Các phương pháp tính Nguyên hàm -Tài liệutự luyện Toán 12 - P1

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm- Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Tìm h các nguyên hàm sau:
1.
3
4 3 2
1
42
4
x x x x dx

   



2.
32
3
45
3 1 7
2
m
mx x x m dx

xx

     




3.
 
3
2 log 2sin2 3cos4
xx
me a x x x dx   

4.
2
3 tanx+3x-2
x
dx
x






Gii:
1.
5
3

4 3 2 5 4 2
3
1 1 4 3 1
4 2 . 2
4 20 3 5 2
x x x x dx x x x x x C

         




2.
 
3
3 2 4 3
2
3 2 2
4 5 2 4 5
3 1 7 1 7
2 4 3 2. 2.
m m m
mx x x m dx x x x mx C
x x x x

             




3.
 
 
3
2 1 3
2 log 2sin 2 3cos4 ln os2x+ sin 4
ln ln3 4
x
x x x
a
me a x x x dx me x x x c x C
a
        


4.
2
2 3 3
3 tanx+3x-2 4 ln osx 2
ln3 2
x
x
dx x c x x C
x

       




Bài 2: Tìm h các nguyên hàm sau:
a.
2
1
44
dx
xx

b.
2
1
9 12 4
dx
xx


c.
2
1
32
dx
xx

d.
2
1
4 3 1
dx
xx


Gii:
a.
 
2
2
1 1 1
4 4 2
2
dx dx C
x x x
x
   
  



b.
22
2
1 1 1 1 1 1 1
2
9 12 4 9 9 9 6
22
9
3
33
dx dx dx C
x x x

x
xx
    
  

   



   

   
  

c.
  
2
1 1 1 1 1 2
ln 2 ln 1 ln
3 2 2 1 1 2 2 1 1
x
dx dx dx dx x x C
x x x x x x x

        
       
   

BÀI 02. CÁC PHNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHN 01)
ÁP ÁN BÀI TP T LUYN

Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG
Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Bài 02. Các phng pháp tính nguyên hàm
(Phn 01) thuc khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng ti website Hocmai.vn giúp các Bn kim tra,
cng c li các kin thc đc giáo viên truyn đt trong bài ging Bài 02. Các phng pháp tính nguyên hàm
(phn 01).  s dng hiu qu, Bn cn hc trc Bài ging
sau đó làm đy đ các bài tp trong tài liu này.

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm- Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


d.
 
2
1 1 1 1 1 1 1
.
1
11
4 3 1 4 3 1
11
4
44
dx dx dx dx
x x x
x
xx



   

  
   


  
   

   
   

 
41
1 1 1 1 1
ln 1 ln ln ln
1
3 4 3 3 4 1
4
x
x
x x C C
x
x

  
      






Bài 3: Tìm h các nguyên hàm sau:
a.
2
2( 1)
23
x
dx
xx



b.
 
2
22
44
x dx
xx




c.
2
32
23

x
dx
xx



d.
2
23
44
x
dx
xx




Gii:
a.
 
2
2
2 2 2
23
2( 1) 2 2
ln 2 3
2 3 2 3 2 3
d x x
xx
dx dx x x C

x x x x x x


     
     
  

b.
 
 
2
2
2 2 2
43
22
24
ln 4 3
4 3 4 3 4 3
d x x
x dx
x dx
x x C
x x x x x x



     
     
  

c. Cách 1.
Ta có :
 
2 2 2
22
3 2 2 2
2 3 2 3 2 3
E x D
x E D E
x x x x x x

  

     
. ng nht h s hai t s ta có h phng trình :
 
2 2 2
3
3
22
23
3 2 1
2
2
22
2 3 2 3 2 3
1
x
E
E

x
DE
x x x x x x
D







   


     




.
Vy :
 
 
2
2
2 2 2
23
3 2 3 1 3
ln 2 3 1
2 3 2 2 3 2 3 2

d x x
x
dx dx x x J
x x x x x x


     
     
  

Tính :J=
2
1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 3 ln
2 3 4 1 3 4 4 3
x
dx dx dx x x C
x x x x x


       

    

  

Do đó :
2
2
3 2 3 1 1

ln 2 3 ln
2 3 2 4 3
xx
dx x x C
x x x

    
  


-Cách 2.
Ta có : +)
  
   
  
 
 
  
2
3 1 3
3 2 3 2
*
2 3 1 3 1 3 1 3 1 3
A x B x A B x A B
x x A B
x x x x x x x x x x
     

    
         

ng nht h s hai t s ta có h :
5
3
4
3 2 7
4
A
AB
AB
B















Suy ra :
   
2
3 2 5 1 7 1

2 3 4 1 4 3
x
x x x x


   

Vy :
2
3 2 5 1 7 1 5 7
ln 1 ln 3
2 3 4 1 4 3 4 4
x
dx dx dx x x C
x x x x

      
   
  
.
Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm- Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


+) Phân tích f(x) đn (*) .Sau đó thay hai nghim x=1 và x=3 vào hai t s đ tìm A,B , c th ta có h hai

phng trình sau :
5
3.1 2 (1 3)
4
3( 3) 2 ( 3 1) 7
4
A
A
B
B



  




    






Các bc tip theo ging nh trên .
d.Ta có :
 
2 2 2
24

2 3 2 4
4 4 4 4 4 4
E x D
x Ex D E
x x x x x x

  

     
. ng nht h s hai t s :
Ta có h
2 2 1
4 3 7
EE
D E D




    


Suy ra :
2 2 2
2 3 2 4 7
4 4 4 4 4 4
xx
x x x x x x



     
.
Vy :
 
2
2
22
2 3 2 4 1 7
7 ln 4 4
4 4 4 4 2
2
xx
dx dx dx x x C
x x x x x
x

      
    

  

Bài 4: Tìm h các nguyên hàm sau:
1
()
osx.cos x+
4
fx
c






.
Gii:
Cách 1. S dng đng nht thc :
os x+
os
4
4
1 2 os x+
4
os os
44
cx
c
cx
cc














   





Ta có :
os x+
os x+ osx+sin x+ sinx
4
44
( ) 2 2
sinx.cos x+ sinxcos x+
44
cx
cc
F x dx dx





   


   


     


   
   
   


=
sin x+
osx sinx
4
2 2 ln sinx ln os x+ 2 ln
sinx 4
cos x+ cos x+
44
c
dx dx c C











    



   



   

   



Cách 2 : Da trên đc thù ca hàm s f(x)
Ta có:
   
2
2
1 1 1 1
( ) 2 2 2
cosx
sinx sinx-cosx sin x cotx-1
sinxcos x+ sin x 1-
4 sinx
F x dx dx dx dx

   
   
   
   
   
   
cot cot 1

2 2 2 ln cot 1
cot 1 cot 1
d x d x
xC
xx

       





Giáo viên: Lê Bá Trn Phng
Ngun:
Hocmai.vn