TỔNG hợp bài tập TOÁN lớp 9

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
A. Lý thuyết
1. Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức và viết dạng
tổng quát.
A.(B+C) = AB+ AC
( A+B).(C+ D) = AC+ AD+ BC+BD
2. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
1. (A+B)
2
= A
2
+2AB +B
2
2. (A-B)
2
=A
2
-2AB +B
2
3. A
2
- B
2
=( A-B)(A+B)
4. (A+B)
3
=A
3
+3A
2
B+3AB

2
+B
3
5. (A-B)
3
=A
3
-3A
2
B+3AB
2
-B
3
6. A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
-AB+B
2
) 7. A
3
-B
3
=(A-B)(A
2
+AB+B
2
)

3. Phân tích đa thức thành nhân tử
- Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ -
Nhóm các hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp - Thêm, bớt cùng 1 hạng tử
- Tách hạng tử
- Đặt biến phụ - Nhẩm nghiệm của đa thức
4. - Khi nào đơn thức A chia hết cho đơn thức B?
Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ
không lớn hơn số mũ của nó trong A.
- Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm như thế nào?
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:
• Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
• Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến đó trong B.
• Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
5. - Khi nào đa thức chia hết cho đơn thức?
Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu các hạng tử của A đều chia hết cho B.
- Muốn chia đa thức cho đơn thức ta làm như thế nào?
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi
hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
• Chú ý: Trong trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, ta thường
phân tích A trước để rút gọn cho nhanh.
6. Nêu cách chia hai đa thức 1 biến đã sắp xếp?
- Phương pháp:
Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B
của một biến, B ≠ 0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho: A = B . Q + R
(với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1)
- Nếu R = 0, ta được phép chia hết.
- Nếu R ≠ 0, ta được phép chia có dư.
• Chú ý:
• Định lí Bơdu: Cho đa thức bậc n của ẩn x: ,

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất (x- a) bằng giá trị của
đa thức f(x) tại x =a.
• Hệ quả: f(x) chia hết cho (x- a), nghĩa là (f(x) tại a, với a là nghiệm của đa
thức f(x)).
• Trong đa thức , . Với là các số nguyên thì nghiệm hữu tỉ nếu có, khi đó nó
phải có dạng , trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số
của hạng tử cao nhất .
• Trong trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, ta thường phân
tích A trước để rút gọn cho nhanh.
B. Bài tập
Bài 1: Làm tính nhân:
a) 2x. (x
2
- 7x -3) b) (2x
2
- xy + y
2
)(-3x
3
) c) ( 2x
3
-
3x -1) (5x +2)
d) ( 25x
2
+ 10xy + 4y
2
)(5x – 2y) e) (5x
3
– x

2
+2x–3)(4x
2
– x+ 2)
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) ( 2x + 3y )
2
b) ( 5x – y)
2
c)
d)
e) (2x + y
2
)
3
f) ( 3x
2
– 2y)
3
g)
h) ( x+4) ( x
2
– 4x + 16)
k) ( x-3y)(x
2
+ 3xy + 9y
2
) l)
Bài 3: Tính nhanh (không dùng máy tính):
a) 2004

2
-16; b) 892
2
+ 892.216 + 108
2
c) 10,2.9,8
– 9,8 .0,2 + 10,2
2
–10,2.0,2
d) 36
2
+ 26
2
– 52.36 e) 99
3
+ 1 + 3(99
2
+ 99) f) 37.43
g) 20,03.45 + 20,03.47 + 20,03.8
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phân tích triệt để):
a) x
3
- 2x
2
+ x b) x
2
– 2x – 15 c) 5x
2
y
3

– 25x
3
y
4
+ 10x
3
y
3

d) 12x
2
y – 18xy
2
– 30y
2
e) 5(x-y) – y.( x – y) f) y .( x – z) + 7(z-x) g) 27x
2
( y- 1) – 9x
3
( 1
– y) h) 36 – 12x + x
2
i) 4x
2
+ 12x + 9 k) x
4
-

y
4

l) xy + xz + 3y + 3z
m) xy – xz + z - y n) 11x + 11y – x
2
– xy
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phân tích triệt để):


