CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (314.88 KB, 27 trang )
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Phương trình mặt phẳng
Loại 1. Tích có hướng của hai véc-tơ
A. Tóm tắt lý thuyết
* Định nghĩa: cho u x;y;z , v x'; y ';z ' tích có hướng của u và v là véc-tơ:
y z z x x y
;
;
yz ' y ' z;zx' z ' x;xy ' x'y .
y z z x x y
u, v
* Tính chất:
1) Tích có hướng vng góc với các véc-tơ thành phần: u, v u , u, v v .
2) Độ dài của tích có hướng: u, v u . v .sin u, v .
* Ứng dụng 1: kiểm tra điều kiện cùng phương và đồng phẳng
1) Điều kiện cùng phương của hai véc-tơ: u v u, v 0 .
Hệ quả: bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng AB, AC .AD 0 .
2) Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ: u , v , w đồng phẳng u, v .w 0 .
Chú ý: biểu thức u, v .w được gọi là tích hồn tạp của ba véc-tơ u , v , w .
* Ứng dụng 2: tính diện tích, thể tích
1) Diện tích hình bình hành ABCD : S AB, AD .
2) Diện tích hình tam giác ABC : S
1
2
AB, AC .
3) Thể tích khối hộp ABCD.A 'B 'C' D' : V AB, AD .AA ' .
Thể tích khối tứ diện ABCD : V
1
6
AC, AB .AD .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
1
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
B. Một số ví dụ
C. Bài tập
Bài 1. Cho a 2;3;1 , b 5;7;0 , c 3; 2;4 . Chứng minh a , b , c không đồng phẳng. Hãy
biểu diễn d 4;12;3 qua a , b , c .
Bài 2. Cho A 1;2; 3 , B 2;4;7 , C 0;2; 4 .
1) Tìm ràng buộc giữa x , y , z để M x;y; z ABC .
2) Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Hãy tính diện tích của hình bình
hành đó.
3) Gọi n và véc-tơ vng góc với mp ABC và có độ dài bằng 1 . Hãy xác định tọa độ của n .
Bài 3. Cho tứ diện A , B , C , D với A 2;3;1 , B 1;1; 2 , C 2;1;0 , D 0; 1;2 .
1) Tính VABCD .
2) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện.
3) Xác định tọa độ của H .
Đáp số:
1. 7 . 2.
3
14
.
2
3.
2;3;1 .
Bài 4. Cho A 0;1;1 , B 1;0;2 , C 1;1;0 , D 2;1; 2 .
1) Chứng minh A , B , C , D khơng đồng phẳng.
2) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC và bán kính đường trịn nội tiếp của tam
giác đó.
3) Tính góc CBD và góc giữa các đường thẳng AB và CD .
Tính thể tích của tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
2
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Loại 2. Phương trình mặt phẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Véc-tơ chỉ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng
* Véc-tơ pháp tuyến: Véc-tơ n 0 được gọi là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng P nếu
n có giá vng góc với P . Ký hiệu n P hoặc P n .
Chú ý:
+) Mọi véc-tơ khác 0 , cùng phương với một véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng đều là
véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:
n1 P
n2 P .
n2 0
n2 n1
+) Hai véc-tơ pháp tuyến của cùng một mặt phẳng luôn cùng phương với nhau:
n1 P
n1 n2 .
n 2 P
* Véc-tơ chỉ phương: Véc-tơ u 0 được gọi là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng P nếu u
có giá song song hoặc nằm trên P . Ký hiệu u P hoặc P u .
Chú ý:
+) Mọi véc-tơ khác 0 , cùng phương với một véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng đều
là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy:
u1 P
u2 0 u 2 P .
u 2 u1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
3
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
+) Hai véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng chưa chắc cùng phương với nhau.
