SKKN rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh lớp 8

A/. MỞ ĐẦU
A/. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn chủ lực nhất, nó được vận
dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta. Bởi trước hết
Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, logic và
tư duy cao,… Do đó nếu chất lượng dạy và học toán ở trường THCS được nâng cao
thì có nghĩa là chúng ta đưa các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học hiện
đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn của nhân loại.
Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công
nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở trường
THCS đã và đang làm tích cực hoá hoạt động tư duy học tập của học sinh, khơi dậy
và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, … nhằm nâng cao năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận dụng kiến thức
một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống.
Trong chương trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phương trình là nội
dung quan trọng, là trọng tâm của chương trình đại số lớp 8, việc áp dụng của dạng
toán này rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Vì vậy để giúp học sinh nắm được
khái niệm về phương trình, giải thành thạo các dạng phương trình là yêu cầu hết
sức cần thiết đối với người giáo viên. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như
qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang
giảng dạy), thì việc giải phương trình là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh
mắc phải các sai lầm không đáng có, giải phương trình còn nhiều sai sót, rập khuôn
máy móc hoặc chưa làm được, do chưa nắm vững chắc các cách giải, vận dụng kỹ
năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán về phương trình.
Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo
gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất
lượng bộ môn toán nên bản thân đã chọn đề tài: “Rèn kỹ năng giải phương trình
cho học sinh lớp 8”.
2. Đối tượng nghiên cứu:
Rèn kỹ năng giải phương trình cho học sinh.

3. Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8A, 8B ở trường THCS Phụng
Châu, năm học 2009 - 2010.
Đề tài có ý tưởng phong phú, đa dạng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua ba
dạng phương trình “phương trình đưa được về dạng ax + b = 0, phương trình tích,
phương trình chứa ẩn ở mẫu” trong chương trình toán 8 hiện hành.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan.
Nghiên cứu qua thực tế giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra.
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
B/.
B/.
NỘI DUNG
NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
Với sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, bùng nổ
công nghệ thông tin, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học và
quản lý giáo dục, toàn cầu hóa như hiện nay, đã và đang tạo điều kiện thuận lợi cho
nền giáo dục và đào tạo của nước ta trước những thời cơ và thách thức mới. Để hòa
nhập tiến độ phát triển mạnh mẽ đó thì giáo dục và đào tạo trước hết và luôn luôn
đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân
trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ
thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”. Hiện nay ngành Giáo dục
tích cực xây dựng nhiều chương trình hành động, đa dạng hóa các loại hình học tập,
trong đó việc đẩy mạnh sử dụng công nghệ hiện đại trong dạy học và quản lý là một
trong những biện pháp của quá trình đổi mới giáo dục theo hướng tích cực phù hợp
với xu thế hiện nay.
Để đáp ứng được mục tiêu giáo dục một cách toàn diện cho học sinh, con
đường duy nhất là nâng cao có hiệu quả chất lượng học tập của học sinh ngay từ

nhà trường phổ thông. Muốn vậy trước hết giáo viên là người định hướng và giúp
đỡ học sinh của mình lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, rèn luyện tính tự học,
tính cần cù, siêng năng, chịu khó, … tạo điều kiện khơi dạy lòng ham học, yêu
thích bộ môn, phát huy tư duy sáng tạo của học sinh, thì môn toán là môn học đáp
ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Học toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những bài
tập hoặc những cách giải do Thầy, Cô đưa ra mà là quá trình nghiên cứu đào sâu
suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề và rút ra được những cách giải
hay, những điều gì bổ ích. Do đó dạng toán giải phương trình của môn đại số 8 đáp
ứng yêu đầy đủ cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để các em học tiếp các chương trình
sau này, như giải bất phương trình của chương trình lớp 9 … Tuy nhiên, vì lý do sư
phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà nên đề tài chỉ đề cập đến ba dạng
phương trình và các phương pháp giải thông qua các ví dụ cụ thể.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải được các dạng phương trình một
cách nhanh chóng và chính xác. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần
xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là
kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phương trình, kỹ năng vận
dụng vào thực tiễn. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho
phù hợp để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
2. Cơ sở thực tiễn
Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát nhận xét,
nhận dạng phương trình và biến đổi trong thực hành giải toán còn yếu, phần lớn do
rơi rụng kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ
đầu chương trình lớp 8, do còn lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, tự ý
thức học tập, trong nhờ vào kết quả người khác. Đa số các em sử dụng các loại sách
bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập mới các em thường lúng túng,
không tìm được hướng giải thích hợp.
Về giáo viên: Chưa thật sự định hướng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói quen
học tập và lòng yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt và kỹ
năng giải toán cho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng

dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin …
Về phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em
mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. Giữ mối liên lạc
với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quả học tập
của con em hầu như không có.
3. Nội dung vấn đề
3.1. Những giải pháp mới của đề tài

Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:
- Sắp xếp các dạng phương trình theo các mức độ.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình.
- Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0.
+ Phương pháp giải phương trình tích.
+ Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
 Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ năng giải phương trình
+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao)
+ Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình.
3.2. Các phương trình thường gặp
A. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình
 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).

Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:
Phương pháp chung:
- Thực hiện bỏ dấu ngoặc.
- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.
 Chú ý: Nếu a

≠
0, phương trình có nghiệm x =
c
a
Nếu a = 0, c
≠
0, phương trình vô nghiệm
Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
⇔
5 – x + 6 = 12 – 8x
⇔
– x + 8x = 12 – 11
⇔
7x = 1
⇔
x =
1
7
. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
1
7
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
⇔
x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)
⇔

x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)
⇔
–2x = 7 (sai từ trên)
⇔
x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)
Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:
Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế
Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng: (2)
⇔
x – 1 – 2x + 1 = 9 – x

⇔
x – 2x + x = 9

⇔
0x = 7
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và
chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình.

Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:
Phương pháp chung:
- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1.
- Thực hiện cách giải như dạng 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
1 1 1
2

2 3 6
x x x− − −
+ − =
(3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai:
1 1 1
2
2 3 6
x x x− − −
+ − =

⇔

3( 1) 2( 1) 1 12
6 6
x x x− + − − −
=
(sai ở hạng tử thứ ba)
⇔

3( 1) 2( 1) 1 12x x x− + − − − =
(sai từ trên)
⇔

4 18x =
(sai từ trên)
⇔

4,5x =

(sai từ trên)
Sai lầm của học ở đây là:
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.
Lời giải đúng:
1 1 1
2
2 3 6
x x x− − −
+ − =

⇔

3( 1) 2( 1) ( 1) 12
6 6
x x x− + − − −
=

⇔

3 3 2 2 1 12x x x
− + − − + =

⇔

4 16x
=

⇔

4x

=
Vậy: S =
{ }
4
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu
khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức.
 Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 1: (3)
⇔

1 1 1
( 1) 2
2 3 6
x
 
− + − =
 ÷
 

⇔

4
( 1) 2
6
x − =

⇔

1 3x − =

⇔
x = 4
Vậy: S =
{ }
4
Cách 2: Đặt t = x -1
(3)
⇔

2
2 3 6
t t t
+ − =
⇔

3 2 2.6t t t
+ − =
⇔

3t
=
⇒

1 3x
− =

⇔
x = 4 Vậy: S =
{ }

4
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 1 2
0,5 0,25
5 4
x x
x
+ −
− = +
(4) (BT-18b)-SGK-tr14)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Cách giải 1: (4)
⇔

4(2 ) 20 0,5 5(1 2 ) 20 0,25x x x+ − × = − + ×

⇔

8 4 10 5 10 5x x x
+ − = − +

⇔
4x = 2

⇔
x = 0,5
Vậy: S =
{ }
0,5


Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 2: Chuyển phương trình về phân số
(4)
⇔

2 1 2 1
5 2 4 4
x x x+ −
− = +
⇔

2 1
5 2 2
x x x+ −
− =

⇔

2 1
5 2
x+
=

Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân
(4)
⇔

0,2 (2 ) 0,5 0,25 (1 2 ) 0,25x x x× + − = × − +
⇔
0,4 0,2 0,5 0,5 0,5x x x+ − = −

⇔
0,2 0,1x =
 Phương trình tích
Phương pháp chung:
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0
⇔
A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0…
 Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0. Ta thường biến đổi như sau:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích.
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5)

= 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
Lời giải: (3x – 2)(4x + 5)

= 0
⇔
3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5

= 0
⇔
3x = 2 hoặc 4x

= – 5
⇔
x =
2

3
hoặc x

=
5
4
−

Vậy S =
2 5
;
3 4
 
−
 
 
 Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:
(3x – 2)(4x + 5)

