Các phương pháp tính Tích phân - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P1

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




DNG 1: Quan sát biu thc di du tích phân nhm tính xem đt mt b phn nào đó bng t đ sau khi
ly vi phân 2 v ta chuyn đc tích phân cn tính v tích phân c bn hoc đn gin hn.
Bài 1: Tính tích phân
1) HKB 2005 I=
2
22
00
sin2 .cos 2 os .sin
1 cos 1 cos
x x c x x
dx dx
xx





t: 1 + cosx = t , - sinxdx = dt.
x
0
2



t
2
1
I = -2
1 2 2
22
2 1 1
( 1) 2 1 1
2 2 ( 2 )
t dt t t
dt t dt
t t t
  
   
  
=2
2
2 2 2
2 ln
1 1 1
2
t
tt




= 2ln2 -1

2) I =
4 4 4
2
0 0 0
sin 4 2.sin 2 . os2 4.sin 2 . os2
1 os2
2 sin 3 os2
2
2
x xc x xc x
dx dx dx
cx
x c x
  




  
. t 3+ cos2x = t; -2 sin2x dx = dt
x
0
4


t
4
3
I = - 2
34

43
44
( 3) 3
2 (1 ) 2( 3ln )
33
t
dt t t
tt

   


3) I =
22
22
00
cos cos
11 7sin os sin 7sin 10
xx
dx dx
x c x x x


   

. t sinx = t; cosxdx = dt
x
0
2


t
0
1
I =
1 1 1
2
0 0 0
1 1 1 1
()
7 10 ( 5)( 2) 3 ( 5) ( 2)
dt
dt dt
t t t t t t
  
     
  
=
11
1
ln 5 ln 2
00
3
tt

  



4) I =

4
2
0
1
(1 1 2 )
x
dx
x




.
BÀI 6. CÁC PHNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHN 1)
ÁP ÁN BÀI TP T LUYN
Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG
Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Bài 6. Các phng pháp tính tích phân (phn 1)

thuc khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
ti website Hocmai.vn giúp các Bn kim tra, cng c li các
kin thc đc giáo viên truyn đt trong bài ging Bài 6. Các phng pháp tính tích phân (phn 1).  s dng
hiu qu, Bn cn hc trc Bài ging sau đó làm đy đ các bài tp trong tài liu này.
Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

t
1 1 2xt  
, x =
2
2
2
tt
, dx =(t-1)dt.
x
0
4
t
2
4
I =
2
4 4 4
32
2 2 2
2 2 2
2
1
3 4 2 1 4 2 1
2
( 1) 3 2ln 2
24
tt
t t t
t dt dt t dt
t t t t



  

       


  
.
5) HKB08: I =
44
00
2
sin( ) (sin cos )
42
sin2 2(1 sinx cos ) sin2 1 1 2(sinx cos )
x x x
dx dx
x x x x




      


=
2
2
4

2
0
(sin cos )
(sin cos ) 1 2(sinx cos )
xx
dx
x x x


   


t sinx + cosx = t; (cosx - sinx)dx = dt

x
0
4


t
1
2

I = -
2 2 2
2
22
1 1 1
2 2 2
( 1) ( 1)

2 1 2 2 ( 1) 2
dt dt
t d t
t t t

     
  
  

=
2 1 2 1 1 4 3 2
2
()
2 1 2 2 4
12
1
t

  



6) I =
3 2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
cos3 4cos 3cos (4cos 3)cos (1 4sin )cos
sin 1 sin 1 sin 1 sin 1
x x x x x x x
dx dx dx dx

x x x x
   
  
  
   
   

t sinx +1= t; cosx dx = dt
x
0
2


t
1
2
I =
2 2 2
22
1 1 1
[1 4( 1) ] 4 8 3 3
( 4 8 )
t dt t t
dt t dt
t t t
    
    
  
=
2

2 2 2
2 8 3ln
1 1 1
t t t
  

7) HKA2008: I =
4 4 4
6 6 6
2 2 2 2
0 0 0
tan tan tan
cos2 cos sin cos (1 tan )
x x x
dx dx dx
x x x x x
  


  

t tanx = t;
2
1
cos
dx dt
x


x

0
6


t
0
1
3

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


I =
11
33
4
2
22
11
1
( 1 )
11
t dt
t dt
tt

   


=
1
3
3
0
11
1
33
3 (1 )(1 )
00
t
t dt
tt





=
1
3
0
1 1 1 1 1
()
2 1 1
9 3 3
dt

tt

  


=
11
33
00
10 1 (1 ) (1 )
2 1 1
93
d t d t
tt

  

  






=
11
10 1 10 1 1 1
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
33
22

9 3 9 3 3 3
00
tt




           






=
10 1 3 1
ln( )
2
9 3 3 1



=
10 1
ln(2 3)
2
93


.

