Các phương pháp tính Tích phân - Tài liệu tự luyện Toán 12 - P3

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




<2> TÍCH PHÂN TNG PHN
a. Công thc:
.
bb
aa
b
udv u v vdu
a



b. Các dng bài tp
DNG 1:
 
( ).ln ( )
b
a
P x f x dx

(P
x

là đa thc)
Cách gii: t
 
ln ( )
()
f x u
P x dx dv








BÀI TP MU: Tính tích phân
<1> I =
1
2
1 1 1
ln ln ln
2
e e e
x x x
dx dx dx
x x x

  
. t
ln

1
2
xu
dx dv
x








1
dx du
x
vx








 I=
11
11
.ln 2 (2 2) 2
11

ee
ee
x x x dx e dx e x e e e
x
x
         

.
<2> HKD 2010
I =
1
3
2 .ln .
e
x xdx
x





. t
ln
3
2
xu
x dx dv
x












2
1
3ln
dx du
x
v x x








I = (x
2
-3lnx).
ln
1
e
x

-
2
2
1 1 1
3ln
3 3 ln (ln )
e e e
xx
dx e xdx xd x
x

   
  

=
2 2 2 2
22
3ln 1 3
3 3 1
11
2 2 2 2 2 2
ee
x x e e
ee
         

<3> HKB 2009
I =
3
2

1
3 ln
( 1)
x
dx
x



. t
2
3 ln
1
( 1)
xu
dx dv
x









1
1
1
dx du

x
v
x












I =
33
11
3 3 3
3 ln 3 3 ln3 1 1 3 ln3
ln ln 1
1 1 1
1 ( 1) 2 4 1 4
x dx
dx x x
x x x x x
  

         


  



=
1 27
3 ln
4 16




.
BÀI 8. CÁC PHNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (PHN 3)
ÁP ÁN BÀI TP T LUYN
Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG
Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Bài 8. Các phng pháp tính tích phân (phn 3)

thuc khóa hc Toán 12 ậ Thy Lê Bá Trn Phng
ti website Hocmai.vn giúp các Bn kim tra, cng c li các
kin thc đc giáo viên truyn đt trong bài ging Bài 8. Các phng pháp tính tích phân (phn 3)  s dng
hiu qu, Bn cn hc trc Bài ging
sau đó làm đy đ các bài tp trong tài liu này.

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

<4> HKD 2008 I =
2
3
1
ln x
dx
x

t
3
ln
1
xu
dx dv
x








2
1
1
2
dx du

x
v
x












I =
2
2 3 2
1
23
1 1 1 1 1
.ln ln2
11
2 2 8 4
x dx
x x x

   


<5> HKD 2004 I =
3
2
2
ln( )x x dx

. t
2
ln( )x x u
dx dv






2
21x
dx du
xx
vx










I =
3 3 3
2
1 2 2
3
2 1 2( 1) 1 1
.ln( ) 3ln6 2ln2 3ln6 ln4 2
2
1 1 1
xx
x x x dx dx dx
x x x
  

        

  

  

=
33
3ln6 ln4 2 ln 1
22
xx
   
.
<6> HKB 2007 I =
32

1
.ln
e
x xdx

. t
2
3
ln xu
x dx dv








4
1
2.ln .
4
x dx du
x
x
v











44
23
1
11
.ln .ln
1
4 2 4 2
e
e
xe
I x x xdx J
J
   


t
3
ln xu
x dx dv







4
1
4
dx du
x
x
v










 J=
4 4 4 4 4 4
3
11
1 1 1 3 1
.ln . .
11
4 4 4 4 4 4 4 16
ee
ee
x x e e x e
x dx x dx

x

     


4 4 4
1 3 1
4 2 4 32
e e e
IJ

   
.
<7>
I =
1
2
2
0
.ln( 1 )
1
x x x
dx
x



. t
2
2

ln( 1 )
1
x x u
x
dx dv
x

  







2
2
1
1
dx
du
x
vx










 I =
1
2 2 2
2
0
11
1 .ln( 1 ) 1 2.ln(1 2) 2.ln(1 2) 1
00
1
dx
x x x x x
x
          


.
<8>
I =
9
4
ln( )xx
dx
x


. t
ln( )
1

x x u
dx dv
x








1
1
2
21
2 ( )
2
x
x
dx du
dx du
xx
x x x
vx
















Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


99
44
9
2 1 2 1
2 .ln( ) 2 . 6ln6 4ln 2
4
2 ( )
xx
I x x x x dx dx
x x x x x
J

     




t t =
x
 x = t
2
, dx = 2tdt

x
4
9

t
2
3
J=
3 3 3 3
2
2 2 2 2
2 1 2 1 2( 1) 1 1
.2 2 2 2 2
1 1 1
t t t
t dt dt dt dt
t t t t t
   

