Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số - Tài liệu tự luyện Toán 12 - Phần 1

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
1.
2
16
y x
x
= +
trên
1
,4
3
 
 
 

Ta có:
3
3

2 2
16 2x 16
' 2x , ' 0 8 2
y y x x
x x
−
= − = = ↔ = ↔ =
.
y(2) = 12,
1 434
( ) , (4) 20
3 9
y y
= =
.
min 5
x R
y
∈
⇒ =
1
;4
3
min 12
x
y
 
∈
 
 

=
khi x = 2,
1
;4
3
434
m
9
x
ax y
 
∈
 
 
=
khi x =
1
3
.
2.

[ ]
3
4
2sinx sin x, 0,
3
y x
π
= − ∈

Ta có:
2 2
' 2 osx 4sin x. osx 2 osx(1 sin x) 4cosx. os2x
y c c c c= − = − =

osx 0
' 0
os2x 0
c
y
c
=

= ⇔

=

↔
2
4
x
x
π
π

=



=




2 2 2
( ) , ( ) , (0) 0, ( ) 0
2 3 4 3
y y y y
π π
π
= = = =

→
[ ]
0,
min 0
x
y
π
∈
=
khi x = 0 hoặc x =
π
.
[ ]
0,
2 2
max
3
x
y

π
∈
=
khi
4
x
π
=
.
3
.
2
3x 10
y x
= + −

TXð: D=
10, 10
 
−
 

2
2 2
3 10
' 3
10 10
x x x
y
x x

− −
= − =
− −
, y’ = 0
↔
2
3 10
x x
− =
↔
0
3
3
x
x
x
≥

↔ =

= ±

.
y(3) = 10,
( 10) 3 10, ( 10) 3 10
y y− = − =
.
→
10, 10
min 3 10

x
y
 
∈ −
 
=

10
khi x =
,
10, 10
max 10
x
y
 
∈ −
 
=
3
khi x
=
.
4. 5 4 ê [ 1;1]
y x tr n= − −

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số thuộc

khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. ðể sử dụng hiệu quả,
Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.


(Tài li
ệ
u dùng chung bài 0
6
+0
7+08
)

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


Ta có:
2
' 0
5 4x
y

−
= <
−
[
]
1,1
x∀ ∈ −

x

-
1

1

y’ -
y 3
1

[ ]
1,1
min 1 1
x
y khi x
∈ −
= =
;
[ ]
1,1
max 3 1

x
y khi x
∈ −
= = −

2
5. 3 2x 5
y x
= + − +

TXð: R
2
1
'
2x 5
x
y
x
−
=
− +
; y’= 0
↔
x = 1.
x

−∞

1

∞

y’ - 0 +
y
5


min 5 1
x R
y khi x
∈
⇒ = =

Hàm số không có giá trị lớn nhất.
2
6. os x, x 0,
6
y x c
π
 
= + ∈
 
 

' 1 2 osx.sinx 1 sin 2x 0
y c
= − = − >
x 0,
6
π

 
∀ ∈
 
 

x
0
6
π

y’ +

y


1
3
6 4
π
+



0,
6
min 1
x
y
π
 

∈
 
 
=
khi x = 0,
0,
6
3
max
6 4
x
y
π
π
 
∈
 
 
= +
khi x =
6
π
.
7
.
6 2 3
4(1 )
y x x
= + −
trên

[
]
1,1
−
.
5 2 2 4 2 2
' 6 12(1 ) .( 2x) 6x 4(1 )
y x x x x
 
= + − − = − −
 

' 0
y
= ↔
4 2 2 2 2 2
0
2 2
4(1 ) 2(1 )
3 3
x
x x x x x x
=



= − ↔ = − ↔ = ⇔ = ±



y(0) = 4,
2 4 2 4
( ) , ( ) , ( 1) 1, (1) 1.
3 9 3 9
y y y y
− = = − = =

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


[ ]
1,1
4
min
9
x
y
∈ −
→ =
khi x =
2
3

±
;
[ ]
1,1
max 4
x
y
∈ −
=
khi x = 0.


Bài 2.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
1
.
4 2
4 2
3 os x 4sin x
3sin x 2 os x
c
y
c
+
=
+

TXð: IR
ðặt sin
2

x = t,
[
]
0,1
t ∈
.
Khi ñó bài toán
↔
Tìm max, min của hàm
2 2
2 2
3(1 ) 4 3 2 3
( )
3 2(1 ) 3 2 2
t t t t
t
t t t t
ϕ
− + − +
= =
+ − − +
trên
[
]
0,1

Ta có:
( )
2
2

2 6 1
'( ) , '( ) 0
3
3 2 2
t
t t t
t t
ϕ ϕ
−
= = ↔ =
− +
.
1 8 3 4
( ) , (0) , (1)
3 3 2 3
ϕ ϕ ϕ
= = =
.
+
[ ]
0,1
4
min ( )
3
t
t
ϕ
∈
=
khi t = 1

IR
4
min
3
x
y
∈
→ =
↔
sin
2
x = 1
↔
,
2
x k k Z
π
π
= + ∈
.
+
[ ]
0,1
8
m ax ( )
3
t
t
ϕ
∈

=
khi
1
3
t
=
→
IR
8
max
3
x
y
∈
=
↔
sin
2
x =
1
3
↔
1
arcsin 2 ,
3
x k k Z
π
= + ∈
.
2

.
2 sinx osx+2 1 sinx osx sin x osx
y c c c= + + + + +

ðặt sinx + cosx =
2.sin( ) ,
4
x t
π
+ =
2, 2
t
 
∈ −
 
.
Khi ñó bài toán
↔
Tìm max, min của hàm
2 2
( ) 2 2. 2 1 2 2. ( 1)
t t t t t t
ϕ
= + + + + = + + +
2 2. 1
t t
= + + +
trên
2, 2
 

−
 
.
Ta có:
( )
( )
1 1
( ) 2 2 1 1 2
2 2 1 2 1
khi t
t t t khi t
t t khi t
ϕ

= −


= + + + − < ≤


+ − + − ≤ < −



0 1
'( ) 1 2 1 2
1 2 2 1
khi t
t khi t
khi t

ϕ
= −


⇒ = + − < ≤


− − ≤ < −


(
)
(
)
( 1) 1; 2 4 2 2; 2 4 2 2
ϕ ϕ ϕ
− = − = − = +

2; 2
min ( ) 1
t
t
ϕ
 
∈ −
 
⇒ =
khi t = -1. Do ñó
min 1
x R

y
∈
= −
khi
2
sin cos 1 ( )
2
2
x k
x x k Z
x k
π
π
π π

= − +

+ = − ⇔ ∈

= +


2; 2
( ) 4 2 2
t
max t
ϕ
 
∈ −
 

= +
khi
2
t =
. Do ñó
4 2 2
x R
max y
∈
= + khi
sin cos 2 2 ,
4
x x x k k Z
π
π
+ = ⇔ = + ∈
.



Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-

ðề tốt nghiệp:
ðề 2012:
Tìm các giá trị của tham số m ñể giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( )
1
x m m
f x
x
− +
=
+
trên ñoạn [0; 1]
bằng -2.

Giải:
Trên ñoạn [0; 1], ta có
2
2
1
'( )
( 1)
m m
f x
x
− +
=
+

Mà
2
1 0, '( ) 0
m m m R f x
− + > ∀ ∈ ⇒ >
. Nên hàm số ñồng biến trên [0; 1].
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 1] là
2
(0)
f m m
= − +

2
[0;1]
1
min ( ) 2 2
2
m
f x m m
m
= −

= − ⇔ − + = − ⇔

=


Tốt nghiệp 2004:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3

4
2sin sin
3
y x x
= −
trên ñoạn [0 ; π].
Cách 2:
ñặt
[
]
sin , 0;1
x t t= ∈
khi ñó
[ ]
3
4
2 0;1
3
y t t t= − ∈
.


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn