Chuyên đề: Tích phân và ứng dụng

Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng
CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. BẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm
F(x)+C
Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm F(x)
+C
a ( hằng số) ax + C
x
α
1
1
x
C
α
α
+
+
+
( )ax b
α
+
a
1
1
( )
1
ax b

C
α
α
+
+
+
+
1
x
ln x C
+
1
ax b+
1
ln ax b C
a
+ +
x
a
ln
x
a
C
a
+
+
mx n
a
+
+

.ln
mx n
a
C
m a
x
e
x
e C
+
ax b
e
+
1
ax b
e C
a
+
+
sinx -cosx + C sin(ax+b)
1
cos( )ax b C
a
− + +
cosx sinx + C cos(ax+b)
1
sin( )ax b C
a
+ +
2

1
cos x
tanx + C
2
1
cos ( )ax b
+
+ +
1
tan( )ax b C
a
2
1
sin x
-cotx + C
2
1
sin ( )ax b
+
− + +
1
cot( )ax b C
a
Phương pháp 1:
• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công
thức trong bảng nguyên hàm cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng
đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ
bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

1.
3
1
( ) cos
1
f x x
x x
= +
+ −
2.
2
2x 5
f(x)
x 4x 3
−
=
− +
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.
5
cos sinx xdx
∫
2.
cos
tgx
dx
x
∫
3.
1 ln x

dx
x
+
∫
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT
TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của hàm số f(x) thì:
GV: Hồ Thanh Lai
Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)
2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì :
( ) 0
b
a
f x dx

=
∫
• Tính chất 2:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
• Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên
[ ]
;a b
thì:
( )
b
a
cdx c b a= −
∫
• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) 0f x
≥
thì
( ) 0
b
a
f x dx
≥

∫
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
[ ]
( ) ( ) x a;bf x g x
≥ ∀ ∈
thì:
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
≥
∫ ∫
• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M
≤ ≤
thì:
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
− ≤ ≤ −
∫
• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]

;a b
thì

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và k là một hằng số
thì:
. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
=
∫ ∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và c là một hằng số
thì:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx

= +
∫ ∫ ∫
• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên
[ ]
;a b
cho trước không phụ
thuộc vào biến số , nghóa là :
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
= = =
∫ ∫ ∫
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)
1
3
0
x
dx
(2x 1)
+
∫
b)
1
0
x
dx
2x 1
+

∫
c)
1
0
x 1 xdx
−
∫
d)
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫
e)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
f)
3
3

2
0
x
dx
x 2x 1
+ +
∫

g)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
h)
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫
i)
4
2
0

1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫

GV: Hồ Thanh Lai
Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng
k)
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
l)
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
π
π
+ +
+
∫
m)
1
x

0
1
dx
e 1
+
∫
.
n)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
o)
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
p)
∫
+
2

0
13cos2
3sin
π
dx
x
x

q)
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x
s)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
xx

v)
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx

Bài 2: Tính các tích phân sau:
a)
3
2
3
x 1dx
−
−
∫
b)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
c)
5

3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫

d)
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −
∫
e)
3
x
0
2 4dx
−
∫
f)
0
1 cos2xdx
π
+
∫

g)
2
0
1 sinxdx
π
+
∫

Bài 3:
a) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B
= π +
thỏa mãn đồng thời các
điều kiện
'
f (1) 2=
và
2
0
f(x)dx 4
=
∫
b) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12
+ − + =
∫
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :

1) DẠNG 1:Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1:
[ ]
∫
=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dxxudtxut )()(
'
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but

ax
bx
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=
∫
=
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π

∫
b)
2
5
0
cos xdx
π
∫
c)
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
π
+
∫

d)
1
3 2
0
x 1 x dx
−
∫
e)
2
2 3
0

sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
f)
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫

GV: Hồ Thanh Lai
Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng
g)
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫
h)
4
0
1
dx
cosx

π
∫
i)
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫

k)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
−
∫
k)
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
π
− +
∫
l)