= 0
⇔
3 2 0
4 5 0
x
x
− =


+ =


(



ky ùhieäu thay cho chö õhoaëc)
* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải
biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình x
2
– x = –2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau:
(6)
⇔
x
2
– x + 2x – 2 = 0
⇔
x
2
+ x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về
phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định
hướng cho học sinh cách giải hợp lý.
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Cách 1: (6)
⇔
x
2
– x + 2x – 2 = 0

⇔
x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

⇔
(x – 1)(x + 2) = 0

⇔

1 0 1
2 0 2
x x
x x
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 

Vậy S =
{ }
1 ; 2 −
Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế
Cách 2: (6)
⇔
x(x – 1) = – 2(x – 1)
⇔
x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
⇔
(x – 1)(x + 2) = 0

⇔

1 0 1
2 0 2
x x
x x
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 

Vậy S =
{ }
1 ; 2 −
Ví dụ 7: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x
2
+ 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgk-tr7)
- Trong ví dụ trên học sinh thơng thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế
các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình.
(7)
⇔
–4x
2
– 5x + 6 – x
2
– 4x – 4 = 0
⇔
–5x

2
– 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình
tích. Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý.
Giải: (7)
⇔
(x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)
2


⇔
(x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)
2
= 0

⇔
(x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0

⇔

2
2 0
1
5 1 0
5
x
x
x
x
= −


+ =


⇔


− + =
=



Vậy S =
1
2 ;
5
 
−
 
 
Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích:
Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình
và đặt ngay nhân tử chung ấy.
Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta
sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.
Khi đã chuyển vế mà ta thấy khơng thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên
rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử.
 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp chung
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trì tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn
điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 8: Giải phương trình
2 1 2
2 ( 2)
x
x x x x
+
− =
− −
(8) (BT 52b)-Sgk-tr33)
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:
Lời giải sai: ĐKXĐ: x
≠
2 ; x
≠
0
(8)
⇔

( 2) 1( 2) 2
( 2) ( 2)
x x x
x x x x
+ − −
=
− −
⇔
x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu

⇔
là khơng chính xác)
⇔
x
2
+ 2x – x + 2 = 2
⇔
x
2
+ x = 0
⇔
x(x + 1) = 0
⇔

0
0 (
1 0
1
x
x
x
x
=
 =

⇔


+ =
= −



không kiểm chứng với điều kiện)
Vậy S =
{ }
0 ; 1 −
(kết luận dư nghiệm)
Sai lm ca hc sinh l: Dựng ký hiu

khụng chớnh xỏc
Khụng kim tra cỏc nghim tỡm c vi iu kin
Li gii ỳng: KX: x

2 ; x

0
(8)


( 2) 1( 2) 2
( 2) ( 2)
x x x
x x x x
+
=

Suy ra: x(x + 2) 1(x 2) = 2 (8)

x
2

+ 2x x + 2 = 2

x
2
+ x = 0

x(x + 1) = 0


0 0 (
1 0
1 (
x x
x
x
= =





+ =
=


khoõng thoỷa ủieu kieọn)
thoỷa ủieu kieọn)
Vy S =
{ }
1

Giỏo viờn cn cng c hc:
Khi kh mu ta ch thu c phng trỡnh h qu ca phng trỡnh ó cho, nờn
ta dựng Suy ra hay núi cỏch khỏc tp nghim ca phng trỡnh (8) cha chc l tp
nghim ca phng trỡnh (8).
Kim tra cỏc nghim tỡm c vi iu kin ri mi kt lun.
Vớ d 9: Gii phng trỡnh
1 3
3
2 2
x
x x

+ =

(9) (BT 30a)-Sgk-tr23)
- Trc ht cho hc sinh nhn xột mu thc ca phng trỡnh trc, tỡm mu thc
chung ca phng trỡnh, ri tỡm KX.
- Lu ý quy tc i du, bc kh mu ca phng trỡnh v kim tra nghim.
Gii: KX: x

2
(9)


1 3( 2) 3
2 2
x x
x x
+

=


Suy ra: 1 + 3(x 2) = 3 x


1 + 3x 6 = 3 x


4x = 8


x = 2 (khụng tha món iu kin)
Vy phng trỡnh vụ nghim
Qua vớ d ny giỏo viờn cng c li hc sinh v rốn cỏc k nng sau:
- Tỡm KX ca phng trỡnh:
* Tỡm cỏc giỏ tr ca n cỏc mu u khỏc 0. (Cho cỏc mu thc khỏc 0)
* Tỡm cỏc giỏ tr ca n cỏc mu bng 0, ri loi giỏ tr ú. (Cho cỏc mu
thc bng 0)
- Khi gii phng trỡnh cha n mu khụng sút iu kin ca phng trỡnh nờn
cho hc sinh tỡm trc mu thc chung (MTC) v cho MTC khỏc 0, õy l iu kin
xỏc nh (KX) ca phng trỡnh.
- Rốn cho hc sinh v k nng thc hin cỏc bc gii phng trỡnh, k nng v
phõn tớch a thc thnh nhõn t tỡm MTC, cỏc quy tc du nh quy tc i du, quy
tc du ngoc v vic trin khai tớch cú du tr ng trc.
- Rốn hc sinh v k nng nhn dng cỏc phng trỡnh cú mu l cỏc a thc dng x
2
+ 1; 3x
2
+ 2; x

2
+ x + 3; hoc l bỡnh phng thiu ca mt tng, mt hiu luụn luụn
dng vi mi giỏ tr ca x. Do ú khi gp phi cỏc mu thc cú dng ny ta khụng
cn phi t iu kin cho mu thc ú khỏc 0.
Vớ d 10: Gii phng trỡnh
2
3 2
1 2 5 4
1 1 1
x
x x x x

+ =
+ +
(10) (BT 41c)-SBT-tr10)
Li gii: KX: x

1 ; x
2
+ x + 1 > 0
(10)


2 2
2 2
1 2 5 4( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x x
+ + +

=
+ + + +

Suy ra: 3x
2
+ x 4 = 4x 4

3x
2
3x = 0

3x(x 1) = 0


3 0 0 (
1 0
1 (khụng
x x
x
x
= =





=
=

thoỷa ủieu kieọn)
thoỷa ủieu kieọn)

Vy S =
{ }
0
B. Phỏt trin t duy v k nng gii phng trỡnh
Vớ d 11: Gii phng trỡnh
3 4
3
5
5
2
1
15 5
x
x
x
x
x




= +
(11) (Sỏch B tr-Nõng
cao)
- i vi bi tp ny gi ý cỏch gii: Thc hin quy ng kh mu hai ln.
Ln 1: Mu chung l 15
Ln 2: Mu chung l 10

Hng dn: (11)


3 4 9 3
15 15 15
5 2
x x
x x x

= +


10 2(3 4) 5(9 3 ) 150x x x = +
(hc sinh gii tip)
Vớ d 12: Gii phng trỡnh
1 2 3 4
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +
(12) (BT 53-Sgk-tr34)
- Thụng thng hc sinh thc cỏch gii quy ng kh mu nh sau:
Cỏch 1: (12)


56.( 1) 63.( 2) 72.( 3) 84.( 4)x x x x+ + + = + + +


56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336

37x = 370


x = 10
Vy S =
{ }
10
- Vi cỏch gii ny thỡ ta khụng th khai thỏc c gỡ bi toỏn ny, ụi khi gp phi
bi toỏn cú mu ln thỡ hc sinh s lỳng tỳng, vic quy ng khú khn hn. Do ú giỏo
viờn cn nh hng cỏch gii mi hay hn, trờn c s ú ta cú th rỳt ra cỏch gii tng
quỏt cho cỏc bi tp cú dng tng t.
Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau:
x + 1 + 9 = x + 10 Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đều
x + 2 + 8 = x + 10
x + 3 + 7 = x + 10
x + 4 + 6 = x + 10
Khi đó ta có cách giải như sau:
 Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử:
Cách 2: (12)
⇔

1 2 3 4
1 1 1 1
9 8 7 6
x x x x+ + + +
       
+ + + = + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

⇔

10 10 10 10
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +

⇔

1 1 1 1
( 10) 0
9 8 7 6
x
 
+ + − − =
 ÷
 


⇔
x + 10 = 0

⇔
x = –10 Vậy S =
{ }
10 −
- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó
giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta
đề xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.
-Khai thác bài toán:

* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau:
1)
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x+ + + +
+ = +
* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:
2)
1 2 3 4
2006
2011 2012 2013 2014
x x x x
x
− − − −
+ + + = +
3)
1 2 3 2009 2010
2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +
+ + + + + = −
Hướng dẫn: 2)
1 2 3 4
1 1 1 1 2006 4
2011 2012 2013 2014
x x x x
x
− − − −
+ + + + + + + = + +

⇔

2010 2010 2010 2010 ( 2010)
0
2011 2012 2013 2014 1
x x x x x+ + + + +
+ + + − =
3)
1 2 3 2009 2010
2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +
+ + + + + = −

⇔

2011 2011 2011 2011 2011
0
2010 2009 2008 2 1
x x x x x+ + + + +
+ + + + + =
 Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:
Ví dụ 13: Giải phương trình (x + 2)(2x
2
– 5x) – x
3
= 8 (13) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x
3
và 8

Hướng dẫn: (13)
⇔
(x + 2)(2x
2
– 5x) – (x
3
+ 8) = 0
⇔
(x + 2)(2x
2
– 5x) – (x + 2)(x
2
– 2x + 4) = 0
⇔
(x + 2)(2x
2
– 5x – x
2
+ 2x – 4) = 0
⇔
(x + 2)(x
2
+ x – 4x – 4) = 0
⇔
(x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (học sinh giải tiếp)
- Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về Phương pháp tách một hạng tử thành
nhiều hạng tử khác để đưa về dạng tích mà các em đã học.
Bài toán tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax

2
+ bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành
b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0
Ví dụ 14: Giải phương trình
3 2 1
( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)x x x x x x
+ =
− − − − − −
(14) (BT.31.b/23)
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x
≠
1; x
≠
2; x
≠
3

(14)
⇒
3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp)
- Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đề ở
đây không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía
cạnh khác thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
-Khai thác bài toán:
* Bài toán (14) trên chính là bài toán sau phức tạp sau:
1) Ta có: (14)
⇔

2 2 2
3 2 1
3 2 4 3 6 5x x x x x x
+ =
− + − + − +

* Ta có bài toán tương tự như sau:
2)
4 3 2 1
0
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 4) ( 1)( 3)( 4) ( 2)( 3)( 4)x x x x x x x x x x x x
+ + + =
− − − − − − − − − − − −
3)
1 1 1 1 1 1
( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 10x x x x x x x x x x
+ + + + =
− − − − − − − − − −
(*)

Hướng dẫn:
1 1 1
( 1)( 2) 2 1x x x x
= −
− − − −
;
1 1 1
( 2)( 3) 3 2x x x x
= −
− − − −
; …
(*)
⇔
1 1 1
6 1 10x x
− =
− −
 Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 15: Giải phương trình
2
2
3 1
3 4 0x x
x x
− + − + =
(15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải
phương trình là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần hướng
dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x

≠
0
(15)
⇔
2
2
1 1
3( ) 4 0x x
x x
+ − + + =
Đặt
1
x y
x
+ =

⇒

2 2
2
1
2x y
x
+ = −
Phương trình trở thành y
2
– 3y + 2 = 0
⇔
(y – 1)(y – 2) =0
⇔

y = 1 hoặc y = 2
Khi đó
1
1x
x
+ =

⇔
x
2
– x + 1 = 0 (vô nghiệm)

1
2x
x
+ =
⇔
x
2
– 2x + 1 = 0
⇔
(x – 1)
2

⇔
x = 1 (nhận)
Vậy S =
{ }
1
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những mắc

mứu trong quá trình giải phương trình. Vì thời gian có hạn nên không đi sâu vào một
số phương trình khác như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,…
3.3. Biện pháp và kết quả thực hiện
3.3.1: Biện pháp: Để thực hiện tốt kỹ năng giải phương trình của học sinh, giáo viên
cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
-Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc
ở các lớp 6, 7.
-Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh
nắm vững chắc kiến thức về nhân, chia đa thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng
thành thạo cả hai chiều của các hằng đẳng thức, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử nhằm mục đích thực hiện các phép tính ở hai vế của phương trình, đưa
phương trình về dạng tích không sai sót.
-Khi học về phân thức ở chương II, giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm vững
các tìm giá trị của ẩn để phân thức chứa mẫu thức được xác định nhằm giúp học sinh
tìm được ĐKXĐ của phương trình chứa mẫu thức sau này không sót và chính xác. Cần
chú ý khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu có thể nên cho học sinh tìm mẫu thức
chung trước để việc tìm ĐKXĐ của phương trình sẽ tiện hơn và không sót điều kiện.
-Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận dạng
phương trình, tìm phương trình có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán
trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh
tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác.

