả hình vuông, P
2
là trọng tâm của
phần hình tròn bị khoét. Với hình lỗ rỗng bị khoét, ta biểu
diễn bằng véc tơ
2
P
hớng lên nh hình vẽ.
Do bản mỏng đồng chất, nên khối lợng và trọng lợng tỉ lệ với
diện tích, áp dụng công thức hợp của hai lực song song ta có:
1
2
2
1
2
1
d
d
S
S

P
P
==
1
1
2
2
4
16
d
a
d
a
a
+
=

1
1
4
16
d
a
d
+
=

a
4
16

11
a
dd

+=
4
)16(
1
a
d

=




464)16(
4
1

=

=
a
a
d
Ví dụ 2: Cho bản mỏng kim loại nh hình vẽ,
hãy xác định trọng tâm của bản mỏng. (Đơn vị
kích thớc ghi trên hình vẽ có đơn vị cm)
Bài làm

Ta có:
1
2
2
1
2
1
d
d
S
S
P
P
==
6,0
5
3
75.15
45.15
1
2
===
d
d
45
21
=+ dd

456,16,0
111

==+
ddd
)(125,28
6,1
45
1
cmd
==
Ví dụ 3: Cho bản mỏng kim loại nh hình vẽ, hãy xác định trọng tâm
của bản mỏng. (Đơn vị kích thớc ghi trên hình vẽ có đơn vị cm)
Bài làm
Tởng tợng chia hình vẽ trên thành 3 hình có trọng tâm lần lợt là O
1
;
O
2
; O
3
, gọi khối lợng trên 1 đơn vị diện tích bản mỏng là ta có:

)(455,10
10.3010.5010.30
25).10.30(5).10.50(5).10.30(
25.5.5.
321
321
cm
SSS
SSS
m

xm
x
i
ii
c
=
++
++
=
++
++
==




)(727,27
10.3010.5010.30
5).10.30(25).10.50(55).10.30(
5.25.55.
321
321
cm
SSS
SSS
m
ym
y
i
ii

c
=
++
++
=
++
++
==




Dạng 7: Điều kiện cân bằng của vật rắn, vật rắn chuyển động song phẳng
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 16
Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn
Ví dụ 1: Cho hệ chịu lực nh hình vẽ.
Thanh có chiều dài l=1,6m.
NPNPNPNP 40;20;220;10
4321
====
o
45
=

Tính các phản lực tại hai gối A và B?
Bài làm
l/4
l

l/4 l/ 8 l/8 l/4

Chọn chiều dơng ngợc chiều kim đồng hồ, lấy mô men lực đối với điểm A, ta có:
0)
44
()
444
(
48
.sin.
4
4321
=++++++=
ll
F
lll
P
l
P
l
P
l
PM
BA

08,0488,02,1.404,0.202,0.
2
2
.2204,0.10
=+=+++=
BBA
FFM

)(60 NF
B
=
Xét cân bằng lực theo phơng thẳng đứng:
3142
sin PPPPFF
BA
+=+++

)(30)60(40
2
2
.2202010cos
4231
NFPPPPF
BA
=+=+=

Ví dụ 2: Cho thang có chiều dài l đợc gác vào tờng nh hình vẽ. Hệ số
ma sát giữa thang với bức tờng thẳng đứng nhỏ không đáng kể. Hệ số
ma sát giữa thang với sàn nằm ngang là
à
. Thang đồng chất có
trọng lợng P.
1. Tìm điều kiện của góc giữa thang và mặt sàn nằm ngang để
thang đứng cân bằng.
2. Thang đang đứng cân bằng, góc hợp bởi thang và mặt sàn nằm
ngang là
1
. Một ngời có trọng lợng P' leo lên thang. Ngời đó leo tới

chiều dài thang lớn nhất là bao nhiêu thì thang bắt đầu bị trợt?
Bài làm
Các lực tác dụng lên thang đợc biểu diễn trên hình vẽ.
Điều kiện để vật không chuyển động tịnh tiến là:





=
=


0
0
F
F
Điều kiện để vật không quay là:

=
0M
1. Chiếu các lực lên trục toạ độ, ta có:
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 17


Phân loại và phơng pháp giải nhanh bài tập vật lý Chơng I: Cơ học vật rắn

=
=+=
=+=



0
0
0
1
2
M
PNF
NFF
Y
msX








=+=
=
=

0)sin()cos
2
.(
0
0
2
1
2

lN
l
PM
PN
NF
A
ms








=
=
=
)sin()cos
2

.(
2
1
2

lN
l
P
PN
NF
ms










====
=
==
àà

àà
2
1
22

2/
22
1
21
P
P
N
P
lN
Pl
tg
PN
NPN
Vậy điều kiện thanh không trợt là
à

2
1
arctg

2. Giả sử ngời đó leo đến điểm cách chân thang một đoạn
'l
thì thang bắt đầu trợt. Chiếu
các lực tác dụng lên trục toạ độ, ta có:

=
=++=
=+=



0
0'
0
1
2
M
PPNF
NFF
Y
msX








=+=
=
=

0)sin()cos''.()cos
2
.(
0'
0
2
1
2

lNlP
l
PM
PPN
NF
A
ms








=+=
+=
=

0)sin()cos''.()cos
2

.(
'
2
1
2

lNlP
l
PM
PPN
NF
A
ms









+
=
+=
=+==

à
àà
cos'

cos5,0)sin)('(
'
'
)'(
1
21
P
PllPP
l
PPN
NPPNF
ms
Th.S Lê Văn Thành-Email: ĐT:04.33.52.86.81-0989.345.975 Trang 18