Bài 6: Chứng minh rằng: x
2
– x + 1 > 0 với mọi số thực x?
Bài 7: Làm tính chia: ( x
4
– 2x
3
+ 2x – 1): ( x
2
– 1)
Bài 8:
• Tìm giá trị của m để f(x) = x
2
– ( m +1)x + 4 chia hết cho g(x) = x -1 .
• Tìm a để đa thức f(x) = x
4
– 5x
2
+ a chia hết cho đa thức g(x) = x
2
– 3x + 2
( Gợi ý: Cách 1: Đặt tính , sau đó cho dư bằng 0
Cách 2: Sử dụng định lí Bơ - du: Nghiệm của đa thức g(x) cũng là

nghiệm của đa thức f(x))
Bài 9: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, biết:
a) A= (2x + 5)- 30x(2x+ 5) - 8x
b) B = (3x + 1)
2
+ 12x – (3x + 5)
2
+ 2(6x + 3)
Bài 10: Tìm x, biết
a) 7x
2
– 28 = 0 b)
c) d) 9(3x - 2) = x(2 - 3x)
e) g) (2x – 1)
2
– (2x + 5)(2x –5) = 18
h) 5x(x – 3) – 2x + 6 = 0 i)
k) x
2
– 5 = 0 l)
m)

Tø gi¸c
Nhắc lại kiến thức lớp 6, 7:
• Đường trung tuyến của một tam giác : là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác
tới trung điểm của cạnh đối diện.
• Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến: mỗi trung tuyến đều chạy từ mỗi đỉnh của
tam giác tới các cạnh đối diện.
• Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi đường trung tuyến của tam giác chia
đôi các góc ở đỉnh.

• Ba đường trung tuyến cắt nhau tai một điểm (còn gọi là đồng quy), điểm này gọi
là Trọng tâm của tam giác.
• Độ dài đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm bằng hai phần ba độ dài đường trung
tuyến tương ứng.
• Đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện
tích bằng nhau.
• Đường cao của tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến
đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao.
• Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao. Độ dài của đường cao là
khoảng cách giữa đỉnh và đáy.
• Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm này gọi là trực tâm.
• Trong một tam giác cân đường cao xuất phát từ đỉnh cũng chính là đường trung
tuyến.
• Độ dài đường cao được sử dụng để tính diện tích của một tam giác: diện tích tam
giác bằng nửa tích đường cao nhân với đáy.
Khong cỏch t mt nh ti trc tõm ca mt tam giỏc bng hai ln khong cỏch
t tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ú n cnh ni hai nh cũn li.
Trc tõm ca tam giỏc vuụng trựng vi nh ca
gúc vuụng.
ng trung trc: ng trung trc ca on thng l ng thng vuụng gúc on
thng ti trung im ca on thng ú (BC l ng trung trc ca AK).
im nm trờn ng trung trc ca on thng thỡ cỏch u hai u mỳt ca
on thng ú (CA = CK, BA = BK)
im cỏch u hai u mỳt ca on thng thỡ nm trờn ng trung trc ca
on thng ú.
ng trung trc ca cnh ca tam giỏc l ng trung
trc ca tam giỏc.
Trong tam giỏc cú ba ng trung trc. Ba ng trung trc ca tam giỏc cựng i
qua mt im. im ú cỏch u ba nh ca tam giỏc v l tõm ng trũn ngoi
tip tam giỏc.

Trong tam giỏc vuụng, tõm ng trũn ngoi tip l trung im ca cnh huyn.
Trong tam giỏc cõn, ng trung trc ca cnh ỏy ng thi l ng trung
tuyn, ng cao xu phỏt t nh tng ng vi cnh ny.
ng phõn giỏc: ca mt gúc chia gúc ú thnh
hai gúc cú ln bng nhau.
Bt k gúc no cng ch cú duy nht mt ng phõn giỏc.
Mi im trờn mt ng phõn giỏc cỏch u hai ng thng hp thnh gúc m
nú chia ụi tc l im nm trờn tia phõn giỏc ca gúc thỡ cỏch u hai cnh ca
gúc ú.
ng phõn giỏc trong ca mt gúc l ng thng chia gúc ú thnh hai gúc
bng nhau.
ng phõn giỏc ngoi ca mt gúc l ng thng chia gúc k bự ca gúc ú
thnh hai gúc bng nhau.
im nm bờn trong mt gúc v cỏch u hai cnh ca gúc thỡ im nm trờn tia
phõn giỏc ca gúc ú.
Tia phõn giỏc ca gúc ca tam giỏc gi l ng phõn giỏc ca gúc ú.
Trong tam giỏc cú ba ng phõn giỏc. Ba ng phõn giỏc ca tam giỏc cựng
nhau ti mt im. im ú cỏch u ba cnh ca tam giỏc v chớnh l tõm ca
ng trũn ni tip tam giỏc ú.
Trong tam giỏc cõn, ng phõn giỏc xut phỏt t nh ng thi l ng trung
tuyn, ng cao, ng trung trc tng ng vi cnh ỏy.
Trong tam giỏc u: 4 ng: trung tuyn, ng cao, trung trc, phõn giỏc trựng
nhau.
Kin thc lp 8
1. Phát biểu định nghĩa tứ giác lồi. Tính chất của tứ giác .
nh ngha: T giỏc li l t giỏc luụn nm trong mt na mt phng cú b l
ng thng cha bt kỡ cnh no ca t giỏc.
• Tính chất: Tổng 4 góc của một tứ giác bằng .
2. Nªu ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt, dÊu hiÖu nhËn biÕt: h×nh thang, h×nh thang c©n, h×nh
b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng.