   


   

   

= 2
33
2 ln 1 2(2 ln2) 4 2ln 2.
22
tt

     



Vy I = 6ln6 - 4ln2 ậ 4 - 2ln2 = 6ln6 - 6ln2 ậ 4 = 6ln3- 4.
<9> I =
1
2
0
ln( 1)x x x dx

. t
2
ln( 1)x x u
xdx dv

  





2
2
21
1
2
x
dx du
xx
x
v












I =
11
2 3 2
2
22
00
1

1 2 1 1 1
ln( 1) ln3 2 1
0
2 2 1 2 2 1
x x x x
x x dx x dx
x x x x


      

   



I =
11
2 2 2
00
13
(2 1)
1 1 1 1 1 2 1 3
22
ln3 2 1 ln3 2 1 .
2 2 1 2 2 2 1 2( 1)
x
x
x dx x dx
x x x x x x






       


     





11
2
2
22
00
1
1 1 1 ( 1) 3 3 3
ln3 ( ) ln3
0
2 2 4 1 4 1 4 4
d x x dx
I x x J
x x x x
J

      
   



J =
1
2
2
0
13
22
dx
x








. t x+
2
1 3 3 1
tan , , .
2 2 2 2 2 os
t t dx dt
ct



   




x
0
1

t
6


3


J =
3
6
2 3 3
39
dx





. Vy I=
33
ln3
4 12



.
<10>
I =
3
2
2
1
ln 1x
dx
x


. t
2
2
ln 1
1
xu
dx dv
x








2

1
1
x
dx du
x
v
x












33
2
22
11
11
3
ln 1 ln 2 ln 2
11
3
1
dx dx

Ix
x x x
J
      



Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


t x
2
1
tan , ,
2 2 os
t t dx dt
ct



   



x

1
3


t
4


3


J =
3
4
3
12
4
dt t







. Vy I =
1
ln 2 ln 2
12
3



.
<11>
I =
11
32
22
22
22
2 1 2
.ln( 1) 2 1 .ln( 1)
11
ee
x x x
x dx x x dx
xx



    





=
11
22
2

22
12
2
(2 1).ln( 1) .ln( 1)
1
ee
x
x x dx x dx
x
II

   



* Tính I
1
: t
2
ln( 1)
(2 1)
xu
x dx dv






2

2
2
1
x
dx du
x
v x x









11
22
22
2
22
1
2 ( ) 2
( ).ln( 1) 1 1
11
2
ee
e
x x x x
I x x x dx e e dx

xx



        



=
1
2
2
1
2
1 1 2 2 1 1 2 2ln 1
1
2
e
e
e e x dx e e x x x
x




             







=
11
1 2 2 2 2ln
21
e
e

   

.
Tính I
2
11
2 2 2 2
2
2
22
1
2 1 1
.ln( 1) ln( 1) ln( 1) ln ( 1)
1 2 2
2
ee
e
x
I x dx x d x x
x



       


.
Vy I = I
1
+I
2
=
5 1 1
1 2 2 2ln
2
21
e
e

   


<12>
2
22
11
ln ln
2
ee
xx
I dx dx
xx



. t
2
ln
1
xu
dx dv
x








1
1
dx du
x
v
x












I =
2
1
2 2 2 4
ln 2 2
11
e
ee
dx
x
x x e x e

    

.
<13> I =
11
4 2 4 2 2
11
33
ln(3 ) 2ln ) ln(3 ) ln )x x x dx x x x dx
   
    
   

.

