Toán 9 chuyên đề đồng dư và ứng dụng giải toán

Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 1
Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400
Chuyên đề: ĐỒNG DƢ VÀ ỨNG DỤNG
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa và các điều kiện:
Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho số tự nhiên
0m 
có cùng số dƣ thì ta nói
rằng a đồng dƣ với b theo Mô đun m
- Kí hiệu: a

b (mod m)
- Hệ thức: a

b (mod m) gọi là đồng dƣ thức.
Ví dụ:19 chia 8 dƣ 3, 3 chia 8 dƣ 3 nên 18 đồng dƣ với 3 Mô đun 8
kí hiệu: 19

3 (mod 8)
+ 10

7 (mod 3) vì10 = 3.3 + 1 và 7 = 2.3 + 1
2. Các tính chất
a) a

b (mod m) khi và chỉ khi a – b chia hết cho m
b)Tính chất bắc cầu: nếu a

b (mod m), b


c (mod m) thì a

c (mod m)
c) Có thể cộng hoặc trừ theo từng vế của đồng dư thức với cùng một mô đun, tức là
Nếu
a b (mod m)
c d (mod m)





thì
a c b d (mod m)  

d) Có thể nhân theo từng vế của đồng dư thức với cùng một mô đun, tức là
Nếu
a b (mod m)
c d (mod m)





thì
ac bd (mod m)

e) Có thể nâng 2 vế của một đồng dư thức với cùng một lũy thừa, tức là
a


b (mod m) thì a
n

b
n
(mod m)
f) Định lí Fermac
Một cách phát biểu khác của định lý nhƣ sau: nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên
tố cùng nhau với p, thì:

g) Định lí Ơle
Ơ le đã mở rộng định lí Fermac đối với n là số nguyên dƣơng bất kỳ và a là số nguyên tố cùng
nhau với n, thì

trong đó φ(n) là ký hiệu của phi hàm Euler đếm số các số nguyên giữa 1 và n nguyên tố cùng
nhau với n

3) Các hệ quả
a) Nếu a  b (mod m) và c  Z
+
thì ac  bc (mod mc).


Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 2
Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400
b) Nếu d là 1 ƣớc chung của a, b, m thì:
a
d


b
d
(mod
m
d
);
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1) Dạng 1: Tìm số dƣ trong phép chia
Phƣơng pháp
- Để tìm số dƣ trong phép chia A cho m ta tìm số
k < m
sao cho:
Ak
(mod m)
Ví dụ 1: Tìm số dƣ trong phép chia 1993
2000
cho số 3 ?
Giải
Ta có: 1993  1 (mod 3).
Áp dụng tính chất 2e):
1993
2000
 1
2000
(mod 3)  1 (mod 3)
Vậy số 1993
2000
khi chia cho 3 thì dƣ là 1.

Ví dụ 2: Tìm dƣ của phép chia 5

2008
cho 2003
Giải
Vì 2003 là số nguyên tố và ƢC (5, 2003) = 1 nên áp dụng định lí Fermac, ta có
5
2002

1 (mod 2003). (1)
Vì 7 là số nguyên tố và ƢC (7, 2003) = 1 nên theo định lí Fermac, ta có
6
51
(mod 2003) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
2002 6 6
5 .5 5
(mod 2003) (theo tính chất 2d)
Mặt khác:
6
5 15625 7.2003 1064  

6
5 1064
(mod 2003)
Áp dụng tính chất 2b ta suy ra
2008 6
5 5 1064
(mod 2003)
Vậy dƣ của phép chia 5
2008
cho 2003 là 1064

Ví dụ 3: Tìm số dƣ của
40
1991
cho 2008
Giải
Ta có:
2
1991 289
(mod 2008)

3
1991 1111
(mod 2008)

5
1991 289.1111
(mod 2008)
Mặt khác
289.111 1807
(mod 2008)

5
1991 1807


 
2
52
1991 1807

(mod 2008)
Mà
2
1807 241
(mod 2008)

10
1991 241
(mod 2008)

40 4
1991 241 713
(mod 2008)


Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 3
Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400
Do vậy dƣ của phép chia trên là 713
2) Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa
Phƣơng pháp giải:
- Để tìm n chữ số tận cùng của lũy thừa ta tìm số dƣ của phép chia lũy thừa đó cho 10
n
nói
cách khác là sử dụng đồng dƣ mod 10
n