Định nghĩa Tính chất Dấu hiệu nhận biết
Hình thang Hình thang là tứ giác
có 2 cạnh đối song
song.
• Hai cạnh song
song gọi là 2 đáy.
• Hai cạnh còn lại
gọi là 2 cạnh bên.
• Nếu 1 Hình thang có hai
cạnh bên song song thì hai
cạnh bên đó bằng nhau và
hai cạnh đáy cũng bằng
nhau.
• Nếu 1 Hình thang có hai
cạnh đáy bằng nhau thì hai
cạnh bên song song và bằng
nhau.
Tứ giác có 2 cạnh đối song
song là hình thang.
Hình thang vuông Hình thang vuông là
hình thang có 1 cạnh
bên vuông góc với hai
đáy.
Hình thang có 1 góc vuông là
hình thang vuông.
Hình thang cân Hình thang cân là
hình thang có 2 góc
kề một đáy bằng
nhau.
• Trong hình thang cân, 2

cạnh bên bằng nhau.
• Trong hình thang cân, 2
đường chéo bằng nhau.
• Hình thang có 2 góc kề một
đáy bằng nhau là hình
thang cân.
• Hình thang có 2 đường
chéo bằng nhau là hình
thang cân.
Hình bình hành Hình bình hành là tứ
giác có các cạnh đối
song song.
• HBH là hình thang có 2
cạnh bên song song.
• Trong HBH:
• Các cạnh đối bằng nhau.
• Các góc đối bằng nhau.
• 2 đường chéo cắt nhau tại
trung điểm của mỗi
đường.
• Tứ giác có các cạnh đối
song song là HBH.
• Tứ giác có các cạnh đối
bằng nhau là HBH.
• Tứ giác có 2 cạnh đối song
song và bằng nhau là HBH.
• Tứ giác có các góc đối
bằng nhau là HBH.
• Tứ giác có 2 đường chéo
cắt nhau tại trung điểm của

mỗi đường là HBH.
• Hình thang có 2 cạnh bên
song song là HBH.
Hình chữ nhật Hình chữ nhật là một
tứ giác có 4 góc
vuông.
• HCN cũng là 1 HBH,
cũng là 1 hình thang cân
nên nó có tất cả các tính
chất của HBH, của hình
thang cân.
• Tứ giác có 3 góc vuông là
HCN.
• Hình thang cân có 1 góc
vuông là HCN.
• Trong HCN, 2 đường chéo
bằng nhau và cắt nhau tại
trung điểm của mỗi
đường.
• HBH có 1 góc vuông là
HCN.
• HBH có 2 đường chéo
bằng nhau là HCN.
Hình thoi Hình thoi là tứ giác có
4 cạnh bằng nhau.
• Hình thoi cũng là 1 HBH
nên nó có tất cả các tính
chất của HBH.
• Trong hình thoi:
• 2 đường chéo vuông

góc với nhau.
• 2 đường chéo là các
đường phân giác của
các góc của hình thoi.
• Tứ giác có 4 cạnh bằng
nhau là hình thoi.
• HBH có 2 cạnh kề bằng
nhau là hình thoi.
• HBH có 2 đường chéo
vuông góc với nhau là hình
thoi.
• HBH có 1 đường chéo là
đường phân giác của một
góc là hình thoi.
Hình vuông Hình vuông là tứ giác
có 4 góc vuông và 4
cạnh bằng nhau.
• Hình vuông là HCN có 4
cạnh bằng nhau.
• Hình vuông là hình thoi
có 4 góc vuông.
• Hình vuông vừa là HCN,
vừa là hình thoi nên nó có
tất cả các tính chất của
HCN và hình thoi.
• HCN có 2 cạnh kề bằng
nhau là hình vuông.
• HCN có 2 đường chéo
vuông góc với nhau là hình
vuông.

