Các phương pháp tính nguyên hàm

Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 02: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các
bước sau:
Bước 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định
( )
x u


( nếu
có thể)
Bước 2: Xác định vi phân
'( )
dx u du



Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du
Bước 4: Khi đó
( ) ( )
f x dx g u du

 

Luu ý: Các dấu hiệu dẫn đến việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là
Bài toán 1: Phương pháp đổi biến dạng 1
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm

a. I =
3 2 8
(2 3 )
x x dx


c. I =
2
x
x
dx
e e



b. I =
2
1
x dx
x


d. I =
3
sin cos
x xdx


Bài giải:
a. Đặt t = 2 – 3x

2


dt = - 6xdx, ta được:

 
3 2 8 2 2 8 8 9 8
2 1 1
(2 3 ) (2 3 ) . . 2
3 6 18
t
x x dx x x xdx t dt t t dt
 
 


     




 

Khi đó: I =
 
9 8 10 9 10 9
1 1 1 2 1 1
2
18 18 10 9 180 81
t t dt t t C t t C

 


      




 


b. Đặt
2 2
1 1 1 2
t x t x x t dx tdt
          



 
 
2
2
2
4 2
1 2
2 2 1
1
t tdt
x dx

t t dt
t
x
 
    


Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Khi đó:
 
2
4 2 5 3
2 4
2 2 1
5 3
1
x dx
t t dt t t t C
x
      

 


   
 
4 2

2
2
2 4
1
5 3
2 4
1 1 1 1
5 3
2
3 4 8 1
15
t t t C
x x x C
x x x C
 


    




 
 
 
       
 
 
    

c. Đặt

2 2
2
1
2
2
x x
x
dx
t e dt e dt
e
 
     

2
2
2 2 2
2 1
2 1
1 1
1 1
x
x
x x x
x
x
dx dx e dx tdt
dt
t t

e e
e e e e

 
 



    




   
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
   

Khi đó:

2 2
1
2 1 2 ln 1
1
x x
I dt e e C
t
 
 
 






     

 




  


 


Chú ý: Chúng ta có thể sử dụng cách đặt

2
x
t e


d. Đặt
cos
t x




2
cos 2 sin
t x tdt xdx
  



3 2 2
sin cos sin cos sin 1 cos cos sin
x xdx x x xdx x x xdx
   








4 6 2
1 . . 2 2
t t tdt t t dt
    

Khi đó: I
   
6 2 7 3 6 2
1 1 2
2 2 3 7
7 3 21
t t dt t t C t t t C
 


       




 


=


3
2
3cos 7cos cos
21

x x x C
 

Bài toán 2: Phương pháp đổi biến dạng 2
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn
( )
x t

 , trong đó
( )
t

là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
Bước 2: Lấy vi phân
'( )
dx t dt


Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và đường thẳng. Giả sử f(x)dx = g(t)dt




f x dx g t dt
 

 

Luu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm
a.
 
3
2
1
dx
x


b.
  
1 2
x x dx
 


Bài giải:
a. Đặt x = sint,
2 2
t
 

 
cos
dx tdt
 

Khi đó:
 
3 2
3 2
2
cos sin
tan
cos cos cos
1
1
dx tdt dt t x
t C C C
t t t
x
x
       


  

Chú ý: Ta cũng có thể đặt x = cost, 0 t

 

b. Đặt
2
1 sin ,0 sin 2
2
x t t dx tdt


     
Khi đó:
 
 
2 2 2
1 1 1
sin 1 sin sin 2 sin 2 1 cos4 sin 4
2 2 4
I t t tdt tdt t dt t t C
 
       
 
 
  

     
2
1 1 1 1
sin 2 .cos2 arccos 3 2 3 2 1 3 2
2 8 4 8
t t t C x x x C
         

Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Chú ý: Trong ví dụ trên ta đã dung phép biến đổi:
 

2
1
1 sin 1 1 os2 cos2 3 2
2
x t c t t x
       

   
1
2 arccos 3 2 arccos 3 2
2
t x t x
     
B. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Biến đổi
1 2
( ) ( ). ( )
f x dx f x f x dx

 

Bước 2: Đặt
1
2
( )
( )
u f x
du
dv f x dx v






 
 



Bước 3: Khi đó: I = uv -
vdu


Luu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của chúng ta tuân thủ
các nguyên tắc sau
a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định dễ dàng
b. Tích phân bất định
vdu

được xác định một các dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu
Bài toán 1: Tính I =


( )sin
P x x dx


hoặc



( )cos
P x x dx


với P là một đa thức thuộc


,
R X R




Phương pháp:
Cách 1: ( Sử dụng tích phân từng phần ). Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt
'( )
( )
1
sin
cos
du P x dx
u P x
dv dx
v










 






Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 2: Khi đó I =
1 1
( )cos '( )cos
P x P x xdx
 
 




Bước 3: Tiếp tục các bước trên ta “ khử” được đa thức
Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất định ). Ta thực hiện theo các bước
Bước 1: Có ( )cos ( )sin ( )cos
P x xdx A x x B x x C

  
  

(1) , trong đó A(x), B(x) là các đa thức
cùng bậc với P(x)
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:




( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos
P x x A x B x x A x B x x
  
    (2)
Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được các đa thức A(x) và B(x)
Bước 3: Kết luận
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x)
3

ta thấy ngay cách 1 quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện
việc lấy tích phân từng phần nhiều hơn 3 lần. Do đó:
Nếu bậc của P(x)
2

, ta lựa chọn cách 1
Nếu bậc của P(x) > 2, ta lựa chọn cách 2
Ví dụ 3: Tính
a. I =
2
.sin

x xdx

b. I =


3 2
2 3 sin x
x x x dx
  


Bài giải:
a. Ta có I =
2
1 cos2 1 1 1 1
cos2 cos2
2 2 2 4 2
x
x dx xdx x xdx x x xdx

 
   
 
 
   

Xét J = cos2
x xdx

, đặt:

Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
1
cos2
sin 2
2
du dv
u x
dv xdx
v x






 






1 1
sin 2 sin2 sin 2 cos2
2 2 2 4
x x
J x xdx x x C

     


Vậy I =
2
1 1
sin 2 cos2
4 4 8
x
x x x C
  

b. Ta có: I =


3 2
2 3 sin x
x x x dx
  


=




3 2 3 2
1 1 1 1 2 2 2 2
cos sin
a x b x c x d x a x b x c x d x C

       
(1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:




3 2 3 2
2 1 2 1 2 1 2
( 2 3)sinx 3 2 cos
x x x a x a b x b c x c d x
 
         
 





3 2
1 2 1 2 1 2 1
3 2 sinx
a x a b x b c x c d
 
      
 
(2)
Đồng nhất đẳng thức ta được:
2
1 2

1 2
1 2
0
3 0
2 0
0
a
a b
b c
c d



 


 


 

(I) và
1
2 1
2 1
2 1
1
3 1
2 2
3

a
a b
b c
c d
 


  


 


   

(II)
Giải hệ (I) và (II) ta được:
1 1 1 1 2 2 2 2
1, 1, 4, 1, 0, 3, 2, 4
a b c d a b c d
          

Vậy I =




3 2 2
4 1 cos 3 2 4 sinx
x x x x x x C

       

Bài toán 2: Tính I = ( )
x
P x e dx


, với P là một đa thức thuộc


,
R X R




Phương pháp:
Cách 1: ( Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước:
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 1: Đặt
'( )
( )
1
x
x
du P x dx
u P x

v e
dv e dx









 






Bước 2: Khi đó I =
1 1
( ) '( )
x x
P x e P x e dx
 
 



Bước 3: Tiếp tục các bước trên ta “ khử” được đa thức
Cách 2: ( Sử dụng phương pháp hằng số bất định). Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Ta có: I = ( ) ( )
x x
P x e dx A x e C
 
 

(1)
trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P(x)
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được


( ) ' ( )
x x
P x e A x A x e
 

 
 
 
(2)
Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A(x
Bước 3: Kết luận
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x)
3

ta thấy ngay cách 1 quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện
việc lấy tích phân từng phần nhiều hơn 3 lần. Do đó:
Nếu bậc của P(x)
2


