TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (316.11 KB, 22 trang )
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
Loại 1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho
y f x
C
.
1.
Ti
ếp tuyế
n t
ại một điểm
Tiếp tuyến với
C
tại
0 0
;
M x f x
là đường thẳng đi qua
M
và có hệ số góc
0
'
f x
. Như vậy, phương trình tiếp tuyến
với
C
tại
M
là
0 0 0
: '
y f x x x f x
.
Ta cũng nói rằng:
tiếp xúc với
C
hay
C
tiếp xúc
hoặc
và
C
tiếp xúc nhau.
Δ
O
y
x
M x
0
;f x
0
( )( )
C( )
Chú ý. Khi nói đến tiếp tuyến của
C
tại
M
, ta phải hiểu rằng
M
thuộc
C
và
M
là nơi xảy
ra sự tiếp xúc.
2. Tiếp tuyến qua một điểm
Tiếp tuyến qua
M
của
C
là tiếp tuyến với
C
tại một điểm
N
nào đó. Chú ý rằng điểm
M
có thể thuộc
C
hoặc không, trong trường hợp thuộc
C
thì
M
lại có thể là tiếp điểm hoặc
không (xem các hình vẽ ở dưới).
N
M
(C)
M
N
(C)
M≡N
(C)
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
2
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho
2
2
1
3 1
x x
y
x
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm
M
có hoành độ
bằng
1
.
Giải. Ta có
2
2
2
3 4 1
'
3 1
x x
y
x
. Lần lượt thay
1
x
vào các biểu thức của
y
và
'
y
, ta được
1
' 1
8
y
và
1
1
4
y
. Suy ra phương trình tiếp tuyến với
C
tại
M
là:
1 1
: 1
8 4
y x
1 3
:
8 8
y x
.
Chú ý. Ta có thể dùng ký hiệu
y
và
'
y
thay cho
f
và
'
f
trong trường hợp bài toán chỉ đề cập
đến một hàm số.
Ví dụ 2. Cho
3 2
4 5 2
y x x x
C
. Viết phương trình các tiếp tuyến của
C
tại những
giao điểm của
C
với trục hoành.
Giải. Từ phương trình của
C
, cho
0
y
ta được:
3 2
4 5 2 0
x x x
2
2 1 0
x x
2
1
x
x
.
Suy ra
C
có hai giao điểm với trục hoành là
1
2;0
M và
2
1;0
M .
Từ
2
' 3 8 5
y x x
suy ra
' 2 1
y
,
' 1 0
y
. Do đó phương trình tiếp tuyến với
C
tại
các điểm
1
M
,
2
M
lần lượt là:
1
: 1. 2 0
y x
1
: 2
y x
,
2
: 0. 1 0
y x
2
: 0
y
.
Ví dụ 3. Cho
3 2
2
2 2
3
y x x x
C
. Viết phương trình các tiếp tuyến có hệ số góc bằng
2
của
C
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3
Giải. Ta có
0
' 2
y x
2
0 0
2 2 2 2
x x
2
0 0
2 0
x x
0
0
1
2
x
x
.
Ta có
7
1
3
y
,
2
2
3
y
. Suy ra các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
1
7
: 2 1
3
y x
1
13
: 2
3
y x
,
2
2
: 2 2
3
y x
2
14
: 2
3
y x
.
Ví dụ 4. Cho
3 2
3 12 5
y x x x
C
. Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
C
.
Giải. Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x
của
C
là:
2
2
0 0 0 0
' 3 6 12 3 1 15 15
k f x x x x
15
k
.
Dấu “
” xảy ra khi và chỉ khi
0
1
x
. Do đó
k
nhỏ nhất bằng
15
, đạt được khi và chỉ khi
0
1
x
. Ta có
1 9
f
, suy ra tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
C
là:
: 15 1 9
y x
: 15 6
y x
.
Ví dụ 5. [ĐHB08] Cho
3 2
4 6 1
y x x C
. Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
1; 9
M
của
C
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm có hoành độ
0
x
là:
0 0 0
: '
y y x x x f x
2 3 2
0 0 0 0 0
: 12 12 4 6 1
y x x x x x x
.
Điều kiện
đi qua
1; 9
M
tương đương với
2 3 2
0 0 0 0 0
9 12 12 1 4 6 1
x x x x x
3 2
0 0 0
8 6 12 10 0
x x x
0
0
5
4
1
x
x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
4
0
5
4
x
0
0
15
'
4
9
16
y x
y x
15 5 9
:
4 4 16
y x
15 21
:
4 4
y x
.
0
1
x
0
0
' 24
9
y x
y x
: 24 1 9
y x
: 24 15
y x
.
Vậy phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
M
của
C
là
15 21
:
4 4
y x
,
: 24 15
y x
.
Ví dụ 6. Cho
1
1
x
y x
x
C
. Chứng minh qua điểm
1; 1
I
không tồn tại tiếp tuyến của
C
.
Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x
của
C
0 0 0
: '
y f x x x f x
0
0
2
0
0
1
2
:
1
1
x
y x x
x
x
.
Điều kiện
đi qua
1; 1
I
nghĩa là
0
0
2
0
0
1
2
1 1
1
1
x
x
x
x
0
0 0
1
2
1
1 1
x
x x
0
0
3
1
1
x
x
0 0
0
1 3
1 0
x x
x
0
x
.
Vậy không tồn tại
0
x
để
đi qua
I
. Nói cách khác qua
I
không tồn tại tiếp tuyến của
C
.
Ví dụ 7. Cho
2
4 3 6
y x mx
C
. Tìm
m
để
C
có tiếp tuyến đi qua
1; 2
A
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến với
C
tại điểm có hoành độ
0
x
là:
0 0 0
: '
y y x x x y x
2
0 0 0 0
: 8 3 4 3 6
y x m x x x mx
.
C
có tiếp tuyến đi qua
1; 2
A
khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với
0
x
:
2
0 0 0 0
2 8 3 1 4 3 6
x m x x mx
.
*
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
5
Ta có
*
2
0 0
4 8 3 8 0
x x m
(
' 12 48
m
).
Do đó
*
có nghiệm khi và chỉ khi
' 0
12 48 0
m
4
m
.
Vậy
C
có tiếp tuyến đi qua
1; 2
A
khi và chỉ khi
4
m
.
Ví dụ 8. Cho
2 1
2
x
y
x
C
. Tìm trên đường thẳng
3
x
các điểm mà qua đó có tiếp tuyến của
C
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm có hoành độ
0
x
(
0
2
x
) là:
0 0 0
: '
y y x x x y x
0
0
2
0
0
2 1
5
:
2
2
x
y x x
x
x
.
Điểm
A
nằm trên đường thẳng
3
x
tọa độ
A
có dạng
3;
A a
.
Qua
A
có tiếp tuyến tới
C
khi và chỉ khi phương trình sau đây có nghiệm đối với
0
x
:
0
0
2
0
0
2 1
5
: 3
2
2
x
a x
x
x
.
1
Ta thấy
1
2
0 0 0 0 0
0
2 5 3 2 1 2 2 0
2 0
a x x x x x
x
2
0 0 0 0
2 5 3 2 1 2
a x x x x
2
0 0
2 2 2 1 4 17 0
a x a x a
.
2
Trường hợp 1.
2 0
a
2
a
. Khi đó
2
trở thành
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
0
10 21 0
x
0
21
10
x .
Trong trường hợp này
2
có nghiệm
1
có nghiệm.
Trường hợp 2.
2 0
a
2
a
. Khi đó
2
là phương trình bậc hai có
5 35
a
. Do đó,
trong trường hợp này
1
có nghiệm khi và chỉ khi
2
có nghiệm, tức là
0
5 35 0
a
7
a
.
Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
3; 7
A a a
.
Ví dụ 9. [ĐHD02] Cho
2
2 1
1
m x m
y x
x
C
và :
d y x
. Tìm
m
để
C
tiếp xúc với
d
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm có hoành độ
0
x
(
0
1
x
) là:
0 0 0
: '
y y x x x y x
2
2
0
0
0 0
2 1
1
:
1 1
m x m
m
y x x
x x
2 2
2
0
0
0 0 0
2 1
1 1
:
1 1 1
m x m
m m
y x x
x x x
.
