BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (398.9 KB, 50 trang )
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
1
CÁC BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC
TẬP 2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phân loại chi tiết
Hệ thống ví dụ phong phú
Bài tập có đáp số đầy đủ
Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012
HÀ NỘI - 2012
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
2
Mục lục
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác 3
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản 3
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 15
Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác 23
Loại 1. Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản 23
Loại 2. Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos 29
Loại 3. Phép đặt ẩn phụ
x
2
t tan
34
Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx 38
Chủ đề 3. Phương trình tích 43
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
3
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng
giác
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình
sin x m
1
* Điều kiện có nghiệm:
1
có nghiệm
m 1;1
.
* Công thức nghiệm: Với
m 1;1
, ta có
1
x arcsinm 2k
x arcsinm 2k
(
k
).
Trong đó,
arcsinm
là nghiệm thuộc đoạn
2 2
;
của phương trình
sin x m
(
Hình 1).
Ta thấy với mỗi
m 1;1
, giá trị
arcsinm
luôn tồn tại duy nhất.
y=sinx
-1
1
-
π
2
π
2
arcsinm
O
m
y
x
Hình 1
2. Phương trình
cosx m
2
* Điều kiện có nghiệm:
2
có nghiệm
m 1;1
.
* Công thức nghiệm: Với
m 1;1
, ta có
2
x arccosm 2k
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
4
Trong đó,
arccosm
là nghiệm thuộc đoạn
0;
của phương trình
sin x m
(Hình 2).
Ta thấy với mỗi
m 1;1
, giá trị
arccosm
luôn tồn tại duy nhất.
π
y=cosx
-1
1
π
2
arccosm
O
m
y
x
Hình 2
3. Phương trình
tanx m
3
Với mọi
m
, ta có
3
x arctanm k
(
k
).
Trong đó,
arctanm
là nghiệm thuộc khoảng
2 2
;
của
phương trình
tanx m
(Hình 3).
Ta thấy với mỗi
m
, giá trị
arctanm
luôn tồn tại duy nhất.
y=tanx
arctanm
-
π
2
π
2
O
m
y
x
Hình 3
4. Phương trình
cot x m
4
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
5
Với mọi
m
, ta có
4
x arccotm k
(
k
).
Trong đó,
arccotm
là nghiệm thuộc khoảng
0;
của phương
trình
cot x m
(Hình 4).
Ta thấy với mỗi
m
, giá trị
arccotm
luôn tồn tại duy nhất.
π
2
π
O
y=cotx
arccotm
m
y
x
Hình 4
5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống
phương trình cơ bản:
+)
sin f x sin g x
f x g x 2k
f x g x 2k
(
k
);
+)
os o
f x c g x
sc
f x g x 2k
(
k
).
+)
tan f x tan g x
2
f x g x k
f x k
(
k
).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. GPT:
2
2cos x sinx 2
1
Giải
1
2
2 1 sin x sinx 2
2
2sin x sinx 0
sin x 2sinx 1 0
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
6
1
2
sinx 0
sinx
6
5
6
x k
x 2k
x 2k
, (
k
).
Ví dụ 2. GPT:
sin 2x cosx 0
1
Giải
1
2sinxcosx cosx 0
cosx 2sinx 1 0
1
2
cosx 0
sin x
2
6
7
6
x k
x 2k
x 2k
, (
k
).
Ví dụ 3. GPT:
2 2
sin x cos 2x 1
.
1
Giải
1
2 2
cos 2x 1 sin x
2 2
cos 2x cos x
cos2x cosx
cos2x cosx
.
2
3
2
2x x 2k
2x x 2k
2k
3
x 2k
x
2k
3
x
(
2k
3
2k k k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
7
3
cos2x cos x
2x x 2k
2x x 2k
2k
3 3
x
x 2k
.
Vậy nghiệm của
1
là:
2k
3
x
,
2k
3 3
x
,
x 2k
(
k
).
Ví dụ 4. GPT:
5x x
sin 3x sin cos
2 2
.
1
Giải
1
1
2
sin3x sin3x sin2x
sin 3x sin2x
3x 2x 2k
3x 2x 2k
2k
5 5
x 2k
x
(
k
).
Ví dụ 5. GPT:
sin 3x 1 cos4x cos3xsin4x
.
1
Giải
1
cos3xsin4x sin3xcos4x sin 3x
sin7x sin3x
7x 3x 2k
7x 3x 2k
k
2
k
10 5
x
x
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
8
Ví dụ 6. GPT:
sin4xsin7x cos3xcos6x
.
1
Giải
1
1 1
2 2
cos11x cos3x cos9x cos3x
cos11x cos9x
cos11x cos 9x
11x 9x 2k
11x 9x 2k
k
20 10
2
x
x k
(
k
).
Ví dụ 7. GPT:
tanx
1
2
3
cos x
1
.
1
Giải
1
tanx
1
2
3
cos x
1 0
2
tanx
3
tan x 0
1
3
tanx tanx 0
1
3
tanx 0
tanx
6
x k
x k
(
k
).
Ví dụ 8. GPT:
2
2sin x sinx 1
2cosx 3
0
.
1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
9
Giải
Điều kiện để
1
có nghĩa:
2cosx 3 0
3
2
cosx
6
x 2k
(
k
).
Ta có
1
2
2sin x sinx 1 0
1
2
sin x 1
sin x
2
6
7
6
x 2k
x 2k
x 2k
(
k
).
Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được
biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn
1
2
sin x 1
sin x
được biểu diễn bằng những điểm đen.
các họ nghiệm của
1
là
2
2k
,
7
6
2k
(
k
).
y
x
π
2
+2kπ
7π
6
+2kπ
-π
6
+2kπ
π
6
+2kπ
-1
-1
1
1
O
Chú ý: Khi biểu diễn họ
2k
n
x
(
k
,
*
n
,
n
là hằng số) trên đường tròn lượng giác
ta được:
+) Một điểm trong trường hợp
n 1
.
+) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp
n 2
. Hai điểm này là các
điểm biểu diễn giá trị
2k
n
với
k 0
,
1
.
+)
n
điểm cách đều nhau trong trường hợp
n 3
.
n
điểm này là các điểm biểu diễn giá
trị
2k
n
với
k 0
,
1
, …,
n 1
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
10
y
x
-1
-1
1
1
O
n 2
y
x
-1
-1
1
1
O
n 3
y
x
-1
-1
1
1
O
n 4
Ví dụ 9. Giải phương trình
2
1 5sinx 2cos x cosx 0
.
1
Giải
Điều kiện để
1
có nghĩa:
cosx 0
.
1
2
1 5sinx 2cos x 0
cosx 0
.
2
3
Ta thấy
2
2
1 5sinx 2 1 sin x 0
2
2sin x 5sinx 3 0
1
2
sinx 3 1
sinx
voâ nghieäm
6
7
6
x 2k
x 2k
.
3
cosx 0
2
x k
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
11
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của
2
và
3
trên
đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm
điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm
của
1
là:
2
k
,
6
2k
(
k
).
-
π
2
+2kπ
y
x
π
2
+2kπ
7π
6
+2kπ
-π
6
+2kπ
-1
-1
1
1
O
Ví dụ 10. Giải phương trình
1
2
8cos x
sin x
.
1
Giải
Điều kiện để
1
có nghĩa:
cosx 0
2
x k
.
2
Ta có
1
2
1
2
8cos x
sinx 0
sin x
.
3
4
4
2 2
8sin xcos x 1 cosx 0
cosx 0
.
2
2sin 2x 1
cos4x 0
2
4x k
k
8 4
x
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
12
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của
4
trên đường
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một
trong hai điều kiện
2
,
3
(điểm được khoanh trắng), ta
được các họ nghiệm của
1
là:
8
2k
,
3
8
2k
,
5
8
2k
,
7
8
2k
(
k
)
-7π
8
+2kπ
-5π
8
+2kπ
-3π
8
+2kπ
-π
8
+2kπ
7π
8
+2kπ
5π
8
+2kπ
3π
8
+2kπ
π
8
+2kπ
y
x
-1
-1
1
1
O
Chú ý: Họ nghiệm
2k
n
x
(
k
) thực ra là tập hợp
2k
n
k
. Ta có
2k 2 2
n n n
k 2k k 2k k n 1 2 k. k
nói cách khác
2k
n
x
2
n
2
n
x 2k
x 2k
x n 1 2k
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
13
C. Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
1)
sinx 3 cosx 0
.
2)
1
4
sinxcos x
.
3)
sin 3xcos2x sin2xcosx
.
4)
2
x
cosx 4cos x 3 cos 0
2
.
5)
3
2sinx 4sin x 3sinx sin2x 0
.
6)
sin x sin2x cosx cos2x 0
.
7)
sin x sin2x cosx cos2x 0
.
Bài 2. Giải các phương trình sau
1)
cosxcos7x
cos6x 4
sin 2 x
.
2)
2
1 1
sin x cos x sin2x
.
3)
2
1 1
sin x cosx sin2x
.
4)
sin 2x 1 tan2xtanx 1
.
5)
sin 2x tanx 1 sin2xtan 2x
.
6)
2
x
2 3 cosx 2sin
2 4
2cosx 1
1
.
7)
2
cos2x 1
2 2
cos x
tan x 3tan x
.
D. Đáp số
Bài 1 1)
3
k
(
k
). 2)
12
k
,
5
6
k
(
k
).
3)
k
,
k
8 4
(
k
). 4)
4k
5
,
4k
7
(
k
).
5)
k
,
k
8 2
,
4
k
(
k
). 6)
2k
,
2k
6 3
(
k
).
7)
2k
,
2k
3 3
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
14
Bài 2 1)
k
,
k
5
(
k
). 2)
12
2k
,
7
12
2k
(
k
).
3)
12
2k
,
7
12
2k
(
k
). 4)
k
8 2
(
k
).
5)
x k
(
k
). 6)
4
3
2k
(
k
).
7)
4
k
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
15
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos
A. Tóm tắt lý thuyết
* Phương trình bậc nhất đối với
sin x
,
cosx
là phương trình có dạng:
Asinx Bcosx C
,
1
trong đó,
A
và
B
là các hằng số không đồng thời bằng
0
(
2 2
A B 0
).
* Cách giải: chia hai vế của
1
cho
2 2
A B
, ta được phương trình tương đương:
2 2 2 2 2 2
A B C
s oinx c
B B A B
sx
A A
.
Vì
2 2
2 2 2 2
A B
1
A B A B
nên tồn tại
0;2
để:
2 2
2 2
A
cos
A B
B
sin
A B
.
Do đó:
2 2
C
1 sinxcos cos xsin
A B
2 2
C
sin x
A B
.
2
Ta thấy
2
là phương trình có dạng cơ bản
sin f x m
.
* Chú ý:
+) Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình
1
:
1
có nghiệm
2 2 2
A B C 0
.
+) Nếu chọn
0;2
để:
2 2
2 2
cos
A B
sin
A B
B
A
thì
1
2 2
C
cos x
A B
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
16
Nếu chọn
0;2
để:
2 2
2 2
cos
A B
sin
A B
A
B
thì
1
2 2
C
sin x
A B
.
Nếu chọn
0;2
để:
2 2
2 2
cos
A B
sin
A B
B
A
thì
1
2 2
C
cos x
A B
.
Trong từng trường hợp, việc chọn
phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp.
+) Một số công thức hay sử dụng:
4 4
sin x cosx 2sin x 2 cos x
,
3
4 4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
,
3 6
sin x 3 cosx 2sin x 2cos x
,
5
3 6
sin x 3cosx 2 sin x 2 cos x
,
6 3
3 sinx cosx 2sin x 2cos x
,
2
6 3
3 sinx cosx 2sin x 2cos x
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. GPT:
sinx 3 cosx 1 0
.
1
Giải
Ta có
1
3
1 1
2 2 2
sinx cosx
3 3 6
sinxcos cosxsin sin
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
17
3 6
sin x sin
3 6
5
3 6
x 2k
x 2k
2
7
6
x 2k
x 2k
(
k
).
Ví dụ 2. GPT:
2 2 sinxcosx sinx cosx 0
.