• HCN có 1 đường chéo là
đường phân giác của 1 góc
là hình vuông.
• Hình thoi có 1 góc vuông là
hình vuông.
• Hình thoi có 2 đường chéo
bằng nhau là hình vuông.
• 1 tứ giác vừa là HCN, vừa
là hình thoi thì là hình
vuông.
• Đường trung bình của tam giác: là đoạn thẳng nối trung điểm 2
cạnh của tam giác.
• Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ 2
thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3.
• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy.
• Đường trung bình của hình thang: là đoạn thẳng nối trung điểm của 2 cạnh bên.
• Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh bên của hình thang và song song với 2
đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ 2.
• Đường trung bình của hình thang thì song song với 2 đáy và bằng nửa tổng 2 đáy.
• Các bước giải 1 bài toán dựng hình.
• B1: Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thỏa mãn tất cả yêu cầu của bài toán.
Căn cứ vào đó xét mối liên hệ giữa các bộ phận, các yếu tố của hình để định ra
nên dựng bộ phận hoặc yếu tố nào của hình trước sao cho từ đó có thể dựng được
hình cần dựng.
• B2: Cách dựng: Dựa vào bước phân tích ở trên, lần lượt nêu rõ các phép dựng
và thể hiện các phép dựng trên hình vẽ.
• B3: Chứng minh: Bằng lập luận, chứng tỏ rằng hình đã dựng thỏa mãn các yêu
cầu của bài toán.
• B4: Biện luận: Với điều kiện nào của giả thiết thì các phép dựng đã nêu ở trên
thực hiện được? Khi đó có bao nhiêu nghiệm hình (dựng được bao nhiêu hình)?

• Chú ý: Đối với HS lớp 8, chỉ yêu cầu HS trình bày 2 phần: Cách dựng và Chứng
minh.
• Đối xứng trục.
• 2 điểm đối xứng qua một đường thẳng: 2 điểm gọi là đối xứng
với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm
đó. Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với B qua đường thẳng
d cũng là điểm B.
• 2 hình đối xứng nhau qua 1 đường thẳng: 2 hình gọi là đối xứng với nhau qua
đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với 1 điểm thuộc hình
kia và ngược lại.
• Khi đó, đường thẳng d gọi là trục đối xứng của 2 hình đó.
• Nếu 2 đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua 1
đường thẳng thì chúng bằng nhau.
• Trục đối xứng của 1 hình: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình F nếu điểm
đối xứng qua d của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F.
• Hình thang cân nhận đường thẳng đi qua trung điểm 2 đáy làm trục đối xứng.
• Đối xứng tâm
• 2 điểm đối xứng qua một điểm: 2 điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O
là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm đó.
• Điểm O đối xứng với chính nó.
• Điểm O gọi là tâm đối xứng của 2 điểm A và
B.
• 2 hình đối xứng qua 1 điểm: 2 hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O, nếu mỗi
điểm thuộc hình này đối xứng qua O với 1 điểm thuộc hình kia và ngược lại.
• Điểm O gọi là tâm đối xứng của 2 hình đó.
• Nếu 2 đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua 1 điểm thì chúng
bằng nhau.
• Tâm đối xứng của 1 hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng
của hình F nếu điểm đối xứng qua O của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình
F.

• Giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình
hành đó.
• Đường trung tuyến trong tam giác vuông:
• Trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh
huyền.
• Nếu 1 tam giác có trung tuyến ứng với 1 cạnh và bằng nửa
cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
• Đường thẳng song song
• Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên
đường thẳng này đến đường thẳng kia.
• Các đường thẳng song song cách đều chắn trên 1
đường thẳng bất kì các đoạn thẳng liên tiếp bằng
nhau.
• Nếu đường thằng a //d và a cách d khoảng h thì
mọi điểm thuộc a đều cách d một khoảng bằng h.
• Các điểm có khoảng cách không đổi h đến đường
thẳng d cố định thì nằm trên 2 đường thẳng song song với d và cách d một khoảng
bằng h.
• Đa giác
• Đa giác lồi: là đa giác luôn nằm trong 1 nửa mặt phẳng mà bờ là
đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.
• Đa giác đều: là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
• Tổng số đo các góc của hình n- giác là:
• Số đo 1 góc của đa giác đều n cạnh là:
• Số đường chéo của hình n- giác là:
• Diện tích
• Diện tích HCN: bằng tích 2 kích thước của nó
• Diện tích Hình vuông: bằng bình phương cạnh của nó
• Diện tích Tam giác vuông: bằng nửa tích 2 cạnh của góc vuông
• Diện tích Tam giác bất kì: bằng nửa tích của 1 cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

• Diện tích Hình thang: bằng nửa tích của tổng 2 đáy với chiều cao:
• Diện tích Hình bình hành: bằng tích của 1 cạnh với
chiều cao tương ứng của nó
• Diện tích Hình thoi: bằng nửa tích 2 đường chéo
B. Bµi tËp
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AC, K là điểm
đối xứng của M qua I.
a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao?
b) Tứ giác AKMB là hình gì ? Vì sao?
c) Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME =MA. Chứng minh tứ giác
ABEC là hình thoi.
Bài 2: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua B
vẽ đường thẳng song song với AC;
qua C vẽ đường thẳng song song với BD, chúng cắt nhau tại I .
a) Chứng minh: OBIC là hình chữ nhật.
b) Chứng minh AB = OI.
c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBIC là hình vuông .
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 60
0
. Gọi E, F theo thứ tự là
trung điểm của BC, AD.
a) Chứng minh AE vuông góc với BF.
b) Tứ giác ECDF là hình gì ? Vì sao?
c) Tứ giác ABED là hình gì ? Vì sao?
d) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B . Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ
nhật.
e) Chứng minh M, E, D thẳng hàng.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của
BC và AD. Gọi P là giao điểm của
AM với BN, Q là giao điểm của MD với CN, K là giao điểm của tia BN với tia

CD
a) Chứng minh tứ giác MBKD là hình thang.
b) PMQN là hình gì? Vì sao?
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông.
Bài 5: Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AK. Gọi 3 ®iÓm D, E , F lần lượt là
trung điểm của AB, AC, BC.
• BDEF là hình gì? Vì sao?
• Chứng minh DEFK là hình thang.
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC. Gọi D
là điểm đối xứng của H qua M.
a) Chứng minh các tam gíac ABD, ACD vuông.
b) Gọi I là trung điểm AD. Chứng minh IA = IB = IC = ID.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 60
0
, kẻ tia Ax song song BC . Trên
tia Ax lấy điểm D sao cho AD=DC.
a) Tính các gãc DAC và góc BAD .
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
Bài 8. Cho ABC vuông tại A (AB < AC) , trung tuyến AM, đường cao AH. Trên tia đối
của tia MA lấy điểm D sao cho
MD = MA .
a) Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ?
b) Gọi I là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh: BC // ID.
c) Chứng minh: Tứ giác BIDC là hình thang cân.
Bài 9: Cho ABC cân tại A . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh đáy BC . Từ M kẻ
ME // AB ( EAC )
và MD // AC ( DAB ).
• Chứng minh ADME là Hình bình hành.
• Chứng minh MEC cân và MD + ME = AC
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD . Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của

AB và CD.
Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành .
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Lý thut
1. Nªu ®Þnh nghÜa ph©n thøc ®¹i sè? T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph©n thøc cã nghÜa?
Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và
• A được gọi là tử thức - B được gọi là mẫu thức
• Phân thức chỉ được xác định với điều kiện: mẫu thức khác 0.
• Đặc biệt: Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
2. Nªu ®Þnh nghÜa 2 ph©n thøc b»ng nhau?
Cho 2 phân thức và . Ta nói:
3. Nªu tÝnh chÊt c¬ b¶n cđa ph©n thøc. Nªu quy t¾c ®ỉi dÊu cđa ph©n thøc.
• Tính chất cơ bản của phân thức:
• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được
một phân thức bằng phân thức đã cho
• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho nhân tử chung của chúng thì được
một phân thức bằng phân thức đã cho.
Quy tc i du: Nu i du c t v mu ca phõn thc thỡ c mt phõn thc
bng phõn thc ó cho:
4. Nêu quy tắc cộng , trừ , nhân , chia các phân thức đại số.
Ph ộp cng:
Cng hai phõn thc cựng mu thc:
Cng hai phõn thc khỏc mu thc:
B1: Quy ng mu thc.
B2: Cng hai phõn thc cựng mu thc va tỡm c.
Phộp tr:
Phõn thc i ca kớ hiu bi:

Phộp nhõn:
Phộp chia:

Phõn thc nghch o ca phõn thc

B. Bài tập
Bài 1: Cho phân thức:
a) Tìm điều kiện của x để phân thức đã cho đợc xác định?
b) Rút gọn phân thức?
c) Tính giá trị của phân thức sau khi rút gọn với x=
Bài 2: Cho biểu thức sau:
a) Rút gọn biểu thức A?
b) Tính giá trị của A khi ?
Bài 3: Thực hiện phép tính:





Bài 4: Cho biểu thức:
Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức đợc xác định?
CMR: khi giá trị của biểu thức đợc xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị
của biến x?
Bài 5: Cho
Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định ?
Tính giá trị của A tại x = 20040 ?
Bài 6: Cho phân thức
Tìm giá trị của x để phân thức bằng 0?
Tìm x để giá trị của phân thức bằng 5/2?
Tìm x nguyên để phân thức có giá trị nguyên?
Bài 7: Biến đổi mỗi biểu thức sau thành 1 phân thức đại số:
b) c)

Bài 8: Chứng minh đẳng thức:
Bài 9: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện xác định của B ?
b) Tìm x để B = 0; B = .
c) Tìm x để B > 0; B < 0?

TAM GIC NG DNG
A. Lý thuyết
1) L Ta-let : (Thun & o)
;
BC// BC
2) H qu ca L Ta l ộ t:
3) Tớnh cht tia phõn giỏc ca tam giỏc:
AD l phõn giỏc =>
4 ) Tam giác đồng dạng:
A’B’C’ ABC
* ĐN:
* Tính chất:
+ ABC ABC
+ A’B’C’ ABC => ABC A’B’C’
+ A’B’C’ A”B”C”; A”B”C” ABC thì A’B’C’ ABC
* Định lí:
ABC ; AMN
MN // BC => AMN ABC

5) Các trường hợp đồng dạng:
a) Trường hợp c – c – c:
A’B’C’ ABC
b) Trường hợp c – g – c:
A’B’C’ ABC

c) Trường hợp g – g:
A’B’C’ ABC
6) Các trường hợp đ.dạng của tam giác vuông:
=> vuông A’B’C’vuông ABC
a) Một góc nhọn bằng nhau:
=> A’B’C’ABC

b) Hai cạnh góc vuông tỉ lệ:
=> vuông A’B’C’vuông ABC
c) Cạnh huyền - cạnh góc vuông tỉ lệ:
7) Tỉ số đường cao và tỉ số diện tích:
+ theo tỉ số k =>
+ theo tỉ số k =>
B. Bài tập
Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = 36cm ; AC = 48cm v ng cao AH.
a) Tớnh BC; AH
b) Chng minh HAB HCA
c) K phõn giỏc gúc B ct AC ti F . Tớnh BF.
Bi 2: Cho tam giỏc ABC cú AB = 15cm, AC = 21cm. Trờn cnh AB ly E sao cho AE =
7cm, trờn cnh AC ly im D
sao cho AD = 5cm.
a) Chng minh: ABD ACE
b) Gi I l giao im ca BD v CE. Chng minh rng: IB.ID = IC.IE
c) Tớnh t s din tớch t giỏc BCDE v din tớch tam giỏc ABC.
Bi 3: Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 12cm, BC = 9cm. Gi H l chõn ng vuụng
gúc k t A xung BD.
a) Chng minh HAD ng dng vi CDB.
b)Tớnh di AH.
c) Gi M; N; P ln lt l trung im ca BC; AH; DH . T giỏc BMPN l hỡnh
gỡ ? Vỡ sao ?