C
tiếp xúc với
d
khi và chỉ khi tồn tại
0
x
sao cho hai đường thẳng
và
d
trùng nhau. Tức là
hệ sau đây có nghiệm đối với
0
x
2
0
2
2
0
0
0 0
1
1
1
2 1
1
0
1 1
m
x
m x m
m
x
x x
.
*
Ta có
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
7
*
2
0
2
0
0
0
1
1 1
1
2 1
0 2
1
m
x
m x m
x
x
.
1
0
0
0
1
1 1
1 1
x
x m
x m
0
0
0
1
2
x
x m
x m
.
1
m
2 1
m m
1
vô nghiệm
*
vô nghiệm.
1
m
:
1
0
0
2
x m
x m
. Thay
0
x m
vào vế trái của
2
ta có
2
2 1
2 0
1
m m m
VT m
m
0
x m
là một nghiệm của
*
*
có nghiệm.
Vậy
C
tiếp xúc với
d
khi và chỉ khi
1
m
.
Ví dụ 10. Cho
4 2
8 7
y x x
C
. Tìm
m
để đường thẳng : 60
d y x m
tiếp xúc với
C
.
Với mỗi
m
tìm được, hãy chỉ ra hoành độ tiếp điểm của
d
và
C
.
Giải
Phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm có hoành độ
0
x
là:
0 0 0
: '
y y x x x y x
0 0 0 0
: ' '
y y x x x y x y x
.
C
tiếp xúc với
d
khi và chỉ khi tồn tại
0
x
sao cho
và
d
trùng nhau, điều đó có nghĩa là hệ
sau đây có nghiệm đối với
0
x
0
0 0 0
' 60
'
y x
x y x y x m
0
0 0
' 60 1
60 2
y x
m x y x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
8
1
3
0 0
4 16 60
x x
0
3
x
. Thay
0
3
x
vào
2
ta có
164
m
.
Vậy
d
tiếp xúc với
C
khi và chỉ khi
164
m
. Khi đó hoành độ tiếp điểm là
0
3
x
.
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
biết rằng
1)
C
là đồ thị hàm số
4 2
2 3
y x x
và hoành độ tiếp điểm bằng
2
.
2)
C
là đồ thị hàm số
2
3 4
1
x x
y
x
và tiếp điểm là giao điểm của
C
với trục tung.
3)
C
là đồ thị hàm số
3 2
2 3 5
y x x
và tiếp tuyến đi qua
19
;4
12
A
.
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
biết
1)
C
là đồ thị hàm số
3 2
3 5 1
y x x x
, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
2)
C
là đồ thị hàm số
3 2
1
5 2
3
y x x x
, tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
3)
C
là đồ thị hàm số
5 4
5
y x x
, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
4)
C
là đồ thị hàm số
5 2
10
y x x
, tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Bài 3. Cho
3 2
1
1
3
y x mx x m
C
. Tìm
m
để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất của đồ thị là
10
. Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
Bài 4. Cho
3 2
2 3 12 1
y x x x
C
. Tìm những điểm thuộc
C
mà tiếp tuyến tại đó đi qua
gốc tọa độ.
Bài 5. Cho
1
x
y
x
C
. Chứng minh rằng qua
1;1
I của
C
, không tồn tại tiếp tuyến nào
của
C
.
Bài 6. Tìm
m
sao cho đồ thị hàm số
1
x m
y
x m
có tiếp tuyến đi qua điểm
0; 2
A
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1. 1)
24 43
y x
. 2)
7 4
y x
. 3)
12 15
y x
,
645
21
32 128
y x
,
4
y
.
Bài 2. 1)
2 2
y x
. 2)
7
3
6
y x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
9
3) Hướng dẫn:
4 3 3
0 0 0 0 0
' 5 20 5 4
f x x x x x
.