=
11
42
2
2
11
33
3
ln (3 1)
xx
dx x dx
x



.
<14>
Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


I =
3
2
6
ln(sinx)

os
dx
cx



. t
2
ln(sinx)
1
os
u
dx dv
cx








cos
sinx
tan x
x
dx du
v









I =
33
66
cos 3 1 1 3 1 1
3
tan x.ln(sin x) tan x. . 3.ln ln 3.ln ln .
sinx 2 2 2 2 6
33
6
x
dx dx





      


<15> HKA 2012 I =
3
2
1
1 ln( 1)x

dx
x


. t
2
1 ln( 1)
1
xu
dx dv
x
  







1
1
1
dx du
x
v
x













I =
 
33
11
33
1 2 ln 2 1 1 2 ln2
1 ln( 1) ln
11
( 1) 3 1 3 1
dx x
x dx
x x x x x x
  

       

  


22
ln3 ln 2
33

  
.
DNG 2:
f ( )
f ( )
e
()
a
x
b
x
a
P x dx






Cách gii: t
f ( )
f ( )
()
e
a
x
x
p x u
dx dv














Bài tp mu: Tính tích phân
1. HKD 2006: I =
1
0
( 2).
x
x e dx

. t
x
2
e
x
x u dx du
e dx dv v
  







I = (x-2).
1
xx
0
1
ee
0
dx

x
1
2e
0
e
   
=
21ee   
= 3-2e.
2. I =
1
22
0
(4 2 1).
x
x x e dx




. t
2
-2x
2
(8 2)
4 2 1
1
e
2
x
x dx du
x x u
v
e dx dv




  












1
2 -2x 2
0
1
1
(4 2 1) e (4 1).
0
2
x
I x x x e dx
J



    



=
2
1
2e

-
1
2
+J
t

2
2
4
41
1
2
x
x
dx du
xu
ve
e dx dv
















I =
1

22
0
1
1
.(4 1) 2
0
2
xx
e x e dx




=
2
31
22e


.
Vy I =
2
11
22
J
e


=
2 2 2

1 1 3 1 2
1
2 2 2 2 2e e e

    

3. I =
1
2
0
( 2 ).3
x
x x dx



. t
2
(2 2)
2
3
3
ln3
x
x
x dx du
x x u
v
dx dv


















Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 6 -


I =
1
2
0
1
3 1 1 1

( 2 ). (2 2).3 .
0
ln3 ln3 ln3 ln3
x
x
x x x dx J




    



=
2
31
22e


.
t
2
(2 2)
3
3
ln3
x
x
dx du

xu
dx dv
v
















I =
1
2
0
11
3 2 4 2 2 3
.( 2 ) 3 .
00
ln3 ln3 3ln3 ln3 ln3 ln3
xx
x

x x dx



  
    




=
2 2 2
4 2 2 2 2 4
3ln3 ln3 3ln 3 ln 3 3ln3 3ln 3

    
.
Vy I =
2
1 1 2 4
ln3 ln3 3ln3 3ln 3





.
4. I =
1 1 1
2 2 2

0 0 0

(1 ) (1 ) 1 (1 )
x x x x x x
xe xe e e e e
dx dx dx
x x x x


  

   

  
=
11
2
00
1 (1 )
xx
ee
dx dx
xx




Tính J=
1
2

0
(1 )
x
e
dx
x

. t
x
2
e
1
1
(1 )
1
x
eu
dx du
dx dv
v
x
x

















J =
11
00
1
11
. . 1
0
1 1 2 1
x
xx
ee
e e dx dx
x x x

   
  


 I =
11
00
11

1 2 1 2
xx
e e e e
dx dx
xx


    





5. I =
1 1 1
1 ln
. .ln
e e e
x
xx
x x e
e dx dx e xdx
xx


  
.
Tính
1
e

x
e
J dx
x


. t
x
x
e
e
1
ln
u
dx du
vx
dx dv
x













 J=
1
.ln .ln
1
e
xx
e
e x e xdx


Vy I=
1
.ln .ln
1
e
xx
e
e x e xdx

+
1
.ln
e
x
e xdx

=
e
.ln e
1

x
e
ex
.
6. I =
2 2 2
0 0 0
(1 sin ) .sin
1 os 1 os 1 os
x x x
x e e e x
dx dx dx
c x c x c x
  


  
  

Tính J =
2
0
1 os
x
e
dx
cx




.
t
x
x
2
e
e
1
tan
1 os
2 os
2
2
u
dx du
dx
x
dx dv
v
x
cx
c

















 J =
2 2 2
22
2
0 0 0
sin 2.sin . os
2 2 2
.tan .tan . .
2
22
os 2 os
0
22
x x x x
x x x
c
xx
e e dx e e dx e e dx
xx
cc
  



    
  