3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫
m)
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
π
+
+
∫
n)
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx

x
xx
o)
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg

p)
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x
q)
∫
3
4
2sin
)ln(

π
π
dx
x
tgx

2) DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx
∫
bằng cách đặt x =
(t)
ϕ
Công thức đổi biến số dạng 2:
[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
dttdxtx )()(

'
ϕϕ
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t
ax
bx
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(
(tiếp tục tính tích phân mới)

Bài 5: Tính các tích phân sau:
a)
1
2
0
1 x dx
−
∫
b)
1
2
0
1
dx
1 x
+
∫
c)
1
2
0
1
dx
4 x
−
∫

d)
1
2

0
1
dx
x x 1− +
∫
e)
1
4 2
0
x
dx
x x 1
+ +
∫
f)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
π
+ +
∫

g)
2
2
2
2

0
x
dx
1 x−
∫
h)
2
2 2
1
x 4 x dx
−
∫
i)
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫

k)
3
2
2
1
9 3x
dx
x

+
∫
l)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
m)
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫
n)
2
0
cos
7 cos2
x

dx
x
π
+
∫
o)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+
∫
p)
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
π
+
∫

q)
∫
++
−
0
1
2
22xx
dx
s)
∫
++
1
0
311 x
dx
v)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx

IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Bài 6: Tính các tích phân sau:

GV: Hồ Thanh Lai
Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng
a)
8
2
3
1
1
dx
x x
+
∫
b)
7
3
3 2
0
1
x
dx
x+
∫
c)
3
5 2
0
1x x dx+
∫

d)

ln2
x
0
1
dx
e 2
+
∫
e)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
∫
f)
2
2 3
0
1x x dx
+
∫

V. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Công thức tích phân từng phần:

[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv

dxxudu
dxxvdv
xuu
=
=
⇒
=
=
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính
[ ]
b
a
vu.
và
∫
b
a
vdu
Bài 7: Tính các tích phân sau:

a)
2
5
1
lnx
dx
x
∫
b)
2
2
0
xcos xdx
π
∫
c)
1
x
0
e sinxdx
∫
d)
2
0
sin xdx
π
∫
e)
e
2

1
xln xdx
∫
f)
3
2
0
x sinx
dx
cos x
π
+
∫
g)
2
0
xsinxcos xdx
π
∫
h)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
π
−
∫
i)
2
2

1
ln(1 x)
dx
x
+
∫
k)
1
2 2x
0
(x 1) e dx
+
∫
l)
e
2
1
(xlnx) dx
∫
m)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
π
+
∫

n)
2
1

ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫
o)
1
2
0
xtg xdx
∫
p)
∫
++
2
0
)1ln()72( dxxx
q)
∫
+
1
0
2
)1ln( dxxx
s)
∫
e

dx
x
x
1
ln
v)
∫
+
2
0
3
sin)cos(
π
xdxxx

VI. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Bài 8: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì:
a
a
f(x)dx 0
−
=
∫
2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì:
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=
∫ ∫

GV: Hồ Thanh Lai
Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng
Bài 9: CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
a)
2 2
0 0
f(sinx)dx f(cosx)dx
π π
=
∫ ∫
b)
0 0
xf(sinx)dx f(sinx)dx
2
π π
π
=
∫ ∫
ÁP DỤNG Tính các tích phân sau:
a)
n
2
+
n n
0
cos x
dx với n Z
cos x sin x
π
∈

+
∫
b)
4
2
4 4
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+
∫
c)
6
2
6 6
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫

d)
5
0
xsin xdx
π

∫
e)
2
2
2
4 sin
x cosx
dx
x
π
π
−
+
−
∫
f)
1
4
2
1
sin
1
x x
dx
x
−
+
+
∫
g)

2
0
xsinx
dx
4 cos x
π
−
∫
h)
4 3
0
cos sinx x x d x
π
∫
Bài 10: CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì:

+
0
( )
( ) với R và a > 0
1
x
f x
dx f x dx
a
α α
α
α
−
= ∈

+
∫ ∫
;
a 1
≠
ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:
1)
1
4
1
2 1
x
x
dx
−
+
∫
2)
1
2
1
1
1 2
x
x
dx
−
−
+
∫

