Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong cn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
− − − − − − − − −
VŨ VIỆT HÙNG
NGƯỠNG CHÍNH TẮC CỦA HÀM CHỈNH HÌNH
VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG C
n
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 02
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Lê Mậu Hải
PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp
Hà Nội - 2015
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận án này do chính tác giả thực hiện tại Khoa Toán Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Mậu Hải và PGS. TS. Phạm
Hoàng Hiệp; kết quả của Luận án là mới, đề tài của Luận án không trùng lặp và chưa
được công bố trong bất cứ công trình của ai khác.
Tác giả
Vũ Việt Hùng
Lời cảm ơn
Trước tiên, bằng tất cả sự kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất
tới GS. TSKH. Lê Mậu Hải và PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp - những Người Thầy đã trực
tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học giúp tôi hoàn thành Luận án này tại Khoa Toán
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tôi đã vô cùng may mắn thường xuyên nhận được sự
chỉ dẫn khoa học nghiêm túc cùng với sự chia sẻ, động viên khích lệ để có được sự tự tin
và lòng đam mê ngay từ chặng đường đầu tiên của sự nghiệp nghiên cứu khoa học của
mình.
Được sinh hoạt và làm việc thường xuyên cùng một tập thể khoa học nghiêm túc, tôi
vô cùng cảm ơn các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và toàn thể các thành viên của Seminar

Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Chính tại đây, ngoài sự chỉ dẫn, góp
ý trực tiếp của các thành viên seminar đối với đề tài nghiên cứu, tôi còn có cơ hội trang
bị cho mình về phương pháp nghiên cứu và những hiểu biết sâu sắc hơn về nhiều vấn đề
toán học. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới GS. TSKH. Nguyễn
Văn Khuê - một nhà khoa học, một Người Thầy lớn luôn tận tâm đào tạo các thế hệ khoa
học chuyên ngành, trong đó có thế hệ khoa học trẻ chúng tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn
TS. Nguyễn Xuân Hồng với những góp ý rất có ý nghĩa trong quá trình phát triển Luận
án của mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Tập thể lãnh đạo và Hội đồng Khoa học Viện Nghiên cứu
Cao cấp về Toán đã hai lần tài trợ và trưng dụng tôi làm việc tại Viện. Đó là những
khoảng thời gian quý giá để từ đó tôi có cơ hội hoàn thành một trong những bài báo khoa
học nằm trong danh mục công trình của Luận án. Đồng thời, một bài báo khác được sử
dụng trong luận án cũng đã may mắn được Quý Viện tuyển chọn và trao giải thưởng công
trình toán học năm 2013 nằm trong Chương trình trọng điểm quốc gia về phát triển toán
học giai đoạn 2010 - 2020.
Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Tây Bắc, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội và các đơn
vị chức năng đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi về mặt quản lý nhà nước trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng tri ân đối với những người thầy, những đồng nghiệp, gia đình
và bạn bè thân thích là những điểm tựa tinh thần vững chắc, đã giúp đỡ, động viên, khích
lệ, chia sẻ những khó khăn và luôn đồng hành cùng sự tiến bộ trưởng thành để hình thành
nên sự nghiệp của cá nhân tôi.
Hà Nội, tháng 08 năm 2015
Vũ Việt Hùng
Mục lục
Mở đầu 3
Tổng quan 10
1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong C
n
20

1.1 Ngưỡng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới . . 20
1.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.3 Một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh
hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh giả thuyết ACC
trong C
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1 Diện tích của tập mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.2 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và thể tích của tập mức . . . 33
1.2.3 Chứng minh giả thuyết ACC trong C
2
. . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Một số đặc trưng của lớp E
m
(Ω) và áp dụng 41
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian phức . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1 Hàm m-điều hòa dưới và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . 42
1
2
2.2.2 Toán tử m-Hessian phức trên lớp các hàm m-điều hòa dưới bị chặn
địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Tính chất địa phương của lớp E
m
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Một số đặc trưng của lớp E
m
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5 Áp dụng cho mở rộng đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc
trong lớp E
m
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới 73
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Chứng minh một nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều
hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Kết luận và kiến nghị 88
Danh mục các công trình sử dụng trong luận án 90
Tài liệu tham khảo 91
Phụ lục 97
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những bài toán cổ điển đồng hành cùng quá trình phát triển của Giải tích
toán học đó là bài toán liên quan đến tính khả tích. Các vấn đề liên quan đến tính khả
tích đặt ra thường là để trả lời các câu hỏi: Hàm đã cho có khả tích hoặc khả tích địa
phương hay không ? Với tham số liên quan như thế nào thì hàm phụ thuộc tham số ấy là
khả tích ? Tính khả tích địa phương tại một điểm có mối liên hệ như thế nào đối với tính
chất của hàm tại điểm đó ? v.v Trong lý thuyết Hình học Đại số và Giải tích phức, tính
khả tích địa phương của hàm số có liên quan chặt chẽ tới tính kì dị của hàm tại điểm đã
cho. Khi xét tính khả tích địa phương hàm
1
|f|
2c
, c > 0 tại điểm 0, với f là hàm chỉnh hình
trên C
n
sao cho f (0) = 0 thì rõ ràng chính giá trị c lại cung cấp cho ta nhiều thông tin
hữu ích về tính chất của hàm f. Chúng ta có thể đặt ra vấn đề tổng quát là: Với những

giá trị nào của t ∈ R thì hàm |f|
t
khả tích địa phương tại 0 ? Xuất phát từ thực tế hiển
nhiên là nếu t
0
là số thực thỏa mãn yêu cầu trên thì với mọi t < t
0
hàm |f|
t
đều khả tích
địa phương. Một cách tự nhiên, điều này lại dẫn tới bài toán nghiên cứu về giá trị tới hạn
của t, là giá trị mà kể từ khi vượt qua nó hàm |f|
t
không còn khả tích địa phương nữa.
Giá trị tới hạn nói trên của t được gọi là ngưỡng chính tắc của hàm f tại 0 và kí hiệu là
c
f
(0).
Khái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hình
học Đại số. Kể từ đó, vấn đề này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Giống
như số LeLong, ngưỡng chính tắc có mối quan hệ mật thiết với mức độ kì dị của hàm tại
một điểm nên việc nghiên cứu tính kì dị của một siêu mặt trong rất nhiều trường hợp khác
nhau có thể thông qua nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm. Hơn nữa ngưỡng chính tắc
còn có nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng trong lý thuyết Hình học Đại số, chẳng
hạn ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại của metric K¨ahler - Einstein trên các đối tượng
hình học quan trọng. Đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế
giới quan tâm và nghiên cứu như V. Shokurov, V. Alexeev, J-P. Demailly, J. Kollár, M.
4
Mustata, D. H. Phong, J. Sturm, J. McKernan, Y. Prokhorov, H. Skoda, L. M. Hải, P. H.
Hiệp, . . .

Có thể thấy, cùng với sự ra đời, phát triển và hoàn thiện của lý thuyết về ngưỡng chính
tắc thì Giả thuyết ACC (xem trong mục Tổng quan) về dãy ngưỡng chính tắc đóng một
vai trò trung tâm. Đây là giả thuyết được đưa ra và nghiên cứu trong Hình học Đại số
dưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau. Từ năm 1992 đến năm 2000 Giả thuyết ACC
đã được chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian và được
chứng minh trong trường hợp số chiều không gian tùy ý vào năm 2010. Tuy nhiên, tất cả
những kết quả nêu trên đều chứng minh thuần túy bằng lý thuyết Hình học Đại số.
Một vấn đề khác cũng được quan tâm nghiên cứu là tính bị chặn trên và chặn dưới của
ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới và hàm chỉnh hình. Có thể nói tới một trong
những kết quả quan trọng là của H. Skoda được cho trong tài liệu [76], trong đó tác giả
đã đưa ra đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với c
ϕ
(x) của hàm đa điều hòa dưới
ϕ thông qua số Lelong ν(ϕ, x) của hàm này tại x. Việc thiết lập đánh giá chặt hơn của
H. Skoda trên đây có thể nói tới kết quả của J-P. Demailly và P. H. Hiệp trong [29] mà
ở đó các tác giả đã cải thiện và cho một đánh giá chặt hơn của H. Skoda trên lớp hàm

E(Ω)- một lớp con của lớp hàm đa điều hòa dưới. Mặt khác, trong thời gian gần đây, việc
mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới đã được một số tác giả nghiên cứu như Z. Blocki, S.
Dinew, S. Kolodziej, A. S. Sadullaev, B. I. Abullaev, L. H. Chinh, Đặc biệt năm 2012,
trong công trình [23], L. H. Chinh dựa theo ý tưởng của U. Cegrell đã đưa ra lớp hàm
E
m
(Ω). Một câu hỏi đặt ra là liệu đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp còn đúng cho
lớp hàm E
m
(Ω)- lớp mở rộng thực sự của lớp E(Ω) hay không? Hơn nữa, có thể thấy rằng
lớp hàm E
m
(Ω) được đưa ra bởi L. H. Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng

và tồn tại, việc nghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc mô
tả rõ ràng hơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục được quan tâm nghiên cứu.
Cuối cùng, vì một số trở ngại về công cụ và kỹ thuật cho nên việc tính ngưỡng chính
tắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung vẫn là một bài toán chưa được giải quyết
triệt để hoặc chưa có một ý tưởng về phương pháp đánh giá hữu hiệu nào, thay vì tìm
5
cách tính ngưỡng chính tắc, để thu được những thông tin cần thiết. Chẳng hạn, có thể kể
đến trong một số ít các công trình của T. Kuwata, J. Kollár, J. Igusa, . . . các tác giả mới
chỉ hạn chế việc tính ngưỡng chính tắc cho một số lớp hàm cơ bản (xem [46], [54], [55],
[59], [60], . . . ). Như vậy một câu hỏi tự nhiên tiếp theo được đặt ra đó là: Không nhất
thiết phải tính ngưỡng chính tắc của hai hàm đã cho, chúng ta vẫn có thể so sánh ngưỡng
chính tắc của chúng hay không ? Những hàm như vậy cần thỏa mãn giả thiết gì ? Đối với
các hàm đa điều hòa dưới, với điều kiện nào chúng ta có thể so sánh ngưỡng chính tắc của
chúng ?
Những vấn đề nêu ra trên đây chính là nội dung nghiên cứu của đề tài Luận án: Ngưỡng
chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong C
n
. Việc giải quyết các vấn
đề nêu ra chắc chắn sẽ đóng góp những kết quả quan trọng và có ý nghĩa trong quá trình
nghiên cứu hoàn thiện về ngưỡng chính tắc, đối với cả hai mặt định tính và định lượng,
trong lý thuyết Giải tích hàm.
2. Mục đích nghiên cứu của Luận án
Từ những kết quả quan trọng đã có về ngưỡng chính tắc cho các lớp hàm chỉnh hình
và lớp hàm đa điều hòa dưới và những kết quả về lớp hàm m-điều hòa dưới được nghiên
cứu gần đây, chúng tôi đã đặt ra một số mục đích nghiên cứu cho Luận án như sau:
- Tìm ra mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc c
f
(0) và tính chất hình học của tập không
điểm {f = 0} của hàm chỉnh hình f.
- Tìm cách chứng minh Giả thuyết ACC của V. Shokurov, J-P. Demailly và J. Kollár

bằng một phương pháp khác với phương pháp đã áp dụng chứng minh cho một số trường
hợp về số chiều không gian.
- Chỉ ra một số tính chất địa phương và một đánh giá ngưỡng chính tắc cho lớp hàm
E
m
(Ω)- lớp hàm rộng hơn lớp hàm đa điều hòa dưới.
- Tìm ra các đặc trưng quan trọng và các mô tả của lớp hàm E
m
(Ω).
- Tìm các điều kiện khác nhau để có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm đa điều
hòa dưới.
6
- Tìm cách chứng minh hoặc mở rộng các kết quả đã có bằng kĩ thuật của Giải tích
phức về ngưỡng chính tắc; Nghiên cứu các tính chất của tập mức (chẳng hạn diện tích,
thể tích, . . . ) của hàm chỉnh hình một biến cũng như nhiều biến; nghiên cứu điều kiện
dừng của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình tương ứng với các độ đo khác nhau (chẳng
hạn độ đo Lebesgue, độ đo Borel, . . . ). Tính toán cụ thể ngưỡng chính tắc đối với một số
lớp hàm chỉnh hình, . . .
- Cố gắng mở rộng hoặc nêu ra hướng mở rộng các kết quả nghiên cứu trong trường
hợp có thể thực hiện được.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Các tính chất và kết quả cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình cũng như
hàm đa điều hòa dưới, hàm m- điều hòa dưới.
- Toán tử m-Hessian phức và sự xác định của nó trên E
m
(Ω)- lớp con của lớp hàm m-
điều hòa dưới và các tính chất của các lớp hàm này.
- Các lớp hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới hay lớp hàm m- điều hòa dưới và các
đánh giá cho ngưỡng chính tắc của chúng.
- Các điều kiện có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới.

4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học cơ bản với
công cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm và Giải tích
phức.
- Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố các kết quả nghiên cứu theo tiến trình
thực hiện đề tài Luận án, nhằm thu nhận các xác nhận về ý nghĩa và tính chính xác khoa
học của các kết quả nghiên cứu trong cộng đồng các nhà khoa học chuyên ngành trong và
ngoài nước.
5. Những đóng góp của Luận án
Luận án đã đạt được các mục đích nghiên cứu đề ra. Kết quả của Luận án đóng góp
làm giàu thêm cho hệ thống các kết quả, phương pháp, công cụ và kỹ thuật nghiên cứu
7
liên quan đến ngưỡng chính tắc và hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới trong Lý thuyết
Giải tích phức thông qua các kết quả chính sau đây:
- Chứng minh Giả thuyết ACC cho trường hợp n = 2 bằng công cụ giải tích phức.
- Đưa ra và chứng minh được mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình
nhiều biến f và tập không điểm {f = 0} của nó.
- Chứng minh tính chất địa phương của lớp hàm E
m
(Ω).
- Đưa ra và chứng minh các đặc trưng giải tích cho lớp hàm E
m
(Ω).
- Chứng minh một mô tả hình học cho tập mức trên đối số Lelong của hàm đa điều
hòa dưới trong lớp E
m
(Ω).
- Mở rộng và chứng minh các đánh giá về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của
J-P. Demailly và P. H. Hiệp đã chứng minh cho lớp hàm đa điều hòa dưới trong lớp hàm
E

m
(Ω) cũng như các lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn ngoài một tập bỏ qua được với
cùng một cận dưới.
- Chứng minh một nguyên lý so sánh mạnh hơn của P. H. Hiệp đối với các hàm đa điều
hòa dưới thông qua giả thiết khác, cụ thể dưới giả thiết về độ đo Monge-Ampère.
- Đưa ra được một số công cụ, kỹ thuật và phương pháp nghiên cứu để đạt được mục
đích nghiên cứu đã đề ra.
- Đưa ra một số hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài Luận án.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của Luận án
Kết quả khoa học của Luận án góp phần hoàn thiện lý thuyết liên quan đến ngưỡng
chính tắc và hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới trong Lý thuyết Giải tích phức. Về
mặt phương pháp, Luận án góp phần đa dạng hóa và làm giàu thêm hệ thống các công
cụ và kỹ thuật nghiên cứu chuyên ngành, áp dụng cụ thể trong đề tài của Luận án và các
chủ đề tương tự.
7. Cấu trúc của luận án
Cấu trúc của Luận án được trình bày theo đúng quy định cụ thể đối với luận án tiến sỹ
của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bao gồm các phần: Mở đầu, Tổng quan, các chương
8
trình bày các kết quả nghiên cứu, Kết luận, Danh mục công trình trong luận án, Tài liệu
tham khảo và Phụ lục. Nội dung chính của Luận án gồm ba chương có tên và nội dung
tóm tắt như sau:
Chương 1. Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong C
n
Phần đầu của Chương này chúng tôi dành cho việc trình bày các khái niệm và các tính
chất cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, hàm chỉnh hình và một số
kiến thức cơ bản thiết yếu đối với các nội dung trình bày sau đó trong Luận án. Phần lớn
nội dung còn lại của Chương trình bày các kết quả nghiên cứu chính đã đạt được, cụ thể
chúng tôi phát biểu và chứng minh mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc và tập mức của
hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh Giả thuyết ACC bằng một phương pháp mới
với các công cụ của giải tích phức nhiều biến trong trường hợp số chiều không gian n = 2.

Chương 2. Một số đặc trưng của lớp E
m
(Ω) và áp dụng
Trong Chương 2 chúng tôi đi sâu vào các vấn đề sau đây: Chứng minh tính chất địa
phương cho lớp hàm E
m
(Ω); Phát biểu và chứng minh về một số tính chất đặc trưng giải
tích của lớp hàm này cũng như một số tính chất hình học của tập mức trên đối với hàm
thuộc lớp đã cho; Cuối cùng như một hệ quả của tính chất địa phương, chúng tôi chứng
minh và mở rộng bất đẳng thức về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm u
trong hai lớp hàm E
m
(Ω) ∩ PSH(Ω) và PSH(Ω) ∩L
∞
(Ω \ E) với cùng một cận dưới, ở
đó E là tập con đóng có độ đo Hausdorff bỏ qua được.
Chương 3. Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa
dưới
Toàn bộ Chương này dành cho việc trình bày kết quả nghiên cứu về nguyên lý so sánh
ngưỡng chính tắc. Trong phần đầu của Chương chúng tôi trình bày một số kết quả liên
quan phục vụ cho chứng minh nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa
điều hòa dưới. Từ đó, với điều kiện cho dưới dạng độ đo Monge-Ampère, chúng tôi đi
chứng minh một nguyên lý so sánh khác đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa
dưới.
9
Cuối cùng, trong phần Kết luận và kiến nghị, chúng tôi đã điểm lại các kết quả nghiên
cứu chính trình bày trong Luận án. Đây chính là sự khẳng định ý tưởng khoa học của đề
tài Luận án đặt ra là đúng đắn và các kết quả nghiên cứu đạt được mục đích đề ra. Do
đó, Luận án đã có những đóng góp cho khoa học chuyên ngành, có ý nghĩa khoa học và
thực tiễn như đã nêu trong phần Mở đầu là hoàn toàn xác đáng.

Để tiếp nối, trong Phần Kiến nghị chúng tôi mạnh dạn nêu ra một vài ý tưởng nghiên
cứu tiếp theo phát triển đề đề tài của Luận án này. Chúng tôi hy vọng sẽ nhận được nhiều
sự quan tâm và chia sẻ của đồng nghiệp giúp hoàn thiện các kết quả nghiên cứu.
10
Tổng quan
1. Vấn đề thứ nhất: Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và Giả thuyết ACC
Khái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hình
học Đại số, đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học đã và đang tiếp tục nghiên cứu
và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Chẳng hạn như V. Shokurov, V. Alexeev, J-P.
Demailly, J. Kollár, M. Mustata, D. H. Phong, J. Sturm, J. McKernan, Y. Prokhorov, H.
Skoda, L. M. Hải, P. H. Hiệp, . . . (Xem [30], [35], [49], [51], [52], [53], [64], . . . ).
Tổng hợp những kết quả trong các công trình quan trọng nói trên, có thể nói cho đến
trước những năm 2000, những kết quả về ngưỡng chính tắc được đưa ra chủ yếu cho các
hàm chỉnh hình, tuy nhiên cần lưu ý rằng nếu f là hàm chỉnh hình trên C
n
thì log |f| là
hàm đa điều hòa dưới, từ đó vào năm 2000, J-P. Demailly và J. Kollár (trong [30]) đã đưa
ra khái niệm ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới tổng quát hơn, cụ thể như sau:
Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới trên C
n
. Với mỗi tập compact K ⊂ C
n
ta gọi
ngưỡng chính tắc của ϕ trên K là số không âm
c
ϕ
(K) = sup{c ≥ 0 : e
−2cϕ
∈ L
1

trên một lân cận của K}.
Từ định nghĩa trên, rõ ràng chúng ta chỉ cần quan tâm tới cực điểm ϕ = −∞ trên K.
Đồng thời có thể thấy nếu f là hàm chỉnh hình, ta xét ϕ = log |f| thì ta thu được ngưỡng
chính tắc c
f
(0) của f trên tập compact K = {0} như đã nêu trong phần Mở đầu của luận
án. Hơn nữa, định nghĩa tổng quát trên đây cho ta một cách nhìn trực quan về con số
c
ϕ
(K), nó cho thấy ”ngưỡng” của các số thực dương c mà khi vượt qua ngưỡng đó, hàm
e
−2cϕ
không khả tích trong bất kì lân cận nào của K, hay nói cách khác thể tích của hình
trụ vô hạn xung quanh lân cận của K là vô hạn. Mục đích của chúng tôi đặt ra đó là đưa
ra một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc c
ϕ
(K), đặc biệt là c
f
(0) với f là
hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 để từ đó có thể thuận tiện hơn cho quá trình nghiên
cứu, đánh giá về ngưỡng chính tắc. Từ đó chúng tôi cũng đặt ra bài toán nghiên cứu mối
quan hệ giữa ngưỡng chính tắc c
f
(0) và tính chất hình học của tập không điểm {f = 0}.
11
Mặt khác chúng ta đều biết rằng ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nói riêng và
hàm đa điều hòa dưới trên C
n
nói chung có nhiều tính chất thú vị, có thể nói tới một
trong những kết quả sau đây của J-P. Demailly và J. Kollár được chứng minh trong [30],

mà từ đó gợi mở ra nhiều giả thuyết quan trọng về ngưỡng chính tắc, đặc biệt cho hàm
chỉnh hình:
Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới: Giả sử f là hàm chỉnh hình khác không bất kì và
K, L là các tập compact tùy ý cho trước sao cho L chứa K trong phần trong của nó. Khi
đó với mọi ε > 0 đều tồn tại số thực δ = δ(f, ε, K, L) > 0 sao cho
sup
L
|g −f| < δ ⇒ c
g
(K) ≥ c
f
(K) − ε.
Từ kết quả trên, J-P. Demailly và J. Kollár trong [30] đã đưa ra Giả thuyết mạnh hơn
được phỏng đoán như sau:
Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh: Giả sử f là hàm chỉnh hình khác không bất
kì và K, L là các tập compact tùy ý cho trước sao cho L chứa K trong phần trong của nó.
Khi đó tồn tại số thực δ = δ(f, K, L) > 0 sao cho
sup
L
|g −f| < δ ⇒ c
g
(K) ≥ c
f
(K).
Cũng trong [30], J-P. Demailly và J. Kollár đã tiếp tục đưa ra một phỏng đoán khác
mang tên Giả thuyết mạnh về tính mở sau đây:
Giả thuyết mạnh về tính mở: Giả sử U

 U  X là các tập compact tương đối trong
đa tạp phức X và φ là hàm đa điều hòa dưới trên X sao cho e

−φ
khả tích trên U. Khi đó
tồn tại ε = ε(φ, U, U

) sao cho với mọi hàm đa điều hòa dưới ψ trên X
ψ −φ
L
1
(U)
< ε ⇒

U

e
−ψ
dV < +∞.
Giả thuyết mạnh về tính mở trên đây từ khi ra đời đã trở thành một trong những Giả
thuyết được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và cho đến năm 2013, B. Berndtsson
trong công trình [12] đã giả quyết cơ bản Giả thuyết trên.
12
Lưu ý rằng, Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh có thể suy ra từ (trong [30]) Giả
thuyết ACC - một trong những tính chất đặc sắc của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh
hình trên C
n
được phát biểu ngay sau đây. Trước hết, chúng ta kí hiệu
HT
n
= {c
f
(0) : f chỉnh hình trong lân cận của điểm 0 ∈ C

n
}.
Một tính chất thú vị về HT
n
, chẳng hạn như trong [51], [54], [61], các tác giả đã chứng
minh được HT
n
⊂ Q ∩ [0, 1]. Bây giờ ta phát biểu Giả thuyết ACC được V. Shokurov,
J-P. Demailly và J. Kollár đưa ra trong [54]:
Giả thuyết ACC: Mọi dãy tăng trong HT
n
đều là dãy dừng (từ một chỉ số nào đó). Nói
cách khác mọi dãy {c
f
j
(0)}
∞
j=1
⊂ HT
n
thỏa mãn điều kiện c
f
1
(0)  c
f
2
(0)  ··· đều tồn
tại j
0
sao cho c

f
j
0
(0) = c
f
j
0
+1
(0) = ···
Giả thuyết ACC về dãy ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong
Hình học Đại số dưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau. Giả thuyết này được chứng
minh đầu tiên bởi V. Shokurov năm 1992 trong [73] với số chiều không gian n = 2 và với
n = 3 bởi Alexeev trong [3] năm 1993, tiếp theo vào năm 2000, D. H. Phong và J. Sturm
trong [70] chứng minh theo một cách khác trong trường hợp số chiều không gian n = 2.
Cuối cùng, phải kể đến công trình [34] năm 2010 của ba tác giả T. Fernex, L. Ein và M.
Mustata đã chứng minh kết quả trên cho trường hợp số chiều không gian là tùy ý. Điều
đáng chú ý là tất cả những kết quả trên đều chứng minh bằng lý thuyết Hình học Đại số.
Ngoài Giả thuyết ACC, có nhiều Giả thuyết thú vị khác về ngưỡng chính tắc, đặc biệt
là ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, có thể nói tới đó là Giả thuyết Gap và Giả thuyết
AC sau đây. Trước hết, bắt nguồn từ tính chất c
f
(0) ∈ [0, 1] nên 1 không thể là giới hạn
của một dãy giảm các phần tử của HT
n
, hơn thế nữa theo Giả thuyết ACC thì rõ ràng
1 không là giới hạn tăng của dãy các phần tử của HT
n
. Điều đó có nghĩa là: Với mỗi số
chiều cố định n đều không tồn tại một phần tử nào của HT
n

trong khoảng (1 −ε
n
, 1) với
ε
n
cố định nào đó. Khẳng định này chính là trường hợp đặc biệt của giả thuyết sau được
gọi là Giả thuyết Gap mà phép chứng minh của giả thuyết này có thể xem trong [13], [52]
và [53].
13
Giả thuyết Gap: Với mọi n cố định, đều tồn tại số dương ε
n
> 0 cố định sao cho
HT
n
⊂ (0, 1 − ε
n
).
Điều chú ý là Giả thuyết Gap trên đây chỉ khẳng định sự tồn tại của ε
n
, nhưng giá trị
cụ thể của ε
n
đến nay chưa xác định rõ ràng. Tuy nhiên chúng ta có kết quả định hướng
sau đây trong [54] và [78]:
Trên lớp hàm G
n
= {f : f(z
1
, . . . , z
n

) = z
b
1
1
+ ···+ z
b
n
n
, ∀b
1
, . . . , b
n
∈ N} thì ε
n
=
1
c
n+1
−1
,
ở đó c
1
= 2, c
k+1
= c
1
···c
k
+ 1. Như vậy lớp G
n

thỏa mãn Giả thuyết ACC và đối với lớp
này các ε
n
được xác định. Một điều đặc biệt là, với số chiều n = 1 thì rõ ràng ngoài phần
tử 1 thì ε
1
=
1
2
bởi HT
1
= {
1
n
}
n∈N
∗
, với n = 2 bởi các kết quả của T. Kuwata trong [59]
và của J. Kollár trong [54] ta có ε
2
=
5
6
còn với n = 3 bởi các tính toán của J. Kollár trong
[50] ta có ε
3
=
1
42
. Chúng ta có thể thấy ε

n
trên lớp hàm G
n
trùng với các giá trị cần tìm
trên HT
n
với n = 1, 2, 3. Điều đó có thể dự đoán rằng giá trị ε
n
nói trên là số tối ưu cho
HT
n
tổng quát - Điều mà cho đến nay chúng ta vẫn chưa biết chính xác.
Chúng ta tiếp tục với tập HT
n
, một trong những quan tâm khác đó là mối quan hệ
giữa HT
n
và HT
n−1
. Một lần nữa với tập G
n
nói trên ta thấy rằng tập các điểm tụ của
G
n
chính là G
n−1
. Kết quả này cho ta thấy HT
n
có vô hạn điểm tụ trong tập Q ∩ [0, 1],
hơn nữa nó cũng gợi ý cho ta giả thuyết sau gọi là Giả thuyết AC trong [54]:

Giả thuyết AC: Tập các điểm tụ của HT
n
là HT
n−1
\ 1.
Có thể thấy Giả thuyết Gap trên đây là một dạng yếu hơn Giả thuyết ACC. Ngược lại
có thể chứng minh rằng Giả thuyết Gap và Giả thuyết AC suy ra giả thuyết ACC. Hơn
nữa, có thể chứng minh từ Giả thiết ACC cùng với Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới
(đã được chứng minh) suy ra Giả thiết về tính nửa liên tục dưới mạnh. Điều đó cho thấy
Giả thuyết ACC mạnh hơn Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh. Như vậy có thể
nói rằng Giả thuyết ACC là giả thuyết mạnh hơn hầu hết những giả thuyết quan trọng về
tập HT
n
. Có thể thấy từ các kết quả về ngưỡng chính tắc, các tác giả như trong các tài
liệu [30], [34], [35], [51], [54], [70], [73], . . . đều dành nhiều mối quan tâm cho việc nghiên
cứu tập HT
n
, trong đó đặc biệt là Giả thuyết ACC.
14
Cần nhấn mạnh lại rằng những kết quả đạt được cho tới nay về ngưỡng chính tắc đều
được chứng minh bằng phương pháp Hình học Đại số. Khác với các phương pháp và công
cụ đã chứng minh trước đó cho Giả thuyết ACC, mục đích tiếp theo của chúng tôi trong
luận án đó là đưa ra một chứng minh mới cho Giả thuyết ACC bằng công cụ giải tích
phức, trong một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian n.
2. Vấn đề thứ hai: Một số đặc trưng của lớp E
m
(Ω) và áp dụng cho việc đánh
giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới
Trong lý thuyết đa thế vị, toán tử Monge–Ampère là công cụ đóng vai trò trung tâm
và xuyên suốt trong sự phát triển của lý thuyết này. Khái niệm về toán tử này được các

nhà toán học tập trung nghiên cứu mạnh mẽ bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ thứ XX theo
hướng mô tả lớp con lớn nhất các hàm thuộc PSH(Ω) mà toán tử Monge–Ampère vẫn
còn định nghĩa được như một độ đo Radon, không âm, liên tục trên dãy giảm. Năm 1975,
Y. Siu đã chỉ ra trong [75] rằng không thể định nghĩa được (dd
c
u)
n
như một độ đo Borel
chính quy đối với hàm đa điều hòa dưới bất kỳ u. Năm 1976 trong [5], E. Bedford và B.
Taylor đã định nghĩa được toán tử (dd
c
.)
n
trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa
phương PSH(Ω) ∩L
∞
loc
(Ω). Các kết quả cơ bản khác về lý thuyết đa thế vị liên quan đến
vấn đề này có thể tìm thấy trong các tài liệu [6], [48], [56] và [57]. Tiếp tục theo hướng mở
rộng miền xác định của toán tử Monge–Ampère phức nói trên, năm 1998, 2004 và 2008,
trong các công trình [19], [20] và [21] U. Cegrell đã mô tả nhiều lớp con của PSH(Ω),
trong đó có lớp E(Ω), với Ω là miền siêu lồi bị chặn trong C
n
là lớp lớn nhất mà trên đó
toán tử Monge–Ampère vẫn còn định nghĩa được như là một độ đo Radon đồng thời toán
tử này vẫn liên tục trên dãy giảm.
Trong thời gian gần đây, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới cũng như nghiên cứu
các toán tử vi phân trên các lớp hàm mở rộng này đã được một số tác giả nghiên cứu như
Z. Blocki, S. Dinew, S. Kolodziej, A. S. Sadullaev, B. I. Abullaev, L. H. Chinh, . . .Cụ thể
họ đã đưa ra và nghiên cứu lớp hàm m-điều hòa dưới và nghiên cứu toán tử m-Hessian

phức trên lớp hàm này. Đồng thời họ cũng nghiên cứu toán tử này trên C
n
và trên đa
tạp K¨ahler compact. Các kết quả đạt được của Z. Blocki, S. Dinew, S. Kolodziej, A. S.
15
Sadullaev và B. I. Abullaev chủ yếu trên lớp hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương.
Các kết quả cơ bản về hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian có thể xem trong [16],
[31] và [72]. Việc mở rộng nghiên cứu toán tử m-Hessian phức trên lớp hàm không nhất
thiết bị chặn địa phương được đưa ra và nghiên cứu trong thời gian gần đây đặc biệt phải
kể tới kết quả của L. H. Chinh trong [23]. Dựa theo ý tưởng của U. Cegrell, L. H. Chinh
đã đưa ra lớp hàm E
m
(Ω) mở rộng của lớp hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương. Qua
đó tác giả đã chứng minh sự tồn tại của toán tử m-Hessian phức H
m
(u) = (dd
c
u)
m
∧β
n−m
trên lớp hàm E
m
(Ω) (xem Định nghĩa 2.2.8) hơn nữa toán tử này xác định như một độ đo
Radon trên Ω.
Tiếp tục vấn đề nghiên cứu cụ thể hơn về lớp E
m
(Ω), có thể thấy rằng lớp hàm E
m
(Ω)

được đưa ra bởi L. H. Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng và tồn tại, việc
nghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc hình dung rõ ràng
hơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu. Từ thực tiễn nói trên, trong
luận án này, chúng tôi quan tâm nghiên cứu những tính chất cụ thể hơn của lớp E
m
(Ω)
nhằm mục đích cho việc mô tả cũng như đưa ra các đặc trưng của lớp này. Từ đó áp dụng
vào việc đánh giá ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp này.
Một vấn đề khác cũng được quan tâm khi nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm đa
điều hòa dưới đó là nghiên cứu định tính và định lượng đối với con số này, đặc biệt là
đánh giá về tính bị chặn trên và chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho các hàm đa điều
hòa dưới và hàm chỉnh hình. Về mặt định tính, một trong những kết quả cơ bản như đã
biết trong [30], J-P. Demailly và J. Kollár đã chứng minh tính nửa liên tục dưới của hàm
x → c
ϕ
(x) trong tôpô chỉnh hình Zariski. Đồng thời chứng minh được nếu c < c
ϕ
(K) và
ψ hội tụ trong L
1
tới ϕ thì e
−2cψ
hội tụ tới e
−2cϕ
trong L
1
trong lân cận D của K. Đây là
kết quả chính trong công trình [30] và có thể coi là một trong những đánh giá quan trọng
về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, mà từ đó dẫn tới nhiều tính chất quan
trọng về con số này. Về đánh giá định lượng, cụ thể là tính bị chặn trên và bị chặn dưới

cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới có thể nói tới một trong những kết quả
quan trọng của H. Skoda được cho trong các tài liệu [76], trong đó tác giả đã đưa ra các
16
các đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với c
ϕ
(x) của hàm đa điều hòa dưới ϕ thông
qua số Lelong ν(ϕ, x) của hàm này tại x, cụ thể H. Skoda đã chứng minh
1
ν(ϕ, x)
≤ c
ϕ
(x) ≤
n
ν(ϕ, x)
.
Cho đến nay, có thể nói đây là một trong những đánh giá định lượng quan trọng nhất của
c
ϕ
(x), tuy nhiên bằng những ví dụ đơn giản có thể thấy đánh giá trên đây của H. Skoda
là không chặt, vì thế việc tìm một đánh giá tốt hơn cho c
ϕ
(x) là một bài toán định lượng
quan trọng. Liên quan tới hướng nghiên cứu này phải kể tới kết quả của J-P. Demailly và
P. H. Hiệp năm 2013 trong công trình [29] trên tạp chí danh tiếng Acta Math., các tác
giả đã chứng minh và cải tiến tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho hàm đa điều
hòa dưới ϕ trong lớp

E(Ω) thông qua các số Lelong của (dd
c
ϕ)

j
tại 0 tốt hơn rất nhiều so
với đánh giá của H. Skoda. Kết quả cho thấy đó là đánh giá chặt và tốt nhất cho tính bị
chặn dưới của ngưỡng chính tắc trên lớp

E(Ω). Hơn nữa, đánh giá của J-P. Demailly và
P. H. Hiệp còn có thể suy ra một số kết quả quan trọng được chứng minh trong [26], [32]
và [33], cụ thể ta có
c
ϕ
(0) ≥
n

j=1
e
j−1
(ϕ)
e
j
(ϕ)
, e
0
(ϕ) = 1.
Lưu ý rằng, đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp đúng trên lớp hàm

E(Ω) - một lớp
con các hàm đa điều hòa dưới. Mặt khác, như trên chúng ta đã biết việc mở rộng lớp hàm
đa điều hòa dưới phải kể đến các kết quả quan trọng trong công trình [23] của L. H. Chinh
năm 2012 đã đưa ra lớp hàm E
m

(Ω), đây là một lớp hàm mới xét trong lớp hàm điều hòa
dưới rộng hơn đối với lớp các hàm đa điều hòa dưới. Một câu hỏi đặt ra đó là liệu đánh
giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp còn đúng cho lớp hàm E
m
(Ω)- lớp mở rộng thực sự
của lớp E(Ω) hay không? Hay có thể đưa ra một điều kiện đủ để chúng ta vẫn thu được
đánh giá về tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của J-P. Demailly và P. H. Hiệp hay
không?
Mặt khác, chúng ta cũng thường xuyên đặt câu hỏi tự nhiên rằng: Một hàm ϕ ∈ J(Ω)
lớp các hàm nào đó trên miền Ω thì liệu mỗi miền D  Ω ta có ϕ ∈ J(D) hay không?
Tính chất quan trọng này, có thể hiểu đơn giản là tính chất địa phương của lớp J(Ω). Rõ
17
ràng, theo kết quả của Z. Blocki trong công trình [16] thì lớp Cegrell E(Ω) là một lớp địa
phương và lớp E
χ,loc
(Ω) được đưa ra và chứng minh cũng là lớp có tính chất địa phương
bởi ba tác giả L. M. Hải, P. H. Hiệp và H. N. Quy trong [39]. Tuy nhiên lớp E
χ
(Ω) được
đưa ra và nghiên cứu bởi các tác giả S. Benelkourchi, V. Guedj và A. Zeriahi trong [10]
không là lớp có tính chất địa phương. Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là, lớp hàm E
m
(Ω) -
lớp hàm mở rộng thực sự cho lớp hàm đa điều hòa dưới được đưa ra bởi L. H. Chinh có
là lớp có tính chất địa phương hay không? Luận án sẽ lần lượt đưa ra các câu trả lời cho
các câu hỏi nêu trên.
3. Vấn đề thứ ba: Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa
điều hòa dưới
Rõ ràng việc tính ngưỡng chính tắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung và ngay
cả với các hàm chỉnh hình nói riêng từ định nghĩa là một bài toán khó. Có thể thấy một

khác biệt lớn so với số Lelong là ngưỡng chính tắc chỉ tính được tường minh khi f là hàm
chỉnh hình một biến. Trong trường hợp nhiều biến, ngay cả khi f là đa thức, c
f
(0) nói
chung là không tính được, người ta chỉ biết đó là một số hữu tỷ nằm giữa 0 và 1. Như
chúng ta đã biết cho tới nay mới chỉ tính được ngưỡng chính tắc của một số hạn chế các
lớp hàm. Như vậy các câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Không nhất thiết phải tính ngưỡng
chính tắc của hai hàm đã cho, chúng ta vẫn có thể đánh giá hoặc so sánh ngưỡng chính
tắc của chúng hay không? Có thể so sánh c
u
(x) và c
v
(x) với nhau thông các điều kiện về
hàm u, v cho trước hay không? Những hàm như vậy cần thỏa mãn những các giả thiết gì?
Tìm những tập con E ⊂ Ω sao cho từ u ≥ v trên E ta chúng ta có thể so sánh ngưỡng
chính tắc của chúng, cụ thể c
u
(0) ≥ c
v
(0)? . . .
Như vậy, việc tìm ra những điều kiện đủ và hơn nữa là tối thiểu cho các hàm đã cho
mà từ đó có thể so sánh ngưỡng chính tắc của chúng, qua đó trả lời cho những câu hỏi
trên là một vấn đề cấp thiết cần nghiên cứu. Đồng thời có thể thấy rằng cho tới nay việc
giải quyết những vấn đề này, nói chung còn hạn chế và mới chỉ thỏa mãn cho một số lớp
hàm đơn giản.
18
Thật vậy, giả sử u, v là các hàm đa điều hòa dưới. Trước hết rõ ràng từ Định nghĩa
1.1.1 ta suy ra nếu u ≥ v thì c
u
(x) ≥ c

v
(x). Tuy nhiên đây là một giả thiết rất mạnh về
u và v.
Tiếp theo, từ kết quả trong [30] và [54], nếu u(x, y) = v(x) + ω(y) thì c
u
(x, y) =
c
v
(x) + c
ω
(y). Như vậy, trong trường hợp này ta có c
u
≥ c
v
tại điểm đã cho. Tuy nhiên
đây cũng là giả thiết tương đối mạnh và thỏa mãn cho một lớp hẹp các hàm chỉnh hình
u, v.
Tiếp đó, trong chương 1, chúng tôi đã chứng minh rằng nếu u, v là các hàm chỉnh hình
trong C
n
sao cho u  v (xem Định nghĩa 1.2.8) thì ta có thể so sánh c
u
(x) và c
v
(x), cụ
thể ta có c
u
(x) ≥ c
v
(x) (khẳng định (ii) của Định lý 1.2.9). Đây cũng là một kết quả cho

phép chúng ta so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm trong trường hợp chúng là các hàm
chỉnh hình.
Hơn nữa, như trên chúng ta biết rằng, Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh
được phát biểu bởi J-P. Demailly và J. Kollár trong [30] là yếu hơn Giả thuyết ACC đã
được chứng minh trong lý thuyết Hình học Đại số trong [34] bởi T. Fernex, L. Ein và M.
Mustata năm 2010, cũng cho phép kết luận về sự so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm
chỉnh hình. Cụ thể theo Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh: Nếu K là tập compact
cố định thì với mọi hàm chỉnh hình khác không f và với mọi tập compact L chứa K trong
phần trong của nó đều tồn tại số thực α = α(f, K, L) > 0 sao cho
sup
L
|g −f| < α ⇒ c
g
(K) ≥ c
f
(K).
Như vậy, với g đủ gần f thì có thể so sánh c
g
(K) và c
f
(K). Tuy nhiên sự đủ gần, tức là
giá trị của α mới dừng ở mức tồn tại.
Tiếp theo là việc trả lời câu hỏi tìm một trong những tập con E đã nói trên. Có thể
nói đến kết quả thú vị và bất ngờ sau đây của P. H. Hiệp trong [41] trả lời một phần cho
các câu hỏi đó.
Định lý 1.1. Giả sử Ω là một miền trong C
n
và {Ω
j
}

{j≥1}
là dãy các miền trơn sao cho
Ω  Ω
1
 Ω
2
 ··· và
∞

j=1
Ω
j
= {0} và u, v ∈ PSH(Ω). Khi đó, nếu u ≥ v trên ∂Ω
j
với
19
mọi j ≥ 1 thì c
u
(0) ≥ c
v
(0).
Định lý 1.1 hay còn gọi là một nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa
điều hòa dưới, cho phép chúng ta có thể so sánh ngưỡng chính tắc của các hàm đã cho
nhờ vào các điều kiện trên biên. Kết quả này đã đặt ra hướng nghiên cứu tiếp theo cho
luận án đó là tìm các điều kiện khác mà từ đó có thể so sánh ngưỡng chính tắc, hay tìm
những điều kiện tổng quát hơn của P. H. Hiệp mà từ đó vẫn có thể so sánh ngưỡng chính
tắc của hai hàm đã cho.
Việc nghiên cứu các vấn đề đặt ra của toán học không những yêu cầu chúng ta nghiên
cứu và giải quyết vấn đề đó mà còn yêu cầu chúng ta nghiên cứu chúng theo những phương
pháp, công cụ khác nhau cũng như đưa ra những cách giải quyết hợp lý và đẹp đẽ hơn.

Luận án đặt ra vấn đề sử dụng kĩ thuật truyền thống của giải tích phức để nghiên cứu
ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới cũng như hàm chỉnh hình, từ đó và góp phần
xây dựng về mặt định tính, định lượng cũng như góp phần hoàn thiện lý thuyết hàm biến
phức nhiều biến nói chung. Đồng thời, chúng tôi cũng đặt ra hướng nghiên cứu đó là áp
dụng những kết quả đẹp đẽ gần đây của lý thuyết đa thế vị phức để nghiên cứu những
vấn đề liên quan đến ngưỡng chính tắc, chẳng hạn tính bị chặn cũng như các giả thiết cho
phép so sánh hai ngưỡng chính tắc của hai hàm đã cho, . . .
Các vấn đề đặt ra trên đây sẽ được chúng tôi giải quyết và trình bày lần lượt trong ba
chương, với sự ý thức được rằng các kết quả và nội dung chính của luận án xoay quanh
vấn đề về ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong C
n
.
Chương 1
Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh
hình trong C
n
Như đã nói trong mục Tổng quan vấn đề nghiên cứu, trong chương này, chúng tôi dành
cho việc nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, kết quả chính của chương là
chứng minh mối quan hệ giữa thể tích tập mức và ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình
nhiều biến. Cuối cùng, như một áp dụng, chúng tôi cho một phép chứng minh mới cho
Giả thuyết ACC bằng công cụ giải tích phức nhiều biến trong trường hợp số chiều không
gian n = 2. Để thực hiện mục đích đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một định nghĩa
tương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình thông qua thể tích của tập mức
và kết quả về diện tích của tập mức. Kết quả chính của chương này được công bố trong
bài báo ”The log canonical threshold of holomorphic functions”.
1.1 Ngưỡng chính tắc
1.1.1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới
Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm tổng quát (trong [30]) về ngưỡng chính tắc
c
f

(K) cho hàm đa điều hòa dưới ϕ trên tập compact K ⊂ C
n
. Mục tiêu của chúng tôi
20
21
trong chương này là nghiên cứu c
f
(K) thông qua công cụ của giải tích phức.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới trên C
n
. Với mỗi tập compact
K ⊂ C
n
ta gọi ngưỡng chính tắc của ϕ trên K là số không âm
c
ϕ
(K) = sup{c ≥ 0 : e
−2cϕ
∈ L
1
trên một lân cận của K}.
Nếu ϕ ≡ −∞ trên một số thành phần liên thông của K ta đặt c
ϕ
(K) = 0.
Ta thấy rằng ngưỡng chính tắc c
ϕ
(K) chỉ phụ thuộc vào tính kì dị của ϕ, cụ thể là tại cực
điểm −∞ của nó.
Trong trường hợp f là hàm chỉnh hình, log |f| là đa điều hòa dưới, khi đó thay cho
c

log |f |
(K) ta viết ngắn gọn là c
f
(K). Như vậy trong trường hợp này
c
f
(K) = c
log |f |
(K)
= sup{c ≥ 0 :

V
dV
2n
|f|
2c
< +∞, V là một lân cận nào đó của K},
ở đó dV
2n
kí hiệu là độ đo Lebesgue trên C
n
.
Ta kí hiệu c
f
(x) thay cho c
f
({x}) khi K = {x}. Như vậy, để thuận tiện cho việc nghiên
cứu sau đó, ngưỡng chính tắc c
f
(0) của hàm f tại 0, tức là khi K = {0} có thể phát biểu

cụ thể hơn như sau:
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử f : Ω → C
n
là hàm chỉnh hình trong một lân cận của 0 ∈ Ω.
Khi đó ta gọi
c
f
(0) = sup{c ≥ 0 : ∃δ > 0 với

B(0,δ)
dV
2n
|f|
2c
< +∞}
là ngưỡng chính tắc của hàm f tại 0 ∈ C
n
, ở đó dV
2n
kí hiệu là độ đo Lebesgue trên C
n
.
Nhận xét 1.1.3. Từ định nghĩa chúng ta có một số nhận xét hữu ích sau đây:
a. Nếu f(z) = 0 với mọi z ∈ K thì c
f
(K) = +∞. Vì vậy từ nay về sau, chúng ta chỉ
xét trường hợp ∃z
0
∈ K : f(z
0

) = 0. Đặc biệt khi xét c
f
(0) thì f(0) = 0. Từ đó, có thể
thấy về trực giác, ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình f nói lên tốc độ hội tụ về 0 khi
z → 0 ∈ C
n
. Hơn thế, con số này có nhiều áp dụng quan trọng trong lý thuyết Hình học