1
Giải
Ta có
1
1
2
sin2x sinx cos x
3 3
4 4
sin2x sinxcos cosxsin
3
4
sin 2x sin x
3
4
4
2x x 2k
2x x 2k
3
4
2k
12 3
x 2k
x
(
k
).
Nhận xét: Phương trình ở ví dụ trên không phải phương trình bậc nhất. Việc giải phương trình
này liên quan đến việc rút gọn biểu thức
1
2
sinx cosx
.
Ví dụ 3. GPT:
cos2x 1
3 sinx
2cosx
.
1
Giải
Điều kiện để
1
có nghĩa:
cosx 0
2
x k
.
2
Ta có
1
2 3 sin xcosx cos 2x 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
18
3 sin2x cos2x 1
3
1 1
2 2 2
sin2x cos2x
6 6 6
sin 2xcos cos2xsin sin
6 6
sin 2x sin
6 6
7
6 6
2x 2k
2x 2k
2
3
x k
x k
(
k
).
(thỏa mãn
2
)
Ví dụ 4. [ĐHD07] GPT
2
x x
2 2
sin cos 3 cosx 2
.
1
Giải
Ta có
2
2 2
x x x x x x
2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos 2sin cos 1 sinx
. Do đó
1
sinx 3 cosx 1
3
1 1
2 2 2
sinx cosx
1
3 3 2
sinxcos cosxsin
1
3 2
sin x
3 6
5
3 6
x 2k
x 2k
6
2
x 2k
x 2k
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
19
Ví dụ 5. [ĐHD09] GPT
3 cos5x 2sin3xcos2x sin x 0
.
1
Giải
Ta có
2sin3xcos2x sin5x sinx
. Do đó
1
3 cos5x sin5x 2sinx
3
1
2 2
cos5x sin5x sinx
2 2
3 3
sin5xcos cos5xsin sinx
2
3
sin 5x sinx
2
3
2
3
5x x 2k
5x x 2k
k
6 2
k
18 3
x
x
(
k
).
Ví dụ 6. [ĐHA09] GPT
1 2sinx cosx
1 2sinx 1 sinx
3
.
1
Giải
Đk:
1
2
sinx
sinx 1
6
7
6
2
x 2k
x 2k
x 2k
.
Ta có
2
1 2sinx 1 sinx sinx 1 2sin x sinx cos2x
. Do đó
1
cosx sin2x 3 sinx cos2x
sin2x 3 cos2x cosx 3 sinx
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
20
3 3
1 1
2 2 2 2
sin2x cos2x cosx sinx
3 3 6 6
sin2xcos cos2xsin sin cos x cos sinx
3 6
sin 2x sin x
3 6
5
3 6
2x x 2k
2x x 2k
2k
18 3
2
x
x 2k
(
k
).
Kết hợp với điều kiện để
1
có nghĩa ta có tập nghiệm của
1
là
2k
18 3
(
k
).
Ví dụ 7. Cho phương trình
2sinx cosx 1
sin x 2cosx 3
a 1
, (
a
là tham số).
1) Giải phương trình khi
1
3
a
.
2) Tìm
a
để
1
có nghiệm.
Giải
Xét phương trình
sin x 2cosx 3 0 2
.
Ta có
2
2 2
1 2 3 4 0
2
vô nghiệm
sinx 2cosx 3 0 x
.
Do đó
1
2sinx cos x 1 a sin x 2cosx 3
2 a sinx 2a 1 cosx 3a 1
.
1)
1
3
a
:
1
trở thành
5 5
3 3
sinx cosx 0
tanx 1
x k
4
(
k
).
2) Ta có
2 2 2
2 2
2 a 2a 1 3a 1 4a 6a 4 2 a 3a 2
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
21
Do đó
1
có nghiệm
2
2 a 3a 2 0
2
a 3a 2 0
1
a 2
2
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
22
C. Bài tập
Giải các phương trình sau
1)
2 2 sinx cosx cosx 3 cos2x
.
2)
sinx sin2x 3 cosx cos2x
.
3)
4 4
4 sin x cos x 3 sin4x 2
.