3)
2
sin
3 1
x
x
dx
π
π
−
+
∫
VII .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :

Công thức:

[ ]
∫
−=
b
a
dxxgxfS )()(

Bài 11: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H
1
):






=∆
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x
2) (H
2
):





−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
3) (H
3

):
2
y 2y x 0
x y 0

− + =

+ =

4) (H
4
):
2
2
y x
x y

=


= −


5) (H
5
):
2
y x
y 2 x
 =



= −


6) (H
6
):
2
y x 5 0
x y 3 0

+ − =

+ − =

GV: Hồ Thanh Lai







=∆
=∆
=
=
bx
ax

xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC =
)(:)(
2
xgyC =
ax =
bx =
O
Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng
7) (H
7
):

lnx
y
2 x
y 0
x e
x 1

=



=


=

=


8) (H
8
) :
2
2
y x 2x
y x 4x

= −



= − +


9) (H
9
):
2
3 3
y x x
2 2
y x

= + −



=


VIII. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
Công thức:


[ ]
dxxfV
b
a
2
)(
∫

=
π

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x
2
+ x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
2
y (x 2)= −
và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường :
2 2
4 ; 2y x y x= − = +
.
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi các đường :
2
2
1
;
1 2
x
y y
x
= =
+
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
IX. ĐỀ THI ĐẠI HỌC CHUNG CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài 1: (A-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
4 3 , 3y x x y x
= − + = +
.
Bài 2: (B-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
= −
2
x
y 4
4
và
=
2
x
y
4 2
.
Bài 3: (D-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
− −
= = =
−
3x 1
y ,y 0,x 0
x 1
.
Bài 4: (A-2003) Tính tích phân: I =
∫
+
32

5
2
4xx
dx
Bài 5: (B-2003) Tính tích phân: I =
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
Bài 6: (D-2003) Tính tích phân: I =
dxxx
∫
−
2
0
2

GV: Hồ Thanh Lai
a
b
0=y
)(:)( xfyC =

b
ax =
bx =
x
y
O
Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng
Bài 7: (A-2004) Tính tích phân: I =
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
Bài 8: (B-2004) Tính tích phân: I =
1
1 3ln .ln
e
x x
dx
x
+
∫
Bài 9: (D-2004) Tính tích phân: I =
∫
−
3
2

2
)ln( dxxx
Bài 10: (A-2005) Tính tích phân: I =
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx
Bài 11: (B-2005) Tính tích phân: I =
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
Bài 12: (D-2005) Tính tích phân: I =
∫
+
2
0

sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
Bài 13: (A-2006) Tính tích phân: I =
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
Bài 14: (B-2006) Tính tích phân: I =
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
Bài 15: (D-2006) Tính tích phân: I =
∫
−

1
0
2
)2( dxex
x
Bài 16: (A-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( 1) , (1 )
x
y e x y e x= + = +
.
Bài 17: (B-2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
ln , 0,y x x y x e
= = =
.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
Bài 18: (D-2007) Tính tích phân: I =
3 2
1
ln .
e
x x dx
∫
Bài 19: (A-2008) Tính tích phân: I =
26
0
tan
cos 2
x
dx
x

π
∫
.
Bài 20: (B-2008) Tính tích phân: I =
4
0
sin( )
4
sin 2 2(1 sin cos )
x dx
x x x
π
π
−
+ + +
∫
.
Bài 21: (D-2008) Tính tích phân: I =
2
3
1
ln x
dx
x
∫
.
Bài 22: (A-2009) Tính tích phân: I =
2
3 2
0

(cos 1) cosx xdx
π
−
∫
.
Bài 23: (B-2009) Tính tích phân: I =
3
2
1
3 ln
( 1)
x
dx
x
+
+
∫
.
Bài 24: (D-2009) Tính tích phân: I =
3
1
1
x
dx
e
−
∫
.
00
GV: Hồ Thanh Lai