8) I =
32
44
32
00
sin (1 cos ).sin
cos cos
x x x
dx dx
xx




. t cosx = t, -sinxdx = dt
x
0
4


t
1
2
2

I = -
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2

22
1 1 1 1
11
(1 )
t
dt dt dt t dt
tt


   
   
=
22
1
22
11
t
t


9) I =
22
00
sin2 2.cos .sin
cos 1 cos 1
x x x
dx dx
xx





. t cosx +1 = t.
10) I =
44
6 6 2
00
3
cos2 (sin cos ) cos2 (1 sin 2 )
4
x x x dx x x dx

  

. t sin2x = t.
11) I =
44
44
2
00
sin 4 2cos2 .sin 2
1
sin cos
1 sin 2
2
x x x
dx dx
xx
x






. t sin2x = t.
12) I =
2
0
3
sin( )
24
sin( )
24
x
dx
x






. t
24
x
t



I =

22
2
44
sin3
2 2 (4sin 3)
sin
t
dt t dt
t





=
2
4
2
( 4cos2 2) ( 2sin 2 2)
4
t dt t




    

= 2 -
2


.
13) I =
22
2
00
sin2 2.cos .sin
3 4sin cos2 2sin 4sin 2
x x x
dx dx
x x x x


   

. t sinx = t.
Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


14) I =
22
00
sin2 3cos (2sin 3)cos
2sin 1 2sin 1
x x x x
dx dx

xx





. t sinx =t
I =
1 1 1 1
0 0 0 0
1
2 3 (2 1) 4 4 (2 1)
(1 ) 2
0
2 1 2 1 2 1 2 1
t t d t
dt dt dt t
t t t t
   
    
   
   
=1- 2ln
1
2 1 1 2ln3
0
t
  
.
Bài 2: Tính tích phân

1) I =
1
5 3 6
0
(1 )x x dx

. t 1-x
3
= t, -3x
2
dx = dt.
x
0
1
t
1
0
I =
1 0 1
78
3 6 3 2 6 6 7
0 1 0
1
1 1 1 1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) ( ) ( )
0
3 3 3 7 8 3 7 8
tt
x x x dx t t dt t t dt         
  

.
2) HKB 2010: I =
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
xx

. t 2+lnx = t, t: 23,
dx
dt
x

.
I =
3 3 3
22
2 2 2
33
( 2) 1 1 2 1 3
2 ) ln ln .
22
32
t dt
dt dt t
t t t t


     
  

3) HKB 2006: I =
ln5 ln5 ln5
2
ln3 ln3 ln3
1
2 3 3 2
23
x
x x x x
x
x
dx dx e dx
e e e e
e
e


   

  
. t e
x
= t  t: 35, e
x
dx = dt.
I =
5 5 5

2
3 3 3
1 1 1
( ) .
3 2 ( 1)( 2) 2 1
dt
dt dt
t t t t t t
  
     
  

=
55
33
ln 2 ln 1 ln3 ln4 ln2 ln ln2 ln .
33
42
tt
        

4) I =
ln2 ln2
2
22
00
3 ( 3)
3 2 3 2
x x x x
x x x x

e e e e
dx dx
e e e e


   

. t e
x
= t, e
x
dx = dt.
x
0
ln2
t
1
2
I =
2 2 2
2
1 1 1
22
3 3 2 1
2ln 1 ln 2
11
3 2 ( 1)( 2) 1 2
tt
dt dt dt t t
t t t t t t



      

     

  

5) HKB 2012: I =
1
3
42
0
32
x
dx
xx

. t x
2
= t  2xdx = dt.
x
0
1
t
0
1
I=
1 1 1
2

22
0 0 0
1 .2 1 1 2 1
2 ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 2 2 1
x x tdt
dx dt
x x t t t t

  

     

  
.
=
1
13
ln 2 ln 1 ln3 ln2
0
22
tt

    


.
6) HKD 2011: I =
4
0
41

2 1 2
x
dx
x



.
Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


t
21xt
 2x+1=t
2
 2x = t
2
-1  4x = 2(t
2
-1), dx = tdt.
x
0
4
t
1

3
I
2
33
2
11
2( 1) 1
10
2 4 5
22
t t dt
t t dt
tt




    




.
=
3
2
3
2 34 3
2 5 10ln 2 10.ln
1

3 3 5
t
t t t


     




.

Bài 3: Tính tích phân
1) I =
3
2
1
2 ln
.ln
e
x
xdx
x


. t
3
2
2 ln xt
.

2) I =
1
0
1
1
x
dx
x



. t
xt
 x = t
2
, dx = 2tdt, t: 01.
3) I =
3
2
0
sin
cos 3 sin
x
dx
xx



. t
2

3 sin x
= t  3 + sin
2
x = t
2
, sinxcosxdx = dt.
x
0
3


t
3

15
2

4) I =
ln16
x
4
0
e1
1
x
dx
e




. t
x
4
e t
 e
x
= t
4
, e
x
dx = 4t
3
dt.
x
0
ln16
t
1
2
5) I =
11
3 2 3 2
3
3
43
00
. 3 4 1
3 4 1
x x x x
dx dx

xx
xx





.
t
3
43
34x x t
 3x
4
- 4x
3
= t
3
, 12(x
3
-x
2
)dx = 3t
2
dt, t: 0 -1.
6) I =
33
00
1 1.(1 1)
1 ( 1)

11
x x x
dx dx
x
x
   




.

7) I =
ln2
0
1
1
x
dx
e 

. t
x
e1t
.
I =
ln2 3 3 3
x
2
x

0
2 2 2
33
e 2 2 1 1
ln 1 ln 1
1 ( 1)( 1) 1 1
e1
22
x
dx dt dt dt t t
t t t t t
e

       

    


   



Giáo viên: Lê Bá Trn Phng
Ngun:
Hocmai.vn