4)
2
6 6
8 sin x cos x 3 sin2x cos2x 5
.
5)
3
4sin x 1 3sin x 3cos3x
.
6)
4 4
sin 3x sin 2xsin x
.
7)
6
3 cos2x sin2x 2sin 2x 2 2
.
8) [ĐHB09]
3
sinx cosxsin2x 3 cos3x 2 cos4x sin x
.
9) [ĐHB12]
2 cosx 3sinx cosx cosx 3 sinx 1
.
10)
2 2
3
x
2 4
4sin 3 cos2x 1 2cos x
,
x 0;
.
D. Đáp số
1) Vô nghiệm. 2)
2k
,
2 2k
9 3
(
k
).
3)
k
12 2
,
k
4 2
(
k
). 4)
k
2
,
k
8 2
(
k
).
5)
2k
18 3
,
2k
2 3
(
k
) . 6)
k
4 2
(
k
).
7)
5
12
k
(
k
). 8)
6
2k
,
2k
42 7
(
k
).
9)
2k
3
(
k
). 10)
5
18
,
17
18
,
5
6
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
23
Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác
Loại 1. Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản
A. Nội dung phương pháp
Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn phụ đơn
giản:
t sinx
,
x
t sin
2
,
t sin2x
,
t cosx
,
x
t cos
2
,
t cos2x
,
t tanx
,
x
t tan
2
,
t tan2x
, … . Ta sẽ thấy rằng, ở loại toán này, việc phát hiện ẩn phụ tuy đơn giản nhưng cũng giải
quyết được một lượng lớn bài toán giải phương trình lượng giác trong các đề thi đại học.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD06] GPT
cos3x cos2x cosx 1 0
.
1
Giải
Ta có
1
3 2
4cos x 3cosx 2cos x 1 cosx 1 0
3 2
4cos x 2cos x 4cosx 2 0
3 2
2cos x cos x 2cosx 1 0
.
Đặt
t cosx
t 1;1
, phương trình trên trở thành
3 2
2t t 2t 1 0
t 1 t 1 2t 1 0
1
2
t 1
t
.
+)
t 1
cosx 1
sin x 0
x k
(
k
).
+)
1
2
t
1
2
cosx
2
x 2k
3
(
k
).
Vậy
1
có các họ nghiệm là
k
,
2
k2
3
(
k
).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
24
Ví dụ 2. [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn
0;14
của phương trình
cos3x 4cos2x 3cosx 4 0
.
1
Giải
Ta có
1
3 2
4cos x 3cosx 4 2cos x 1 3cosx 4 0
3 2
4cos x 8cos x 0
3 2
cos x 2cos x 0
2
cos x cosx 2 0
cosx 0
(do
cosx 2 1 0 x
)
x k
2
(
k
).
Ta có
k 0;14
2
k 0;1;2;3
.
Vậy các nghiệm thuộc đoạn
0;14
là
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
.
Ví dụ 3. GPT
1
2cos2x 8cosx 7
cosx
.
1
Giải
ĐK:
cosx 0
2
x k
.
Ta có
1
cosx 2cos2x 8cosx 7 1
(
cosx 0
)
2
cosx 2 2cos x 1 8cosx 7 1
3 2
4cos x 8cos x 5cos x 1 0
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44
25
2
cosx 1 2cosx 1 0
1
2
cosx 1
cosx
x 2k
x k2
3
(
k
).
Ta thấy trong ba ví dụ trên việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản. Sau đây là các ví dụ mà ở đó, ta phải thực
hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ.
Ví dụ 4. [ĐHB06] GPT
x
cot x sinx 1 tanxtan 4
2
.
1
Giải
ĐK:
x
2
sinx 0
cosx 0
cos 0
sin 2x
k
x
2
.
Ta có
x x x x
2 2 2 2
x x x
2 2 2
sinxsin cosxcos sinxsin cos
x 1
1 tanxtan 1
2 cosx
cosxcos cosxcos cosxcos
.
Do đó
1
cot x tanx 4
2
tan x 4tanx 1 0
tanx 2 3
tanx 2 3
x k
12
5
x k
12
(
k
) (TMĐK).