* Quan hệ giữa véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng:
+) Véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng vng góc với nhau
n P
nu.
u P
+) Véc-tơ khác 0 , vng góc với véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng là véc-tơ chỉ
phương của mặt phẳng ấy.
n P
u P .
u 0
u n
+) Véc-tơ khác 0 , vng góc với véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng không chắc là là
véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy. Tuy nhiên, một véc-tơ khác 0 , vng góc với hai
véc-tơ chỉ phương khơng cùng phương của một mặt phẳng thì là véc-tơ pháp tuyến của
mặt phẳng ấy.
n 0
u1 P
u 2 P n P .
n u1
n u 2
Từ đây suy ra: tích có hướng của hai véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng là véc-tơ
pháp tuyến của mặt phẳng ấy:
u1 P
u1 ,u2 P .
u 2 P
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
4
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
* Bài tốn: lập phương trình mặt phẳng
n A;B;C làm véc-tơ pháp tuyến.
P
đi qua điểm M 0 x0 ;y 0 ;z 0 , nhận véc-tơ
Lời giải: Xét điểm M x;y;z . Ta có M 0 M x x0 ;y y 0 ;z z 0 .
M P n M 0M n.M 0M
A x x0 B y y 0 C z z 0 0 .
Vậy
P : A x x0 B y y 0 C z z 0 0
hay P : Ax By Cz D 0 ( D Ax0 By 0 Cz 0 ).
Kết luận:
+) Mỗi mặt phẳng trong khơng gian đều có phương trình dạng: Ax By Cz D 0
*
( A 2 B 2 C2 0 ). Phương trình * được gọi là phương trình tổng quát của mặt
phẳng.
+) Ngược lại, người ta chứng minh được: mỗi phương trình Ax By Cz D 0
( A 2 B 2 C2 0 ) là phương trình của một mặt phẳng.
3. Một số dạng đặc biệt của phương trình mặt phẳng
* Phương trình mặt phẳng vng góc với trục tọa độ:
+) P Ox phương trình của P có dạng x m . Đặc biệt Oyz : x 0 .
+) P Oy phương trình của P có dạng y m . Đặc biệt Ozx : y 0 .
+) P Oz phương trình của P có dạng z m . Đặc biệt Oxy : z 0 .
* Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa trục tọa độ:
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
5
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
+) P song song hoặc chứa Ox phương trình của P có dạng By Cz D 0
( B 2 C2 0 ).
+) P song song hoặc chứa Oy phương trình của P có dạng Ax Cz D 0
( A 2 C2 0 ).
+) P song song hoặc chứa Oz phương trình của P có dạng Ax By D 0
( A 2 B 2 0 ).
* Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ:
P
đi qua gốc tọa độ phương trình của P có dạng
Ax By Cz 0 ( A 2 B 2 C 2 0 ).
* Phương trình dạng mặt chắn:
P
đi qua A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c ( a , b , c 0 )
x y z
P : a b c 1 .
4. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng : Ax By Cz D 0 và ' : A'x B'y C'z D' 0 .
* Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi hai bộ số A;B;C , A ';B';C' không tỷ lệ, tức là
A tA '
không tồn tại t sao cho B tB' .
C tC'
* Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi hai bộ số A;B;C , A ';B';C' tỷ lệ và hai bộ số
A tA '
B tB'
.
A;B;C;D , A';B';C';D' không tỷ lệ, tức là tồn tại t sao cho
C tC'
D tD'
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
6
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
* Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi hai bộ số A;B;C;D , A';B';C';D' tỷ lệ, tức là
A tA '
B tB'
tồn tại t sao cho
.
C tC'
D tD'
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
* Cho điểm A x0 ; y 0 ; z 0 và mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 . Ta có
d A, P
Ax0 By 0 Cz 0 D
2
2
A B C
2
.
* Hệ quả: cho hai mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 và Q :Ax By Cz D' 0 . Ta có
d P , Q
D D'
A 2 B 2 C2
.
6. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng P : A1x B1y C1z D1 0 và Q : A 2x B 2y C2 z D2 0 .
Gọi n1 , n 2 lần lượt là hai véc-tơ pháp tuyến của các mặt phẳng P và Q . Góc giữa
hai mặt phẳng P và Q bằng góc giữa hai véc-tơ pháp tuyến nếu góc giữa hai véc-tơ
pháp tuyến nhỏ hơn hoặc bằng 90 và bù với góc giữa hai véc-tơ pháp tuyến nếu góc
giữa hai véc-tơ pháp tuyến lớn hơn 90
n1 ,n 2
P , Q
180 n1 ,n 2
Điều kiện để góc giữa hai mặt phẳng
nếu
nếu
P
n1 , n2 90 .
n1 , n2 90
và
Q
bằng ( 0 90 ) là
cos n1 ,n 2 cos
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
7
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
P , Q
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A1 A 2 B1B 2 C1C2
2
2
2
2
2
2
A1 B1 C1 A 2 B 2 C2
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
cos .
8
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 2;0; 4 và nhận n 2; 3;6 là véc-tơ
pháp tuyến.
Giải
Ta có
P qua A 2;0;4
P n 2; 3;6
P : 2 x 2 3y 6 z 4 0
P : 2x 3x 6z 20 0 .
Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 2;2;3 và vng góc với đường thẳng
BC , trong đó B 2;10; 7 , C 5;9; 12 .
Giải
Ta có
P qua A 2;0;4
P BC 3; 1; 5
P : 3 x 2 y 5 z 4 0
P : 3x y 5z 14 0 .
Ví dụ 3. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 1;4;6 và vng góc với trục Oz .
Giải
Ta có
P Oz P k 0;0;1
P ñi qua A 1;4;6
Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng
P
P : z 6 0
đi qua M 2;5;7
và song song với
Q : 3x 2y z 1 0 .
Giải
Ký hiệu f x;y;z là vế phải của phương trình mặt phẳng Q .
Ta thấy f M 3.2 2.5 7 1 2 0 M Q qua M tồn tại mặt phẳng P song
song với Q .
Ta có
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
9
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
P Q
Q n 3; 2;1
P n 3; 2;1
P : 3 x 2 2 y 5 z 7 0
lại có P đi qua M 2;5;7
Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng
P là
P : 3x 2y z 3 0 .
mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với
A 3;1; 4 , B 3;0; 5 .
Giải
x A xB
0
xI
2
y yB 1
1 9
I là trung điểm của AB y I A
I 0; ; .
2
2
2 2
z A zB
9
zI
2
2
P là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
P qua I
P AB 6; 1; 1 6;1;1
1
9
z 2 0
2
P : 6 x 0 y
P : 6x y z 4 0 .
Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng
u 2 1;4; 4 là các véc-tơ chỉ phương.
P
đi qua A 4;2;5 và nhận u1 7;4;1 và
Giải
Ta có P nhận u1 , u 2 là véc-tơ chỉ phương nên P nhận n u1 ,u 2 làm véc-tơ pháp
tuyến.
n u1 , u2
4 1 1 7 7 4
;
;
4 4 4 1 1 4
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
10
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
20;29;24 .
Vậy
P qua A 4;2;5
P n 20;29;24
P : 20 x 4 29 y 2 24 z 5 0
P : 20x 29y 24z 258 0 .
Ví dụ 7. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 4;2;5 , B 3; 3;2 và nhận u 4; 1;9
là véc-tơ chỉ phương.
Giải
P đi qua A 4;2;5 , B 3; 3;2 P AB 7; 5; 3 .
Lại có u cũng là một véc-tơ chỉ phương của P P n AB, u .
5 3 3 7 7 5
n
;
;
48; 75;13 .
1 9 9 4 4 1
Vậy
P qua A 4;2;5
P n 48; 75;13
P : 48 x 4 75 y 2 13 z 5 0
P : 48x 75y 13z 107 0 .
Ví dụ 8. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 4; 2; 1
2
, B 2; 1;0 và song song với
Ox .
Giải
P
đi qua A 4; 2; 1 , B 2; 1;0
P AB 2;1;
P u 4; 2;1 .
2
1
u 4; 2;1
2
1
P Ox
P i 1;0;0 .
2
Từ 1 và 2 suy ra P n u;i .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
11
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Ta có
2 1 1 4 4 2
n
;
;
0;1;2 .
0 0 0 1 1 0
Vậy
P qua B 2; 1;0
P n 0;1;2
P : y 1 2z 0
P : y 2z 1 0 .
Ví dụ 9. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 2;4;6 , B 1; 1;9 và vng góc với
Q : 2x z 0 .
Giải
P
đi qua A 2;4;6 , B 1; 1;9
P AB 1; 5;3 .
P Q
Q nQ 2;0; 1
P nQ 2;0; 1 .
1
2
Từ 1 , 2 suy ra
P n AB,nQ .
Ta có
5 3 3 1 1 5
n
;
;
5;5;10 1;1;2 .
0 1 1 2 2 0
Vậy
P qua A 2;4;6
P 1;1;2
P : x 2 y 4 2 z 6 0
P : x y 2z 18 0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
12
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Ví dụ 10. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 1; 2;4 và vng góc với các mặt phẳng
Q : x 2y 3z 7 0
và R : 3x 4z 0 .
Giải
P Q
Q nQ 1; 2;3
Tương tự
P n R 3;0; 4 .
Từ 1 và 2 suy ra P n nQ ,n R .
P nQ 1; 2;3 .
1
2
Ta có
2 3 3 1 1 2
n
;
;
8;13;6 .
0 4 4 3 3 0
Vậy
P qua A 1; 2;4
P n 8;13;6
P : 8 x 1 13 y 2 26 z 4 0
P : 8x 13y 26z 86 0 .
Ví dụ 11. Viết phương trình mặt phẳng P qua ba điểm A 1;2;3 , B 1; 2; 3 , C 0 ; 2;1 .
Giải
P
qua ba điểm A 1;2;3 , B 1; 2; 3 , C 0 ; 2;1
P AB 2;0; 6 u1 1;0;3
P AC 1; 4; 2 u 2 1;4;2
P u1 1;0; 3
P u 2 1;4;2
P n u1 ,u 2 .
Ta có
0 3 3 1 1 0
n
;
;
12;1;4 12; 1; 4 .
4 2 2 1 1 4
Vậy
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
13
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
P qua A 1;2;3
P 12; 1; 4
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
P :12 x 1 y 2 4 z 3 0
P :12x y 4z 2 0 .
Ví dụ 12. Viết phương trình mặt phẳng
P
qua A 0;6; 5 và giao tuyến với của hai mặt
phẳng Q : 3x 2y z 0 và R : x y z – 2 0 .
Giải
Cách 1: Xét hệ gồm các phương trình mặt phẳng Q và R
3x 2y z 0
.
x y z 2 0
1
2
y 3
2y z 0
2 4
Từ 1 cho x 0
B 0; ; P .
3 3
y z 2
z 4
3
3x z 0
x 4
Từ 1 cho y 0
C 1;0;3 P .
x z 2
z 6
P
2 4
qua ba điểm A 0;6; 5 , B 0; ; , C 1;0;3
3 3
16 19
P AB 0; ; u1 0;16; 19
3 3
P AC 1; 6;8 u 1;6; 8
2
P u1 0;16; 19
P u 2 1;6; 8
P n u1 ,u 2 .
Ta có
16 19 19 0 0 16
n
;
;
14; 19; 16 14;19;16 .
6 8 8 1 1 6
Vậy
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
14
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
P qua C 1;0;3
P 14;19;16
P :14 x 1 19y 16 z 3 0
P :14x 19y 16z 34 0 .
Cách 2: P là mặt phẳng đi qua giao tuyến của Q và R nên phương trình P có dạng
P : m 3x 2y z n x y z – 2 0 , với m 2 n 2 0 .
P
đi qua A 0;6; 5 m 3.0 2.6 5 n 0 6 5 – 2 0
17m n 0
17m n 0 .
Từ 1 , cho m 1 n 17
P : 3x 2y z 17 x y z – 2 0
P : 14x 19y 16z 34 0
1
P :14x 19y 16z 34 0 .
Chú ý. Giả sử P : A1x B1y C1z D1 0 và Q : A 2 x B 2 y C2 z D2 0 là hai mặt
phẳng cắt nhau. Khi đó phương trình mọi mặt phẳng chứa giao tuyến của P và Q có
dạng
R : m A1x B1y C1z D1 n A 2 x B 2y C2z D2 0 , với m 2 n 2 0 .
(phương trình chùm mặt phẳng chứa )
Việc sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng đặc biệt hiệu quả trong bài tốn viết phương trình
mặt phẳng chứa một đường thẳng.
Ví dụ 13. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 4;9;11 và chứa Ox .
Giải
Ox là giao của hai mặt phẳng xOy : z 0 và xOz : y 0 .
P
chứa Ox phương trình P có dạng
P : my nz 0 , với m 2 n 2 0 .j
P
đi qua A 9m 11n 0 . Từ đây, chọn m 11 n 9 . Do đó P : 11y 9z 0 .
Ví dụ 14. Cho A 1;2;3 và P : x 2y z 14 0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
15
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1) Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên P .
2) Tìm tọa độ A ' đối xứng với A qua P .
Giải
1) H P tọa độ H có dạng H x0 ;y 0 ;2x0 y 0 14 .
Ta có P n 1;2; 1 , AH x0 1;y 0 2;2x0 y 0 17
n, AH 4x0 3y 0 36; 3x0 y 0 18; 2x0 y 0 .
H là hình chiếu của A lên P
n AH
n, AH 0
4x0 3y 0 36 0
3x0 y 0 18 0
2x y 0
0
0
18
x0
5
.
36
y
0 5
18 36 2
Vậy H ; ; .
5 5 5
2) A ' đối xứng với A qua P
A ' đối xứng với A qua H
31
x A ' 2xH x A 5
62
y A ' 2y H y A
.
5
11
z A' 2z H z A 5
31 62 11
Vậy A ' ; ; .
5
5 5
Ví dụ 15. [B08] Cho A 0;1;2 , B 2; 2;1 , C 2;0;1 .
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A , B , C .
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Q : 2x 2y z 3 0 sao cho MA MB MC .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
16
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Giải
1)
P
qua ba điểm A 0;1;2 , B 2; 2;1 , C 2;0;1
P AB 2; 3; 1
P AC 2; 1; 1
P n AB, AC .
Ta có
3 1 1 2 2 3
n
;
;
2;4; 8 1;2; 4 .
1 1 1 2 2 1
Vậy
P qua A 0;1;2
P 1;2; 4
P : x 2 y 1 4 z 2 0
P : x 2y 4z 6 0 .
2) Giả sử M x0 ; y 0 ;z 0 .
M Q
1
2x0 2y 0 z 0 3 .
MA MB
MA 2 MB 2
2
2
2
2
2
0 x 0 1 y 0 2 z 0 2 x 0 2 y 0 1 z 0
2x0 3y 0 z 0 2 .
2
2
MB 2 MC2
2 x 0 2 2 y 0 2 1 z 0 2 2 x 0 2 0 y 0 2 1 z 0 2
2x 0 y 0 1 .
3
Giải hệ 1 , 2 , 3 ta được x0 2 , y 0 3 , z 0 7 M 2;3; 7 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
17
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Ví dụ 16. [A11] Cho A 2;0;1 , B 0; 2;3 và P : 2x y z 4 0 . Tìm M P sao cho
biết MA MB 3 .
Giải
M P tọa độ M có dạng M x0 ;y 0 ;2x0 y 0 4 .
MA 3 MA 2 9
2 x0 2 0 y 0 2 1 2x0 y 0 4 2 9 .
1
MB 3 MB 2 9
0 x0 2 2 y0 2 3 2x0 y 0 4 2 9 .
2
Trừ từng vế 1 và 2 ta được
2 2 2x0 2 2 2y 0 2 4 4x0 2y 0 8 0
x0 2y 0 2 .
3
Thay 3 vào 1 ta được
2
4 2y 0 2 y0 1 3y 0 2 9
2
7y 0 11y 0 4 0
y0 1
.
y 4
0
7
+) y 0 1 x0 0 M 0;1;3 .
4
6
6 4 12
+) y 0 x0 M ; ; .
7
7
7 7 7
Ví dụ 17. [B12] Cho A 0;0;3 , M 1;2;0 . Viết phương trình mặt phẳng P qua A và cắt
các trục Ox , Oy lần lượt tại B , C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng
AM .
Giải
B Ox tọa độ B có dạng B b;0;0 , C Oy tọa độ C có dạng C 0;c;0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
18
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
x A xB xC
xG
3
y yB yC
b c
G ; ;1 .
G là trọng tâm tam giác ABC y G A
3
3 3
z A z B zC
zG
3
b c
Ta có AM 1;2; 3 , AG ; ; 2 .
3 3
G thuộc đường thẳng AM AG AM
k : AG k AM
b
1 k. 3
c
k : 2 k.
3
3 k. 2
Từ 3 suy ra k
1
2 .
3
3
3
. Thay k vào 1 và 2 ta được
2
2
b 2, c 4
B 2;0;0 , C 0;4;0 .
P :
x y x
1.
2 4 3
Ví dụ 18. Tìm trên trục hồnh những điểm cách đều điểm A 4;2;3 và mặt phẳng
P : x 3y 2z 17 0 .
Giải
Gọi M là điểm cần tìm. Vì M thuộc trục hồnh nên tọa độ có dạng M m;0;0 . Điểm M cách
đều điểm A và mặt phẳng P khi và chỉ khi
m 4 2 4 9
m 17
1 9 4
, hay
m 4 2 13
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
m 17
14
.
19
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Bình phương hai vế, rút gọn phương trình trên ta được m 2 6m 9 0 , phương trình này có
nghiệm duy nhất m 3 . Vậy M 3;0;0 .
Ví dụ 19. [B09] Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A 1;2;1 , B 2;1;3 , C 2; 1;1 và
D 0;3;1 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A , B sao cho khoảng cách từ C đến P
bằng khoảng cách từ D đến P .
Giải
Cách 1: Giả sử P : Ax By Cz D 0 , với A 2 B 2 C2 0 .
P
đi qua A 1;2;1 A 2B C D 0 .
1
P
đi qua B 2;1;3 2A B 3C D 0 .
2
Từ 1 và 2 , ta tính được C , D theo A , B
3
1
C 2 A 2 B
D 5 A 5 B
2
2
3
1
5
5
A Bz A B 0
2
2
2
2
d C; P
d D; P
P : Ax By
P : 2Ax 2By 3A B z 5 A B 0 .
4A 2B 3A B 5 A B
2A
2
2
2B 3A B
6B 3A B 5 A B
2A
2
2
2B 3A B
d C; P d D; P
2
2
2A 6B
2A
2
2
2B 3A B
2A 2B
2A
2
2
2B 3A B
2
2
,
.
2A 6B 2A 2B
A 3B A B
A 3B A B
A 3B B A
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
20
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
B 0
.
A 2B
3
C 2 A
+) Trường hợp 1: B 0
D 5 A
2
3
5
Az A 0
2
2
P : Ax
P : 2x 3z 5 0 .
7
C 2 B
+) Trường hợp 2: A 2B
15
D B
2
P : 2Bx By
7
15
Bz B 0
2
2
P : 4x 2y 7z 15 0 .
Cách 2: Mặt phẳng P thỏa mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau đây.
+) Trường hợp 1: P CD . Khi đó
P AB 3; 1;2 u1 3;1; 2
P CD 2;4;0 u 2 1; 2;0
P n u1 ,u 2 4; 2; 7 4;2;7 .
P qua A 1;2;1
P 4;2;7
P : 4 x 1 2 y 2 7 z 1 0
Như vậy
P : 4x 2y 7z 15 0 .
+) Trường hợp 2: P đi qua trung điểm I 1;1;1 của CD . Khi đó
P IA 0;1;0
P IB 3;0;2
P n IA, IB 2;0;3 .
P qua A 1;2;1
P n 1;0;3
P : 2 x 1 3 z 1 0
Như vậy
P : 2x 3z 5 0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
21
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Ví dụ 20. [B10] Cho A 1;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c , trong đó b , c 0 và mặt phẳng
P : y z 1 0 . Xác định b , c
sao cho ABC P và d O, ABC 1 .
3
Giải
Ta có
ABC : x
y z
1
b c
1 1
; ,
b c
ABC n1 1;
P n 2 0;1; 1 .
ABC P n1 n 2
n1 .n2 0
P : y z 1 0
1 1
0
b c
1
bc.
d O, ABC
1
3
1
1
1
1 2 2
b
c
1
3
1
1
1 2 2 9.
b
c
Giải hệ 1 , 2 ta có b c
2
1
(lưu ý rằng b , c 0 ).
2
Ví dụ 21. [D10] Cho P : x y z 3 0 , Q : x y z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng
R
vng góc với cả P và Q sao cho khoảng cách từ O đến R bằng 2 .
Giải
R P n P 1;1;1
R Q nQ 1; 1;1
R n P 1;1;1
R nQ 1; 1;1
R n P ,nQ 2;0; 2 1;0; 1
phương trình P có dạng
P : x z D 0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
22
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
d O; R 2
D
2
2
D 2 2
P : x z 2
2 0.
Ví dụ 22. Lập phương trình mặt phẳng P biết rằng P chứa hai điểm A 0;0;1 , B 1;1;0
và tạo với mặt phẳng Oxy góc sao cho cos 1 .
6
Giải
Giả sử . ( A 2 B 2 C2 0 ) là một véc-tơ pháp tuyến của P . Vì n vng góc với AB nên
AB n 0 , hay C A B . Như vậy tọa độ véc-tơ n có dạng n A;B; A B . Mặt phẳng
Oxy có một véc-tơ pháp tuyến là k 0;0;1 , từ điều kiện P tạo với mặt phẳng Oxy góc
sao cho cos 1 ta có
6
AB
A 2 B2 A B
2
1
6
, hay
A 2 B 2 2AB
2
2
2A 2B 2AB
1
.
6
Phương trình trên tương đương với 2A 2 5AB 2B 2 0 . Dễ thấy B 0 , chia hai vế của
phương trình cho B 2 ta được
1
A
2
B 2
A
B 2A
A
2 5 2 0
.
B
B
A 2B
A 2
B
Với B 2A , ta có n A; 2A; A 1; 2;1 . Mặt phẳng P còn đi qua A , suy ra
P : x 2y z 1 0 , hay P : x 2y z 1 0 .
Với A 2B , ta có n 2B;B; B 2; 1;1 . Mặt phẳng P còn đi qua A , suy ra
P : 2x y z 1 0 , hay P : 2x y z 1 0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
23
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
C. Bài tập
Bài 1. (Biết véc-tơ pháp tuyến) Viết phương trình mặt phẳng P biết rằng
1) P đi qua A 1; 2;3 và nhận n 2;3; 2 là véc-tơ pháp tuyến.
2
1
4
2) P đi qua A 3; ;7 và vng góc với đường thẳng BC với B ; 2;1 , C 1; ;2 .
3
2
3
3) P đi qua A 2;4;5 và vng góc với trục Oz .
4) P đi qua A 2;0;1 và song song với mặt phẳng Q : x 4y 3z 7 0 .
1) P : 2x 3y 2z 10 0 .
2) P : 7x 8y 3z 4 0 .
3) P : z 5 0 .
Đáp số:
4) P : x 4y 3z 1 0 .
Bài 2. (Biết hai véc-tơ chỉ phương) Viết phương trình mặt phẳng P biết rằng
1) P đi A 1; 5;7 và nhận u1 2; 1;0 , u 2 2;0;5 làm các véc-tơ chỉ phương.
5
2) P đi A 2;4;7 , B 2; ; 2 và nhận u 1;2; 3 làm véc-tơ chỉ phương.
2
3) P đi qua A 3; 7;3 , B 2; 5;9 , C 4;7;2 .
4) P
đi qua
A 2; 1;2 , song song với
Oy
và vng góc với mặt phẳng
Q : 2x y 3z 4 0 .
5) P đi qua A 3; 1; 5 , vng góc với hai mặt phẳng
Q : 3x 2y 2z 7 0
và
R : 5x 4y 3z 1 0 .
6) P
đi qua hai điểm
A 2;1;3 ,
B 1; 2;1
và vng góc với mặt phẳng
Q : 2x y z 7 0 .
7) P đi qua A 1;0;1 , B 5;2;3 và song song với đường thẳng MN biết rằng M 2;0; 1
và N 3;3;4 .
1) P : 5x 10y 2z 59 0 .
2) P :15x 6y z 13 0 .
3) P : 2x y 1 0 .
4) P : 3x 2z 2 0 .
5) P : 2x y 2z 15 0 .
Đáp số:
6) P : 8x 2y 7z 3 0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
24
BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
7) P : 2x 15y 11z 13 0 .
Bài 3. (Sử dụng chùm mặt phẳng) Viết phương trình mặt phẳng P biết rằng
1) P đi qua M 2;1; 1 và giao tuyến của hai mặt phẳng
Q : x y z 4 0 ,
R : 3x y z 1 0 .
2) P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng : x y z 3 0 , : 3x y 5z 1 0 và
song song với mặt phẳng : x y 2z 3 0 .
3) P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 3x y z 2 0 , : x 4y 5 0
và
vng góc với mặt phẳng : 2x z 7 0 .
Đáp số:
1) P :15x 7y 7z 16 0 .
2) P : x y 2z 2 0 .
3) P : x 22y 2z 22 0 .
Bài 4. (Một số bài toán liên quan đến khoảng cách) Viết phương trình mặt phẳng P biết rằng
1) P đi qua A 4;2;1 , B 0;1;2 và cách đều hai điểm C 7; 2;4 , D 9;8; 2 .
2) P đi qua M 1; 2; 3 và song song với mặt phẳng Q : 2x 5y 4z 2 0 . Tính khoảng
cách giữa hai mặt phẳng P , Q .
3) P có khoảng cách đến Q : 3x 4y z 5 0 bằng 3 .
Đáp số:
1) P : x 4y 4 0 hoặc P : 2x 11y 19z 49 0 .
2 5
2) P : 2x 5y 4z 0 , d P , Q
.
14
3) P : 3x 4y z 5 3 26 0 hoặc P : 3x 4y z 5 3 26 0 .
Bài 5. Cho P : 2x 3y z 0 và M 2;4;6 .
1) Tìm tọa độ hình chiếu H của M lên P .
2) Tìm tọa độ M ' đối xứng với M qua P .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744
website: violet.vn/phphong84
25
