Chuyên đề: Hình học không gian luyện thi đại học, luyện thi quốc gia môn toán

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ℑ 1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Tọa độ điểm :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1.
( ; ; )
M M M M M M
M x y z OM x i y j z k
⇔ = + +
uuuur r r r
2. Cho A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B
;y
B
;z
B
)
ta có:
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
uuur

2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − + − + −
3. M là trung điểm AB thì M






+++
2
;
2
;
2
BABABA
zzyyxx
II. Tọa độ của véctơ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .
1.
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
⇔
1 2 3

a a i a j a k
= + +
r r r r
2. Cho
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
và
1 2 3
( ; ; )b b b b
=
r
ta có

1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b
± = ± ± ±
r r

1 2 3
. ( ; ; )k a ka ka ka
=
r

2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r


1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
r r
(với
0 , 0a b≠ ≠
r r r r
)

a
r
và
b
r
vuông góc
1 1 2 2 3 3
. . . 0a b a b a b⇔ + + =

a
r
và

b
r
cùng phương
1 1
2 2
3 3
:
a kb
k R a kb a kb
a kb
=


⇔ ∃ ∈ = ⇔ =


=

r r


1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=



= ⇔ =


=

r r
III . Phương trình mặt cầu :
1. Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) , bán kính r :
(S): (x – a )
2
+( y – b)
2
+ ( z – c )
2
= r
2

2. Mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với
2 2 2
0A B C D+ + − >
Có tâm I (-A; -B; - C ) , bán kính r =
2 2 2
A B C D+ + −

1
B. BÀI TẬP
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
a) Tính
, .( 3 )AB AC O BF A C
 
= +
 
uuur uuur uuur uuur
.
b) Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3),
C’(1;2;3).
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật .
b) Tính độ dài đường chéo B’D của hình hộp chữ nhật .
c) Gọi G
1
,G
2
lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BC’ và tam giác ACD’.Tính khoảng cách
giữa G
1
và G
2

Bài 3: Trong không gian Oxyz , cho A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) , C(3; 1; –1).
a/. Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác .
b/. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
c/. Tính góc giữa hai cạnh AB và AC của tam giác ABC
Bài 4

a/.Cho ba điểm A(2 ; 5 ; 3), B(3 ; 7 ; 4),C(x ; y ; 6).Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng
b/. Tìm trên Oy điểm M cách đều hai điểm A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
c/. Tìm trên mp(Oxz) điểm N cách đều ba điểm A(1;1;1), B(-1 ; 1; 0), C(3 ;1 ; -1).
Bài 5 :Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Tâm I(1 ; 0 ; -1), đường kính bằng 8.
b) Đường kính AB với A(-1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2 ; 3)
c) Tâm I(2 ;-1 ; 3) và đi qua A(7 ; 2 ; 1).
d) Tâm I(-2 ; 1 ; – 3) và tiếp xúc mp(Oxy).
Bài 6 :Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:
a) Đi qua ba điểm A(1; 2; -4), B(1; -3 ;1), C(2 ;2 ;3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).
b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; 1 ; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
c) Đi qua bốn điểm O( 0; 0 ; 0 ) , A(2 ; 2 ; 3), B(1 ; 2 ; – 4), C(1; – 3; – 1 )
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi:

(2;4; 1), 4 , (2;4;3), 2 2A OB i j k C OD i j k
= − = + − = = + −
uuur r r r uuur r r r
a/.Chứng minh AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB.
b/. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
c/.Tính chiều cao AH của hình chóp A.BCD
Bài 8 : Trong không gian Oxyz cho phương trình mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 8x + 2y + 1 = 0 và M ( 2; 2 ; – 1)
a/. Xác định tâm và bán kính của nặt cầu (S)
b/. Xét vị trí tương đối của điểm M và mặt cầu (S)

Bài 9:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng
(P ) :
x y 2z 1 0+ + + =
và mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2 x + 4y – 6z + 8 = 0
a/. Viết phương trình mặt cầu (S
1
) có tâm là M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
b/. Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
2
ℑ3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Phương trình mặt phẳng:
 Định nghĩa :
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0 ,
được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
 Nếu (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có véctơ pháp tuyến là
( ; ; )n A B C=
r
 Phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua điểm M
0

(x
0
;y
0
;z
0
) nhận
( ; ; )n A B C=
r
,
( )
0n ≠
r r
làm
vectơ pháp tuyến có dạng : A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0.
 Nếu (
α
) có cặp vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ),b ( ; ; )a a a a b b b= =
r r
không cùng phương và có giá song
song hoặc nằm trên (
α

) thì vectơ pháp tuyến của (
α
) được xác định
,n a b
 
=
 
r r r
 Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz cho mp(
)
α
: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:
D = 0 khi và chỉ khi (
)
α
đi qua gốc tọa độ.
A=0 , B
0
≠
, C
0
≠
, D
0
≠
khi và chỉ khi
( )
α
song song với trục Ox

A=0 , B = 0 , C
0
≠
, D
0
≠
khi và chỉ khi
( )
α
song song mp (Oxy )
A,B,C,D
0≠
. Đặt
, ,
D D D
a b c
A B C
= − = − = −
Khi đó
( ): 1
x y z
a b c
α
+ + =
(Các trường hợp khác nhận xét tương tự)
II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho (
1
α
):

1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
và (
2
α
):
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
 (
α
) // (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
1 2
( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C
D kD
=


≠

 (
α
) ≡ (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
1 2
( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C

D kD
=


=


 (
α
)cắt (
α
’) ⇔
1 1 1 2 2 2
( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C≠
Đặc biệt :
(
α
)
⊥
(
α
’)
1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 . . . 0n n A A B B C C⇔ = ⇔ + + =
uruur
III: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm M
o
(x
o

;y
o
;z
o
) đến mặt phẳng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0


2 2 2
( ,( ))
o o o
o
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
B.
3
BÀI TẬP :
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD.
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC).
Bài 2
: V

iết
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh mặt phẳng trong các trường hợp sau :
a) Mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;-3) và có vtpt
(1; 3;5)n = −
r
b) Mặt phẳng (P) đi qua B(3,-1,4) và song song với mặt phẳng x-2y+5z-1=0
c) Mặt phẳng (P) đi qua C(1,-1,0) và song song với mặt phẳng yOz
d/. Mặt phẳng (P) đi qua D(5,-1,-3)và vuông góc với đthẳng d:
1 3 1
2 1 3
x y z− + −
= =
−
Bài 3.
V
iết
ph
ươ
ng
t
r
ì
nh mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau :
a) (P) đi qua M(2 ;3 ;2) và song song với giá hai véctơ

(1;1; 2); ( 3;1;2)u v= − = −
r r
b) (P) đi qua hai điểm M(1 ;-2 ;1), N(-1 ;1 ;3) và song song với trục Oy
c) (P) đi qua điểm M(1 ;-1 ;2) và chứa đường thẳng
2 1 3
( ) :
2 1 1
x y z
d
− + −
= =
− −
d) (P) đi qua M(2 ;-1 ;1), N(-2 ;3 ;-1) và vuông góc với mp (Q): 4x - y + 2z − 1 = 0
e) (P) đ
i
qu
a

các
điểm là h
ì
nh
c
h
iế
u vuông góc
c
ủ
a
M(4;-1;2) trên các mp tọa độ.

f) (P) đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M(4;-1 ;2) trên các trục tọa độ
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):2x – y+2z - 4=0 và(Q):x - 2y- 2z+ 4=0
a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau.
b) Tìm tọa độ giao điểm A,B,C của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz.
c) Tính khoảng cách tử gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P)
d) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mp(Q)
Bài 5:Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;-1) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y - z + 2 = 0
a) Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và đi qua
A(-1;2;3).
c) Lập phương trình mặt phẳng (
γ
) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P)
và (Q).
Bài 7: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P):
3 2 3 7 0x y z− − − =
và A(3; -2; -4).
a) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với (P).
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):2x+ky +3z –5 =0và(Q):mx-6y -6z+2=0
a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, khi đó hãy tính
khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và (Q)
b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q), hãy tính khoảng cách từ
A(1;1;1) đến đường thẳng (d).
4
ℑ3. ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I. Phương trình đường thẳng:
Định nghĩa :
Phương trình tham số của đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ chỉ
phương
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
:
0 1
0 2
0 3
(t R)
x x a t
y y a t
z z a t
= +


= + ∈



= +


Nếu a
1
, a
2
, a
3
đều khác không .Phương trình đường thẳng
∆
viết dưới dạng chính tắc
như sau:

0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
II Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
' '
1
1
' '
2 2
' '

0 3
3
'
: ': '
'
o
o
o o
o
x x a t
x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t
z z a t

= +
= +



= + = +
 
 
= +
= +



d có vtcp
u

r
đi qua M
o
; d’có vtcp
'u
ur
đi qua M
o
’

u
r
,
'u
ur
cùng phương
 d // d’⇔
0
'
'
u ku
M d

=


∉


r ur

 d ≡ d’⇔
0
'
'
u ku
M d

=


∈


r ur

u
r
,
'u
ur
không cùng phương
' '
1 1
' '
2 2
' '
0 3 3
'
'
'

o o
o o
o
x a t x a t
y a t y a t
z a t z a t

+ = +

+ = +


+ = +

(I)
 d cắt d’ ⇔ Hệ phương trình (I) có một nghiệm
 d chéo d’⇔ Hệ phương trình (I) vô nghiệm
2)Vị trí tương đốicủa đường thẳng và mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D = 0 và
1
2
0 3
: ,
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= +



= + ∈


= +

Phương trình : A(x
o
+a
1
t)+B(y
o
+a
2
t)+C(z
0
+a
3
t)+D = 0 (1)
 Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α)
 Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)
 Phương trình (1) có vô số nghiệm thì d
⊂
(α)
5
Đặc biệt : (
d
)
⊥
(

α
)
,a n⇔
r r
cùng phương
 Khoảng cách từ M đến đường thẳng d
Phương pháp :
 Lập phương trình mp(
α
) đi qua M vàvuông góc với d
 Tìm tọa độ giao điểm H của mp(
α
) và d
 d(M, d) =MH
 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:
d điqua M(x
0
;y
0
;z
0
);cóvtcp
1 2 3
( ; ; )a a a a
=
r
; d’quaM’(x’
0
;y’
0

;z’
0
) ;vtcp
1 2 3
' ( ' ; ' ; ' )a a a a
=
uur
Phương pháp :
 Lập phương trình mp(
α
) chứa d và song song với d’
 d(d,d’)= d(M’,(
α
))
B.BÀI TẬP:
6
Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một đường
thẳng (∆) :
9 2 ,
5 3
x t
y t t R
z t
=


= + ∈


= +


a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (∆)
c) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.Tính d(BC,∆).
Bài 6 : a/.Viết phtrình đường thẳng nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc
với đường thẳng d:





−=
+=
+=
tz
ty
tx
4
2
21
tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P).
b/.Viết ph.trình đường thẳng d đi qua M(3;2;1) vuông góc và cắt d’:
1
2 4 3
x y z +
= =
Bài 7:Cho hai dường thẳng
1
2
:

2 3 4
x y z+
∆ = =
và
2
1
: 2 ,
1 2
x t
y t t R
z t
= +


∆ = + ∈


= +

a/. Chứng minh rằng
1
∆
và
2
∆
chéo nhau .
b/.Viết phtrình mặt phẳng
( )
α
chứa

1
∆
và song song với
2
∆
.Tính d(
1
∆
,
2
∆
)
Bài 8:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3),C(3;-3;-1),D(-1;-5;3).
a) Lập phương trình tham số đường thẳng AB.
b) Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB.
c) Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD trên mặt
phẳng (P).
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
c) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
d) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
Bài 11: Cho đường thẳng
2
( ):
4
1 2
x t
y t
z t

