Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số - Tài liệu tự luyện Toán 12 - Phần 3

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1. Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số:
1.
4 2
1 1
3
4 2
y x x
= − +


Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-1;0) và
(1; )
+∞
;
nghịch biến trên các khoảng (-
∞
; -1) và (0;1).

2.
3
2
2 2
3
y x x
= − +

Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-
∞
;-1) và (1;+
∞
);
Nghịch biến trên các khoảng (-1;1).
3.
3 1
1 2
x
y
x
+
=
−

Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
1
( ; )
2

−∞
và
1
( , )
2
+∞
.
4.
2
1
2 1
x x
y
x
− +
=
−

Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
1 3
( ; )
2
−
−∞
và
1 3
( ; )
2
+

+∞
;
Nghịch biến trên các khoảng
1 3 1
( ; )
2 2
−
và
1 1 3
( ; )
2 2
+
.
Bài 2.
Xét chiều biến thiên của hàm số:
1.
2 1 3 5
y x x
= − − −

Giải
TXð:
5
;
3
D
 
= +∞



 

Ta có:
3 4 3 5 3 89
' 2 ; ' 0 4 3 5 3
48
2 3 5 2 3 5
x
y y x x
x x
− −
= − = = ⇔ − = ⇔ =
− −

Bảng biến thiên:


KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng
sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


x

5
3

89
48

+∞

'
y

- 0 +
y

7
3


Hàm số nghịch biến trên khoảng
5 89

;
3 48
 
 
 
; ñồng biến trên khoảng
89
;
48
 
+∞
 
 
.
2.
[ ]
1 1
os2 3 cos ; 0,
2 2
y c x x x
π
= − − + ∈

Giải
' sin 2 3 sin 2sin cos 3 sin sin (2cos 3)
y x x x x x x x= + = + = +

sin 0
0,
' 0

5
3
cos
6
2
x
x x
y
x
x
π
π
=

= =



= ⇔ ⇔


=
= −




Bảng biến thiên:
x

0
5
6
π

π

'
y

+ 0 -
y




Hàm số ñồng biến trên khoảng
5
0,
6
π
 
 
 
; nghịch biến trên khoảng
5
,
6
π
π

 
 
 

(Chú ý: Với
[
]
0,
x
π
∈
thì
sin 0
x
≥
nên dấu của y’ chính là dấu của
2cos 3
x +
).
3.
1 2
3 3
.(1 )
y x x
= −

Giải
TXð: R
Ta có:
2

3
1 1 3 1
' . ; ' 0
27 3
(1 )
x
y y x
x x
−
= = ⇔ =
−

Dấu của y’ chính là dấu của (1-3x)(1-x). Do ñó ta có bảng biến thiên như sau:
x

-
∞
0
1
3
1 +
∞

'
y

+ + 0 - +
y

Hàm số ñồng biến trên các khoảng
1
;
3
 
−∞
 
 
và
(1; )
+∞
; nghịch biến trên khoảng (
1
3
; 1).
4.
2
2
. os 2 os
2 cos 1
x c x c
y
x x
α α
α
− +
=
− +

;
α
là tham số.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


Giải
TXð: R
Ta có:
2 2
2
2 2
2sin .( 1)
' ; ' 0 1 0 1
( 2 . os 1)
x
y y x x
x x c
α
α
−
= = ⇔ − = ⇔ = ±

− +

Bảng biến thiên:
x
-
∞
-1 1 +
∞

'
y

+ 0 - 0 +
y




Hàm số ñồng biến trên các khoảng
( ; 1)
−∞ −
và (1; +
∞
); nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Bài 3.
Tìm các giá trị của tham số m ñể hàm số:
3 2
1
( 6) 2 1
3

y x mx m x m
= + + + − −
ñồng biến trên R (ñồng
biến với mọi x)
Giải
TXð: R
ðể hàm số ñồng biến trên R (ñồng biến với mọi x) thì ta phải có
' 0
y x
≥ ∀

2
2
2 6 0
' 0
6 0 2 3
x mx m x
m m m
⇔ + + + ≥ ∀
⇔ ∆ ≤
⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤

Bài 4. Cho hàm số:
3 2
( 1)
. (3 2)
3
m
y x mx m x
−

= + + −
Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến.
Giải

2
' ( 1) 2 3 2
y m x mx m
= − + + −

ðể hàm số luôn ñồng biến thì
' 0
y x
≥ ∀

+ Với m-1 = 0  m = 1 thì y’ = 2x +1 ñổi dấu khi x vượt qua
1
2
−

Vậy hàm số không thể luôn ñồng biến.
Bài 5. Cho hàm số:
4 2
( 1) 3
y m x mx m
= − − + −

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên
(1, )
+∞

Giải
3 2
' 4( 1) 2 2 2( 1)
y m x mx x m x m
 
= − − = − −
 

Hàm số ñồng biến trên
(
)
(1; ) ' 0 1;y x
+∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞

+) m = 1 thì y’ = -2x
Khi ñó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên
(
)
1;
+∞
=> m = 1 không thỏa mãn.
+) m-1 > 0
 m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm
Khi ñó ta có dấu của y’ như sau:
-
∞
-
2( 1)
m
m

−
0
2( 1)
m
m
−
+
∞

- + - +
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


( )
' 0 1; 1 2( 1) 2
2( 1)
m
y x m m m
m
≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≥
−

+) m – 1 < 0
 m < 1
Xét f(x) = 2(m - 1)x
2
– m
8 ( 1); 1 0
f m m m
∆ = − − <

- Nếu
0 8 0 0
m m
∆ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥
kết hợp với m < 1 =>
0 1
m
≤ <
thì
( ) 0
f x x
≤ ∀

=> dấu của
2
' 2 2( 1)
y x m x m
 
= − −
 
như sau:

- Nếu
0 0
m
∆ > ⇔ <
thì y’ có 3 nghiệm.
Khi ñó dấu của
2
' 2 2( 1)
y x m x m
 
= − −
 
như sau:
-
∞
+ - +
∞


Vậy không thể có
' 0
y
≥
trên
(1;
+∞
)
ðáp số:
2

m
≥

Bài 6. Cho hàm số:
2 3 2
( 5 ) 6 6 5
y m m x mx x
= − + + + −

Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R. Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến?
Giải
2 2
' 3( 5 ) 12 6
y m m x mx
= − + + +

Hàm số ñơn ñiệu trên R khi và chỉ khi y’ không ñổi dấu.
Xét các trường hợp sau:
+)
2
0
5 0
5
m
m m
m
=

+ = ⇔


= −


Với m = 0 => y’ = 6 > 0 => Hàm số ñơn ñiệu trên R và hàm số ñồng biến
Với m = -5 => y’ = -60x + 6 => Hàm số ñổi dấu khi x vượt qua
1
10
(không thỏa mãn)
+)
2
0
5 0
5
m
m m
m
≠

+ ≠ ⇔

≠ −


Khi ñó y’ không ñổi dấu nếu
2
5
' 3 5 0 0
3
m m m
∆ = + ≤ ⇔ − ≤ <

Với ñiều kiện ñó ta có:
2
3( 5 ) 0 ' 0
m m y
− + > ⇒ >
trên R => Hàm số ñồng biến trên R.
Kết luận:
5
0
3
m
− ≤ ≤
thì hàm số ñơn ñiệu trên R cụ thể là hàm số luôn ñồng biến.
Bài 7.
Cho hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên TXð (ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó)
Giải
TXð:
1
x
≠

2
' 1
( 1)
m
y
x
= −
−

- Nếu
0
m
≤
thì y’ > 0
1
x
∀ ≠
do ñó hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng
( ;1)
−∞
và (1;+
∞
), tức ñồng biến
trên TXð.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-


- Nếu m > 0 thì
2
2
2 1
' , ' 0 1
( 1)
x x m
y y x m
x
− + −
= = ⇔ = ±
−


Ta có bảng biến thiên:
x

-
∞
1
m
− 1 1
m
+ +

∞

'
y

+ 0 - - +
y




Hàm số nghịch biến trên (1-
m
;1) và (1;1+
m
) nên không thể ñồng biến trên tập xác ñịnh.
ðáp số :
0
m
≤




Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn :
Hocmai.vn