bài tập hình học lớp 11 nâng cao có lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (480.21 KB, 52 trang )
BÀI TẬP
HÌNH KHÔNG GIAN 11
Có lời giải
Trang
Bài 1.
Trong mặt phẳng (
α
) cho tứ giác
có các cặp cạnh đối không song song và điểm
α
∉
.
a. Xác định giao tuyến của
và
b. Xác định giao tuyến của và
c. Xác định giao tuyến của và
α
∩
•
∈
⊂
⇒
∈
•
∈
⊂
⇒
∈
⇒
!"#$#%
α
&'(()
∩
•
∈
⊂
⇒
∈
•
∈
⊂
⇒
∈
⇒
!"#$#%
!"#$%
2. Cho bốn điểm %%% không cùng thuộc một mặt phẳng .
Trên các đoạn thẳng %%
lần lượt lấy các điểm &%'%( sao cho &' không song
song với . Tìm giao tuyến của và &'(
•(
∈
⊂
⇒
(
∈
•(
∈
&'(
⇒(&'(
* )&'
∩
•)
∈
⊂
⇒
)
∈
•)
∈
&'&'
⊂
&'(
⇒
)
∈
&'(
⇒)&'(
!"#()$#%&'(
3. Cho tam giác và một điểm không thuộc mp , một điểm thuộc đoạn .
Một đường thẳng không song song với cắt các cạnh % theo thứ tự tại *%+.
Tìm giao tuyến của các cặp mp sau :
a. mp % và mp
b. mp % và mp
c. mp % và mp
,- %/
•
∈
⊂
⇒
∈
•
∈
%
⇒*%
&'(()
∩
•
∈
⊂
⇒
∈
Trang +
k
S
I
D
O
B
C
A
J
C
B
E
N
D
P
M
A
L
A
B
J
C
K
O
I
S
•
∈
%
⇒*%
!"#$#%*%
,- %/ *
,- %/
+*%
* 0
∩
•
0
∈
⊂
⇒
0
∈
•
0
∈
⊂
%
⇒
0
∈
%
⇒0*%
!"#+0$#%*%
4. Cho bốn điểm %%% không cùng nằm trong một mp
a. Chứng minh và chéo nhau
b. Trên các đoạn thẳng và lần lượt lấy các điểm
&%' sao cho đường thẳng &' cắt đường
thẳng tại . Hỏi điểm thuộc những mp nào .
Xđ giao tuyến của hai mp &' và
1-23
(,&'-
*
α
.
⇒%%%/$*
α
0$1$#%$
!"#-
45-67 3
•
∈
&'&'
⊂
⇒
∈
•
∈
&'&'
⊂
&'
⇒
∈
&'
•
∈
⊂
⇒
∈
2$#%*&'8
5. Cho tam giác nằm trong mp ( và là mộtđường thẳng nằm trong mp ( và không
song song với và . là một điểm ở ngoài mặt phẳng ( và 9 là một điểm thuộc .
Xđ giao tuyến của các cặp mp sau
a. mp 9%
b. mp 9%
c. mp 9%
9%
•
9
∈
⊂
⇒
9
∈
•
9
∈
9%
⇒99%
($&'(()
)
∩
•
)
∈
⊂
⇒
)
∈
•
)
∈
9%
⇒)9%
!"#9)$#%9%
9%
•
9
∈
⊂
⇒
9
∈
•
9
∈
9%
⇒99%
($&'(()
:
∩
Trang 3
M
I
C
B
D
N
A
F
a
P
E
B
C
N
M
A
A
'
S
•
:
∈
⊂
⇒
:
∈
•
)
∈
9%
⇒:9%
!"#9:$#%9%
9%
&
∩
9)
•
&
∈
⊂
⇒
&
∈
•
&
∈
9)9)
⊂
9%
⇒
&
∈
9%
⇒&*9%
'
∩
9:
•
'
∈
⊂
⇒
'
∈
•
'
∈
9:9:
⊂
9%
⇒
'
∈
9%
⇒'*9%
!"#&'$#%9%
6. Cho tứ diện , & là một điểm bên trong tam giác %' là một điểm bên trong tam
giác . Tìm giao tuyến của các cặp mp sau
a. &'
b. &'
,-&'
% )&
∩
•
)
∈
&&
⊂
&'
⇒
)
∈
&'
•
)
∈
⊂
⇒
)
∈
⇒)*&'
:'
∩
•
:
∈
''
⊂
&'
⇒
:
∈
&'
•
:
∈
⊂
⇒
:
∈
⇒:*&'
!"#):$#%*&'
,-&'
(&
∩
•
(
∈
&&
⊂
&'
⇒
(
∈
&'
•
(
∈
⊂
⇒
(
∈
⇒(*&'
;'
∩
•
;
∈
''
⊂
&'
⇒
;
∈
&'
•
;
∈
⊂
⇒
;
∈
⇒;*&'