Bi 4: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD), bit AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm v
a) CMR: ABD BDC
b) Tớnh cnh BC; DC
c) Gi E l giao im ca AC v BD. Qua E k ng thng bt k ct AB; CD
ln lt ti M; N. Tớnh
Bi 5: Cho tam giỏc ABC; cú AB = 15cm; AC = 20cm; BC = 25cm.
a) Chng minh: ABC vuụng ti A
b) Trờn AC ly E tu ý , t E k EH BC ti H v K l giao im BA vi HE. cmr:
EA.EC = EH.EK
Bi 6: Cho ABC vuoõng taùi A, ủửụứng cao AH.
a) Cmr: HAB HCA
b) Cho AB = 15cm, AC = 20cm. Tớnh BC, AH
c) Gi M, N ln lt l trung im ca BH v AH. Cmr: CNAM
Bi 7: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = 1, AC = 3. Trờn cnh AC ly cỏc im D; E
sao cho AD = DE = EC.
a) Tớnh di BD.
b) Cmr: Cỏc tam giỏc BDE v CDB ng dng
c) Tớnh tng:
Bi 8: Cho ABC vuụng ti A, v ng cao AH v trờn tia HC xỏc nh im D sao cho
HD = HB . Gi E l hỡnh chiu
ca im C trờn ng thng AD.
a) Tớnh BH , bit AB = 30cm, AC = 40cm.
b) Chng minh AB . EC = AC . ED
c) Tớnh din tớch tam giỏc CDE.
Baứi 9: Cho hỡnh thang vuụng ABCD (). Cú AB = 6cm; CD = 16cm v AD = 20cm. Trờn
AD ly M
sao cho AM = 8cm.
a) Cmr: ABM DMC
b) Cmr: MBC vuụng ti M.
c) Tính diện tích tam giác MBC.

ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh
• PT 1 ẨN
1) PT một ẩn:
• Dạng tổng qt: P(x) = Q(x) , (với x là ẩn) (I)
• Nghiệm: x = a là nghiệm của (I) P(a) = Q(a)
• Số nghiệm số: Có 1; 2; 3 … vơ số nghiệm số và cũng có thể vơ nghiệm.
2) PT bậc nhất một ẩn:
• Dạng tổng qt: ax + b = 0 ()
• Nghiệm số: Có 1 nghiệm duy nhất x =
3) Hai quy tắc biến đổ i PT:
• Chuyển vế: Ta có thể chuyển 1 hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử
đó.
• Nhân hoặc chia cho một số: Ta có thể nhân (chia) cả 2 vế của PT cho cùng một số
khác 0.
4) Đ i ề u ki ệ n x á c đị nh ( Đ KX Đ ) c ủ a PT
• Nếu Q(x) là 1 đa thức thì ĐKXĐ là:
•
Nếu Q(x) là 1 phân thức thì Mẫu thức khác 0.
• BT1: Giải PT
a) (x – 6)(x + 1) = 2.(x + 1) b) x
3
– 6x
2
+ 9x = 0 c) (2x
2
+
1)(2x + 5) = (2x
2
+ 1)(x – 1)

5) PT chứa ẩn ở mẫu
* PP: - Tìm ĐKXĐ của PT
- Quy đồng và khử mẫu
- Giải PT vừa tìm được
- So sánh với ĐKXĐ để chọn nghiệm và trả lời.
• BT2: Giải PT
a) b)
c)

d)

• BPT BẬC NHẤT 1 ẨN
1) Liên hệ thứ tự: Với a; b; c là 3 số bất kỳ ta có
* Với phép cộng:
- Nếu a b thì a + c b + c - Nếu a < b thì a + c < b + c
* Với phép nhân:
- Nhân với số dương:
+ Nếu a b và c > 0 thì a . c b . c + Nếu a < b và c > 0 thì a . c < b . c
- Nhân với số âm:
+ Nếu a b và c < 0 thì a . c b . c + Nếu a < b và c < 0 thì a . c > b . c
2) BPT bật nhất một ẩn:
- Dạng TQ: ax + b < 0 ( hoặc ) với
3) Hai quy tắc biến đổ i BPT:
• Chuyển vế: Ta có thể chuyển 1 hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử
đó.
• Nhân hoặc chia cho một số: Khi nhân (chia) cả 2 vế của BPT cho cùng một số
khác 0, ta phải:
• Giữ ngun chịều BPT nếu số đó dương.
• Đổi chiều BPT nếu số đó âm.
4) Giải BPT