= − +


∆
=


= − +

và mp (P) : x + y + z - 7=0
a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (∆) và (P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (∆) trên mp(P).
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (∆) và (∆’) lần lượt có phương trình:
7 3
1 2 5
: ; ': 2 2
2 3 4
1 2
x t
x y z
y t
z t
= +

− + −

∆ = = ∆ = +

−


= −

.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng (∆) và (∆’) cắt nhau
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) chứa (∆) và (∆’)
c) Viết p.trình đường thẳng (d) vuông góc và cắt cả hai đường thẳng (∆) và (∆’) .
7
Bài 13:Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình :
(d) :
3
2 2 ,( )
3
x t
y t t R
z t
=


= + ∈


= −

, (S) : x
2
+ ( y – 1 )
2
+ (z – 1)
2

= 5
Chứng tỏ đ.thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độ điểm tiếp xúc.
BÀI TẬP
Bài 1:Trong không gian Oxyz cho đthẳng d:





−=
+=
+=
tz
ty
tx
4
2
21
và phẳng (P):2x + 2y +z= 0.
a/ Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).Tính góc giũa d và (P).
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P)
c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa d và điểm A(-1 ; 0 ; 2).
d/ Tìm điểm A’ đối xứng của A(-1 ; 0 ; 2). qua đường thẳng d
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2;3).
a/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).
Tính khỏang cách từ M đến mp(P).
b/ Tìm tọa độ hinh chiếu của điểm M lên mp(P).
Bài 3: Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0, Q): 4x +5y – z+ 1= 0.
a/ chứng minh răng hai mặt phẳng cắt nhau viết phương tình tham số của đường
thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

b/ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O vuông góc với (P) và (Q).
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
-2x - 4y - 6z = 0 và hai điểm M(1;1;1),
N(2;-1;5).
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
b) Viết phương trình đường thẳng MN.
c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu (S).
d) Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng MN .Viết phương trình mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm.
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - 2z - 6 = 0
a) Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ O và song song với mp (P).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mặt
mp(P).
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P).
Bài 7: Cho hai đường thẳng:
x=2+t
2 '
( ): ( '): y=1-t , '
3
z=2t
1 '
x t
t t R
y
z t

= −


 
∆ ∆ ∈
=
 
 
= +


a) Chứng minh rằng đường thẳng (∆)và(∆’) chéo nhau
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (∆)và (∆’).
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho điểm D(-3;1;2) và mặt phẳng
( )
α
đi qua ba điểm
A(1;0;11) , B(0;1;10), C(1;1;8).
a/. viết phương trình đường thẳng AC .
b/. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
( )
α
.
c/.Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D,bán kính r = 5.Chứng minh mặt phẳng

( )
α
cắt mặt cầu (S).
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0, điểm I(1;2;-2) và đường
thẳng

8
1 2
( ) : ,
4
x t
d t R
y t
z t
= − +


∈
=


= +

a) Tìm giao điểm của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P).
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) và I.
d) Viết phương trình đường thẳng (d’) nằm trong (P), cắt (d) và vuông góc
Bài 10: Trong không gian Oxyz cho A(1;-1;2) , B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
a) Chứng minh A,B,C,D là bốn điểm đồng phẳng.
b) Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. hãy viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.
c) Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và
mp(P): x + y + z – 2 = 0.
a) Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P).
b) Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC

a) Cho D(0;3;0).Chứng tỏ rằng DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách giữa đường
thẳng DC và mặt phẳng (P).
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình :
(S) : (x – 3)
2
+ (y + 2)
2
+ (z – 1)
2
= 100 , (P) : 2x – 2y – z +9 = 0
a/. Chứng minh : (P) và (S) cắt nhau
b/. Xác định tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến của của (P) và (S).
Bài 13: Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x – 2y – 2z – 6 = 0
a/. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) :x+y+z – 9 =0 và cắt (S)
theo thiết diện là một đường tròn lớn .
b/. Viết phương trình mặt phẳng (K) song song với mặt phẳng (R) :x+2y+z – 1 =0 và tiếp
xúc với mặt cầu (S) .
Bài 14 : Cho dường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình :
(d) :
6
1 3 3
x y z−
= =
−

, (P) : 3x + 2y +z – 12 = 0.
a/. Chứng minh (d)
⊂
(P) .
b/. Lập phương trình mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 15: Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình
(d
1
) :
7 5 9
3 1 4
x y z+ − −
= =
−
, (d
2
)
4 18
3 1 4
x y z+ +
= =
−
a/. Chứng tỏ (d
1
) và (d
2

) song song với nhau.
b/. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và (d
2
) .
c/. Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
) .
e/.Lập phương trình đường thẳng (
∆
) thuộc mặt phẳng (P) và song song cách đều (d
1
) và
(d
2
).
Bài 16:Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
(d
1
):
7 3
2 2 ,( )
1 2

x t
y t t R
z t
= +


= + ∈


= −

, (d
2
) :
1 2 5
2 3 4
x y z− + −
= =
−
a/. Chứng minh hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau
b/. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và (d
2
).
Bài 17:Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) có phương trình :

9
(d) :
3
2 2 ,( )
3
x t
y t t R
z t
=


= + ∈


= −

, (S) : x
2
+ ( y – 1 )
2
+ (z – 1)
2
= 5
Chứng tỏ đ.thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau . Tìm tọa độ điểm tiếp xúc.
Bài 18: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
(d) :
1 2
2 ,( )
3
x t

y t t R
z t
= +


= − ∈


=

, (P): 2x – y – 2z + 1= 0
a/. Tìm các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng
(P) bằng 1 .
b/. Gọi K là điểm đối xứng của I(2 ;-1 ;3) qua đường thẳng (d) . Xác định tọa độ điểm K.
Bài 19 : Trong không gianOxyz Cho A(1; 2; -1) , phương trình đường thẳng
(d):
2
2
31
2 +
==
− z
y
x
và phương trình mặt phẳng (P): 2x + y - z + 1 = 0
1) Tìm tọa độ điểm B là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P)
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (d) và song song với mặt phẳng (P) .
10
Ch ơng 1
Mặt Phẳng

