CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.11 MB, 49 trang )
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Bài giảng đang được hoàn thiện mong các bạn thông cảm và góp ý theo địa chỉ
SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM
Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phép
biến đổi đại số
Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số
hợp
Trường hợp thường gặp
dx x C
1
1
x
x dx C
ln
dx
x C
x
2
1dx
C
x
x
Cedxe
xx
C
a
a
dxa
x
x
ln
Cxdxx sin.cos
Cxdxx cos.sin
2
2
1
(1 tan ). tan
cos
dx x dx x C
x
2
2
1
1 cot cot
sin
dx x dx x C
x
Cedxe
xx
0
dx C
Cudu
1
1
u
u du C
Culn
u
du
2
du 1
C
u u
Cedue
uu
C
aln
a
dua
u
u
Cusinuducos
Cucosudusin
2
cos
du
tgu C
u
2
cot
sin
du
gu C
u
x
1
n
n
nx
xdx C
n
1
1
1
ax b
ax b dx C
a
Cbax
a
dx
bax
ln
1
)(
1
Ce
a
dxe
baxbax )()(
1
1
ln
mx n
mx n
a
a dx C
m a
1
cos( ) sin( )
ax b dx ax b C
a
1
sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
2
1
tan
cos
dx
ax b C
a
ax b
2
1
cot
sin
dx
ax b C
a
ax b
TQ:
1
f(ax + b)dx = F(ax + b)+ C
a
Mở rộng:
10.
ln
sin 2
dx x
tg
x
+C
11. ln (
cos 2 4
dx x
tg
x
+C
14.
2 2
1
ln
2
dx x a
x a a x a
+C
15.
2 2
2 2
ln
dx
x x a
x a
+C
16.
Caxx
a
ax
x
dxax
22
2
2222
ln
2
2
17.
2 2
arcsin
dx x
C
a
a x
10.
ln
sin 2
du u
tg
u
+C
11. ln (
cos 2 4
du u
tg
u
+C
14.
2 2
1
ln
2
du u a
u a a u a
+C
15.
2 2
2 2
ln
du
u u a
u a
+C
16.
2 2 2 2
2
u
u a du u a
2
2 2
ln
2
a
u u a
+C
17.
2 2
arcsin
du u
C
a
a u
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
2
18.
2 2
1dx x
arctg C
a x a a
19.
2
2 2 2 2
arcsin
2 2
x a x
a x dx a x C
a
18.
2 2
1du u
arctg C
a u a a
19.
2
2 2 2 2
arcsin
2 2
u a u
a u du a u C
a
Chứng minh một số công thức cơ bản :
10. ln
sin 2
dx x
tg
x
+C
11. ln tan
cos 2 4
dx x
x
+C
Chứng minh :
10. Ta có :
2 2
sin cos sin cos
1 1
2 2 2 2
sin
2sin cos 2sin cos 2cos 2sin
2 2 2 2 2 2
x x x x
x x x x x x
x
sin cos (cos ) (sin )
1 1
2 2 2 2
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
ln cos ln sin ln
2 2 2
x x x x
d d
I dx dx
x x x x
x x x
C tg C
11. Ta có: cosx = sin(x+
2
) =
2sin( )cos( )
2 4 2 4
x x
kết quả
14.
2 2
1
ln
2
dx x a
x a a x a
+C
Ta có :
2 2
1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1
( )( ) 2 ( )( ) 2
x a x a
x a x a x a a x a x a a x a x a
Do đó :
1 ( ) ( ) 1
ln
2 2
d x a d x a x a
I C
a x a x a a x a
15.
2 2
2 2
ln
dx
x x a
x a
+C
Ta đặt :
2
2
2 2
2
2
2
(1 )
ln ln
x x x a
t x x a dt dx dx
x a x a
x a dx dt dt
dx dt I t C x x a C
t t t
x a
16.
2
2 2 2 2 2 2
ln
2 2
x a
x a dx x a x x a
+C
Ta đặt:
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( )
xdx
du
u x a
x a
dv dx
v x
x dx x a a dx
I x x a x x a
x a x a
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
3
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
ln
ln
2 2
dx
x x a x a dx a
x a
x x a I a x x a
x a
I x a x x a C
Ví dụ 1: (SGK – ban cơ bản T 101 và 102) Tìm các nguyên hàm:
d.
Ce
2
1
dxeI
2x32x3
XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số:
01
0
)(
2
khixxx
khixe
xF
x
là một nguyên hàm của hàm số:
012
0
)(
khixx
khixe
xf
x
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau:
- Với x 0, ta có:
012
0
)('
khixx
khixe
xF
x
- Với x = 0, ta có:
1lim
0
)0()(
lim)0('
1
1
lim
0
)0()(
lim)0('
0
00
02
00
x
ee
x
FxF
F
x
exx
x
FxF
F
x
xx
xx
Nhận xét rằng:
’ 0 ’ 0 1 ’ 0 1
F F F
, có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0.
Tóm lại:
)(
012
0
)(' xf
khixx
khixe
xF
x
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ?
a.
1
ln log
n x x
a
F x x x cosx + sinx+tanx + cotx+e a x x
x
.
b.
ln tan
2
x
F x c.
ln tan
2 4
x
F x
d.
2
ln ( )
F x x x a a R
e.
2 2
1
.ln
2
F x x x a a x x a C
.
Giải:
a.
1
2 2 2
1 1 1 1 1 1
’ sin cos .ln
.ln
cos sin
2
n x x
F x f x nx x x e a a
x x a
x x x
x
.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
4
b.
2
2
'
2
x
tan '
os
1 1
2
2
’
x
sinx
tan tan 2cos tan
2 2 2 2
x
x
c
F x f x
x x x
Nhận xét:
1
ln tan
sin 2
x
dx C
x
c.
x
t an '
2 4
1 1
’
x
osx
t an sin x+
2 4 2
F x f x
c
Nhận xét:
1
ln tan
s x 2 4
x
dx C
co
d.
/
2
2
2 2 2
1
1
’
x
x x a
x a
F x f x
x x a x x a x a
Nhận xét:
2
2
1
ln
dx x x a C
x a
e.
2
2 2
2 2
1
’
2
x
x a
F x f x x a x a
x a a
Nhận xét:
2 2 2
1
.ln
2
x adx x x a a x x a C
Bài tập áp dụng.
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số ( )
ln
x
F x
x
từ đó suy ra nguyên hàm:
I =
2
1 1
( )
ln
ln
dx
x
x
Bài 2: Cho hàm số
( ) 3
f x x x
. Xác định a, b, c để
2
3
F x ax bx c x
là nguyên hàm của f(x).
Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của:
2 1
(1 2 3 )
n
I x x nx dx
biết
0 0
F
.
Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số
sin 1 sin
f x x x
biết rằng
1
4
F
Bài 5: Tính đạo hàm của F(x) =
2
ln 1
x x C
từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số:
2
1
( )
1
f x
x
Bài 6: Chứng minh rằng
a. ( ) ln
2
x
F x tg C
là nguyên hàm của hàm số:
1
( ) ( )
sin
f x x k
x
b.
( ) ln ( )
2 4
x
F x tg C
là nguyên hàm của hàm số:
1
( ) ( )
cos 2
f x x k
x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
5
c.
2 2
1
( ) [ ln( )]
2
F x x x a a x x a
là nguyên hàm của hàm số: f(x) =
2
x a
.
Bài 7: Chứng minh rằng hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thì hàm số
f ax b
với a, b là hắng số a khác
0 có nguyên hàm là:
1
F ax b C
a
Áp dụng tính các nguyên hàm sau.
3
3
. sin5 .
1
. cos .
2 7
x
a xdx b e dx
c dx d dx
x
Bài 8: Cho g(x) là một hàm số tuỳ ý. Cmr hàm số ( ) ln ( )
F x g x C
là nguyên hàm của hàm số:
'( )
( )
( )
g x
f x
g x
. Áp dụng tính các nguyên hàm của các hàm số sau.
2
2 cos
. .
1 2sin
5
. cot .
x x
a dx b dx
x
x
c gxdx d tgxdx
Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số
2
ln
g x x x
từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số:
2 ln
f x x x
Bài 10: Chứng minh:
2
ln 0
F x x x k k
là một nguyên hàm của
2
1
f x
x k
trên các
khoảng mà chúng cùng xác định.
Áp dụng: tính
3
2
0
16
dx
I
x
Bài 11: Tính đạo hàm.
2
1
u x x x
. Suy ra nguyên hàm các hàm số sau :
a.
2
2
2
1
1
x x
f x
x
b.
2
1
1
h x
x
c.
2 2
1
1 1
g x
x x x
.
Bài 12: Tìm hàm số
f x
biết rằng
1.
’ 2 1
f x x
và
1 5
f
HD:
' 2 2
1 1 1 5 3 3
f x f x dx x x C f C C f x x x
2.
2
’ 2 –
f x x
và
7
2
3
f
Đs:
3
2 1
3
x
f x x
3.
’ 4
f x x x
và f(4) = 0 Đs:
2
8 40
3 2 3
x x x
f x
4.
2
1
’ 2
f x x
x
và f(1) = 2 Đs:
2
1 3
2
2 2
x
f x x
x
5.
2
’ , '(1) 0, (1) 4, ( 1) 2
b
f x ax f f f
x
Đs:
2
1 5
2 2
x
f x
x
TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT
SỐ HÀM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Bài 1: (SGK – ban nâng cao T 141) Tìm các nguyên hàm:
a.
2010
2009
2 3
2 3
4020
x
I x dx C
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
6
b.
2
4sin 2 sin 2
I xdx x x C
c.
1 cos4 1 sin4
2 2 4
x x
I dx x C
Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3 3
tan 1
cos 3cos
x
I dx C
x x
b.
1 cos4 1 sin4
2 2 4
x x
I dx x C
Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
2
x x
e e
y
b.
2
lg
2
x
e x
y
c.
3 3
sin .cos3 cos .sin3
y x x x x
d.
log ln
a
y x x
e.
sin .cos
y mx nx
(m, n là hằng số)
Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3
3
3
x x x m
y
x
b.
4 3
3 2
x x x m
y
x
c.
3
1 2
ln
m
y x
x
x
d.
3
( )
p
y qx
x
e.
cos .cos
y px qx
(với m, n, p, q là các hằng số)
TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA MỘT BIỂU THỨC
VÀO DẤU VI PHÂN (NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỢP)
Cho hàm số
y f x
xác định trên
,
a b
và có đạo hàm trên đoạn đó ta có
1. Vi phân của hàm số
y f x
kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx)
2. Công thức tính:
'
dy y dx
hoặc
'
df x f x dx
Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số
3. Vi phân của các hàm số thường gặp:
1.
.
d ax b a dx
2.
2
2
d ax bx c ax b dx
3.
3 2 2
3 2
d ax bx cx d ax bx c dx
4.
cos sin .
d x x dx
5.
sin cos
d x xdx
6.
sin .cos .
d ax b a ax b dx
7.
cos sin
d ax b a ax b dx
8.
x x
d e e dx
9.
ax b ax b
e ae dx
10.
2
1
tan
cos
d x dx
x
11.
2
1
cot
sin
d x dx
x
12.
1
2
d x dx
x
13.
2
a
d ax b dx
ax b
14.
1
ln
d x dx
x
15.
2 2
1 x
d dx
x a x a
16.
1
1
m m
d x m x
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (với a, b, c, m, n là các hằng số):
1.
2007
y mx n 2.
1
y
mx n
3.
4 3 2
1 2
2
x
y
x x x
4.
2 3
2
( )
ax b
y
ax bx c
5.
ln
n
x
y
x
6.
2008
cos sin
(sin cos )
x x
y
x x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
7
7.
3
4
3 2
x
y
x
8.
2007
( 1)
x
y
x
9.
1
.ln .ln(ln )
y
x x x
10.
3 5
x
x
e
y
e
11.
4 4
2
x x
y
x
12.
(ln 1)
m
x
y
x
13.
22007
x
y
x a
14.
10
3 5
y x 15.
2007
sin 2 .cos
y x x
16.
cos .sin
p
y x x
17.
sin .cos
p
y x x
18.
2
sin
cos .
x
y x e
19.
3
2 3
.
x
y x e
20.
5
cos
y x
21.
7
sin
y x
22.
4
tan
y x
23.
5
tan
y x
24.
3
cot
y x
25.
2 2
tan cot
y x x
26.
2
1
.
x
y x e
27.
4
sin
4
y x
TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích
phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc
chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Phương pháp chung:
Bước 1: Biến đổi
f x
về dạng:
1
f x ( )
n
i i
i
f x
với
i
f x
có nguyên hàm trong bảng công thức và
i
là các hằng số.
Bước 2: Khi đó:
n
i
iii
n
i
i
dxxfdxxfdxxf
11
)()()(
Một số kĩ thuật phân tích:
1. Nhân phân phối:
a b c d ac ad bc bd
2. Khai triển các hằng đẳng thức
2
2 2
2
A B A AB B
,
3
3 2 2 3
3 3
A B A A B AB B
…
3. Thêm bớt hạng tử
.