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 7 -


=
2
2
0
.sin
1 cos
x
ex
e dx
x





.
Vy I =
22

22
00
.sin .sin
.
1 cos 1 cos
xx
e x e x
e dx dx e
xx


  



Cách khác: t
x
1 sin
1 os
e
x
u
cx
dx dv











7. I =
4
2
0
sin
x
dx
x


. t
2
1
cot
sin
xu
dx du
vx
dx dv
x














8. I =
23
3 3 3
2 3 3
0 0 0
.sin .sin 1 .sin
sin2 . os 2sin . os 2 os
x x x x x x
dx dx dx
xc x xc x c x
  

  
. t
32
sinx 1
os 2cos
x u dx du
dx dv v
c x x










9. I =
4 4 4
22
0 0 0
2 1 2 1 1 2 1
1 os2 2 os 2 os
x x x
dx dx dx
c x c x c x
  
  


  
.
t
2
21
2
1
tan x
os
xu
dx du

v
dx dv
cx













I =
44
00
sin (cos )
(2 1)tanx 2 1
4
cos 2 cos
0
x d x
x dx
xx




    

=
ln 2
1 ln cos 1
4
2 2 2
0
x


    
.
10. I =
2
0
( 2).sin2x xdx



. t
2
1
sin2
os2x
2
dx du
xu
xdx dv
vc













.
11. I =
4
0
( 1). osx c xdx



. t
1
cos sinx
x u dx du
xdx dv v
  







12. I =
0
.sin3x xdx


. t
sin3
xu
xdx dv






13. I =
3
1
os(ln )
e
c x dx


. t
1
os(ln )
.sin(ln )
c x u

x dx du
x
dx dv
vx














14. I =
6
1
sin(ln )
e
x dx


. t
1
sin(ln )
. os(ln )

xu
c x dx du
x
dx dv
vx













DNG 3:
( ). (sinx,cos )
b
a
P x R x dx

.
Cách gii: t
()
(sinx,cos )
P x u
R x dx dv







Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 8 -


1. I =
2
3
4
. os
sin
xc x
dx
x



. t
32
os 1
sin 2sin

x u dx du
cx
dx dv v
xx










 I =
2
22
4
1 1 1 1 1
22
.x ( cot ) (0 1)
2sin 2 sin 4 4 2 2 2
44
dx
x
xx







        

.
2. I =
3
2
3
.sin
os
xx
dx
cx




. t
2
sin 1
os os
x u dx du
x
dx dv v
c x c x










3. I =
2
22
0 0 0 0
1
1 sin 2
(sin os ) os ( )
2 os( )
2 2 2 4
24
x x xdx xdx
dx dx
x x x
x
x
cc
c
   


  







   
.
t
2
1
tan( )
os ( )
24
24
xu
dx du
x
dx dv
v
x
c



















I =
00
os
sin
24
24
x.tan 2
0
24
os os
2 4 2 4
x
x
dc
x
dx
xx
cc


















   
   

   


   
   


=
2ln os .
0
24
x
c





  



22
4 4 4 4 4 4
2
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
12
sin (1 os )
4. .tan .
os os os os
x x c x x x
I x xdx x dx dx x dx dx xdx
c x c x c x c x
II
     


      


     

Tính I
1

2

1
tan
os
xu
dx du
vx
dx dv
cx













 I
1
=
44
00
sin x ( osx) 2
x.tanx ln cos ln
44
cos 4 cos 4 4 2

00
dc
dx x
xx


  
      


Tính I
2
I
2
=
2
4
2 32
0
x




Vy I = I
1
-I
2
=
2

ln
42


-
32

=
72
ln
32 2


.
2 2 2 2
2
0 0 0 0
12
1 os2 1
5. . os . . os2
22
cx
I xc xdx x dx xdx xc xdx
II
   




   






   

Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 9 -


Tính I
1
:

I
1
=
2
2
28
0
x




.
Tính I
2
: t
1
os2
sin2
2
dx du
xu
c xdx dv
vx













 I
2
=
 
2

0
1 1 1 1
x.sin2x sin2 os2 1 1
22
2 2 4 4 2
00
xdx c x




     

.
Vy I =
1
2
[I
1
+I
2
]=
1
2
[
1
82


]=

4
16


.
2 2 2 2
2
0 0 0 0
12
1 os2 1
6. (2 1).sin (2 1). (2 1) (2 1). os2
22
cx
I x xdx x dx x dx x c xdx
II
   