Ví dụ 4: Tìm chữ số tận cùng cùng của 2
999
.
Giải: Ta có:

999
20
(mod 2).
+ (2,5) = 1 nên theo định lí Fermac
4
21
(mod 5)

2000
2 1 6  
(mod 5)
Chia cả 2 vế của đồng dƣ thức cho 2 ta đƣợc

999
23
(mod 5)
Vậy:
999
999
2 3 (mod 5) 8 (mod 5)
2 0 (mod2) 8 (mod 2)








999

28
(mod 10)
 số 2
999
tận cùng có tận là chữ số 8.

Ví dụ 5: Tìm 2 chữ số cuối cùng của 4444
4444
.
Giải:
Ta có: 4444  44 (mod 100)
4444 4444
4444 44

4444
44 0
(mod 4)
44 và 25 nguyên tố cùng nhau, 20 < 25 nên theo định lí Ơle ta có
20
44 1
(mod 25)
 
222
20
44 1
(mod 25) hay
4440
44 1
(mod 25)
Ta lại có:

44 19
(mod 25)
2
44 11
(mod 25)
4
44 21
(mod 25)
4444
44 21
(mod 25)
Ta có
4444
4444
44 0 (mod 4) 96 (mod 4)
44 21 (mod 4) 96 (mod 4)









Vậy hai chữ số tận cùng của
4444
4444
là 96
Vậy ta có:

Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 4
Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400

Vậy hai chữ số tận cùng là 96.

Dạng 3: Chứng minh chia hết, không chia hết
Phƣơng pháp:
- Để chứng minh số A chia hết cho số tự nhiên m ta chứng minh
A0
(mod m)
- Để chứng minh số B không chia hết cho số tự nhiên m ta chứng minh
An
(mod m) (n
khác 0)

Ví dụ 6. Chứng minh A = 7.5
2n
+ 12.6
n
chia hết cho 19
Giải:
2
A = 7.5 12.6 7.25 12.6
n n n n
  

Ta có
25 6

(mod 19) nên
25 6
nn

(mod 19)
A 7.6 12.6 19.6
n n n
   
(mod 19)

Ví dụ 7: Chứng minh
2004
2003
1924 1920
n
chia hết cho 124,
*
n 

Giải
Đặt
n
2004
2003
B=1924
. Ta có 124 = 4.31. Dễ thấy B chia hết cho 4. Vậy ta cần chứng minh B chia
hết cho 31
Có
1924 2
(mod 31),

1920 2
(mod 31)
2004
2003
B 2 2
n
  
(mod 31) (1)
Lại có
5
2 32 1
(mod 31. Ta cần phải tìm số dƣ khi chia
2004
2003
n
cho 5
n
2004 4
. Đặt
n
2004 = 4k
n
2004 4k
2003 = 2003

Vì
2003 3
(mod 5) nên
4k 4k k
2003 3 81 1  

(mod 5)
Vậy
n
2004
2003 1
(mod 5). Đặt
n
2004
2003 = 5m+1

2004
2003 5m+1 5m
2 2 2.2 2
n
   
(mod 31)
Thay vào (1) suy ra
B0
(mod 31) hay B chia hết cho 31
Từ đó suy ra B chia hết cho 124

Dạng 4: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết
Ví dụ 8: Tìm tất cả các số nguyên dƣơng n sao cho
nn
A = n.2 +3
chia hết cho 5
Giải
+ Xét trƣờng hợp n = 2k (n chẵn)
Ta có
n n 2k 2k 2k 2k 2k

A = n.2 +3 = 2k.2 +3 = (2k +1).2 +3 - 2



Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 5
Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400
Ta thấy
 
2k 2k k k
3 -2 = 9 -5 5


2k
m
A 5 (2k 1).2 5 2k +1 5 2k = 5m+ 4 k = 5t +2 (t = )
2
      

n =10t+4

+ Xét trƣờng hợp n = 2k + 1 (n lẻ)
2k+1 2k+1 2k+1 2k+1 2k+1 2k+1
A = (2k +1).2 3 2k.2 2 3 2k.2 5q      