Bài 1
Phơng trình mặt phẳng
Bài 1 Lập phơng trình tham số của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2,3,2) và cặp VTCP là
)1,2,3( );2,1,2( ba

Bài 2: Lập phơng trình tham số của mặt phẳng (P) đi qua M(1,1,1) và
1) Song song với các trục 0x và 0y.
2) Song song với các trục 0x,0z.
3) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 3: Lập phơng trình tham số của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1,-1,1) và B(2,1,1) và :
1) Cùng phơng với trục 0x.
2) Cùng phơng với trục 0y.
3) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 4: Xác định toạ độ của véc tơ
n
vuông góc với hai véc tơ
)1,2,3( );3,1,6( ba
.
Bài 5: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là
)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 6: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
1) (P) đi qua điểm A(-1,3,-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
2) (P) đi qua điểm M(-1,3,-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài7: Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2,6,-3) và song song với các mặt phẳng
toạ độ.
B ài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),
(Q).

Bài 2
Chuyển dạng phơng trình
mặt phẳng
Bà i1 Tìm một cặp VTCP của các mặt phẳng sau:
1) (P) : x-2y-1=0
2)
);(
31
2
1
:)(
21
21
21
21
Rtt
ttz
tty
ttx
P





++=
+=
++=
3) (P) : x+4y+7z+16=0
Bài 2: Tìm một cặp VTPT của các mặt phẳng sau:

11
1)
);(
31
2
1
:)(
21
21
21
21
Rtt
ttz
tty
ttx
P





++=
+=
++=
2) (P): x-2y-1=0.
3) (P) :x+4y+7z+16=0.
Bài 3: Chuyển dạng phơng trình tổng quát của (P) sang dạng tham, số trong các trờng hợp sau:
1) (P): x+2y+3z-12=0.
2) (P): 3x+2y+z-6=0.
3) (P): x+2y-4=0.

4) (P): 2y+3z-6=0.
Bài 4: Chuyển dạng phơng trình tham số của (P) sang dạng tổng quát trong các trờng hợp sau:
1)
);(
2
2
1
:)(
21
2
1
21
Rtt
tz
ty
ttx
P





=
=
+=
2)
);(
31
2
1

:)(
21
21
21
21
Rtt
ttz
tty
ttx
P





++=
+=
++=
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) phơng trình tham số:

);(
3
2
1
:)(
21
1
2
1
Rtt

tz
ty
tx
P





=
+=
+=
1) Lập phơng trình tổng quát của (P).
2) Lập phơng trình tổng quát của (Q) đi qua điểm A(1,2,3) và song song với (P).
Bài 6: Lập phơng trình tham số và phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
1) Đi qua hai điểm A(0,-1,4) và có cặp VTCP là
( )
1,2,3a
r
và
( )
1,0,3b
r
2) Đi qua hai điểm B(4,-1,1) và C(3,1,-1) và cùng phơng với trục với 0x.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có A(5,1,3) B(1,6,2) C(5,0,4) D(4,0,6) .
1) Viết phơng trình tham số và phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
2) Viết phơng trình tham số và phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song
song vpí cạnh CD.
Bài 8: Viết phơng trình tham số và tổng quát của (P)
1) Đi qua ba điểm A(1,0,0), B(0,2,0) , C(0,03) .

2) Đi qua A(1,2,3) ,B(2,2,3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
3) Chứa 0x và đi qua A(4,-1,2) ,
4) Chứa 0y và đi qua B(1,4,-3)
Bài 9: Cho hai điểm A(3,2,3) B(3,4,1) trong không gian 0xyz
1) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
2) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z
3) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).
Bài 3
Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tơng đối ciủa các cặp mặt phẳng sau:
1) (P
1
): y-z+4=0, và
( ) ( )
Rtt
ttz
tty
tx
P





=
=
+=
21
21
21

1
2
,,
45
41
23
:
12
2) (P
1
): 9x+10y-7z+9=0
( ) ( )
Rtt
ttz
tty
ttx
P





++=
+=
++=
21
21
21
21
2

,,
43
27
321
:
3) (P
1
): x+y-z-4=0và
( ) ( )
Rtt
ttz
tty
ttx
P





++=
+=
+=
21
21
21
21
2
,,
1
22

1
:
Bài 4
Chùm mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng qua M(2,1,3) và chứa (d) , biết :
1)
( )



=+
=+
012
0532
:
zyx
zyx
d
2)
( )





+=
+=
=
tz
ty

tx
d
21
22:
Bài 2:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M(2,1,-1) và qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng
(P
1
) và (P
2
) có phơng trình :
(P
1
): x-y+z-4=0 và (P
2
) 3x-y+z-1=0
Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với mặt
phẳng (Q) có phơng trình :

(Q): 11x-2y-15z-6=0.
Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến của (P
1
): y+2z-4=0 và (P
2
) : x+y-z-3=0 và song
song với mặt phẳng (Q):x+y+z-2=0.
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )



=
=+
02
0323
:
zx
zyx
d
và vuông góc với (Q) có
phơng trình ;
1) (ĐHNNI-95): (Q): x-2y+z+5=0.
2)
( ) ( )
Rtt
ttz
tty
ttx
Q

+=
+=
++=
21
21
21
21
,,
5
24
34
:
Bài 6: Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai giao tuyến của hai mặt phẳng (P
1
): 3x-y+z-2=0 và
(P
2
): x+4y-5=0 và vuông góc với mặt phẳng : 2x-z+7=0.
Bài 7: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng :
( )



=
=+

02
0323
:
zx
zyx
d
và song song với đờng
thẳng (d) có phơng trình :
1)
( )



=++
=+
0323
0723
:
zyx
zyx
d
2)
( )
5
5
4
3
2
2
:

+
=

=

zyx
d
Bài 8:Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng :
( )



=+
=
0323
02
:
zyx
yx
d
và vuông góc đờng
thẳng (d) có phơng trình :
1)
( )



=++
=+
0323

0723
:
zyx
zyx
d
13
2)
( )
5
5
4
3
2
2
:
+
=

=

zyx
d
Bài 9: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng thẳng và với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết:

( )



=
=+

02
0323
:
zx
zyx
d
và (Q):3x+4y-6=0
Bài 10: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng
( )



=+
=
015
023
:
zy
zx
d
và có khoảng cách đến điểm
A(1,-1,0) bằng 1.
Bài 11: Cho đờng thẳng (d) và hai mặt phẳng

( )



=+
=

01
02
:
zy
zx
d
và (P
1
): 5x+5y-3z-2=0 và (P
2
):2x-y+z-6=0. Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa
đờng thẳng (d) sao cho:
( ) ( )
1
PP
và
( ) ( )
2
PP
là hai đờng trực giao.
Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình :

( )
,
014
0238

:
1



=+
=+
zy
zx
d
,
( )



=++
=
022
032
:
2
zy
zx
d
.
1) Viết phơng trình các mặt phẳng
( )
1
P
,

( )
2
P
song song với nhau và lần lợt chứa
( )
1
d

( )
2
d

2) Tính khoảng cách giữa
( )
1
d
,
( )
2
d

3) Lập phơng trình đờng thẳng (D) song song với trục Oz và cắt cả 2 đờng thẳng
( )
1
d
,
( )
2
d

B ài 5
Khoảng cách từ một điểm
tới mặt phẳng
Bài1:Tính khoảng cách từ điểm M(2,2,1) đến mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
1) (P): 2x+y-3z+3=0
2)
( )
Rt
ttz
tty
ttx
P





+=
+=
++=
21
21
21
21
, t
5
24
34
:
Bài2:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5,1,3) B(1,6,2)

C(5,0,4) D(4,0,6)
1) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng (ABC)
2) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện
3) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (A,BC,D)
Bà3:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1,1,1) B(-2,0,2)
C(0,1,-3) D(4,-1,0)
1) (ĐH Luật 1996) Tính chiều dài đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện
2) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (A,BC,D)
Ch ơng 2
Đờng thẳng trong
không gian
Bài 1
Phơng trình đờng thẳng
Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong các trờng hợp sau :
1) (d) đi qua điểm M(1,0,1) và nhận
)3,2,3(a
làm VTCP
2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) và B(2,-1,3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
14
(P) : x-3y+2z-6=0 và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đi qua điểm M(2,3,-5) và song song với đờng
thẳng (d) có phơng trình
( )



=++
=+
0323

0723
:
zyx
zyx
d
Bài 4: Cho đờng thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phơng trình là :
( )



=+++
=++
0732
0143
:
zyx
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0
Tìm phơng trình chính tắc của đờng thẳng (t) đi qua A(1,1,1) song song với mặt phẳng (P) và vuông
góc với đờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). Viết phơng trình tham số của
đờng thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
B ài 2
Chuyển dạng phơng trình
đờng thẳng
Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phơng của các đờng thẳng sau
1)
3
1

4
2
3
1
:)(
+
=
+
=
zyx
d
2)
( )



=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
Bài 2:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )



=+

=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình tham số
của đờng thẳng đó
Bài3:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )



=+
=++
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phơng trình chính tắc
của đờng thẳng đó
Bài4:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R t,
21
22:

+=
+=
=
tz
ty
tx
d
. Hãy viết phơng trình tổng quát của
đờng thẳng đó
Bài5:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2,1,3) và
vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
1) (P): x+2y+3z-4=0
2)
( )
Rt
ttz
tty
ttx
P





+=
+=

++=
21
21
21
21
, t
5
24
34
:
.
3)
( )
Rt
tz
ty
tx
P





=
+=
+=
21
2
2
1

, t
3
2
1
:

Bài 6:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và
song song với đờng thẳng (D) cho bởi :
1)
( )
R
tz
ty
tx
D





+=
=
+=
t
3
3
22
:
.
2)

( )



=++
=+
014
01
:
zx
yx
D
15
Bài 7:Lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và
vuông góc với 2 đờng thẳng :

( )



=+
=+
032
022
:
1
zx
yx
d
,

( )



=+
=++
0642
0104
:
2
zyx
zyx
d
Bài8:Trong không gian Oxyz, lập phơng trình tham số, chính tắc và tổng quát của đờng thẳng (d) đi
qua điểm A(3,2,1), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đờng thẳng
Biết mặt phẳng
(P): x+y+z-2=0 và



=++
=+

014
01
:)(
zy
yx
B ài 3
Vị trí tơng đối của đờng thẳng và mặt phẳng

Bài1: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
1)
( )
R t,
2
3
1
:





+=
=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0
2)
( )
R t,
1
9
412
:

+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
3)
( )

05
010632
:



=+++
=++
zyx
zyx
d
(P): y+4z+17=0
4)
( )

01

03
:



=
=++
y
zyx
d
(P): x+y-2=0
Bài 2: hãy tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi :
1)
( )
)(t
1
39
412
: R
tz
ty
tx
d





+=
+=

+=
.và
( )
), t(
3
2
1
:
21
2
2
1
Rt
tz
ty
tx
P





=
+=
+=
.
2)
( )

05

010632
:



=+++
=++
zyx
zyx
d
( )
), t( 21
2
:
21
1
2
21
Rt
tz
ty
ttx
P





=
+=

=
3)
( )
R t,
22
2
21
:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-2y+2z+3=0.
Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P) :2x+y+z=0 và
( )
3
2
12
1
:

+

==
zyx
d
.
1) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
2) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d
m
) có phơng
trình : (P) :2x-y+2=0 ,
( )

024)12(
01)1()12(
:



=++++
=+++
mzmmx
mymxm
d
m
xác định m để (d
m
)//(P)
16

B ài 4
Vị trí tơng đối của hai
đờng thẳng
Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình (P) :2x+y+z=0 và
( )
3
2
12
1
:

+
==
zyx
d
.
3) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
4) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) có phơng trình
cho bởi:
1)
( )
R
tz

ty
tx
d





+=
+=
+=
t
46
32
23
:
1
,
( )



=+
=+
015
0194
:
2
zx
yx

d
2)
( )
R
tz
ty
tx
d





+=
+=
+=
t
33
2
21
:
1
,
( )

13
23
2
:
2

+=
+=
+=
uz
uy
ux
d
3)
( )

01
012
:
1



=++
=++
zyx
yx
d
,
( )

012
033
:
2



=+
=++
yx
zyx
d
Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

5
1
25
:
1





=

=
+=
tz
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d





=
=
+=
1
1
1
1
2
tt,
1
3
23

:
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) và thuộc mặt phẳng chứa (d
1
),(d
2
) .
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
4
9
1
5
3
7
:
1

=


=
+ zyx
d
,
( )
4
18
1
4
3
:
2
+
=

+
=
zyx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách đều (d
1

),(d
2
) và thuộc mặt phẳng chứa (d
1
),(d
2
).
Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
R t
46
2
23
:
1






+=
+=
+=
tz
ty

tx
d
,
( )

015
0194
:
2



=+
=+
zx
yx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau .
2) Viết phơng trình đờng phân giác của (d
1
),(d
2
)
Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d

2
) có phơng trình cho bởi :
17
( )
3
4
1
2
2
1
:
1

=
+
=

zyx
d

( ) ( )
t
32
1
:
2
R
tz
ty
tx

d





+=
=
+=
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau.
2) Viết phơng trình đờng phân giác của (d
1
),(d
2
)
Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

1
1
:
1

=
=
=
z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
=
1
1
1

1
2
tt, 1
2
:
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )



=+
=++
0104z-y
0238zx
: d
1

,
( )

022
032
:
2



=++
=
zy
zx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )
3
3
2
2
1
1
:
1

=

=
zyx
d
( )

0532
02
:
2



=+
=+
zyx
zyx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d

1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
B ài 5
Hai đờng thẳng đồng phẳng và bài tập liên quan
Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
) ,biết:

( )
2
3
2
1
3
1
:
1


=

=
+ zyx
d

( )
2
3
1
1
1
:
2

=

=
zyx
d
Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1,-1,1) và hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )



=+
=+

01y-2x
03z-y-3x
: d
1

( ) ( )
t
3
21:
2
R
tz
ty
tx
d





=
=
=
CMR (d
1
),(d
2
) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng.
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d
1

),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )



=+
=++
01y-x
01y2x
: d
1
z
( )

012
033
:
2



=
=++
yx
zyx
d
1) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d

1
),(d
2
).
3) Viết phơng trình đờng phân giác của(d
1
),(d
2
)
Bài 4: Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
1
1
2
1
1
2
:
1

=

=
zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d





+=
+=
+=

1) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
3) Viết phơng trình đờng phân giác của(d
1
),(d

2
)
18
Bài5: cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )
3
2
4
1
1
3
:
1

=
+
=
zyx
d
,
( )

03
024
:
2

=
=
zx
yx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau.
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong (P) song song cách đều (d
1
),(d
2
) .
B ài 6
Hai đờng thẳng chéo nhau và bài tập liên quan
Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )

34
24
37
:
1





+=
=
+=
tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d

=
+=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho
bởi : (d

1
): x=-y+1=z-1, (d
2
): -x+1=y-1=z
Tìm toạ độ điểm A
1
thuộc (d
1
) và toạ độ điểm A
2
thuộc (d
2
) để đờng thẳng A
1
A
2
vuông góc với (d
1
)
và vuông góc với (d
2
) .
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )

1
1
:
1





=
=
=
z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=

=
1
1
1
1
2
tt, 1
2
:
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.Viết phơng trình mặt phẳng (P),(Q) song song
với nhau và lần lợt chứa (d
1
),(d
2
)
2) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( ) ( )

Rt
12
23
31
:
1






=
+=
+=
z
ty
tx
d

( )

01225
0823
:
2



=+

=
zx
yx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
)
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:

( )
1
2
3
1
2

1
:
1

=

=
+ zyx
d

( )
25
2
2
2
:
2

=
+
=
zyx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1

),(d
2
) .
Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:
:
( )



=+
=+
04y-x
0yx
: d
1
z

( ) ( )
t
2
31
:
2
R
tz
ty

tx
d





+=
=
+=
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
)
19
Bài 7: : cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:

( )
1
9

2
3
1
7
:
1


=

=
zyx
d

( )
3
1
2
1
7
3
:
2

=

=

zyx
d

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )

1
1
22
:
1
1
1

=
+=
+=
z
ty
tx
d
,
( ) ( )
R
tz
ty
x
d





=
+=
=
21
2
22
t,t
3
1
1
:

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song với (d
2
) .
3) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :

( )



=++
=++
01y-x
02zyx
: d

1
z

( ) ( )
t
2
5
22
:
2
R
tz
ty
tx
d





+=
=
+=
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Tính khoảng cách giữa (d
1

),(d
2
) .
3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thời (d
1
),(d
2
) .
Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2,2,4), A(-2,2,0) ,B(-5,2,0) ,C(-2,1,1). Tính
khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và SB.
20
Ch ¬ng 3
§iÓm, ®êng th¼ng vµ
MÆt Ph¼ng
Bµi 1
§êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm c¾t c¶ hai ®êng th¼ng cho tríc.
Bµi1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1,2,3) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng
1)
( )



=+
=++
0104z-y
0328zx
: d
1

( )

022
032
:
2



=++
=−−
zy
zx
d
2)
( )
3
3
2
2
1
1
:
1
−
=
−
=
− zyx
d

( )

0532
02
:
2



=−+−
=−+
zyx
zyx
d
Bµi 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng:

( )
R
tz
ty
tx
d ∈





+−=
+=
+=

t
33
2
21
:
1
,
( )

13
23
2
:
2





+=
+−=
+=
uz
uy
ux
d
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi ®êng th¼ng (∆) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng:
( )

01

02
:



=++−
=++
∆
zyx
zyx

( )
R
tz
ty
tx
d ∈





=
−=
+=
t
2
1
2
:

1

( )

03
022
:
2



=−
=−+
y
zx
d
Bµi 4: (§HDL-97): ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1,-1,0) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng:
( )
2
1
1
1
1
:
1
−
=
+
=
zyx

d
( )
121
1
:
2
zyx
d ==
+
Bµi 5: (§HTS-99): ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(1,-1,0) vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng:
( )



=+
=
012-2z5x
08-2y-3x
: d
1

( ) ( )
t
2
23
31
:
2
R
tz

ty
tx
d ∈





−=
−−=
+−=
Bµi 6: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (P) :x+y+z-2=0 vµ c¾t c¶ hai ®êng th¼ng (d
1
)
vµ (d
2
):
( )
R
tz
ty
tx
d ∈





=
−=

+=
t
2
1
2
:
1

( )

03
022
:
2



=−
=−+
y
zx
d
Bµi 7: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ 2 ®êng th¼ng (d
1
) vµ (d
2
):
( )
R
tz

ty
tx
d ∈





−=
+=
+=
t
33
2
12
:
1

( )

0313
23
2
:
2






=−+=
+−=
+=
uz
uy
ux
d
Bµi 2
§êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vu«ng gãc víi c¶ hai ®êng
21
thẳng cho trớc.
Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1,2,3) và cắt cả hai đờng thẳng (d
1
) ,(d
2
):
1)
( )



=+
=++
0104z-y
0328zx
: d
1

( )

022
032
:
2



=++
=
zy
zx
d
2)
( )

01225
0823
:
1



=+
=
zx
yx
d
( ) ( )
t
2

23
31
:
2
R
tz
ty
tx
d





=
=
+=
Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A(1,1,-2) song song với mặt phẳng
(P) và vuông góc với đờng thẳng (d):
( )
01-z-y-x:(P)
3
2
1
1
2
1
: =

=

=
+ zyx
d
Bài 3
Đờng thẳng đi qua một điểm vuông góc với một đờng và
cắt một đờng thẳng khác
Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(0,1,1) và vuông góc với đờng
thẳng (d
1
) và cắt (d
2
) ,biết :
( )
11
2
3
1
:
1
zyx
d =
+
=


( )

01
02

:
2



=+
=++
x
zyx
d
Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(1,1,1) và vuông góc với đờng thẳng (d
1
) và cắt (d
2
)
,biết :
( )



=+
=++
01-zy
03-zyx
: d
1

( )

01

0922
:
2



=+
=+
zy
zyx
d
Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng cắt cả ba đờng thẳng (d
1
) (d
2
) , (d
3
)

và vuông góc với vectơ
( )
3,2,1u
, biết:
( )



=+
=+
01z

01y-x
: d
1

( )

0
01
:
2



=
=+
z
yx
d

( )

1
01
:
3



=
=

z
yx
d
Bài 4: Tìm tất cả các đờng thẳng cắt (d
1
), (d
2
) dới cùng một góc , biết:
( )



=
=
az
0y-mx
: d
1

( )

0
:
2



=
=+
az

ymx
d
Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A(3,-2,-4) song song với mặt phẳng (P) :3x-
2y-3z-7=0 và cắt đờng thẳng (d) biết:
( )
2
1
2
4
3
2
:

=

+
=
zyx
d
Bài 4:
Hình chiếu vuông góc của
điểm lên mặt phẳng
Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2,1,3) qua (P) cho bởi:
1) (P): 2x+y-z-3=0.
2)
( ) ( )
R
ttz
tty
ttx

P





++=
+=
+=
21
21
21
21
t,t
1
22
1
:
Bài 2: (ĐHKTCN-97): Cho điểm A(1,2,3) và mặt phẳng (P) có phơng trình :2x-y+2z-3=0
22
1) Lập phơng trình mặt phẳng qua A và song song với (P).
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
(P). Xác định toạ độ của H
Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm A(1,1,2),B(-2,1,-1) ,C(2,-2,-1) .Xác định toạ độ hình
chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC).
Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2,3,5) và mặt phẳng (P) có phơng trình :2x+3y+z-17=0
1) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A và vuông gócvới (P).
2) CMR đờng thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao điểm M của chúng.
3) Xác định toạ độ điểm A
1

đối xứng với A qua (P).
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
(P): 2x+5y+z+17=0 và
( )

0736
02743
:



=++
=+
zyx
zyx
d
1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
2) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) đối xứng với (d) qua (P)
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
(P): 2x+y+z+4=0 và
( )

0723
032
:

=
=+
zx
yx
d
1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P).
2) Lập phơng trình đờng thẳng (d
1
) đối xứng với (d) qua (P)
Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) (a,b,c dơng ) >Dựng hình hộp chữ
nhật nhận O,A,B,C làm 4 đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó
1) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)
2) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều kiện đối với a,b,c để
hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy)
Bài 5:
Hình chiếu vuông góc của đờng thẳng lên mặt phẳng
Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho đờng
thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phơng trình :
(P):x+y+z-3=0 và
( )

032
03
:



=
=+
zy

zx
d
Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) lên
(Q).
Bài 2: Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của giao tuyến (d) của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và
x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0.
Bài3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt
phẳng (P) có phơng trình :
( )
2
1
3
4
4
:

+
=

=
zyx
d
và (P): x-y+3z+8=0.
Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) .
Bài4: Trong không gian 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phơng trình :
( )



=

=+
02z-x
03-z2y-3x
: d

( ) ( )
R
ttz
tty
ttx
Q





+=
+=
++=
21
21
21
21
t,t
5
24
34
:
Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) lên (Q) .
Bài5: Cho đờng thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phơng trình :

