Chuongiii : Bài 2 : Phương trình Mặt phẳng

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
Biên soạn
Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách giáo khoa 2008
Click
Bài 2 :

I. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa :
Cho mặt phẳng (α) . Nếu vectơ
0a ≠
r r
và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì
n
r
được gọi là vectơ pháp tuyến của (α)
Chú ý : Nếu

n
r
là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì
( )
. 0k n k ≠
r
cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó .
Bài toán : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (
α
) và 2 vectơ không cùng phương
( ) ( )

1 2 3 1 2 3
; ; ; ; ;a a a a b b b b= =
r r
có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (
α
)

Chứng minh rằng mặt phẳng (
α
) nhận vectơ :
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
; ;n a b a b a b a b a b a b= − − −
r
làm vectơ pháp tuyến .
Giải : Ta có :
( ) ( ) ( )
1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1
.a n a a b a b a a b a b a a b a b= − + − + −
r r
1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1
a a b a a b a a b a a b a a b a a b= − + − + −
0=
Tương tự :
. 0b n =
r r
Click

Vậy vectơ
n

r
vuông góc với cả hai vectơ
&a b
r r
α
n
r
b
r
a
r
'a
uur
'b
ur
Có nghĩa là giá của nó vuông góc với 2 đường
thẳng cắt nhau của mp (
α
) .Suy ra giá của
n
r
vuông góc với mp (
α
) .
vì
&a b
r r
không cùng phương nên các
tọa độ của
n

r
không đồng thời bằng 0 .
Suy ra
0n ≠
r r
Nên
n
r
là một vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng (
α
)
Vectơ
n
r
xáx định như trên
được gọi là tích có hướng ( Tích vectơ )
của 2 vectơ
&a b
r r
ký hiệu là :
∧n = a b
r r r
hay :
 
 
n = a,b
r r r
Áp dụng : Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;3) B(4;0;1) C(-10;5;3) . Hãy tìm tọa độ
một vectơ pháp tuyến của mp (ABC)

Giải :
( )
2;1; 2AB = −
uuur
( )
12;6;0AC = −
uuur
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1.0 6. 2 ; 1 . 12 2.0;2.6 1. 12n AB AC⇒ = ∧ = − − − − − − −
r uuur uuur
( )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
; ;n a b a b a b a b a b a b= − − −
r
( ) ( )
12;12;24 12 1;1;2= =
Click

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
Bài toán 1 :
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (
α
) đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z

0
) và nhận
( )
; ;n A B C
r
làm vectơ pháp tuyến . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để điểm
M (x ; y ; z) thuộc mặt phẳng (
α
) là : A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C (z – z
0
) = 0
Giải :
Ta có :
α
n
r
M
0
M
( )
0 0 0 0
; ;M M x x y y z z= − − −
uuuuuur
( ) ( )
0
M M M

α α
∈ ⇔ ∈
0
n M M⇔ ⊥
r uuuuuur
0
. 0n M M⇔ =
r uuuuuur
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z⇔ − + − + − =
Click

Bài toán 2 :
Trong không gian Oxyz , chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x ; y ; z) thõa mãn
phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A , B , C không đồng thời bằng
0)
là một mặt phẳng nhận vectơ
Giải :
Ta lấy điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z=
( )
; ;n A B C
r
làm vectơ pháp tuyến .
sao cho
0 0 0
0Ax By Cz D+ + + =

và
0A ≠
Thì ta lấy
0 0 0
; 0
D
x y z
A
= − = =
Gọi (
α
) là mặt phẳng đi qua M
0
và nhận
( )
; ;n A B C=
r
làm vectơ pháp tuyến
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
M A x x B y y C z z
α
∈ ⇔ − + − + −
0 0 0
( ) 0Ax By Cz Ax By Cz⇔ + + + + + =
{
0 0 0
0
Ax By Cz

Ax By Cz D
+ +
⇔ + + + =
Từ 2 bài toán trên có định nghĩa sau :
Click

Định nghĩa :
Phương trình có dạng : Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A , B , C không đồng
thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng .
Nhận xét :
a) Nếu mặt phẳng (
α
) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có
một vectơ pháp tuyến là :
( )
; ;n A B C
r
b) Phương trình mặt phẳng đi qua M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) nhận vectơ
( )
; ; 0n A B C ≠
r r
làm vectơ pháp tuyến là : A(x – x

0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
Áp dụng :
1. Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của mp : 4x – 2y – 6z + 7 = 0
Giải :
( )
4; 2; 6n − −
r
2. Lập phương trình tổng quát của mp(MNP) với M(1;1;1) N(4;3;2) P(5;2;1)
Giải : Phương trình mp đi qua M ; N ; P thõa
0
4 3 3 0
5 2 0
A B C D
A B C D
A B C D
+ + + =


+ + + =


+ + + =

4 0
3 2 0

0
A B
A B C
A B C
+ =


⇔ + + =


− − =

4
5
B A
C A
= −

⇔

=

Vậy có x - 4y + 5 z - 2 = 0
Click

Các trường hợp riêng :
Trong không gian Oxyz cho mp (α) : Ax + By + Cz + D = 0 (1)
a) Nếu D = 0
Thì gốc tọa độ O có tọa độ thõa mãn phương
trình của mặt phẳng (

α
) . Vậy (
α
) đi qua gốc
tọa độ O
z
yO
x
α
)
Ax + By + Cz = 0
b) Nếu một trong 3 hệ số A , B , C
bằng 0 ví A = 0
Thì mặt phẳng (
α
) có vectơ pháp tuyến
( )
0; ;n B C
r
Ta có
. 0n i =
r r
do
.i
r
là vectơ chỉ phương của Ox , nên suy ra (
α
) song song hoặc chứa trục Ox .
z
yO

x
α
)
By + Cz + D = 0
z
yO
x
α
)
Ax + Cz + D = 0
z
yO
x
Ax + By + D = 0
α
)
Click