Một số lưu ý khi giải phương trình, học sinh cần nhận xét:
 Quan sát đặc điểm của phương trình:
Nhận xét quan hệ giữa các biểu thức trong trong phương trình từ đó đưa ra cách
biến đổi thích hợp.
 Nhận dạng phương trình:
Xét xem phương trình đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp cho phù hợp
từng dạng phương trình đó.
 Kinh nghiệm trong biến đổi phương trình:

-Khi đã thu gọn hai vế của phương trình, nếu biến có số mũ từ hai trở lên thì ta cố
gắng tìm cách chuyển phương trình đó về dạng phương trình tích.
-Khi biến đổi phương trình nếu nhận thấy hai vế của phương có nhân tử chung
hoặc hằng đẳng thức thì ta nên sử dung đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ấy.
-Khi khử mẫu hai vế của phương trình ta cần lưu ý đây là phương trình hệ quả của
phương trình ban đầu do đó ta dùng dấu suy ra.
-Khi biến đổi phương trình cần chú ý tính chất đặc biệt của tử và mẫu của phương
trình từ đó suy ra cách phân tích hợp lý như nhóm, tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ, … cho
thích hợp.
3.3.2: Kết quả:
Kết quả áp dụng kỹ năng giải phương trình này đã góp phần nâng cao chất lượng
học tập của bộ môn đối với học sinh đại trà.
Kết quả kiểm tra về giải phương trình được thông kê, đánh giá qua hai lớp 8A, 8B
ở năm học 2009 – 2010 như sau:
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ II TS
HS
Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)
Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp) 73 37 50,68%
* Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích, nhận dạng phương
trình, kỹ năng thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót về dấu, chưa áp dụng được các hằng
đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử,
b) Áp dụng giải pháp
Lần 1: Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ II TS
HS
Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)

Kết quả áp dụng giải pháp (lần 1) 73 50 68,49%
* Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm được các dạng phương trình, kỹ năng biến
đổi hợp lý, việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu
ngoặc, phân tích đa thức thành nhân tử có hiệu quả, biết nhận xét đánh giá bài toán
trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý.
Lần 2: Kết quả khảo sát (kiểm tra 1 tiết)
Thời gian học kỳ II TS Trung bình trở lên
Số lượng Tỉ lệ (%)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 2) 73 68 93,15%
* Nhận xét: Học sinh nắm vững chắc về các dạng phương trình, vận dụng thành
thạo các kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các yếu tố quan trọng, đặc điểm của
phương trình, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành
nhân tử, trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống, chỉ còn một số ít học sinh quá yếu,
kém chưa thực hiện tốt.
Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phương pháp giải, phân loại từng dạng
toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ năng xử lý nhanh các bài toán có dạng tương
tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới.
 Tóm lại:
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm
vững kiến thức hơn, hiểu rõ các dạng phương trình, đặc điểm của từng cách giải cho
các dạng phương trình. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu
nắm chắc về cách giải phương trình, vận dụng và rèn luyện kỹ năng thực hành theo
hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một
chuỗi bài tập về phương trình được sắp xếp theo các mức độ nhận thức của học sinh.
Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương
pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học,
phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.
C/. KẾT LUẬN
C/. KẾT LUẬN
 Bài học kinh nghiệm

Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho
phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:

Đối với học sinh yếu kém: Là quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai
lầm, khuyết điểm, cần rèn luyện ở học sinh các kỹ năng thực hành theo trình tự các
bước giải phương trình. Từ đó học sinh có khả năng nắm được phương pháp vận dụng
tốt các cách giải phương trình, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương
tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội
dung sách giáo khoa.

Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các dạng
phương trình phương pháp giải cho từng dạng, rèn kỹ năng biến đổi, linh hoạt trong
việc vận dụng các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, luyện tập khả
năng tự học, gợi sự suy mê hứng thú niềm vui trong học tập, kích thích và khơi dậy óc
tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.

Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp giải cơ bản, ta
cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập
dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề
để việc giải phương trình tốt hơn. Qua đó tập ở học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi
sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách
toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.

Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận
dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong
chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên.
Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất
lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều học sinh
khá giỏi, đồng thời tạo sự hứng thú và niềm vui trong học tập.
 Hướng phổ biến áp dụng

Đề tài được triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chương trình đại số lớp 8,
cho các năm học sau, cho những đơn vị trường cùng loại hình.
 Hướng nghiên cứu phát triển
Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các phương pháp giải khác, phương pháp giải
phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, việc vận dụng giải phương trình vào các bài
toán thực tế.

Nhận xét của hội đồng khoa học trường
…………

















Nhận xét của hội đồng khoa học phịngGD& ĐT