,
X B
X X B B X
B
với
0
B
…
4. Nhân liên hợp:
llh
A B A B
,
3 3
2 2
3 3 3
llh
A B A AB B
…
5. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của hàm lượng giác
Với mục đích biến đổi tích thành tổng (với hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích)
Chú ý:
Kĩ thuật phân tích thành tổng đối với hàm phân thức dựa vào tính chất
1 2 1 2
n n
a a a a
a a
b b b b
kết hợp với một số tính chất của hàm lũy thừa sau
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
8
1
n
n
a
a
,
m
n
m
n
a a
,
n
n
n n n
n
a a
(ab) a .b ;
b
b
,
n
m mn
a a
Một số dạng thường gặp:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm:
, 0
I x ax b dx a
Sử dụng đồng nhất thức
1 1
x ax ax b b
a a
Dạng 2: Tìm nguyên hàm:
2
x
I dx
ax b
Sử dụng đồng nhất thức
2
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
2
x a x ax b b ax b b ax b b
a a a
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tìm nguyên hàm:
2002
1
I x x dx
Cách 1: Sử dụng cách đồng nhất thức:
1 1
x x
2002 2002 2002 2002 2003
(1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
x x x x x x x
2002 2003 2002 2003
2003 2004
1 1 1 (1 ) 1
1 1
1 1
2003 2004
I x dx x dx x d x x dx
x x C
Cách 2: Đổi biến số:
Đặt
1
t x
2002 2002 2003
2003 2004
2003 2004
1
(1 )
1 1 1 1
1 1
2003 2004 2003 2004
x t dx dt
I t t dt t dt t dt
t t C x x C
Bài 2: Tìm nguyên hàm:
2
4 3
dx
I
x x
Giải :
Cách 1:
Ta có:
2
1 1 1 ( 1) ( 3) 1 1 1
( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 3 1
4 3
x x
x x x x x xx x
1 ( 3) 1 ( 1) 1 1 1 3
ln 3 ln 1 ln
2 3 2 1 2 2 2 1
d x d x x
I x x C
x x x
Cách 2:
Ta có:
2 2
1 3
ln
2 1
4 3
2 1
dx dx x
I C
x
x x
x
Bài 3: Tìm nguyên hàm:
3
1 3
xdx
I
x
Giải:
C1: Sử dụng đồng nhất thức:
1
1 3 1
3
x x
3 3 2 2
1 3 1
1 1 1 1
3 3
(1 3 ) (1 3 )
1 3 1 3
x
x
x x
x x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
9
2 3
2 3
1 2
1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 1
(1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 )
9 9 9 9
(1 3 ) (1 3 )
1 1
(1 3 ) (1 3 )
9 18
d x d x
I x d x x d x
x x
x x C
C2: Phương pháp hệ số bất định
Bài 4: Tìm nguyên hàm:
2
2
dx
I
x x
Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
2
1 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 1
( 1)( 2) 3 ( 1)( 2) 3 2 1
2
1 1 1 1 1 2
ln
3 2 3 1 3 1
x x
x x x x x x
x x
x
I dx dx C
x x x
Bài 5: Tìm nguyên hàm:
4 2
4 3
dx
I
x x
Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 ( 3) ( 1) 1 1 1 1 1
2 2 2 2
( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 1) ( 3) 1 3
x x dx dx
I
x x x x x x x x
Bài 6: Tìm nguyên hàm:
3
10
( 1)
x dx
I
x
Giải:
Cách 1:
Sử dụng đồng nhất thức:
3
3 2
3
1 1 1 3 1 3 1 1
x x x x x
3
10 7 8 9 10
7 8 9 10 6 7 8 9
1 3 3 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 3 1 3 1 1 1
3 3
6 7 8 9
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x
x x x x x
dx dx dx dx
I C
x x x x x x x x
Cách 2:
Đặt
1
t x
ta có:
1
x t
nên
dx dt
3
3 2
7 8 9 10
10 10
1
( 3 3 1)
3 3
t dt
t t t dt
A t dt t dt t dt t dt
t t
6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 1
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
C
x x x x
Bài 7: Tìm nguyên hàm:
2001
1002
2
1
x
I dx
x
Giải:
Ta phân tích :
1000
2001 2000 2
1002 1000 2 2
2
2 2 2 2
1
1 1 1 1
x x x x x
x
x x x x
Đặt:
2
2
1
x
t
x
2
2
2
1
x
dt dx
x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
10
1000 1001
2 2 2
2 2 2
1 1
2 2002
1 1 1
x x x
I d C
x x x
Bài 8: Tìm nguyên hàm:
7 5
dx
I
x x
Giải:
Sử dụng dồng nhất thức:
2 2
1 1
x x
2 2 2 2
5 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2
5 2
2 2
5 3 2 5 3 2
2
5 3 2 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1)
1 1 1 1 1 1 1
ln ln 1
4 2
1 2
x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x
x x x
xx x x x x x x
x
I dx dx dx dx x x C
x
x x x x x
Bài 9: Tìm nguyên hàm:
5 3
dx
I
x x
Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
2 2
1 1
x x
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
3 2
2
3 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 1
1
1 1 1 1 1
ln ln 1
2 2
1
x x x x x
x
x x x x x x x x x x
x x
x
I dx dx dx x x C
x
x x x
Bài 10 : Tìm nguyên hàm:
2
39
1
x dx
I
x
Giải:
Cách 1:
Sử dụng đồng nhất thức :
2
2
2
1 1 1 2 1 1
x x x x
2
2
39 39 37 38 39
1 2(1 ) 1
1 2 1
1 1 1 1 1
x x
x
x x x x x
37 38 39 36 37 38
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
36 37 38
1 1 1 1 1 1
I dx dx dx C
x x x x x x
Cách 2:
Đặt: 1
t x
1
x t dx dt
2
39 39 38 37 38 37 36
1
1 1 1 1 1 2 1 1 1
2
38 37 36
t dt
I dt dt dt C
t t t t t t t
Bài 11: Tìm nguyên hàm:
x
e
dx
I
1
.
Giải:
Sử dụng đồng nhất thức:
1 1 –
x x
e e
.
Ta được:
1 1
1
1 1
1 1 1 1 1
x x x
x x
x x x x x
e e d e
e e
I dx dx
e e e e e
ln 1
x
x e C
.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
11
Bài 12: Tìm các nguyên hàm sau.