Do đó
A 5 2k 5 k 5 k = 5m n =10m+1     

Tóm lại để
n =10m+1
A5

n =10m+4






C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm số dƣ trong các phép chia:
a) 6
635
chia cho 11
b) 17
1999
chia cho 6
c) 2
70
+ 3
70
chia cho 13.
d) 53
999
chia cho 17
Bài 2. Tìm số dƣ của 3
2005
+ 4
2005
khi chia cho 11 và 13
Bài 3. Tìm số dƣ của số A = 776

776
+ 777
777
+ 778
778
khi chia cho 3 và cho 5
Bài 4. Tìm 2 chữ số tận cùng bên phải của các số sau trong hệ thập phân:
a) 2
1999

b) 9
99

c) 26
2000

d) 7
2003
Bài 5: Cho số A = 1994
2005

a) Tìm số dƣ trong phép chia A cho 7
b) Tìm chữ số tận cùng của A
c) Tìm chữ số tận cùng của A
Bài 6.Tìm 2 chữ số tận cùng của các số sau
a) A = 2
2004
b)
9
9

9
B= 7
c)
14
14
C =14
d)
2002
9
D = 29

Bài 7. Một số chia 4 dƣ 3, chia 17 dƣ 9, chia 19 dƣ 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dƣ bao nhiêu
Bài 8. Cho A là một số nguyên dƣơng có tận cùng là 5, chứng minh A
n
cũng có tận cùng là 5
với n là số nguyên dƣơng


Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 6
Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400
Bài 9. Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng 5
2n+1
+ 2
n+4
+ 2
n+1
chia hết cho 23
Bài10.Cho n là số tự nhiên chứng minh 700\(29
2n
– 140n – 1)

Bài 11. Chứng minh 9
n
+ 1 không chia hết cho 100 với
nN

Bài 12.Tìm số tự nhiên n sao cho
a)
3 4 2 1
23
nn

chia hết cho 19
b)
.2 1
n
n 
chia hết cho 3
Bài 13. Tìm n sao cho
10
1n 
chia hết cho 10
Bài 14. Tìm
4n 
nhỏ nhất sao cho
32
A = n +4n -20n -48
chia hết cho 125
Bài 15. Tìm số tự nhiên n sao cho
3
2 3 19851986nn

Bài 16.Cho a, b, c là các số nguyên. Giả sử
3 3 3
a +b +c
chia hết cho 9. Chứng minh abc chia
hết cho 3
Bài 17. Giả sử số
2003
2002
đƣợc phân tích thành tổng của n số tự nhiên
1 2 n
a , a , a , a
. Xét số
2001 2002 2001
1 2 n
A = a +a + + a
. Hỏi số A chia cho 6 sẽ dƣ bao nhiêu
Bài 18. Chứng minh rằng
a) Nếu
1(mod2)a 
thì
2
1 (mod8)a 

b) Nếu
1(mod3)a 
thì
2
1 (mod9)a 

Bài 19.Chứng minh rằng hai số
7
7
7
và
7
7
7
7
có hai chữ số tận cùng giống nhau
Bài 20 Tìm ba chữ số tận cùng của số sau
2001
6
A = 26

Bài 21 Cho x, y, z là ba số nguyên thỏa mãn
2 2 2
x y z
. Chứng minh tích xyz chia hết cho
60
Bài 22. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: (2
p
+ 1)  p
Bài 23. Cho m, n là 2 số tự nhiên lớn hơn 1 và (m,n) = 1.
Chứng minh: m
(n)
+ n
(m)
 1 (mod mn)
Bài 25. Chứng minh: 1

2000
+ 2
2000
+ 3
2000
+ + 10
2000
 -1 (mod 11)
Bài 26. Ngày 1 - 1 - 2004 là ngày thứ tƣ. Vậy ngày 2 - 9 - 1945 là ngày thứ mấy?
Bài 27. Cho n nguyên dƣơng. Chứng minh:
a)
73
n n 11n
+ + N
7 3 21





b)
75
n n 23n
+ + N
7 5 35





Bài 28. Cho aZ. Chứng minh rằng nếu


Trung tâm luyện thi EDUFLY Page 7
Biên soạn: Đặng Thành Trung –Hotline: 0987708400
.
Bài 29. Cho (a,m) = 1 và ,  là 2 số tự nhiên sao cho    (mod (m)) với (m): hàm
Euler. Chứng minh: a

 a

(mod m).