0
'
f x
min
0
4 0
x
. Áp dụng BĐT
Cô-si cho các số dương
0
x
,
0
x
,
0
x
,
0
3 12
x
ta có:
4
0 0 0 0
0 0 0 0
3 12
3 12 81
4
x x x x
x x x x
0
' 135
f x , dấu “
” xảy ra
0
3
x
.
phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
C
là
: 135 243
d y x
.
4)
: 15 6
d y x
.
Bài 3. Hướng dẫn: ta có
2
2 2 2
' 2 1 1 1
y x mx x m m m
. Dấu “
” xảy ra
x m
. Vậy tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng
m
và hệ số góc của tiếp tuyến này là
2
1
m
. Ta có
2
1 10
m
3
m
. Với
3
m
, tiếp
tuyến cần tìm là
1
: 10 11
d y x
. Với
3
m
, tiếp tuyến cần tìm là
2
: 10 13
d y x
.
Bài 4.
1;12
M .
Bài 6.
2
1
3
m
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
10
Loại 2. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Phần này sử dụng một số kiến thức sau:
1. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc
Cho
1 1 1
:
y k x m
và
2 2 2
:
y k x m
. Ta có:
1 2
1 2
1 2
k k
m m
;
1 2
1 2
1 2
k k
m m
;
1 2
1 2
1
k k
;
Cho
0 ;90
, ta có
1
tạo với
2
góc
1 2
1 2
tan
1
k k
k k
;
Đặc biệt nếu
2
0
k
thì:
1
tạo với
2
góc
1
tan
k
.
2. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm
0 0
;
M x y
và đường thẳng
: 0
ax by c
(
2 2
0
a b
). Ta có công thức tính
khoảng cách từ
M
đến
:
0 0
2 2
;
ax by c
d M
a b
.
3. Giao điểm của hai đường thẳng
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm các phương trình đường thẳng.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
11
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD10] Cho
4 2
6
y x x
C
. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng
1
: 1
6
d y x
của
C
.
Giải.
là tiếp tuyến với
C
tại điểm có hoành độ
0
x
thì
có hệ số góc là
0
'
f x
.
d
0
1
' 1
6
f x
0
' 6
f x
3
0 0
4 2 6
x x
0
1
x
.
0
1
x
0
4
f x
: 6 1 4
y x
: 6 10
y x
.
Vậy tiếp tuyến vuông góc với
d
của
C
là
: 6 10
y x
.
Ví dụ 2. [ĐHD05] Cho
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x
m
C
. Gọi
M
là điểm thuộc
m
C
có hoành độ
bằng
1
. Tìm
m
để tiếp tuyến tại
M
của
m
C
song song với đường thẳng
:5 0
d x y
.
Giải. Phương trình tiếp tuyến tại
M
của
m
C
là:
: ' 1 1 1
y f x f
: 1 1
2
m
y m x
: 1 1
2
m
y m x
.
Ta có
: 5
d y x
. Do đó
d
1 5
1 0
2
m
m
4
m
.
Vậy tiếp tuyến tại
M
của
m
C
song song với đường thẳng
d
4
m
.
Ví dụ 3. Cho
3 2
2 4
y x x x
C
. Viết phương trình các tiếp tuyến của
C
biết tiếp tuyến
tạo với
Ox
góc
45
.
Giải. Hệ số góc của tiếp tuyến
tại điểm có hoành độ
0
x
của
C
là:
2
0 0 0
' 6 8 1
k f x x x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
12
, 45
Ox
tan 45
k
1
1
k
k
.
1
k
2
0 0
6 8 1 1
x x
0
4
0
3
0
x
x
.
+)
0
0
x
0
0
f x
:
y x
.
+)
4
0
3
x
28
0
27
f x
28
4
3 27
: 1.y x
64
27
: y x
.
1
k
2
0 0
6 8 1 1
x x
0
1
0
3
1
x
x
.
+)
0
1
x
0
1
f x
: 1 1
y x
:
y x
.
+)
1
0
3
x
1
0
27
f x
1 1
3 27
: y x
8
27
: y x
.