3
2 3
3
. . 2 3 5
x
x x x
x x e
a dx b dx
x
HD:
a.
5 3
3 3
2 2
3 3 3
2
( )
3
x x
x x
x x e x x e
I dx dx x dx e dx x e C
x x x
Vậy
3
2
2
3
x
I x e C
b.
2 3
(2250)
2 3 5 2 9 125 (2.9.125) (2250)
ln 2250
x
x x x x x x x x
I dx dx dx dx C
Vậy:
(2250)
ln 2250
x
I C
Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau:
1.
1 2 4 1
3 3
3 3 3
2
1 3 3 2
( ) 2
4 4
I x dx x x dx x x C x x C
x x x
2.
2 1
1 2 2
2
(3 ) 3 .2
3 .2 3 .( ) (3 ) .
2 ln3
ln(3 )
x x x
x x x x x
e
I dx e e dx e e dx e C C
e
3.
2
5 4 1 53
3
3
3 3 3 32
1
( 2 1) ( 2 ) ?
x x
I x dx x x x dx x x x dx
x
Nhận xét: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích và có hằng đẳng thức thì khai triển đưa về phân thức
Bài 15: Tìm các nguyên hàm sau:
1.
3 2 3
2 2
3 2 4 2
4 6 2 6 2ln 1
1 1 3
x x x x
I dx x x dx x x x C
x x
2.
1
1 ln( 1)
1 1 1
x x x
x
x x x
dx e e e
I dx dx x e C
e e e
3.
1 3 2 2 1 2 1 1
1 ln(2 3)
3 3 3 ln8
3 2 3 2 3 2
x x x
x
x x x
dx
I dx dx x C
Nhận xét: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức thì thông thường ta sử dụng chia đa thức hoặc
phân tích bằng cách thêm bớt.
Bài 16: (dựa vào các công thức lượng giác) Tìm các nguyên hàm sau:
1.
2
1 cos 1
sin ( sin )
2 2 2
x x
I dx dx x x C
2.
1 1 1 1
sin5 .cos3 (sin8 sin2 ) cos8 cos2
2 2 8 2
I x xdx x x dx x x C
3.
4 4 2 2 2
2 2 2 2
s sin s sin 1 2sin 1
2 cot 2
sin sin sin sin
co x x co x x x
I dx dx dx dx x x C
x x x x
4.
2 2
tan (1 tan 1) tan
I xdx x dx x x C
5.
4 4 2 2 2 2 2
tan (tan tan tan 1 1) tan (tan 1) (tan 1)
I xdx x x x dx x dx x dx dx
3
tan
tan
3
x
x x C
6.
2
3 2
2 2
1 tan tan
tan tan .tan 1 tan tan ln cos
2
cos cos
x x
I xdx x xdx xdx dx xdx x C
x
Bài tập tự giải:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
12
Bài 1: Tìm nguyên hàm:
2002 2003 2004
1 1
1 1 1
2003 2004
I x x dx x x C
Bài 2: Tìm nguyên hàm:
1 2
3
1 1
1 3 1 3
9 18
1 3
x
I dx x x C
x
Bài 3: Tìm nguyên hàm:
2005
1
I x x dx
Bài 4: (SGK – Ban cơ bản T100 – T101) Tìm các nguyên hàm:
a.
3 6 35 7 2
3
1 3 6 3
5 7 2
x x
I dx x x x C
x
b.
2 2 2
1 1
4 2cot 2
sin cos sin 2
I dx dx x C
x x x
hoặc phân tích
2 2
1 sin cos
x x
thì
tan cot
I x x C
c.
1 1
sin5 .cos3 cos8 cos2
4 4
I x xdx x x C
d.
2 1 2 ln 2 1
ln 2 1
x x
x x
I dx
e e
e.
1 1 1
ln
1 1 2 3 1 2
x
I dx
x x x
phân tích:
1
1 2 1 1 2
3
x x
Bài 5: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3 3
2 2
1 1
3 1
3
3 1
I dx x x C
x x
b.
4 4
3 3
2 2
3 2
3 3
1 3
1 1
8
1 1 1
I dx x x C
x x x
Bài 6: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
2
tan tan –
I xdx x x C
b.
1
2sin3 cos2 cos5 cos
5
I x xdx x x C
c.
2 3
2 3
ln ln3
x x
x x
a
I a dx C
a
d.
2
tan – cot tan cot – 4
I x x dx x x x C
e.
2 2
cos2
cot – tan
sin .cos
x
I dx x x C
x x
f.
2
(2 ) 2 tan
cos
x
x x
e
I e dx e x C
x
Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
43 5
3
2 4
3 4
2 3 4
3 4 5
x x x
I x x x dx C
b.
3 2
2
1 3
x – 3x ln
3 2
x x
I dx x C
x
c.
2 2 3
2
( 1) 1
2
3
x x
I dx x C
x
x
d.
2
1
–1
2
x x x x
I e e dx e e C
e.
2
2sin – sin
2
x
I dx x x C
e.
2
( 1)
4 ln
x
I dx x x x C
x
Bài 8: Tính các nguyên hàm sau.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
13
3
3 3 2
3 2
3
2 3
3
. ( )( ) . ( 1)( 2)
1
. ( ) . ( )
. sin . sin
. ( 1) . 2
. 2 . 2
. ( 2 ) . sin cos
x x x
x x x x
a x x a x b dx b x x x dx
c x dx d ax b dx
x
e xdx f xcoxdx
g e dx h e e dx
i e e dx k e dx
l x x dx m x xdx
Bài 9: Tính các nguyên hàm sau.
3
3 4
3
2 2
. ( ) . 2cos sin5
6 4 2
. cos (cos 1) .
2
1 1
. ( ) . ( )
. cot .
x x x
x
a x x xdx b x xdx
c x x dx d dx
e x x x dx f dx
x x
g g xdx h tg xdx
Bài 10: Tính các tích phân sau:
a.
6 6
2
sin cos
cos
x x
f x
x
b.
2
2
x
f x
x x
c.
1
1 2
f x
x x
d.
sin .sin 3 .sin 5
f x x x x
e.
2
2 .3 .5
x x x
f x f.
4
sin
f x x
g.
3
4
f x x x
h.
4 4
2
sin cos
sin
x x
f x
x
i.
3
3
1
(2 1) 2 1
f x
x x
k. (ĐHKTQD 1999)
1
tan
2 1 2 1
f x x
x x
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân. Phương pháp đổi biến số để
xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:
Định lý 1:
a. Nếu
f x dx F x C
và
u x
là hàm số có đạo hàm thì:
.
f u du F u C
b. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt
u t
trong đó
φ t
cùng với đạo hàm
'
φ t
là những hàm số liên
tục, ta được:
'
f x dx t t dt
Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ bản dựa trên định lý sau:
Định lý 2:
a. Nếu
f x dx F x C
và
u t
là hàm số có đạo hàm trong khoảng [a,b]
thì:
)(
)(
)(
)(
)()(
b
a
b
a
uFduuf
.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
14
b. Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số
x
φ t
xác định và liên tục trên đoạn [,
] và thoả mãn các điều kiện sau:
i. Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ].
ii.
φ(α) a
và
φ(β) b
.
iii. Khi đó:
b
a
dtttfdxxf
.)(')()(
Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t)
hay u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể.
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
A. Đổi biến số nghịch đặt
u x
Loại 1: Đối với hàm lượng giác:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm:
cos sin
I f ax b ax b dx
đặt
1
cos sin
u ax b du ax b dx
a
TQ:
cos sin
n
I f x xdx
với
n R
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
6
sin cos
dx
I
x x
b.
3
sin cos 1
dx
I
x x
Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3
sin
dx
I
x
b.
3
5
cos
sin
x
I dx
x
Dạng 2: Tìm nguyên hàm:
sin cos
I f x xdx
đặt
sin cos
u x du xdx
TQ:
sin cos
n
I f x xdx
với
R
n
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
4
tan
cos
x
I dx
x
b.
2
cos
cos3
x
I dx
x
Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3
cos
dx
I
x
b.
4
sin cos
dx
I
x x
Dạng 3: Tìm nguyên hàm:
2
2
sin
sin 2
cos
x
I xdx
x
đặt
2
2
sin sin 2
sin 2
cos
x x
u du dx
x
x
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
4 4
sin 4
sin cos
x
I dx
x x
b.
2007
4 4
sin 4
sin cos
x
I dx
x x
Dạng 4: Tìm nguyên hàm:
2
1
tan
cos
I f ax b dx
ax b
đặt
2
1
tan
cos
u ax b du dx
ax b
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3 2
1
tan tan ln cos
2
I xdx x x C
b.
3 3
sin .cos
dx
I
x x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
15
c.
2 2
2sin 5sin cos 3cos
dx
I
x x x x
d.
2
sin 2cos
dx
I
x x
Dạng 5: Tìm nguyên hàm:
2
1
cot
sin
I f ax b dx
ax b
đặt
2
1
cot
sin
u ax b du dx
ax b
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a.
3
cot
I xdx
b.
4
sin
dx
I
x
c.
10
cot 5
sin5
x
I dx
x
d.
2 2
sin 2cos
dx
I
x x
Dạng 6: Tìm nguyên hàm:
sin cos sin cos
I f x x x x dx
đặt
sin cos sin cos
u x x du x x dx
Loại 2: Đối với hàm số mũ là logarit:
Dạng 7: Tìm nguyên hàm:
x x
I f e e dx
đặt
x x
u e du e dx
Dạng 8: Tìm nguyên hàm:
1
ln
I f x dx
x
đặt
1
ln
u x du dx
x
Dạng 9: Tìm nguyên hàm:
1
ln ln
ln
I f x dx
x x
đặt
1
ln ln
ln
u x du dx
x x
hoặc
1
ln
u x du dx
x
Loại 3: Đối với hàm hữu tỷ và vô tỷ
Dạng 10: Tìm nguyên hàm:
1n n
I f x x dx
đặt
1
1
n n
u x du n x dx
Dạng 11: Tìm nguyên hàm:
1
I f x dx
x
đặt
1
2
u x du dx
x
Dạng 12: Tìm nguyên hàm:
I f ax b dx
đặt
u ax b du adx
Dạng 13: Tìm nguyên hàm:
2
1 1
1
I f x dx
x x
đặt
1 1
1
u x du dx
x x
B. Đổi biến số thuận đặt
ux
Dạng 1: Tìm nguyên hàm:
2 2
,
I f x x a dx
với
0
a
Cách 1: đặt
2
2
1
tan tan 1
cos
x a u du dx x dx
x
với
2
π
u
2
π
Cách 2: đặt
cot
x a u
với
πu0
hoặc
2
1
u x x
Dạng 2: Tìm nguyên hàm:
2 2
,
I f x x a dx
với a > 0
Cách 1: đặt
sin
a
x
u
với
π π
; \ 0
2 2
u
Cách 2: đặt
cos
a
x
u
với
π
0;π \
2
u
Hoặc
2 2
u x a
TỔNG QUÁT BẢNG SAU:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
16
Dấu hiệu
Cách chọn
22
xa
ttax
ttax
0,cos
22
,sin
22
ax
2
,,0,
cos
0,
2
,
2
,
sin
tt
t
a
x
tt
t
a
x
xa
xa
xa
xa
,
tax 2cos
xbax
2
x a b – a sin t
Hàm có mẫu số t là mẫu số
Hàm f(x,
)(xf
)
t ( )
f x
Hàm
1
f x
x a x b
t
x a x b
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tìm nguyên hàm:
2 3
5
I x x dx
HD:
Đặt
3
5
u x
suy ra
2 3 2
2
5
3
u x x dx udu
Khi đó:
2 3 2 3
2 2 2
5
3 3 9
I x x dx u udu u du u C
Vậy
3 3
2
( 5)
9
I x C
Bài 2: Tìm nguyên hàm:
2
1
1
I dx
x
HD:
Đặt
2
2
1
tan (1 tan )
cos
x u dx d u du
u
khi đó:
2
2 2
(1 )
1 1
dx tg u du
I du u C
x tg u
Bài tậptự giải:
Bài 1: (SGK – ban cơ bản T101) Tìm các nguyên hàm:
a.
10
9
1
1
10
x
I x dx C
b.
3
5
2 2
2
2
1
1 1
5
I x x dx x C
Bài 2: ( SGK – ban nâng cao T145 ) Tìm các nguyên hàm:
a.
1
2
3
2
3
9
6 1
1
x
I dx x C
x
b.
2
5 4
5
5 4
dx
I x C
x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
17
c.
5
2 24
4
2
1 1
5
I x x dx x C
d.
2
2
1
1
dx
I C
x
x x
Bài 3: Tìm các nguyên hàm:
a. (SGK – ban cơ bản T101)
1
2 1
x x x
dx
I C
e e e
b.