!"#(;$#%*&'
Dạng 224567$89$*8
α
Phương pháp •:67$8/$9$*8
α
•$9$*8
α
Chú ý : ;67$8<$67$#%*α*β⊃
Trang =
B
C
E
D
F
N
M
Q
P
A
b
a
A
β
α
> *β.67$8($#%
*α*β?@45$#%&'(()67$8
Bài tập :
1. Trong mp (α) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (α) . Trên cạnh AB lấy một điểm P
và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (α)
,-5-!<=&'/->.=(
? ABC∩DE
•A∈CC⊂C⇒A∈C
•A∈DE
!"#ABDE∩C
@ • **F⊃DE
•∩CBC
• ABDE∩C
A∈DE
A∈CC⊂C
!"#ABDE∩C
,-5-!<=&'/
α
?DE&'(()
B∩DE
•∈⊂α⇒∈α
•∈DE
!"#BDE∩α
@ • **F⊃DE
•∩αB
•DE&'(()
BDE∩
∈⊂α⇒∈α
∈DE
!"#BDE∩α
2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ).
Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C .
Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM )
• **F⊃
•:$#%*D
−D
−:$.D
GB∩
HBD∩G
H∈GG⊂⇒H∈
H∈DD⊂D⇒H∈D
⇒ HD
⇒∩DBH
• EB∩H
E∈HH⊂D⇒E∈D
E∈
Trang I
A
M
D
B
P
E
C
N
S
α
M
A
D
O
C
B
S
K
N
!"#EB∩D
3. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn AB lấy một điểm M ,
Trên đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) .
a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)
b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
,-5-!<='/->.=
• **F⊃E
•:$#%
CB∩
⇒∩ BC
• JBE∩C
J∈E
J∈CC⊂⇒J∈
!"#JBE∩
,-5-!<=&'/->.=
• **FD⊃DE
•:$#%D
KBD∩
⇒∩BK
• D LBDE∩K
L∈DE
L∈KK⊂⇒L∈
!"#LBDE∩
4. Cho một mặt phẳng (α) và một đường thẳng m cắt mặt phẳng (α) tại C . Trên m ta lấy hai điểm
A, B và một điểm S trong không gian . Biết giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (α)
là điểm A’ . Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng (α)
• **FM⊃
•:$#%Mα
M∩αBM
• M MB∩M
M∈⊂M⇒M∈M
M∈MM⊂α⇒M∈α
!"#MB∩α
5. Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm
của SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS.
Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK )
• **F⊃
•:$#%JNH
JH&'(()
AMB∩JH
⇒∩JNHBNAM
• AB∩NAM
A∈⊂⇒A∈
A∈NAMNAM⊂JNH⇒A∈JNH
!"#AB∩JNH
6. Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA ,
Trang O
Q
A
C
P
D
N
I
B
M
S
E
E'
K
A
C
B
H
I
S
A
B
S
m
C
B'
A'
α
E là điểm trên SB và F là điểm trên AC ( DE và AB
không song song ) .
a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC )
b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF )
c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF )
):
P9$*8AP
&'(()A
DB∩A
•D∈⊂⇒D∈
•D∈AA⊂AP⇒D∈AP
⇒D9$*8AP
!"#PD$#%9$*8AP
,-5-/->.=):
• **F⊃
•:$#%AP
∩APBPD ,?
• EBPD∩
E∈
E∈PDPD⊂AP⇒E∈AP
!"#EB∩AP
,-5-/->.=):
• **F⊃
•:$#%AP
AAP
ο
E∈⊂⇒E∈
ο
E∈PDPD⊂AP⇒E∈AP
⇒EAP
∩APBAE
• HBAE∩
H∈
H∈AEAE⊂AP⇒H∈AP ,@
!"#HB∩AP
7. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi O là giao điểm của AC và BD . M, N, P lần lượt là các điểm trên
SA, SB ,SD.
a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP )
b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP )
,-5-/->.=&'(
• **F⊃G
•:$#%DEC
E∈DEDE⊂DEC⇒E∈DEC
E∈ ⊂⇒E∈
⇒EDEC
C∈DCDE⊂DEC⇒C∈DEC
C∈ ⊂⇒C∈
⇒CDEC
⇒DEC∩BEC
• JBG∩EC
Trang Q
N
K
A
M
E
D
F
C
B
S
I
Q
P
N
M
O
D
C
B
A
S
N
M
F
E
K
D
C
B
A
S
J∈G
J∈ECEC⊂DEC⇒J∈DEC
!"#JBG∩DEC
,-5-;/->.=&'(
• **F⊃
•:$#%DEC
D∈DEDE⊂DEC⇒D∈DEC
D∈⊂⇒D∈
⇒DDEC
J∈DJDJ⊂DEC⇒J∈DEC
J∈G G⊂⇒J∈
⇒JDEC
⇒∩BDJ
• KB∩DJ
K∈
K∈DJDJ⊂DEC⇒K∈DEC
!"#KB∩DEC
8. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là
trung điểm AC và BC . K là điểm trên BD và
không trùng với trung điểm BD .
a. Tìm giao điểm của CD và (MNK )
b. Tìm giao điểm của AD và (MNK )
,-5-&'+3
• **F⊃
•:$#%DEH
E∈DEH
E∈ ⊂⇒E∈
⇒EDEH
H∈DEH
H∈ ⊂⇒H∈
⇒HDEH
⇒∩DEHBEH
• JB∩EH
J∈
J∈EHEH⊂DEH⇒J∈DEH
!"#JB∩DEH
,-5-&'+
• **F⊃
•:$#%DEH
D∈DEH
D∈⊂⇒D∈
⇒DDEH
J∈EHEH⊂DEH⇒J∈DEH
J∈ ⊂⇒J∈
⇒JDEH
⇒∩DEHBDJ
• LB∩DJ
L∈
L∈DJDJ⊂DEH⇒L∈DEH
Trang R
J
I
B
D
C
N
K
M
A
!"#LB∩DEH
9. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD . O là điểm bên trong tamgiác BCD.
Tìm giao điểm của :
a. MN và (ABO )
b. AO và (BMN )
,-5-&'3
• **F⊃DE
•:$#%G
G
CBG∩
C∈GG⊂G⇒C∈G
C∈ ⊂⇒C∈
⇒CG
⇒∩GBC
• KBC∩DE
K∈DE
K∈CC⊂G⇒K∈G
!"#KBDE∩G
,-5-&'3
• *C⊃G
•:$#%CDE
CDE
K∈DE DE⊂DE⇒K∈DE
K∈C C⊂C⇒K∈C
⇒KCDE
⇒C∩DEBK
• C JBK∩G
J∈G
J∈KK⊂DE⇒J∈DE
!"#JBG∩DE
10. Trong mp (α) cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm trên SA, AB,
BC ( K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của :
a. IK và (SBD)
b. SD và (IJK )
c. SC và (IJK )
,-5- +
• **FH⊃JH
•:$#%H
H
CBH∩
C∈HH⊂H⇒C∈H
C∈ ⊂⇒C∈
⇒CH
⇒H∩BC
• H KBJH∩C
K∈JH
K∈CC⊂⇒K∈
!"#KBJH∩
Trang S
O
Q
P
N
M
I
C
D
B
A
N
F
M
Q
P
K
J
I
C
B
D
A
S
,-5- *+
• **F⊃
•:$#%JLH
KJLH
DBLH∩
D∈LHLH⊂JLH⇒D∈JLH
D∈ ⊂⇒D∈
⇒DJLH
⇒JLH∩BKD
• EBKD∩
E∈
E∈KDKD⊂JLH⇒E∈JLH
!"#EB∩JLH
,-5-*+3
• **F⊃
•:$#%JLH
JJLH
AB∩LH
A∈LHLH⊂JLH⇒A∈JLH
A∈⊂⇒A∈
⇒AJLH
⇒ JLH∩BJA
• PBJA∩
P∈
P∈JAJA⊂JLH⇒P∈JLH
!"#PB∩JLH
11.Cho tứ diện ABCD . Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD.
Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD.
a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD )
b. Tìm giao điểm của BC với (OMN)
c. Tìm giao điểm của BD với (OMN)
,-&'3
GGDE
DE&'((
JBDE∩
⇒JGDE
!"#GJBGDE∩
,-5-/&'
CB∩GJ
!"#CB∩GDE
,-5-/&'
KB∩GJ
!"#KB∩GDE
12.Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC)
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
Trang T
P
I
Q
O
M
D
N
C
B
A
,-5-!<=&'/->.=
• **FDE⊃DE
•:$#%DE
DE
DMBD∩
EMBE∩
JBDMEM∩
J∈DMEMDMEM⊂DE⇒J∈DE
J∈⊂⇒J∈
⇒JDE
⇒ DE∩BJ
• DE GBDE∩J
G∈DE
G∈JJ⊂⇒G∈
!"#GBDE∩
,-5-A/->.=&'
• **F⊃
•:$#%DE
∩DEBG
• ABG∩
A∈
A∈GG⊂DE⇒A∈DE
!"#AB∩DE
Dạng 3.<$8
Phương pháp • .<U$V**0<W$
• H<$V67$8$#%*
Trang
M
N
B
C
N'
E
D
M'
I
O
A
S
Bài tập
1. Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N lần lượt là trung điểm của
đoạn AB và SC .
a. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD)
b. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)
c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng
5-'
∩
• **F⊃E
•:$#%
⇒ ∩BG
• JBE∩G
J∈E
J∈GG⊂⇒J∈
!"#JBE∩
5-*&'
∩
• **FD⊃DE
•:$#%D
D
ABD∩
⇒ ∩BA
• D LBDE∩A
L∈DE
L∈AA⊂⇒L∈
!"#LBDE∩
1-%*%=
E
•J∈GG⊂⇒J∈
•J∈EE⊂E⇒J∈E
⇒JE
•L∈AA⊂⇒L∈
•L∈DEDE⊂E⇒L∈E
⇒LE
!"#JL$8
2. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và
OJ cắt SC tại M .
a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC)
b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)
c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
,-5-+*
∩
• **FJ⊃JL
•:$#%J
J
AB∩J
⇒ J ∩BA
• J HBJL∩A
H∈JL
Trang +
I
J
E
A
B
C
M
N
D
S
O
M
K
F
E
L
A
D
C
B
O
J
I
S
J
E
I
O
S
C
N
M
B
A
D
H∈AA⊂⇒H∈
!"#HBJL∩
5-0*
∩
• **F⊃L
•:$#%
PB∩
⇒ ∩BP
• XBL∩P
X∈L
X∈PP⊂⇒X∈
!"#XBL∩
1-%+%0%&=
LG
•H∈JLJL⊂LG⇒H∈LG
•H∈AA⊂⇒H∈
⇒HLG
•X∈LL⊂LG⇒X∈LG
•X∈PP⊂⇒X∈
⇒XLG
•D∈LGLG⊂LG⇒D∈LG
•D∈⊂⇒D∈
⇒DLG
!"#HXD$8
3. Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC.
a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
b. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) và J = SC ∩ ( LMN)
c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng
,- 0&'
EXDE
XD&'(()
HB∩XD
H∈XDXD⊂XDE⇒H∈XDE
H∈⊂⇒H∈
,-5-
∩
0&'
• **F⊃
•:$#%XDE
⇒ ∩XDEBEH
• JBEH∩
J∈
J∈EHEH⊂XDE⇒J∈XDE
!"#JB∩XDE
,-5-*
∩
0&'
• XE&'(()
LBXE∩
L∈
L∈XEXE⊂XDE⇒L∈XDE
!"#LB∩XDE
Trang 3
K
J
I
S
C
M
L
N
B
A
1-&%%*=
DJLXDE
!"#DJL$8
4. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD.
a. Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC)
b. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC)
c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng
,-5-'
∩
• **F⊃E
•:$#%
GB∩
⇒ ∩BG
• JBE∩G
J∈E
J∈GG⊂⇒J∈
!"#JBE∩
,-5-*&'
∩
• **FD⊃DE
•:$#%D
HB∩D
⇒ D ∩BH
• D LBDE∩H
L∈DE
L∈HH⊂⇒L∈
!"#LBDE∩
1-%%*=
JLE
!"#JL$8
Dạng 4:$%$?W:*9$*8α
Chú ý D9$*8α$YZ$V$([9$:*
Cách 1245$%$?W</4&-?4$#%
Trang =
R
H
S
A
O
J
N
M
D
C
B
Q
I
P
K
O
J
K
I
M
N
A
D
C
B
S
Bài tập
1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O .
Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO .
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI)
LB∩DE
HBDE∩
NBDE∩
KBJL∩
\BHK∩
CBKN∩
!"#$%$?W]4DECK\
2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt
là trung điểm lấy trên AB , AD và SC .
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
ABDE∩
PBDE∩
KBAC∩
\BPC∩
!"#$%$?W]4DECK\
3. Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên đường thẳng CD
lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Tìm thiết diện của tứ diện với mp (HKM ).
Xét 2 .trường hợp :
a. M ở giữa C và D
b. M ở ngoài đoạn CD
&B73
NHHD^$#%NHD)
XBHD∩
EB∩NX
!"#$%$?W$.4NHDE
&BA
XBHD∩
!"#$%$?W$4NHX
4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm lấy trên
AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
KBAE∩
Trang I
M
L
N
B
C
D
A
K
H
M
L
H
K
A
D
C
B
N
Q
F
R
E
B
C
D
M
P
A
S
R
P
Q
N
A
E
D
C
F
B
M
S
CBAD∩
PBDE∩
\BPK∩
!"#$%$?W]4DEK\C
Cách 2245$%$?W</4_$#%*F
Bài tập
5. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và BC không
song song .
a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC)
b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
3
JB∩
!"#JB
∩
CD->.=&'/,E.
LBDE∩J
HB∩L
!"#$%$?W$.4DEH
6. Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M
trong tam giác SCD lấy một điểm N.
a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC)
b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
,-5-!<=&'/->.=
• **FDE⊃DE
•:$#%DE
DE
DMBD∩
EMBE∩
JBDMEM∩
J∈DMEMDMEM⊂DE⇒J∈DE
J∈⊂⇒J∈
⇒JDE
⇒ DE∩BJ
• DE GBDE∩J
G∈DE
G∈JJ⊂⇒G∈
!"#GBDE∩
,-5-A/->.=&'
• **F⊃
•:$#%DE
∩DEBG
• ABG∩
A∈
A∈GG⊂DE⇒A∈DE
Trang O
P
S
A
O
I
M'
D
E
N'
C
B
N
M
Q
I
J
K
M
N
A
D
C
B
S
!"#AB∩DE
,-CD->.=&'/,E.
CBAD∩
KBAE∩
!"#$%$?W$.4CAK
7. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm
lấy trên các cạnh SA, SB, SC . Tìm thiết diện của
hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’)
GB∩
GMBMM∩G
MBMGM∩
$67`*
•E%M$V^$:$%$?W$.4MMMM
•E%M$V&'^$:
AB∩MM
PB∩MM
⇒$%$?W$.4MMMAP
§1 .HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Dạng 5.67$8<((
Trang Q
C'
O'
C
D'
A'
B'
O
D
B
A
S
S
O'
B
A
C
D'
E
F
D
A'
B'
O
C'
FCG-6HI
• .<a*8&'
• .<*0<W$U(()67$8$.<
• .<a*84*?F4$bc$: *8^[:
<:5d$e$f
• ,?F45d
• .</*.
Bài tập
1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung
điểm các cạnh SA , SB , SC , SD .
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
1-99998,,
$4$MM
gg
+
$4$MM
gg
+
D9$&4
gg
⇒ MM
gg
MM
!"#MMMM:<:
,-CD99&/,E.
hhMM DMMD
$#%MMDD@((MM
EBD@∩
!"# $%$?W:$MMDE
2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD).
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
a. Chứng minh : MN hh CD
b. Tìm P = SC ∩ (ADN)
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I .
Chứng minh : SI hh AB hh CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
1-3&'JJ3
$4$DEJJ
DJJ:$
!"#DEhh
,-(
∩
'
• **F⊃
•:$#%E
EE
AB∩
⇒∩EBEA
• CB∩EA
!"#CB∩E
1-3KKKK 18,,L
Trang R
N
M
S
A
B
D
C
A'
B'
C'
D'
I
E
S
B
C
M
N
P
D
A
gggg
gg
J
⇒
⊂
⊂
∩=
$e5b+
2-$∆J$JggDE:U((
D$
⇒J
gg
+DE
D
gg
+iDE
J
gg
!"#$.4J:<:
3. Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD.
Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD
A$
∈
∈
)*
)
⇒JLa*8
3
==
)
)*
)
)
$bc$$ $0
!"#JLgg
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là
trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN =
3
+
SB .
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD
Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành
,-*+
hhJL KJLH
!"#$#%67$8H@((
,-CD*+/,E.
XBH@∩
%$?W:$JLHX
JL67$<::$
⇒ JLB
+
j
2-$∆
3
+
==
+
0+
⇒XHB
i
3
+
JLHX:<: ⇔JLBHX
⇔
+
jB
i
3
+
⇔B3i
!"# $%$?WJLHX:<:⇔B3i
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm
nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD
a. Chứng minh : PQ // SA.
b. Gọi K = MN ∩ PQ
Trang S
L
S
C
B
J
I
K
D
A
J
I
E
C
D
B
A
Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
1-3(;KK
2-$$4
ECgg
⇒
'
'(
=
6k$l DEgg
⇒
&
'
=
+
6k$l DKgg
⇒
;
&
=
3
m+3(#
;
(
=
!"# CKgg
1-5-+M-HN!<=OP&C6HNA
∩∈
⊂
⊂
gg
⇒ $#%67$8$n[5((
D H∈∩
⇒ H∈$[5
!"#H∈$[5&D?V$o^
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG
Dạng 6.67$8((9$*8C
Phương pháp .
α
α
α
gggg C
C
C
⇒
⊂
⊄
Bài tập
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .
Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD .
Trang +T
P
K
Q
t
D
B
C
A
M
N
S
a. Chứng minh MN gg (SBC) , MN gg(SAD)
b. Gọi P là trung điểm cạnh SA . Chứng minh SB và SC
đều song song với (MNP)
c. Gọi G
,G
+
lần lượt là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC
Chứng minh
+
gg (SAB)
1-&'KK3
gg
gg
&'
&'
&'
⇒
⊂
⊄
6k$l
gg
gg
&'
&'
&'
⇒
⊂
⊄
1-KK&'(
gg
gg
&'(
&'(&(
&(
&'(
⇒
⊂
⊄
1-KK&'(
:$#%DEC
CDEC
DEgg
$#%67$8nC((DEZ$$^K
⇒CKBDEC∩
2-$∆ CKgg
C$
⇒K$
2-$∆ KEgg
gg
gg
&'(
&'(';
';
&'(
⇒
⊂
⊄
1-
+
KK
2-$∆J$
3
+
==
Q
Q
⇒
+
gg
gg
gg
++
+
⇒
⊂
⊄
2. Cho hình chóp S.ABCD . M,N là hai điểm trên AB, CD . Mặt phẳng (α) qua MN gg SA
a. Tìm các giao tuyến của (α) với (SAB) và (SAC).
b. Xác định thiết diện của hình chóp với (α)
c. Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang
,-
α
/3
Trang +
Q
M
N
C
D
P
B
A
S
Q
G
1
I
G
2
S
D
C
M
N
P
A
B
N
S
M
A
B
C
D
P
Q
R
⊂
∩∈
gg
&
α
α
⇒ α∩BDC)DCgg
,-
α
/3
\BDE∩
⊂
∩∈
gg
R
α
α
⇒ α∩B\K)\Kgg
CD,E./
α
%$?W$.4DCKE
,-PD&'55CD8,3
DCKE:$⇒
+
gg
gg
(;&'
;'&(
2-$$
;'gg
DCggKE
DCgg
⇒
gg
gg
;'
;'
⇒
⊂
'b
2-$+$
&' gg
CK
DE
⇒
⊂
⊂
∩=
E6`^% DEgg$:
(;&'
&
(;
gg
⇒
⊂
⊂
∩=
α
α
!"#$%$?W:$$:DEggi
3. Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N bất kỳ .
Gọi (
α
) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
a. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (
α
) với tứ diện ABCD.
b. Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành .
STUCD->.=
α
/1CD
gg
gg
&(
&
⇒
∩∈
⊂
α
α
6k$l
+gg
gg
';
'
⇒
∩∈
⊂
α
α
m+$6`DCggEK
!"#$%$?W:$DCEK
HV'HNICD8,,
DCggEK
DCB
i
+
Trang ++
N
S
M
A
B
C
D
P
Q
R
Q
A
D
M
N
P
C
B
B
C
P
N
M
D
A
Q
DCEK:<:⇔
==
⇔
=
';&(
';&(
';&(
';&(
+
gg
gg
E$i
!"#E$$:DCEK:<:
4. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là một điểm ở ngoài mặt phẳng của hình thang .
Gọi M là một điểm của CD ; (α) là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC .
a. Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng (
α
) với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì ?
b. Tìm giao tuyến của (α) với mặt phẳng (SAD).
ST,-CD->.=
α
/,E.3
gg
gg
&'
&
⇒
∩∈
⊂
α
α
6k$l
'(
'
gg
gg
⇒
∩∈
⊂
α
α
+gg
gg
(;
(
⇒
∩∈
⊂
α
α
m+$6`DEggCK
!"#$%$?W:$DECKi
,-
α
/->.=
JB∩
⇒ Jα
∩∈
⊂
gg
α
α
!"#$#%67$8nJ(()i
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và
(α) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.
a. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng (α) lần lượt với các cạnh SB, SD.
b. Gọi I là giao điểm của ME và CB , J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm
I,J, A thẳng hàng .
STNC#5-)%:->.=
α
8W8!X/A%
(,?l6`AP$p<$4
):
):
gg
gg
⇒
∩=
⊂
α
α
4APDU$V9$*8α
Trang +3
t
Q
I
P
N
M
C
B
D
A
S
K
J
I
M
O
E
F
S
D
C
B
A
α HBAP∩D
• H∈APAP⊂ ⇒H∈
• H∈DD⊂ ⇒H∈
⇒H∈∩
∩BG
⇒ H∈G
C#)%:
lHDGnH?lAPgg
1-5-%*%=3
∈⇒⊂∈
∈⇒⊂∈
-
&)-&)
αα
⇒ J∈α∩
6k$l
∩∈
∩∈
*
α
α
⇒ JLα
!"#JL$8
6. Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông tại A ,
q
= 60
T
, AB = a .Gọi O là trung điểm của
BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (α) sao cho SB = a và SB ⊥ OA . Gọi M là mọt điểm trên
cạnh AB , mặt phẳng (β) qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC , SA lần lượt tại N , P , Q .
Đặt x = BM ( 0 < x < a ) .
a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông
b. Tính diện tích của hình thang theo a và x .
Tính x để diện tích này lớn nhất .
1-&'(;8,Y
gg
gg
&'
&'
⇒
∩=
⊂
β
β
+gg
gg
&;
&;
⇒
∩=
⊂
β
β
3gg
gg
'(
'(
⇒
∩=
⊂
β
β
m+3(# DKggECgg =
⇒ DECK :$
m=$
⊥
⊥
⇒
⊥
'(&'
&;&'
'(&;
&'
gggg
gg
!"#DECK:$'67DEi
VCDV,ZU
&''(&;
&'(;
i
+
+=
bDE
2-$$4
Trang +=
Q
α
A
O
N
M
P
C
B
S
=(
⇒
(
=
+=⇒
⇒ GB
∆⇒
=
=
T
OT
q
r
DEggG ⇒
'
&
&'
==
U'&&' ===⇒
bDK
2-$$4$DKgg
⇒
&
&;
=
⇒
U
U
&&; −=−== ii
bEC
2-$$4$ECgg
⇒
'
'(
=
⇒
+
+
+
i+i
U
U
''(
−
=−==
3=i3i
+
=
3=
UU
UU
&'(;
−=
−
=
s*?F<c$8$.'(+([?6k3@=−3@
3@i=−3@ ≤
+
+
3=3
UU −+
≤=t
⇒
3
t
t=i
+
&'(;
=≤
;8$.@#&3@B=u3@⇔@B
3
+
!"#@B
3
+
$:
&'(;
^$4$5)c$i
7. Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD.
Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x . mặt phẳng (α) qua M song song với SA và BD cắt
SO , SB , AB tại N, P , Q .
a. Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b. Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất
1&'(;8,,L3
B⇒ ∆B∆vv
J$
2-$∆J∆J
J^
B
⇒ ∆JB∆J
⇒ JBJ
⇒ ∆J0$^J
⇒ JG⊥
DGJgg ⇒ ⊥ w
Trang +I
M
N
I
P
Q
O
D
C
B
A
S
JBJ