23
( )



=+
=++
03-z-2yx
01zy-2x
: d
(Q): x-y+z+10=0
Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (P) .
Bài6: (ĐH Càn Thơ 1998) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và
mặt phẳng (P) có phơng trình :
( )
3
1
2
2
1
1
:

=

=
zyx
d

và (P): x+y+z+1=0.
Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (P) .
Bài7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) và mặt
phẳng (P) có phơng trình :
( )
3
1
2
2
1
1
:

=

=
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0.
1) Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên (Oxy) .
2) CMR khi m thay đổi đờng thẳng (d
1
) luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định trong mặt phẳng
0xy.
Bài8: (ĐHQG-98): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho mặt phẳng (P) và hai đờng
thẳng (d

1
) và (d
2
) có phơng trình :
(P):x+y-z+1=0
( )



=+
=+
02yx
01z-2y
: d
1
( )

02
0123
:
2



=+
=+
zx
zy
d
1) Hãy viết phơng trình hình chiếu vuông góc (

1
), (
2
) của (d
1
), (d
2
) lên (P) .Tìm toạ độ giao điểm I
của (d
1
), (d
2
).
2) Víêt phơng trình mặt phẳng
( )
1
P
chứa (d
1
) và vuông góc với (P).
Bài 6:
Hình chiếu vuông góc của
điểm lên đờng thẳng
Bài 1: cho điểm A(1,2,3) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )

01
0922
:

=+
=+
zy
zyx
d
.Xác định toạ
độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
Bài2: cho điểm A(1,2,-1) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d





=
+=
+=
t
33
2
12

:
.Xác định toạ độ
hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
Bài3: cho điểm A(2,1,-3) và đờng thẳng (d) có phơng trình :
( )
1
3
2
2
1
1
:

+
=

=
zyx
d
.Xác định toạ
độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ đó tìm toạ độ điểm A
1
đối xứng với A qua (d) .
Bài 4: (ĐHhuế /A,B phân ban 98): Trong không gian 0xyz cho điểm A(2,-1,1) và đờng thẳng (d)
có phơng trình :
( )

022

04
:



=+
=+
zyx
zy
d
1) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc (d) .
2) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua (d) .
Bài 5: (Đề 60-Va): Lập phơng trình đờng thẳng qua A(3,2,1) và vuông góc với đờng thẳng
(d)
1
3
42
:
+
==
zyx
và cắt với đờng thẳng đó .
24
Bài 6: (ĐHTM-2000): Lập phơng trình đờng thẳng qua A(2,-1,0) và vuông góc với đờng thẳng
( )

012
025
:

=++
=+++
zyx
zyx
d
và cắt với đờng thẳng đó .
Bài7: (HV BCVT-2000): Cho 2 đờng thẳng () và (d) có phơng trình :
( )
3
1
2
1
7
3
:

=

=



zyx
( )
1
9
2
3

1
7
:


=

=
zyx
d
Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với (d) qua ()
Bài 8: (ĐHHH-1999): Trong không gian cho 2 đờng thẳng (d1),(d2) :
( )
R t
54
21:)(d
01
012
:
21






+=
+=
=

=+
=++
tz
ty
tx
zyx
yx
d
1) (d1) , (d2) có cắt nhau hay không
2) Gọi B,C lần lợt là các điểm đối xứng của A(1,0,0) qua (d1),(d2) . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 9: (ĐHTM-1999): Trong không gian cho đờng thẳng (d1) và mặt phẳng (P) :
( )
032:)(P
01722
0322
:
1
=+



=
=
zyx
zyx
zyx
d
1) Tìm điểm đối xứng của điểm A(3,-1,2) qua đờng thẳng (d)

2) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) trên mặt phẳng (P)
Bài10: Trong không gian 0xyz cho bốn đờng thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
), (d
4
) có phơng trình :
( )

0
:
1



=
=
hz
ymx
d
,
( )

0
:
2

=
=
hz
ymx
d
,
( )

0
:
3



=
=+
hz
ymx
d
,
( )

0
:
4

=
=+
hz
ymx
d
CMR các điểm đối xứng A
1,
, A
2,
, A
3
,
A
4
của A bất kì trong không gian qua (d
1
), (d
2
), (d
3
), (d
4
) là đồng phẳng . Lập phơng trình mặt phẳng
chứa chúng .
Bài 7:
Điểm và mặt phẳng
Bài 1: cho hai điểm A(1,0,2) ;B(2,-1,3) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao
cho AM+BM nhỏ nhất.
Bài 2: cho hai điểm A(1,1,0) ;B(0,-1,1) và mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P) sao
cho AM+BM nhỏ nhất.

Bài 3: (ĐHhuế /A hệ cha phân ban 97):Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho mặt phẳng (P):
2x-y+z+1=0 và hai điểm A(3,1,0), B(-9,4,9) .Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MBMA
là lớn nhất .
Bài 4: (ĐHQG-2000):Cho mặt phẳng
(P):x+y+z-1=0 và hai điểm A(1,-3,0) ,B(5,-1,-2)
1) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A,B cắt mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ điểm đó .
2) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
MBMA
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (ĐHMĐC-97):
cho ba điểm A(1,4,5) B(0,3,1) ,C(2,-1,0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gọi G là trọng tâm
ABC .CMR điều kịên cần và đủ để M nằm trên mặt phẳng (P) có tổng các bình phơng khoảng
cách đến các điểm A,B,C nhỏ nhất là điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm G trên mặt
phẳng (P) .Xác định toạ độ của điểm M đó.
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.
1) CMR (P) luôn đi qua một điểm cố định M, Tìm toạ độ của M.
2) Giả sử (P) cắt 0x,0y,0z theo thứ tự tại A,B,C .
Tính 0A,0B,0C để tứ diện 0ABC đạt giá trị nhỏ nhất .
25