2
2 2 2
1 1 1
2 ln
x
x x x
x
e
I dx C
e e e e
C1: đặt
2
x
u e
C2: đặt
2
x
u e
Bài 4: (SGK – ban nâng cao T145 – T 175) Tìm các nguyên hàm:
a.
5 6
1
sin cos sin
3 3 2 3
x x x
I dx C
b.
2
2
1 1 1 1 1
sin cos sin
2
I dx C
x x x
x
c.
1 3 3
2 2 2
2
sin 1 cos 1
3
I x x dx x C
d.
2
sin 2 1
1
2cos 2 1
cos 2 1
x
I dx C
x
x
e.
2
1 1 1
cos 1 sin 1
I dx C
x x
x
Bài 4: Tìm các nguyên hàm:
a.
3
2 2
2
cos .sin 1
1 sin ln 1 sin
2
1 sin
x x
I dx x x C
x
C1: đặt
2
1 sin
u x
C2: đặt
2
sin
u x
C3: đặt
sin
u x
C4 : đặt
3 cos2
t x
b.
3
4
1 1
tan tan
3
cos
I dx x x C
x
c.
2
7 5 3
8
cos 1
15cot 42cot 35cot
105
sin
x
I dx x x x C
x
d.
1
ln tan
sin 2
x
I dx C
x
C1:
2
2sin cos tan cos
2 2 2 2
x
d
dx
I
x x x x
C2:
2
sin
1 cos
x
I dx
x
e.
3 3
2
sin cos 3cos 7cos cos
21
I x xdx x x x C
f.
sin cos
ln sin cos
sin cos
x x
I dx x x C
x x
C1: Đồng nhất thức
C2: Đặt
sin cos
u x x
C3:
sin cos
sin cos
d x x
I
x x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
18
C4:
2 sin
4
2 cos
4
x
I dx
x
e.
2
3
3
sin cos 3
sin cos
2
sin cos
x x
I dx x x C
x x
Bài 5: Tìm cácnguyên hàm:
a. (ĐHNT TPHCM – 1997)
cos sin .cos
sin ln 2 sin
2 sin
x x x
I dx x x C
x
b. (ĐH TCKT HN – 1996)
4
3 54
1
4 tan
sin .cos
I dx x C
x x
Bài 6: Tìm các nguyên hàm:
a.
3 3
2
sin cos 3cos 7cos cos
21
I x xdx x x x C
b.
5 3 7 11
2 4 2
cos sin sin sin sin
3 7 11
I x xdx x x x C
Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau:
1.
7 6
1
ln ln
dx
I C
x x x
2.
5sin 5sin
1
cos .
5
x x
I e xdx e C
3.
3 4
2x 2x 2x
1
e 5 e dx e 5 C
8
I
4.
ln( 1) .
1
x
x
x
e dx
I e C
e
5.
3
1
2 1
3
2 1
dx
I x C
x
6.
2
2
2 1
ln | 3| .
3
x
I dx x x C
x x
7.
2
2
1
1
xdx
I x C
x
8.
4
3 32 3 3
1
1 1 . -1
4
I x x dx x C x
9.
1
ln
(1 ) 1
dx x
I C
x x x
(
t x
) 10.
2 2 2
1
(1 ) 2(1 )
xdx
I C
x x
11.
2 2
1
.
2
x x
I xe dx e C
12.
3
1
sin 2cos 1 2cos 1 .
3
I x x dx x C
13.
tan
tan
2
.
cos
x
x
e dx
I e C
x
14.
1 1
ln .
2
1
x
x
x x x
dx e
I C t e
e e e
15.
cos sin
2 sin cos .
sin cos
x x
I dx x x C
x x
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng rất thông dụng trong quá trình xác định nguyên hàm của
hàm số. Phương pháp này cụ thể như sau:
Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì:
.
udv uv vdu
Còn đối với tích phân xác định, ta có:
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
19
Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân
I f x dx
ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:
1 2
. .
I f x dx f x f x dx
Bước 2: Đặt:
1
2
.
u f x
du
v
dv f x dx
Bước 3:
.
I uv vdu
Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân
thủ các nguyên tắc sau:
- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
- Tích phân
vdu
được xác định một cách dễ dàng hơn so với I.
Một số dạng thường gặp:
Dạng 1:
sin
( )
n
ax
ax
I P x cosax dx
e
Đặt:
( ) ' ( )
sin sin
cos
n n
ax ax
u P x du P x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
Chú ý:
- Ta phải tính n lần tích phân từng phần
TQ:
( )
( ).sin ( ).
( ).cos ( ). ( )
( ). .
n
n n
f x
n
P x f x dx
P x f x dx u P x
P x e dx
Dạng 2:
( )ln( )
I P x ax dx
Đặt:
ln( )
( )
( )
dx
du
u ax
x
dv P x dx
v P x dx
TQ:
( ).ln ( ). ln ( )
n n
P x f x dx u f x
Chú ý:
- Ta phải tính n lần tích phân từng phần
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
20
Dạng 3:
sin
.
cos
ax
bx
I e dx
bx
Đặt:
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
Đây là hai tích phân mà ta tính tích phân này phải tính luôn cả tích phân kia. Ta làm như sau
- Tính
sin
ax
e bxdx
. Đặt
ax
u e
sau khi tính tích phân từng phần ta lại có tích phân
cos
ax
e bxdx
. Ta lại áp
dụng tích phân từng phần với u như trên
- Từ hai lần tích phân từng phần ta có mối quan hệ giữa hai tích phân này
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tính nguyên hàm: cos
x
I e xdx
HD:
Đặt
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x
khi đó
cos sin sin
x x x
I e xdx uv vdu e x xe dx
Ta tính
1
sin
x
I xe dx
Đặt
sin cos
x x
u e du e dx
dv xdx v x
Vậy
1
sin cos cos
x x x
I e xdx uv vdu e x xe dx
Thay I
1
vào I ta được
2 sin cos
x
I e x x C
Vậy
1
(sin cos )
2
x
I e x x C
Bài 2: Tìm nguyên hàm:
.
1
)1ln(
2
2
dx
x
xxx
I
Giải:
Ta viết lại I dưới dạng: .
1
)1ln(
2
2
dx
x
x
xxI
Đặt:
1
1
.
1
1
1
1
1ln
2
22
2
2
2
xv
x
dx
dx
xx
x
x
du
dx
x
x
dv
xxu
Khi đó:
2 2 2 2
1ln 1 1ln 1 .
I x x x xdx x x x x C
Một số dạng toán:
Dạng 1: Tính tích phân dạng
( )sin
P x axdx
, ( )cos
P x axdx
, ở đây P(x) là một đa thức ẩn x.