       





   

Tính I
1

:

I
1
=
2
()
2
4 2 4
0
xx

  
    
.
Tính I
2
: t
2
21
1
os2
sin2
2
dx du
xu
c xdx dv
vx














 I
2
=
 
2
0
1 1 1
(2 1). .sin2x sin2 os2 1 1 1
22
2 2 2
00
x xdx c x


       

.
Vy I =
1

2
[I
1
-I
2
]=
1
2
[
1
4



].
7. HKD 2012
4 4 4
12
0 0 0
(1 sin2 ) .sin 2 .I x x dx xdx x xdx I I
  
     
  

Tính I
1
:

I
1

=
22
4
2 32
0
x



.
Tính I
2
: t
1
sin2
os2
2
dx du
xu
xdx dv
v c x















 I
2
=
44
00
1 1 1 1 1
x.cos2x os2 os2 sin2 .
44
2 2 2 4 4
00
c xdx c xdx x



   


Vy I =
1
2
[I
1
+I
2
]=

1
2
[
1
82


]=
4
16


.
Do đó I = I
1
+I
2
=
2
1
32 4


.
Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 10 -

8. HKB 2011
3 3 3
2 2 2
0 0 0
12
1 .sin 1 .sin
os os os
x x x x
I dx dx dx
c x c x c x
II
  

  
  

Tính I
1
:

I
1
=
tanx 3
3
0



.
Tính I
2
: t
2
sin 1
os os
x u dx du
x
dx dv v
c x c x









 I
2
=
3 3 3
22
0 0 0
1 1 2 cosx 2 (sinx)
.
3
cosx cosx 3 1 sin 3 1 sin

0
d
x dx dx
xx
  


    

  

=
3
0
2 1 1 1 2 1 1
(sinx)= ln 1 sinx ln 1 sinx
33
3 2 1 sin 1 sin 3 2 2
00
d
xx




     





=
2
ln(2 3)
3


.
Vy I =
2
3 ln(2 3)
3

  
.
0 0 0
22
33
1 1 1
12
9. ( 1) . 1
xx
I x e x dx xe dx x x dx
II
  
     
  

Tính I
1

: t
2
2
1
2
x
x
dx du
xu
ve
e dx dv














 I
1
=
0
2

22
2 2 2 2
1
00
1 1 1 1 1 1 1 3 1
x. .
11
2 2 2 2 4 2 4 4 4 4
x
xx
e
e e dx
e e e e


       




.
Tính I
2
: t
3
1xt
 x+1=t
3
, dx=3t
2

dt
x
-1
0
t
0
1
I
2
=
11
74
3 2 6 3
00
11
1 1 9
( 1). .3 3 ( ) 3 3
00
7 4 7 4 28
tt
t t t dt t t dt



       






.
Vy I= I
1
+ I
2
=
22
3 1 9 3 4
4 4 28 4 7ee
   
.
3
22
1 1 1 1
12
1 1 1
10. ln ln ln ln
e e e e
x
I xdx x xdx x xdx xdx
x x x
II


    


   

Tính I

1
: t
23
1
ln
3
dx du
xu
x
x dx dv x
v















Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit

Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 11 -


 I
1
=
3 3 3 3 3
32
1
1 1 1 2 1
x .ln
11
3 3 3 9 3 9 9 9
e
ee
e x e e e
x x dx

      

.
Tính I
2
:
2
2
11
1 ln 1
ln ln (ln )

1
22
ee
e
x
I xdx xd x
x
   


Do đó I = I
1
+I
2
=
3
21
9
e 
+
1
2
.
2 2 2
22
0 0 0
12
11. ( sin )cos cos sin .cosI x x xdx x xdx x xdx
II
  

   
  

Tính I
1
: t
os sin
x u dx du
c xdx dv v x






 I
1
=
2
0
x.sinx sin os 1
22
22
00
xdx c x



    


.
Tính I
2
: I
2
=
3
22
22
00
sin 1
sin .cos sin (sin )
2
33
0
x
x xdx xd x


  

.
Vy I = I
1
+I
2
=
2

-1+

1
3
=
2
23


.
12.
 
1 1 1
0 0 0
1 1 .ln( 1)
.ln( 1) ln( 1)
ln( 1)
1 1 1
e e e
xx
x x x
I dx dx x dx
x x x
  
  


    

  

  

=
11
12
00
ln( 1)
ln( 1)
1
ee
x
x dx dx I I
x


   



Tính I
1
: t
1
ln( 1)
1
xu
dx du
x
dx dv
vx















 I
1
=
1 1 1
0 0 0
1
1 1 1
x.ln(x+1) 1 1 1
0
1 1 1
e e e
e
xx
dx e dx e dx
x x x
  




       

  

  

=
1
1 [ ln( 1)] 1
0
e
e x x

    
.
Tính I
2
: I
2
=
1
2
0
1
ln ( 1) 1
ln( 1) ln( 1)
0
22

e
e
x
x d x



   

.
Vy I = I
1
-I
2
= 1-
11
22

.
2
4 4 4 4
2 2 2 2
0 0 0 0
12
1 os2
2
2sin 1 os2
2
13.
(sinx os ) (sinx os ) (sinx os ) (sinx os )

cx
x
x x x c x
I dx dx dx dx
c x c x c x c x
II
   






   
   
   

Tính I
1
: I
1
=
44
22
00
1 1 1
2
[ 2 os( )] os ( )
44
xx

dx dx
c x c x






.
Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 12 -


t
2
1
1
tan( )
os ( )
4
4
xu
dx du
dx dv
vx
cx



















 I
1
=
44
00
sin( ) os( )
11
44
(x-1).tan(x- ) 1
4
2 4 2
os( ) os( )

0
44
x dc x
dx
c x c x





   

   
   
   
   

   


=
1 1 1
1 ln os( ) ln 2
4
2 4 2 4
0
cx





     




Tính I
2
: I
2
=
4 4 4
2
0 0 0
os2 os2 1 (1 sin2 ) 1 1
ln 1 sin2 ln 2.
4
(sinx os ) 1 sin2 2 1 sin2 2 2
0
c x c x d x
dx dx x
c x x x
  


    
  
  

Vy I=

13
ln2
24


.
14.
22
12
0 0 0
ln ln
3 ln 3 ln 3
1 ln 1 ln
e e e
xx
I x x dx dx x xdx I I
x x x x

     



  

Tính I
1
: t
1
4 2 2
1 ln

3
x t I

   
.
Tính I
2
: t
3
2
2
ln
21
9
xu
e
I
x dx dv







.
Vy I=
3
12
5 2 2 2

3
3
e
II


.
DNG 4
f ( )
e . (sinx,cos )
b
x
a
R x dx


Cách gii: t
f ( )
e
(sinx,cos )
x
u
R x dx dv






BÀI TP MU : Tính tích phân

1. I=
2
3
0
.sin5
x
e xdx


. t
3
3
3
1
sin5
os5
5
x
x
e dx du
eu
xdx dv
v c x















1. I =
22
cos cos
00
.sin2 .2sin .cos
xx
e xdx e x xdx



. t cosx = t  -sinxdx = dt
x
0
2


t
1
0
 I =
1
0
2.

t
e t dt

. t
tt
t u dt du
e dt dv v e







2. I =
22
sin sin
00
sin2 . 2 .sin .cos
xx
xe dx e x xdx




. t
tt
t u dt du
e dt dv v e






  


Khóa hc Toán 12 – Thy Lê Bá Trn Phng
Chuyên đ 03. Nguyên hàm - Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 13 -


I =
1
1
0
11
2
2 . 2 2 1
00
t t t
e t e dt e e
e
   




      







.
3.
2
2
1
.ln
e
x xdx

. t
xt
 x = t
2
, dx = 2tdt
x
1
e
2

t
1
e

I =
2 2 2
11
.ln .2 8 .ln
ee
t t t dt t t dt

. t
2
3
2
1
2.ln .
ln
3
t dt du
tu
t
t
t dt dv
v

















I =
3
40 16
27
e

.
4. I =
44
2
00
tan .ln(cos ) sin .ln(cos )
os os
x x x x
dx dx
c x c x



. t cosx = t  -sinx dx = dt
x
0
4



t
1
2
2

I =
1
2
2
2
lnt
dt
t

. t
2
1
ln
1
1
tu
dt du
t
dt dv
v
t
t

















I =
1
2
2
2
11
1 1 2 1 2
ln ln2 2 1 ln 2
22
22
22
t dt
t t t

     


.



Giáo viên: Lê Bá Trn Phng
Ngun: Hocmai.vn