* PP: Sử dụng các phép biến đổi của BPT để đưa các hạng tử chứa ẩn về 1 vế , hệ số
về vế còn lại .
• BT3: Giải BPT và biểu diển tập hợp nghiệm trên trục số
a) 3 – 2x > 4 b) c) 4 + 2x < 5 d) (x – 3)
2
< x
2
– 3
e)
• Giải PT chứa dấu giá trò tuyệt đối
* VD: Giải các pt sau: (1)
* Nếu khi đó (1) 3x = x + 8 x = 4 > 0 (nhận)
* Nếu khi đó (1) -3x = x + 8 x = -2 < 0 (nhận)
Vậy x = 4 và x = -2 là nghiệm của PT.
• BT4: Giải PT a) b)
• BT5: Các bài tập đại số khác:
1) Tìm x biết: a); b) x
2
< 1;
2) Tìm x để phân thức: khơng âm .
3) Chứng minh rằng: 2x
2
+4x +3 > 0 với mọi x .
GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Giải toán bằng cách lập PT :
* PP:
- B1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn, đơn vò & ĐK cho ẩn.
+ Biểu thò số liệu chưa biết theo ẩn.
+ Lập PT biểu thò mối quan hệ các đòa lg.

- B2: Giải phương trình.
- B3: Chọn nghiệm thoả ĐK của ẩn và trả lời.
VD 1: Hiện nay, mẹ hơn con 30 tuổi, biết rằng 8 năm nữa thì tuổi mẹ sẽ gấp ba
lần tuổi con.
Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi ?
Phân tích:
Hiện nay 8 năm sau
Tuổi Con x
Tuổi Mẹ
Mối liên hệ
Giải:
Gọi x (tuổi) là tuổi của con hiện nay. (ĐK: x)
x + 30 (tuổi) là tuổi của mẹ hiện nay.
Và x + 8 (tuổi) là tuổi con 8 năm sau .
x + 38 (tuổi) làtuổi của mẹ 8 năm sau.
Theo đề bài ta có phương trình:
3(x + 8) = x + 38 3x + 24 = x + 38 2x = 14 x = 7 (thoả ĐK)
Vậy tuổi con hiện nay là 7 tuổi và tuổi mẹ là 37 tuổi .

VD 2: Lúc 6h sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1h, một ơtơ cũng
xuất phát từ A đến B với
vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy là 20km/h. Cả hai
xe đến B đồng thời vào lúc
9h30’ sáng cùng ngày. Tính độ dài qng đường AB.
• Phân tích:
Qng đường(km) = Vận tốc(Km/h) * Thời gian(h)
v (km/h) t(h) S(km)
Xe máy x .x
Ơtơ x + 20 (x + 20)
Mối liên hệ

Giải:
Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x > 20).
x + 20 (km/h) là vận tốc của ơtơ.
.x là qng
đườ
ng xe m
á
y
đ
i
đượ
c.
(x + 20) là qng
đườ
ng
ơ
t
ơ

đ
i
đượ
c.
Ta có hệ phương trình:
(thoả ĐK)
Vậy qng đường AB là: 50 = 175km
Bài tập
• Tuổi ông hiện nay gấp 7 lần tuổi cháu , biết rằng sau 10 năm nữûa thì tuổi ông chỉ
còn gấp 4 lần tuổi cháu . Tính tuổi mỗi người hiện nay.
• Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm một chữ số 4 vào cuối của số đó thì số

ấy tăng thêm 1219 đơn vò .
• Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình15km/h. Lúc về
người đó đi với vận tốc 12km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45
phút. Tính độ dài qng đường AB.
• Một canơ xi dòng từ bến A đến bến B mất 5 giờ và ngược dòng từ bến B về bến
A mất 6 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng
nước là 2km/h.
• Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Đến B người đó làm việc
trong một giờ rồi quay về A với vận tốc 24 km/h. Biết thời gian tổng cộng hết 5 giờ
30 phút. Tính qng đường AB.
• Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h . Sau khi
đi được qng đường bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h . Tính qng đường từ
nhà đến trường của bạn học sinh đó, biết rằng thời gian bạn ấy đi từ nhà đến
trường là 28 phút
• Hai thùng dầu A và B có tất cả 100 lít. Nếu chuyển từ thùng A qua thùng B 18 lít thì
số lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Tính số lượng dầu ở mỗi thùng lúc đầu.
• Có 15 quyển vở gồm hai loại: loại I giá 2000 đồng một quyển , loại II giá 1500
đồng một quyển. Số tiền mua 15 quyển vở là 26000 đồng. Hỏi có mấy quyển vở
mỗi loại ?