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
21
Để tính những tích phân loại này bao giờ cũng đặt
ln
u x
với ( )ln
P x xdx
; và
( )
u P x
với các tích phân
còn lại.
( )
x
P x e dx
,
( )ln( )
P x x
Bài 2: Tìm cácnguyên hàm::
a. ln
n
I x xdx
. Với
1
n
. Đs:
1 1
2
ln
1 ( 1)
n n
x x
x C
n n
b.
2
sin3
I x xdx
. Đs:
2
2 9 2
os3 sin3
27 9
x
c x x x C
c.
2
os2
I x c xdx
. Đs:
2
2 1 1
sin 2 cos2
4 2
x
x x x C
Loại 2: Tính tích phân dạng
ax
sin
e bxdx
;
ax
cos
e bxdx
. Đặt
ax
u e
(hoặc
sin
u bx
)
Bài 1: Tìm các nguyên hàm:
a.
sin x
x
e dx
. Đs:
sinx cos
2
x
x
e C
b.
2
os3
x
e c xdx
. Đs:
2
(2cos3 3sin3 )
13
x
e
x x C
Loại 3: Tính tích phân dạng
( )arcsin ; ( )arc os ; ( )arctan ; ( )arccot ;
P x xdx P x c xdx P x xdx P x xdx
với P(x) là đa thức.
Đặt
arcsin ; arccos ; arctan ; arccot ;
u x u x u x u x
Bài 1: Tìm các nguyên hàm:
a. arccos
x xdx
. Đs:
2
2
1 1
arccos arcsin 1
2 4 4
x
x x x x
b. arcsin
x xdx
. Đs:
2
1 1
arctan
2 2
x
x x C
Loại 4: Tính tích phân dạng
2
1
I x a dx
và
2 2
2
I a x dx
ĐS:
2 2
1
ln
2 2
x a
I x a x x a C
;
2
2 2
2
arcsin
2 2
x a x
I a x C
a
Bài tập tự giải:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm:
a.
1 sinx
1 cos
x
e dx
x
. Đs:
1 sinx
1 cos 1 cos
x
x
e
e C
x x
b.
2
ln( 1)
x x dx
. Đs:
2 2
ln( 1) 1
x x x x C
c.
1
2
0
ln(1 )
x x dx
. Đs:
1
ln 2 1
2 4
d.
2 2
sin
x
e xdx
. Đs:
2 2 2
1 1 1
(1 sin 2 ) os2
8 8 8
x x x
e x e c x e C
Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau
1.
1 2 3 2 . .
x x
I x e dx x e C
2.
. – 1 .
x x
I x e dx x e C
3.
2
2
1 1
ln 1– ln(1 ) ln(1 ) (1 )
2 2 4
x
I x x dx x x x C
4.
2
2
1
sin sin 2 cos2
4 4 8
x x
I x xdx x x C
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
22
5.
2 2 2
ln( 1 ) ln( 1 ) 1
I x x dx x x x x C
6.
1
cos sin cos
2
x x
I e x dx e x x C
7.
1
sin ln sin ln – cos ln ln
2
I x dx x x x C t x
8.
3
2 2
2
2 4 8
ln ln ln
3 3 9
I x xdx x x x C
9.
2
1 1 1
ln ln
1 2 1
x x x
I x dx x C
x x
10.
2
2
6 cos3 2sin3 9 sin 3
cos3
27
x x x x x
I x x dx C
Bài 3: (SGK – ban nâng cao T 145) Tìm các nguyên hàm:
a. .sin 2 .cos 4sin
2 2 2
x x x
I x dx x C
b.
2 2
1 1
.sin sin 2 cos2
4 4 8
x
I x xdx x x x C
c.
2 2
cos 2 .cos 2 sin
I x xdx x x x x C
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a.
2
ln(sin )
sin
x dx
J
x
b.
2
ln(cos )
cos
x dx
J
x
c.
2
3
cos
sin
x
J dx
x
d.
1
ln
1
x
J x dx
x
e.
2 2
. .
I x x a dx
g.
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA VÀI LỚP HÀM ĐẶC BIỆT
Để xác định tích phân các hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:
- Phương pháp tam thức bậc hai.
- Phương pháp phân tích.
- Phương pháp đổi biến.
- Phương pháp tích phân từng phần.
- Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dùng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích
ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần.
Tuy nhiên: chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể
A. Tích phân hàm phân thức
( )
( )
P x
I
Q x
với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp
1. Q(x) chỉ gồm toàn nghiệm đơn thức
1 2
, , ,
n
1 2
( ) ( )( ) ( )
n
Q x x a x a x a
deg
Q x n
Xác định các hằng số
1 2
, ,
n
A A A
thỏa mãn đồng nhất thức:
1 2
1 2
( )
( )
n
n
A
A AP x
Q x x a x a x a
. Khi đó
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
23
1 2 1 1 2 2
1 2
( )
ln ln ln
( )
n n n
n
P x dx dx dx
I A A A A x a A x a A x a
Q x x a x a x a
2. Q(x) chỉ gồm toàn nghiệm đơn thức và nghiệm bội
Giả sử
2 3
( ) ( )( ) ( )
Q x x a x b x c
Lúc này ta phân tích
3
2 1 2 1
2 3 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
C
B B C CP x A
Q x x a x b x b x c x c x c
Tìm các hằng số
1
, ,
A A
thay vào rồi tính tích phân
Hoặc:
+ Khi
2 2
( ) , 4 0
Q x x x px q p q
thì đặt
2
( )
.
( )
P x A Bx C
Q x x
x px q
+ Khi
2
( )Q x x x
với thì đặt
2
( )
( )
A
P x B C
Q x x x
x
.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a.
4
3 2
1
3 2
x
I dx
x x x
. Đs:
2
1 25
3 ln 4ln 1 ln 2
2 2 2
x
I x x x x C
b.
2
3 2
2 6
7 14 8
x x
dx
x x x
. Đs:
3ln 1 7ln 2 4ln 4
I x x x C
Bài 1: Tìm các nguyên hàm:
a.
2
3
1
( 1) ( 3)
x
I dx
x x
. Đs:
2
1 3 5 1
ln
4( 1) 8( 1) 32 3
x
I C
x x x
b.
2
3
1
( 1)
x x
I dx
x
. Đs:
2
3 3
ln 1
2( 1) 1
I x C
x x
c.
2
dx
I
ax bx c
,
0; 0
a
. Đs:
2 2
2 2
arctan
4 2 4
ax b
I C
ac b ac b
d.