, ta lựa chọn cách 1
Nếu bậc của P(x) > 2, ta lựa chọn cách 2
Ví dụ 4: Tính
a. I =
3x
xe dx

b. I =


3 2 2
2 5 2 4
x
x x x e dx
  


Bài giải:
a. Đặt
3
3
1
3
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx







 






Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Khi đó I =
3 3 3 3
1 1 1 1
3 3 3 9
x x x x
xe e dx xe e C
   


b. Ta có:





3 2 2 3 2 2
2 5 2 4 ax
x x
x x x e dx bx cx d e C
       

(1)
Lấy đạo hàm 2 vế của (1) ta được






3 2 2 3 2 2
2 5 2 4 2 3 2 2 2 2
x x
x x x e ax a b x b c x c d e
 
         
 
(2)
Đồng nhất đẳng thức ta được
2 2
1
3 2 5
2
2 2 2
3
2 4

a
a b
a b
c
b c
d
c d


 


 
 
  
 
  
 



 


Khi đó I =


3 2 2
2 3
x

x x x e C
   

Bài toán 3: Tính I =
( ).ln .
p x dx


, với P là một đa thức thuộc


,
R x R




Phương pháp:
Bước 1: Đặt
1
ln
( )
( )
u x
du dx
x
dv p x dx
v P x








 





( )
( )ln
J
P x dx
I P x x
x

  



Bước 2: Nguyên hàm của J được xác định bằng cách chia đa thức
Ví dụ 5: Tính
a. I =


ln , \ 1
x xdx R





b. I =
2
ln 2
x xdx


Bài giải:
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a. Đặt
1
1
ln
1
du dx
u x
x
dv x dx x
v
 










 








Khi đó: I =
 
1 1 1
2
ln ln
1 1 1
1
x x x x
x dx x C
   
  

  
   
  



b. Đặt
2
3
ln 2
1
3
dx
du
u x
x
dv x dx
v x







 







Khi đó I =
3 3 3

2
1
ln2 ln 2
3 3 3 9
x x x
x x dx x C
   


Bài toán 4: Tính I =
ax
sin( )
e bx dx

hoặc
ax
cos( )
e bx dx

, với
, 0
a b


Phương pháp:
Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt
ax
ax
sin( )

cos( )
1
du b bx dx
u bx
v e
dv e dx
a
 





 






Khi đó: I =
ax ax
1
cos( ) sin( )
b
e bx e bx dx
a a


(2)

Bước 2: Xét J =
ax
sin( )
e bx dx

, đặt:
ax
ax
cos( )
sin( )
1
du b bx dx
u bx
v e
dv e dx
a






 






Khi đó J =

ax ax ax
1 1
sin( ) cos( ) sin( )
b b
e bx e bx dx e bx I
a a a a
  

(2)
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 3: Thay (2) vào (1) được I =


ax
2 2
cos( ) sin( )a bx b bx e
C
a b




Cách 2: ( Sử dụng phương pháp hằng số bất định). Ta thực hiện theo các bước
Bước 1:Ta có: I =


ax ax

cos ( ) cos( ) sin( )
e x bx dx A bx B bx e C
  

, trong đó A, B là các hằng số
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế ta được





ax ax ax
cos( ) Asin( ) cos( ) cos( ) sin
e bx b bx B bx e a A bx B Bx e
    
=


ax
Aa cos( ) ( )sin( )
Bb bx Ba Ab bx e
  
 
 

Đồng nhất đẳng thức ta được:
2 2
2 2
Aa 1
0

a
A
Bb
a b
Ba Ab b
B
a b



 




 
 







Bước 3: Vậy ta được I =


ax
2 2
cos( ) sin( )a bx b bx e

C
a b




Chú ý:
1. Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của một cặp tích phân:
ax
1
cos( )
I e bx dx


và
ax
2
sin( )
I e bx dx


ta lựa chọn cách sau:
 Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, đặt
ax
ax
sin( )
cos( )
1

du b bx dx
u bx
v e
dv e dx
a
 





 






