Slide lý thuyết hệ phương trình vi phân 2 đh ngoại thương

Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng
Định nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạo
hàm của các hàm cần tìm
Ví dụ: Các hệ ptvp
Hệ 2 ptvp cấp 1

 F (t , x, y, x′, y ') = 0 Trong đó

G (t , x, y, x′, y ') = 0

t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm.
Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắc  x′ = f (t , x, y, z )


 y′ = g (t , x, y, z )
 z′ = h(t , x, y, z )



Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng
Hệ ptvp tuyến tính cấp 1 hệ số hằng là hệ ptvp có dạng

 dx1
 dt = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn + f1 (t )

 dx2 = a x + a x + ... + a x + f (t )

21 1
22 2
2n n
2

 dt
.............................................................

 dxn = a x + a x + ... + a x + f (t )
n1 1
n2 2
nn n
n
 dt

Trong đó fi(t), i=1,2, …,n là các hàm liên tục trong (a,b)


Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằng
Đặt  a11

a
 21
A=
 :
a
 n1

a12 ... a1n 
 x1 (t ) 
 f1 (t ) 
 x (t ) 
 f (t ) 

a22 ... a2 n

 X (t ) =  2  F (t ) =  2 
 : 
 : 
:
:
: 
 x (t ) 
 f (t ) 

an 2 ... ann 
 n 
 n 

Thì hpt trên có thể viết thành

dX
= AX + F (t )
dt
dX
= AX
dt

(1) Hệ không thuần nhất
(2)

Hệ thuần nhất

Nghiệm của hệ là 1 hàm vecto trong (a,b) gồm các hàm
khả vi, liên tục trong (a,b) và thỏa hệ

Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử

d
Ta kí hiệu phép lấy đạo hàm là D =
Suy ra
dt
2
3
d
d
2
3
D = 2 , D = 3 , ...
dt
dt
Ví dụ với hệ ptvp sau

 x′ = 2 x + y + et
( D − 2) x − y = et

Ta viết thành 
 y′ = x − 2 y + t
− x + ( D + 2) y = t
Sau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hpt
đại số tuyến tính


Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử

 x1 = 3 x1 + x2 + et
′
Ví dụ: Giải hpt 
′
 x2 = 2 x1 + 2 x2 + t
( D − 3) x1 − x2 = et (1)
′
Ta viết lại hpt

−2 x1 + ( D − 2) x2 = t (2)
Lấy 2*(1)+(D-3)*(2) để khử x1, ta được :

(−2 + ( D − 2)( D − 3)) x2 = 2e + ( D − 3)t
t

2

t

⇔ D x2 − 5Dx2 + 4 x2 = 2e − 3t + 3
Viết lại kí hiệu thường
Ta giải pt trên

′′ − 5 x2 + 4 x2 = 2et − 3t + 1
′
x2


Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử

′′ − 5 x2 + 4 x2 = 2et − 3t + 1
′
x2
2 t 3 11
x2 = C1e + C2e − te − t −
3
4 16
′
x2
t
Thay vào pt (2) ⇔ x1 =
− x2 −
2
2
1
1 t
1
41
4t
t
⇔ x2 = C2e − C1e + e (t − 1) + t +
2
3
4 24
t

4t


Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử

 x1'
Ví dụ: Giải hpt  x '
 2
 x'
 3

= 2 x1 + 4 x2 + 3 x3
= −4 x1 − 6 x2 − 3x3
= 3 x1 + 3 x2 + x3

Ta viết lại hpt: ( D − 2) x1 − 4 x2 − 3 x3 = 0 (1)

4 x1 + ( D + 6) x2 + 3 x3 = 0 (2)
−3 x − 3x + ( D − 1) x = 0 (3)
2
3
 1
Khử x3: (1)+(2) và 3*(3)-(D-1)*(2)

( D + 2) x1 + ( D + 2) x2 = 0

(−4( D − 1) − 9) x1 + (−( D − 1)( D + 6) − 9) x2 = 0


Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử
Hệ trên tương đương với:

( D + 2) x1 + ( D + 2) x2 = 0


2
(−4 D − 5) x1 + (− D − 5 D − 3) x2 = 0

(4)
(5)

Khử x2: (D2+5D+3)*(4)+(D+2)*(5)

( D + 5 D + 3)( D + 2) x1 + (−4 D − 5)( D + 2) x1 = 0
3
2
′′′
′′
⇔ ( D + 3D − 4) x1 = 0 ⇔ x1 + 3 x1 − 4 x1 = 0
t
−2t
−2 t
⇒ x1 = C1e + C2e + C3te
t
−2 t
−2 t
Thay vào pt (4) để tìm x2: x2 = −C1e + C4e − C3te
2

1
Thay vào (1) để tìm x3: x3 = C1e − (4C2 + C3 + 4C4 )e −2t
3
t

Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng

dX
= AX + F (t )
Hệ pt
dt

Với A là ma trận thực, vuông chéo được
Tồn tại ma trận S khả nghịch sao cho A=SDS-1

dX
−1
Thay vào hpt
= SDS X + F (t )
dt
−1 dX
−1
−1
⇔S
= DS X + S F (t )
dt
dY
−1 dX
-1
Thay vào hpt trên
Đặt Y=S X ⇒
=S
dt
dt
dY

= DY + S −1F (t ) Đây là n-ptvp cấp 1 riêng biệt
dt


Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng

 x1 = x1 − 2 x2 + t 2
′
Ví dụ: Giải hpt 
′
 x2 = x1 + 4 x2 − 2
1 −2 
 2 1  −1  1 1 
 2 0
A=
÷⇒ S =  −1 −1÷, S =  −1 −2 ÷, D =  0 3 ÷
1 4 






Đặt Y=S-1X, ta được hpt:

 y1 = 2 y1 + t 2 − 2
dY
 ′
−1
= DY + S F (t ) ⇔ 

dt
′ = 3 y2 − t 2 + 4
 y2

 y1 = e ∫ 2 dt ∫ (t 2 − 2)e − ∫ 2 dt dt + C1

⇔
y1 = e ∫ 3dt ∫ (−t 2 + 4)e − ∫ 3dt dt + C2



(
(

)

)


Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng

1 2 1 3

y1 = − t − t + + C1e 2t


2
2 4
⇔
 y2 = 1 t 2 + 4 t − 34 + C2e3t


3
9 27

Ta tính

 2 1   y1 
X = SY = 
−1 −1÷ y2 ÷

 

2 2 5 17

x1 = − t − t + + 2C1e 2t + C2e3t


3
9 54
⇔
 x2 = − 5 t 2 + 1 t + 55 − C1e 2t − C2e3t

6
18 108



Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng

 x1 = x1 − 3x2 + 3x3 + e −2t

′

Ví dụ: Giải hpt  x2 = 3 x1 − 5 x2 + 3 x3 + e −2t
′
 x′ = 6 x − 6 x + 4 x − 2t
1
2
3
 3
 e −2 t 
 1 −3 3 
1 1 1
 3 −5 3 ÷ F (t ) =  e −2t ÷ ⇒ S =  1 0 1 ÷
A=

÷

÷

÷
 6 −6 4 ÷
 0 −1 2 ÷
 −2t ÷






 1 −3 1 

 −2 0 0 
1
÷, D =  0 −2 0 ÷
−1
S = − −2 2 0
÷

÷
2
 −1 1 −1÷
 0 0 4÷






Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S-1X, ta được hpt

1 1

−2 t
 y1 = C1e + 2 t − 4
 y1 = −2 y1 + e −2t + t
′


−2 t
′

⇔  y 2 = C2 e
 y2 = −2 y2

 y′ = 4 y − t
1
1
4t
3
 y3 = C3e + t +
 3
4 16

3
3

−2 t
4t
Vậy
 (C1 + C2 )e + C3e + 4 t − 16 ÷
 x1  
÷
 x ÷ =  C e −2 t + C e 4 t + 3 t − 3
÷
X = SY ⇔  2 ÷
1
3

÷
4 16
x ÷

 3 
1 1 ÷
 −C2e −2t + 2C3e 4t + t +
÷
2 8 



Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng

 x1 = − x1 + 3 x2 + 2 x3 + t 2
′

′ = 3 x1 − x2 + 2 x3 − t 2
Ví dụ: Giải hpt  x2
 x′ = x + x + 2 x + 2t
3
 3 1 2
 t2 
1 1 1
−1 3 2 

 3 −1 2 ÷ F (t ) =  −t 2 ÷ ⇒ S =  1 1 −1÷
A=

÷

÷

÷

 −1 1 0 ÷
 2t ÷
 1 1 2÷







 1 1 −2 
0 0 0 
1
−1
S = 1 1 2 ÷, D =  0 4 0 ÷
÷

÷
4
 2 −2 0 ÷
 0 0 −4 ÷






Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng
Đặt Y=S-1X, ta được hpt
1 2


 y1 = − 2 t + C1
′
 y1 = −t


1
1

4t
′
 y 2 = 4 y 2 + t ⇔  y 2 = C2 e − t −
4 16

 y′ = −4 y
3
 3
 y3 = C3e −4t


1 2 1
1

4t
4t
 x1 = C1 + C2e + C2e − 2 t − 4 t − 16

1 2 1
1


4t
4t
X = SY ⇔  x2 = C1 + C2e − C2e − t − t −
2
4 16

1 2 1
1

4t
 x3 = −C1 + C2e + 2 t − 4 t − 16



Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập
Giải các hpt sau
 x′ = 2 x + y
1. 
 y′ = x + 2 y
 x′ = 4 x + 6 y
2. 
 y′ = 2 x + 3 y + t
 x′ + y′ = 2 x + 6 y − cos t
3. 
 y′ = x + 3 y + sin t
'
 x1 = x1 − 4 x2 − 4 x3 + et
 '

4.  x2 = 8 x1 − 11x2 − 8 x3 + 2t

 '
−8 x1 + 8 x2 + 5 x3
 x3 =



Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập
'
 x1
 '

5.  x2
 '
 x3


= −4 x1 + 2 x2 + 5 x3 + t 2
=

6 x1 − x2 − 6 x3 + 2t

=

−8 x1 + 3 x2 + 9 x3

′
 x1 = 2 x1 − x2 + 2 x3 + 2t

′ = 5 x1 − 3 x2 + 3 x3 − e −2t
6.  x2

 x′ = − x − 2 x
1
3
 3


'
 x1
 '

5.  x2
 '
 x3


= −4 x1 + 2 x2 + 5 x3 + t 2
=

6 x1 − x2 − 6 x3 + 2t

=

−8 x1 + 3 x2 + 9 x3