5
4 2
3 2
x
I dx
x x
. Đs:
2
2 2
1
2ln( 2) ln( 1)
2 2
x
I x x C
e.
8
1
xdx
I
x
. Đs:
2
2
2
1 1 1
ln arctan
8 1 4
x
I x C
x
f.
2
2 2
2 2 13
( 2)( 1)
x x
I dx
x x
. Đs:
2
2 2
1 3 2
ln 2 ln 1 4arctan
2 2( 1) 1
x
I x x x
x x
3. Sử dụng các phép biến đổi cơ bản để tính tích phân các hàm hữu tỉ
Dùng thuật thêm, bớt để đưa về dạng cơ bản
Dạng 1:
( 0)
ax
dx
I a
b
1 (ax ) 1
ln ax
ax
d b
I b C
a b a
Dạng 2:
1
( )
( )
a ae
cx e b
ax b a ae dx
c c
I dx dx dx b
cx e cx e c c cx e
Dạng 3:
2
2
( 0, 0)
dx
I a ax bx c
ax bx c
Xét
2
4
b ac
xảy ra các trường hợp sau:
TH 1:
1 2 1
1 2 2
1 1 1 1
0 :
( )( )
( )
dx
I dx
a x x x x x x
a x x x x
=
1
1 2 2
1
ln
x x
C
a x x x x
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
24
Với
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
TH 2:
0
:
2
0
1
( )
dx
I
a
x x
(với
0
2
b
x
a
)
0
1 1
.I
a x x
TH 3:
0
:
2 2
2 2
2
2
2
1 1 1 4 4
arctan ( )
2
2 4
2 4
dx dx a a b
I x C
a a a a
b
b
x
x
a a
a a
Đặt:
2
2 2
1
1
2 24
b
x tgt dx tg t dt
a a a
Dạng 4:
2
2
ax bx c
I dx
ex f
hoặc
2
3
2
ax bx c
I dx
mx nx p
thì ta chia tử số cho mẫu số
Dạng 5:
2
( )
( 0; 0)
mx n dx
I a m
ax bx c
.
Dùng phân tích:
2
2 2 2
(ax )' 1
. .
ax ax ax
mx n bx c
bx c bx c bx c
.
2
2 2 2
'
.
ax bx c
mx n dx
I dx dx
ax bx c ax bx c ax bx c
Ta được:
2
2
ln ax
ax
dx
I bx c
bx c
Hoặc: Phân tích
2
5
2 2 2 2
(2 )
( ) ( )
2 2
2 2
m mb
ax b n
mx n dx m d ax bx c mb dx
a a
I dx
ax bx c ax bx c a ax bx c a ax bx c
Hoặc: Bằng phương pháp đồng nhất hệ số tìm A và B sao cho
2 2 2
(2 )mx n A ax b B
ax bx c ax bx c ax bx c
Ta có
2 2 2
(2 )mx n A ax b B
I dx dx dx
ax bx c ax bx c ax bx c
Tích phân:
2
1
2
(2 )
ln
A ax b
I dx A ax bx c
ax bx c
Tích phân:
2
2
dx
I
ax bx c
tính được
Dạng 6:
2
( )
( )(ax )
P x dx
I
x bx c
(với P(x) là đa thức bậc
2
)
Dùng phân tích
2
( )
( )
( )(ax )
P x
f x
x bx c
0
,
1,2
1 2
( )
A B C
x f x
x x x x x
0
,
0
2
0
0
( )
( )
A B C
x f x
x x x
x x
2
0 ( )
ax
A Bx C
f x
x
bx c
,
Chú ý:
1. Nếu
2
ax bx c
không phân tích được ra thừa số được thì ta đưa nguyên hàm
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498
“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “
25
2 2 2
1
1
dx
dx
ax bx c t a
bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
2. Nếu
2
ax bx c
phân tích ra được dạng
1 2
– –
x x x x
thì:
1
2
1 2
1
( )
A B
I dx dx
x x x x
ax bx c
3.
2
2
2 1
2 2 2
( )'
ln
Ax B C ax bx c Ddx
I dx dx ax bx c I
ax bx c ax bx c ax bx c
4.
2
3
2 2
Ax Bx C edx
I dx Ddx
ax bx c ax bx c
Dạng 7: Tổng quát:
6
( )
( )
p x
I dx
q x
nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì ta chia tử cho mẫu rồi làm như
trên. Nếu ngược lại thì ta sử dụng đồng nhất thức.
Bài tập tự giải:
Bài 1: Tìm các nguyên hàm:
a.
2
2
2 3 2
x
I dx
x x
. Đs:
2
1 3 2
ln 2 3 2 ln
1
2 10
2
x
I x x C
x
b.
3
2
3 2
( 2 1)
x x
I dx
x x x
. Đs:
4
2ln 4ln
1 1
x
I x x C
x x
c.
2
2
1
1
x
I dx
x
. Đs:
1
2
1
ln
1
2 2
2
x
x
I C
x
x
d.
8
1
xdx
I
x
. Đs:
2
2
2
1
1 1
ln arctan( )
8 1 4
x
I x C
x
e.
4
4 5
( 1)
( 1)( 5 1)
x dx
I
x x x x
. Đs:
5
5
1 5
ln
5 5 1
x x
I C
x x
f.
2
5
( 1)
x
I dx
x
. Đs:
2
4
6 4 1
12( 1)
x x
I C
x
g.
3 2
6 7 3
dx
I
x x x
. Đs:
1 2 3
ln ln 2 3 ln 3 1
3 33 11
I x x x C
Bài 2: (ĐHNT – A 1998) Tìm các nguyên hàm:
a.
4 2
3
2 1 1
2ln ln
2 2 1
x x x
I dx x C
x
x x
b.
2
3
1 1
ln ln 1
2
I dx x x C
x x
Bài 3: (ĐHNT CSП – A 1998) Tìm các nguyên hàm:
a.
4 2
3 2
2
2 2 1 1
2
3 2
1
x x x
I dx x x x C
x x
b.
4 2
3 2
2
1 1 1
3 2
1
x x
I dx x x x C
x x
Bài 4: (ĐHTL – 1998) Tìm nguyên hàm sau:
6 5 4
6 3
6
2 1 1
ln 1 arctan arctan
6 3
1
x x x
I dx x x x x C
x
Bài 5: Cho hàm số
2
3
3 3 3
3 2
x x
y
x x
a. Tìm A, B, C sao cho:
2
1 2
1
A B C
y
x x
x