Khi đó
ax ax ax
1 2
1 1
cos( ) sin( ) cos(
b b
I e bx e bx dx e bx I
a a a a
   

(3)
 Sử dụng tích phân từng phần cho I

2
, đặt
ax
ax
cos( )
sin( )
1
du b bx dx
u bx
v e
dv e dx
a






 






Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Khi đó I

2
=
ax ax ax
1
1 1
sin( ) cos( ) sin( )
b b
e bx e bx dx e bx I
a a a a
  

(4)
 Từ (3) và (4) ta được


ax
1
2 2
cos( ) sin( )a bx b bx e
I C
a b

 

và



ax
2

2 2
sin( ) cos( )a bx b bx e
I C
a b

 


2. Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân:
J
1
=
ax 2
sin ( )
e bx dx

và J
2
=
ax 2
cos ( )
e bx dx


Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm I =
2
cos
x
e xdx


Bài giải:
Ta có: I =




1 1 1
(1 cos2 ) cos2 cos2
2 2 2
x x x x x
e x dx e dx e xdx e e xdx
    
   
(1)
Xét J = cos2
x
e xdx

. Đặt
cos2 2sin 2
x x
u x du xdx
dv e dx v e
  
 

 
 
 

cos2 2 sin 2
x x
J e x e xdx
  

(2)
Xét K = sin 2
x
e xdx

, đặt
sin 2 2cos2
x x
u x du xdx
dv e dx v e
 
 

 
 
 

sin 2 2 cos2 sin 2 2
x x x
K e x e xdx e x J
    

(3)
Thay (3) vào (2)

 
 
1
cos2 2 sin 2 2 cos2 2sin2
5
x x x
J e x e x J J x x e C
       
(4)
Thay (4) vào (1) được :
I =
 
1 1 1
(cos2 2sin 2 ) 5 cos2 2sin 2
2 5 10
x x x
e x x e C x x e C
 
      
 
 

Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm nguyên hàm
a. I =
 

2
5 2
3
1 2
x x dx



b.
3
2
cos .sin
1 sin
x x
dx
x



c. I =
2
8
cos
sin
x
dx
x


d.

1
x
dx
e


e. I =
2
, 0
dx
a
x a



f. I =
  
1 2
dx
x x
 


ĐS:

a. HD: Đặt
3
2
1 2
t x

 


I =




2
4 2 2
3
3
20 4 3 1 2
320
x x x C
   

b. HD: Đặt


2 2 2
1
1 sin 1 sin ln 1 sin
2
t x I x x C
 
       
 
 

c. HD: Đặt


7 5 3
1
cot 15cot 42cot 35cot
105
t x I x x x C
     

d. HD: Đặt
1 1
1 ln
1 1
x
x
x
e
t e I C
e
 
    
 

e. HD: Đặt
2 2
ln
t x x a I x x a C
       

f. HD: Xét 2 trường hợp
TH1: Với
1 0
1
2 0
x
x
x

 


 


 


.
Ta đặt
1 2 2ln 1 2
t x x I x x C
         

TH2: Với
1 0
2
2 0
x
x

x

 


 


 



Ta đặt
( 1) ( 2) 2ln ( 1) ( 2)
t x x I x x C
             

Bài 2: Tính các nguyên hàm sau
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a.
2 3
( 1)
dx
x 


b.

1
1
x
dx
x




ĐS:
a. Đặt x = tant,
2
sin
2 2
1
x
t I t C C
x
 

      


b. Đặt x = cos2t,
2 2
0 2 1 os 2 arccos 1
2
t I t c t C x x C

            

Bài 3: Tính các nguyên hàm sau
a. I =


2
ln cos
cos
x
dx
x

b.


2
2
ln 1
1
x x x
dx
x
 


c.


sin ln
x dx



ĐS:
a. HD: Đặt


 
2
ln cos
ln cos t anx t anx
cos
u x
I x x C
dx
dv
x


    





b. HD: Đặt


 
2
2 2

2
ln 1
1ln 1
1
u x x
I x x x x C
x
dv dx
x

  


      







c. HD: Đặt


   
sin ln
cos ln sin ln
2
u x
x

I x x C
dv dx



   
 

 


