Kĩ thuật phân tích vật liệu rắn - Bài tập về ma trận Jones và vector Jones

Thắc mắc xin liên hệ:
Một số bài tập:
1. Cho ánh sáng phân cực tuyến tính tạo với phương ngang góc 45
0
đi qua một tổ
hợp các yếu tố quang học bao gồm một kính phân cực tuyến tính trục truyền
thẳng đứng đặt trước một kính phân cực trục truyền nằm ngang. H ãy xác định
trạng thái phân cực của ánh sáng ở đầu ra trong tr ường hợp này và trong trường
hợp vị trí các yếu tố quang học bị đảo ng ược lại.
2. Cho ánh sáng phân cực tuyến tính tạo với phương ngang góc 45
0
đi qua một tổ
hợp các yếu tố quang học bao gồm bản ¼ sóng trục nhanh thẳng đứng đặt trước
một bản ¼ sóng trục nhanh nằm ngang. H ãy xác định trạng thái phân cực của ánh
sáng ở đầu ra trong trường hợp này và trong trường hợp vị trí các yếu tố quang
học bị đảo ngược lại.
3. Cho một ánh sáng có trạng thái phân cực bất k ì đi qua một tổ hợp các yếu tố
quang học được sắp xếp theo thứ tự sau: 1) Kính phân cực tuyến tính có trục
truyền tạo với trục nằm ngang một góc P . 2) Bản ¼ sóng có trục nhanh tạo với
phương ngang một góc C. Sau đó, ánh sáng ở lối ra đ ược phản xạ trên bề mặt mẫu
và đến một kính phân tích a có trục truyền tạo với ph ương ngang góc A. H ỏi: Xác
định góc A để không có ánh sáng xuất hiện phía sau a . (ĐÂY L À BÀI TOÁN
NULL ELLIPSOMETRY).
Cần biết:
1) Nhân hai ma trận:
Giả sử ta có hai ma trận A ( m hàng, n cột) và B (k hàng, l cột) như sau:














mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211














klkk
l
l
bbb
bbb
bbb
B




21
22221
11211
Để hai ma trận này có thể nhân được thì số cột của ma trận A phải bằng số h àng của
ma trận B. Cụ thể ở đây n=k. Kết quả của phép nhân ma trận A ( m hàng, n cột) với
ma trận B (k hàng, l cột) là một ma trận C:
 Có m hàng, l cột.
Thắc mắc xin liên hệ:
 Phần tử ở hàng i, cột j của C được tính bằng cách lấy tuần tự lấy các phần tử
ở hàng i của ma trận A nhân với các phần tử ở cột j của ma trận B và cộng
các tích đó lại với nhau.














mlmm
l
l
ccc
ccc
ccc
B




21
22221
11211
Hãy xét một số ví dụ cần thiết:
Ví dụ 1:








00
01
A
,







10
00
B






























00
00
1.00.00.00.0
1.00.10.00.1
10
00
00
01
.BA
Ví dụ 2: Cũng hai ma trận A, B nh ư trên nhưng bây gi ờ ta tính B.A






























00
00
0.10.00.11.0
0.00.00.01.0
00

01
10
00
.AB
Ví dụ 3:










4
4
0
0


i
i
ie
e
C
,










4
4
0
0


i
i
ie
e
D

































































i
i
e
e
ieieiee
ieeee
ie
e
ie
e

DC
i
i
iiii
iiii
i
i
i
i
0
0
0
0
0.00 0
.00.0.0.
0
0
0
0
.
2
2
4444
4444
4
4
4
4









Ví dụ 4: Cũng các ma trận C và D như trên nhưng th ực hiện D.C




































































i
i
e
e
ieieiee
ieeee
ie
e
ie
e
CD
i
i
iiii
iiii
i
i

i
i
0
0
0
0
0.00 0
).(00.0.0.
0
0
0
0
.
2
2
4444
4444
4
4
4
4








Ví dụ 5:










CiCCCi
CCiCiC
E
22
22
cossincossin)1(
cossin)1(sincos
,







PPP
PPP
F
2
2
sincossin

cossincos
Thắc mắc xin liên hệ:
   
 
 
 
 
 



































)sin(sincos)cos(sinsin)sin(coscos)cos(cossin
)sin(sinsin)cos(cossin)sin(cossin)cos(coscos
sincossincossincossin)1(cossincossincoscossin)1(
sin]cossin)1[()cos(sinsincos)cos](sincossin)1[(cossincos
sincossin
cossincos
cossincossin)1(
cossin)1(sincos
.
222222
222222
2
2
22
22
CPPCiCPPCCPPCiCPPC
CPCPiCPCPCPPCiCPPC
PCiCPPCCiPPCiCPCCi

PCCiPPCiCPPCCiPCiC
PPP
PPP
CiCCCi
CCiCiC
FE
2) Nếu ánh sáng truyền li ên tiếp qua n yếu tố quang học theo thứ tự là 1, 2, 3, ….n,
được đặc trưng tương ứng bởi các ma trận J
1
, J
2
, J
3
, … ,J
n
thì quan hệ giữa ánh sáng
ở đầu ra so với ánh sáng đầu vào là:
E
t
=(J
n
.J
n-1
……J
2
.J
1
)E
i
Nghĩa là, ở đây, chúng ta phải thực hiện nhân hai ma trận J

2
.J
1
trước, rồi sau đó nhân
J
3
với kết quả vừa thu đ ược, rồi lại tiếp tục nhân J
4
với kết quả vừa thu được trước
đó. Nói tóm lại, phép nhân được thực hiện từ phải sang trái.
Giải các bài tập
1. Vector Jones biểu dạng trạng thái phân cực của ánh sáng l à:
Ma trận Jones của kính phân cực tuyến tính trục truyền thẳng đứng l à:







10
00
B
Ma trận Jones của kính phân cực tuyến tính trục truyền nằm ngang l à:








00
01
A
Khi đặt B trước A thì ma trận Jones của tổ hợp n ày là:







00
00
.BAJ
(theo ví dụ 1)
Khi đặt A trước B thì ma trận Jones của tổ hợp mới l à:







00
00
.ABJ
(theo ví dụ 2)
Vậy, trong cả hai trường hợp, không có ánh sáng xuất hiện ở lối ra.
2. Vector Jones biểu dạng trạng thái phân cực của ánh sáng l à:

Ma trận Jones của bản ¼ sóng trục nhanh thẳng đứng l à:










4
4
0
0


i
i
ie
e
C
Ma trận Jones của bản ¼ sóng với trục nhanh nằm ngang l à:










4
4
0
0


i
i
ie
e
D
Khi đặt C trước D thì ma trận Jones của tổ hợp n ày là:







1
1
2
1
45
o
E









1
1
2
1
45
o
E

Thắc mắc xin liên hệ:







i
i
CDJ
0
0
.
(theo ví dụ 4)
Ánh sáng ở đầu ra là:





















i
i
i
i
EJE
out
2
1
1
1

2
1
0
0
.
0
45

Khi đặt D trước C thì ma trận Jones của tổ hợp mới l à:







i
i
DCJ
0
0
.
(theo ví dụ 3)
Ánh sáng ở đầu ra có trạng thái phân cực tương tự trường hợp trên.
Đến đây ta có một nhận xét l à: khi đặt hai kính phân cực tuyến tính sao cho trục
truyền của chúng vuông góc nhau th ì sẽ không có ánh sáng ở đầu ra, nh ưng khi đặt
hai bản ¼ sóng để trục nhanh của chúng vuông góc nhau th ì vẫn có ánh sáng ở đầu ra.
3.Các yếu tố quang học m à ánh sáng đã đi qua theo thứ tự là:
Kính phân cực tuyến tính có trục truyền tạo với trục nằm ngang một góc P (gọi đây là
yếu tố F)>>Bản ¼ sóng có trục nhanh tạo với ph ương ngang một góc C (yếu tố

E)>>phản xạ trên bề mặt mẫu(yếu tố K)
Ma trận Jones của yếu tố F:







PPP
PPP
F
2
2
sincossin
cossincos
Ma trận Jones của yếu tố E:









CiCCCi
CCiCiC
E
22

22
cossincossin)1(
cossin)1(sincos
Ma trận Jones của yếu tố K:







10
0
K
Ma trận Jones của hệ là:
J=K.E.F









)sin(sincos)cos(sinsin)sin(coscos)cos(cossin
)sin(sinsin)cos(cossin)sin(cossin)cos(coscos
.
CPPCiCPPCCPPCiCPPC
CPCPiCPCPCPPCiCPPC

FE
(theo ví dụ 5)









)sin(sincos)cos(sinsin)sin(coscos)cos(cossin
)]sin(sinsin)cos(cos[sin)]sin(cossin)cos(cos[cos
CPPCiCPPCCPPCiCPPC
CPCPiCPCPCPPCiCPPC
J

Kết quả này chỉ giống kết quả tính toán của trong t ài liệu khi:
 Chỉ các phần tử trên đường chéo chính khác 0. ( ???)
 Bỏ cosP của J
11
và bỏ sinP ở J
22
. (???)
Trong trường hợp đó:










)sin(cos)cos(sin0
0)]sin(sin)cos([cos
CPCiCPC
CPCiCPC
J

Giả sử vector Jones của ánh sáng ở lối v ào là:






si
pi
E
E
Và vector Jones của ánh sáng ở lối ra l à:
Thắc mắc xin liên hệ:






sr

pr
E
E
Thì mối quan hệ giữa chúng đ ược biễu diễn qua
hệ thức:
 





















si
pi
sr

pr
E
E
CPCiCPC
CPCiCPC
E
E
)sin(cos)cos(sin0
0)sin(sin)cos(cos
 
pipr
ECPCiCPCE )sin(sin)cos(cos  
sisr
ECPCiCPCE )sin(cos)cos(sin 
Để không có ánh sáng xuất hiện ở đầu ra th ì đầu mút của vector cường độ điện trường
của ánh sáng phân cực t uyến tính phải vuông góc với trục truyền của kính phân tích a
(xem hình vẽ).
Khi đó
 
 
si
pi
sr
pr
ECPCiCPC
ECPCiCPC
E
E
tgA
)sin(cos)cos(sin

)sin(sin)cos(cos




Nếu chỉ xét các ánh sáng lối v ào ứng với các trạng thái phân cực có E
pi
=E
si
thì ta
được:
 
 
)sin(cos)cos(sin
)sin(sin)cos(cos
CPCiCPC
CPCiCPC
E
E
tgA
sr
pr




Vậy khi
 
 
)sin(cos)cos(sin

)sin(sin)cos(cos
CPCiCPC
CPCiCPC
artgA




thì sẽ không có ánh sáng
xuất hiện ở lối ra.
4.Tính ma trận Jones của tổ hợp các yếu tố quang học sau:
ở đây:
LHP: Kính phân cực tuyến tính trục truyền nằm ngang.
)(LH
: Kính phân cực tuyến tính có trục truyền tạo với ph ương ngang góc

.
LVP: Kính phân cực tuyến tính với trục truyền thẳng đứng.
Kết quả: