Kĩ thuật phân tích vật liệu rắn - Nghiên cứu tính chất quang của chất rắn bằng phương pháp biến điệu các phổ quang học

Các hằng số điện : ε và σ.
Hằng số điện môi phức : ε
c
= ε
r
+ iε
i

ε
r
=
ε ε
i
= σ / ω
Các hằng số quang : n và κ .
Chiết suất phức : n
c
= n + iκ
Hệ số hấp thụ :
Các hằng số điện và quang
λ
πκ
α
4
=

Hệ thức giữa các hằng số điện và quang
ε
r

= n
2
- κ
2
ε
i
= 2nκ
rir
n
εεε
2
1
)(
2
1
2
1
22
++=
rir
εεεκ
2
1
)(
2
1
2
1
22
−+=

Hệ số phản xạ và vi phân của nó
trong đó r
c
(ω) là một đại lượng phức khi các sóng không đồng pha
)exp(
1
1
ϕ
ir
n
n
r
c
c
c
c
=
+
−
=
Góc pha ϕ (ω)
1
2
22
−+
=
κ
κ
ϕ

n
tg
1. Hệ số phản xạ R(ω) được đònh nghóa bằng tỷ số năng thông
phản xạ trên năng thông tới
*.
*.
0
ii
rrr
EE
EE
I
I
R


==
Khi ánh sáng đến vuông góc với mặt ranh giới rộng vô hạn , từ
công thức Fresnel
22
22
2
)1(
)1(
κ
κ
++
+−
==
n

n
rR
c
R là một đại lượng có thể đo bằng thực nghiệm

Lấy vi phân toàn phần của R với chú ý n và κ là các đại lượng
biến thiên
Đặc biệt, khi κ << n ( trường hợp này xuất hiện trong các chất
bán dẫn gần và dưới bờ hấp thụ cơ bản) chỉ phụ thuộc vào
chiết suất n
∆ ∆
R
R
n n
n n
=
− − +
+ + − +
4( 1 8n
1 1
2 2
2 2 2 2
κ κ∆κ
κ κ
)
[( ) ][( ) ]
∆
R
R
với κ << n

r
nn
n
nR
R
ε
∆
−
=∆
−
=
∆
)1(
2
1
4
22
22
22
2
)1(
)1(
κ
κ
++
+−
==
n
n
rR

c

2. Hệ số phản xạ R cũng có thể viết dưới dạng hàm của các
thành phần thực ε
r
và ảo ε
i
của hằng số điện môi
1)(22)(
1)(22)(
2
1
2222
2
1
2222
+++++
+++−+
=
irrir
irrir
R
εεεεε
εεεεε
∆
∆ε ∆ε
R
R
r i r r i i
= +α ε ε β ε ε

( , ) ( , )
Lấy vi phân và sắp xếp lại các số hạng cho
Các hệ số α(ε
r
,ε
i
) và β(ε
r
,ε
i
) xác đònh trọng lượng đóng góp của
∆ε
r
và ∆ε
i
vào ∆R.

α
κ
κ κ κ
=
− −
+ + − + +
2 3
0
2 2
0
2
0
2 2

0
2 2 2 2
n n(n n
n n n n n
)
[( ) ][( ) ][ ]
β
κ κ
κ κ κ
=
− −
+ + − + +
2 3
0
2 2
0
2
0
2 2
0
2 2 2 2
n n n
n n n n n
( )
[( ) ][( ) ][ ]

Khi ánh sáng đến không vuông góc với mặt ranh giới, các hệ số α(ε
r
,ε
i

) và
β(ε
r
,ε
i
) còn phụ thuộc vào góc tới.
Từ số liệu thực nghiệm của n và κ ( hay ε
r
và ε
i
) có thể xác đònh
sự phụ thuộc của các hệ số α và β vào năng lượng photon.
hay
Các hệ số α(ε
r
,ε
i
) và β(ε
r
,ε
i
) đã được Seraphin và Bottka suy ra
22
2
δγ
γ
α
+
=
22

2
δγ
δ
β
+
=
với γ = (n/n
0
) (n
2
- 3κ
2
- n
0
)
δ = (κ/n
0
) (3n
2
- κ
2
- n
0
)
trong đó n
0
là chiết suất của môi trường tới không hấp thụ.

Sự phụ thuộc của α và β vào năng lượng photon của Si, Ge và
GaAs.

Từ phổ phản xạ vi phân đo được có thể tính ∆ε
r
và ∆ε
i

như sau :
* Lấy vi phân ε
r
= n
2
- κ
2
ε
i
= 2nκ

∆ε
r
= 2n∆n - 2κ∆κ
∆ε
i
= 2κ∆n + 2n∆κ
* Tính ∆n, ∆κ : tách phần thực và ảo của
rồi lấy vi phân
∆
R
R
2∆κ = κ n + ( n
2

- κ
2
- 1 ) ∆ϕ
2∆n = (1/2) ( n
2
- κ
2
- 1 ) - 2nκ∆ϕ
∆
R
R
∆
R
R
1
1
+
−
=
c
c
c
n
n
r

ϕκκκε
∆−−−
∆
−−=∆

)13()13(
2
1
2222
n
R
R
nn
r
ϕκκκε
∆−−−
∆
−−=∆
)13()13(
2
1
2222
nn
R
R
n
i
trong đó ∆ϕ được tính từ phổ ∆R/R nhờ hệ thức Kramers -
Kronig

Như vậy, có thể tính ∆ε
r
và ∆ε
i
từ các phổ thực nghiệm :

phổ phản xạ biến điệu và phổ các hằng số quang n và κ.
∫
∞
−
∆
℘−=∆
0
22
'
'
)'(/)'(
)(
ω
ωω
ωω
π
ω
ωϕ
d
RR

Xét ánh sáng truyền qua một mẫu mỏng dày d và có hệ số hấp
thụ α. Giả thử :

có thể bỏ qua hiện tượng giao thoa bên trong mẫu ( khi mẫu đủ dày so với
bước sóng ánh sáng và 2 mặt bên không hoàn toàn song song).

trong miền bước sóng quan tâm κ << n ( được thỏa mãn trong miền còn đo
được truyền qua )
Hệ số truyền qua - tỷ số của năng thông truyền qua trên năng

thông tới
dd
t
eRe
R
I
I
T
αα
ω
−
−
−
==
2
2
0
)1(
)(
với κ << n
Thường thỏa mãn điều kiện exp (αd) >> R
2
.
Khi đó
T = ( 1 - R )
2
exp(-αd)
với κ << n , exp (2αd) >> R
2
Lấy vi phân T

∆ ∆
∆α
T
T
R
R
d d
=
−
− −
2
1( )
α∆
Hệ số truyền qua và vi phân của nó

∆ ∆
∆α
T
T
R
R
d d
=
−
− −
2
1( )
α∆

Do hiện tượng nở nhiệt, số hạng thứ hai α∆d trong vế phải có sự

đóng góp vào phổ biến điệu khi thông số biến điệu là nhiệt độ.

Trong miền phổ ở đó có thể đo phổ truyền qua, α thường nhỏ nên có
thể bỏ qua số hạng α∆d.

Số hạng thứ ba thường là số hạng chính nên ∆T /T tỷ lệ với sự biến
thiên ∆α của hệ số hấp thụ
∆α ∆ε ∆ε
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ω γ ω ω δ ω ω= +
r i
γ
ωκ
κ
=
−
+
c n( )
2 2
δ
ω
κ
=
+
n
c n( )
2 2
với
Như vậy, có thể tính ∆α của một mẫu do một nhiễu loạn nào đó
nếu biết các hằng số quang n và κ và ∆ε

r
và ∆ε
i
do nhiễu loạn
đó gây ra

Các hệ thức tán sắc Kramers-Kronig
Các hàm ε
r
(ω) và ε
i
(ω) không phải độc lập với nhau vì hiện
tượng tán sắc và tiêu tán mà chúng mô tả là hai mặt của một
hiện tượng . Trên thực tế, biết một trong các hàm đó với mọi
tần số cho phép xác đònh hàm kia. Sự phụ thuộc lẫn nhau đó
được thể hiện bởi hệ thức tán sắc, thường được gọi là hệ thức
Kramers-Kronig :
∫
∞
−
℘=−
0
22
'
'
)'('
2
1)(
ω
ωω

ωεω
π
ωε
d
i
r
∫
∞
−
℘−=
0
22
'
'
)'(2
)(
ω
ωω
ωε
π
ω
ωε
d
r
i
P biểu thò giá trò chính Cauchy của tích phân.

Khi có nhiễu loạn tác động làm thay đổi ε
i
(ω) thì ε

r
(ω) cũng
thay đổi theo.
∫
∞
−
∆
℘=∆
0
22
'
'
)'('
2
)(
ω
ωω
ωεω
π
ωε
d
i
r
Tuy các tích phân trên được lấy trên toàn khoảng tần số, có thể
chứng minh các cấu trúc phổ xuất hiện trong ε
i
(ω) và ε
r
(ω) hoặc
trong ∆ε

i
(ω) và ∆ε
r
(ω) có tương quan.

Giữa góc pha và hệ số phản xạ cũng có hệ thức tán sắc
∫
∞
−
℘−=
0
22
'
'
)'(
)(
ω
ωω
ω
π
ω
ωϕ
d
LnR
Ta cũng có thể tính sự thay đổi góc pha từ phổ phản xạ biến
điệu nhờ công thức
∫
∞
−
∆

℘−=∆
0
22
'
'
)'(/)'(
)(
ω
ωω
ωω
π
ω
ωϕ
d
RR
Phân tích Kramers-Kronig là một công cụ cơ bản để xác đònh sự
tương quan giữa phổ phản xạ biến điệu và một số đặc trưng của
cấu trúc vùng.
Các hệ thức tán sắc Kramers-Kronig

Sự phụ thuộc của các hằng số quang vào tần số của sóng
n(ω) , κ(ω) , ε
1
(ω) , ε
2
(ω)
Mô hình tương tác giữa sóng điện từ với môi trường chất rắn
tùy thuộc bước sóng

Lý thuyết hấp thụ.

Nếu biết cấu trúc vùng năng lượng của một vật liệu ta có thể
hiểu được một số tính chất quang của nó. Ngược lại, phân tích
các tính chất quang là một phương pháp cơ bản để tìm hiểu cấu
trúc vùng.
Dưới tác dụng của trường điện từ , một điện tử nằm ở vùng
hóa trò có thể bò kích thích lên trạng thái có năng lượng cao hơn trong
vùng dẫn. Khi đó một photon bò hấp thụ và một cặp điện tử - lỗ trống
được tạo thành. Hệ số hấp thụ được xác đònh bởi số chuyển dời của
điện tử từ vùng hóa trò lên vùng dẫn. Số chuyển dời này tỷ lệ với xác
suất chuyển dời, mật độ trạng thái bò chiếm trong vùng hóa trò và
không bò chiếm trong vùng dẫn và tuân theo các đònh luật bảo toàn
năng lượng và xung lượng.
Theo lý thuyết bán cổ điển, hệ số hấp thụ α (ω) hoặc ε
i
(ω) có dạng :
])()([
)(
1
||.||)(
2
)(
2
22
0
ωδ
ωε
π
ωε









−−><=
∑
vc
k
vci
kEkEkvpakc
m
e
)(J
)(
|)k,k(M|
)(
vc
vc
i
ω
ω
ωε




2
2

=

)(J
)(
M
)(
vci
ω
ω
ωε



2
2
=
2
00
2
0
2
||.||)(
2
><<=
kvpakc
m
e
M





ε
π
)()()( kEkEkE
vc

−=
∫
=
−∇
=
S
Ecvvck
vc
kEkE
dS
J
ω
π
ω


|)]()([|)2(
2
)(
3
∫
∑
∫

∇
=→
BZ
cvk
k
BZ
)k(E
dS
)(
kd
)(
3
3
3
2
1
2
1
ππ
Để tính M và J
vc
cần biết cấu trúc vùng năng lượng của
chất nghiên cứu

Năng lượng electron trong tinh thể
Năng lượng electron trong tinh thể
Hàm sóng là một hàm của k nên trò riêng của Hamiltonian -
năng lượng của hệ - cũng phụ thuộc vào k : .
)k(EE


=
* E là một hàm chẵn của k : E(-k) = E(k).
* E(k) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ của mạng đảo.
Do tính chất này, người ta thường giới hạn việc nghiên cứu sự
phụ thuộc của E theo k trong trường hợp một chiều trong khoảng
)k(E)Gk(E



=+
332211
blblblG


++=
a
k
a
π
≤≤
π
−
Trong không gian k ba chiều, miền giới hạn đó, được gọi là vùng
Brillouin thứ nhất, là ô nguyên tố Wigner - Seitz của mạng đảo

Cách vẽ vùng Brillouin từ mạng đảo
Vùng Brillouin
Vùng Brillouin

Bốn vùng Brillouin đầu

tiên cho mạng vuông
Năm loại lân cận gần nhất cho
một điểm trong mạng vuông và
các đường Bragg của chúng
Vùng Brillouin
Vùng Brillouin

)k(E)Gk(E



=+
332211
blblblG


++=
Các ký hiệu K,L,W,X và G,
L , D chỉ các điểm có tính đối
xứng cao của vùng Brillouin.

Các chất bán dẫn có chuyển mức thẳng
Đỉnh của vùng hóa trò và đáy của
vùng dẫn xuất hiện ở cùng vectơ k

Các chất bán dẫn có chuyển mức nghiêng
Đỉnh của vùng hóa trò và đáy của vùng dẫn
xuất hiện ở các vectơ k khác nhau

Mật độ trạng thái. Các điểm tới hạn

∫
=
−∇
=
S
Ecvvck
vc
kEkE
dS
J
ω
π
ω


|)]()([|)2(
2
)(
3
0)()()(
=∇−∇=∇
kEkEkE
vkckk

Điểm tới hạn : các điểm ở đó thỏa mãn
Các điểm tới hạn thường nằm ở các điểm đối xứng cao của
vùng Brillouin .
Ở đó
k
E

c
(k) =
k
E
v
(k) = 0
Tâm vùng Brillouin bao giờ cũng là điểm tới hạn.
Tuy nhiên, các điểm tới hạn cũng có thể xuất hiện ở điểm bất
kỳ trong vùng Brillouin. Với chúng

k
E
c
(k) =
k
E
v
(k) ≠ 0