Các tiếp tuyến tạo với
Ox
góc
45
của
C
là:
y x
,
64
27
: y x
,
y x
,
8
27
y x
.
Ví dụ 4. Cho
4 2
1
24
3 2
f x mx m x
m
C
. Gọi
A
và
B
lần lượt là các điểm có hoành
độ bằng
1
và
2
của
m
C
. Tìm
m
để các tiếp tuyến của
m
C
tại
A
và
B
vuông góc với
nhau.
Giải. Ta có
3
1
12
' 4 6
f x mx m x
hệ số góc các tiếp tuyến của
m
C
tại
A
và
B
lần
lượt là:
1
12
' 1 10f m
và
1
6
' 2 44f m
. Do đó các tiếp tuyến của
m
C
tại
A
và
B
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
' 1 . ' 2 1
f f
1 1
12 6
10 44 1
m m
2
16 71
3 72
440 0
m m
1
24
71
1320
m
m
.
Ví dụ 5. Cho
1
2 1
x
y
x
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
biết tiếp tuyến cách
1 1
;
2 2
I
một khoảng bằng
3
10
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
13
Giải. Phương trình tiếp tuyến của
C
tại điểm có hoành độ
0
x
(
0
1
2
x
) là:
0 0 0
: '
y f x x x f x
0
2
0
0
1
3
0
2 1
2 1
:
x
x
x
y x x
0
2
0
0
1
3
0
2 1
2 1
:
x
x
x
y x x
2
2
0 0 0
:3 2 1 2 4 1 0
x x y x x
.
2
2
3 1
0 0 0
2 2
0
4 4
0 0
2 1 2 4 1
32 1
9 2 1 9 2 1
;
x x x
x
x x
d I
.
Do đó:
3
10
;d A
0
4
0
32 1
3
10
9 2 1
x
x
4 2
0 0
2 1 10 2 1 9 0
x x
2
0
2
0
2 1 1
2 1 9
x
x
0
0
0
0
0
1
1
2
x
x
x
x
.
0
0
x
0
0
' 3
1
f x
f x
: 3 1
y x
.
0
1
x
0
0
' 3
2
f x
f x
: 3 1 2
y x
: 3 5
y x
.
0
1
x
1
0
3
0
'
0
f x
f x
1
3
: 1
y x
1 1
3 3
:
y x
.
0
2
x
1
0
3
0
'
1
f x
f x
1
3
: 2 1
y x
5
1
3 3
:
y x
.
Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3 1
y x
,
3 5
y x
,
1 1
3 3
y x
,
5
1
3 3
y x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
14
Ví dụ 6. Cho
3 2
1
x
x
f x
C
.Viết PTTT của
C
biết tiếp tuyến cách đều các điểm
7;6
A
và
3;10
B .
Giải. PTTT của
C
tại điểm có hoành độ
0
x
(
0
1
x
) là:
0 0 0
: '
y f x x x f x
0
2
0
0
3 2
5
0
1
1
:
x
x
x
y x x
2
2
0 0 0
:5 1 2 6 3 0
x x y x x
.
cách đều các điểm
A
và
B
khi và chỉ khi:
, ,
d A d B
2 2
2 2
0 0 0 0 0 0
4 4
0 0
35 6 1 2 6 3 15 10 1 2 6 3
25 1 25 1
x x x x x x
x x
2 2
0 0 0 0
8 6 32 12 14 8
x x x x
2 2
0 0 0 0
4 3 16 6 7 4
x x x x
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
4 3 16 6 7 4
4 3 16 6 7 4
x x x x
x x x x
2
0 0
2
0 0
2 6 0 ' 5 0
2 0
voâ nghieäm
x x
x x
0
0
1
2
x
x
.
0
1
x
5
0
4
1
0
2
'f x
f x
5
4
1
2
: 1y x
5 7
4 4
:
y x
.
0
2
x
0
0
' 5
7
f x
f x
: 5 2 7
y x
: 5 17
y x
.
Vậy phương trình các tiếp tuyến cách đều
A
và
B
của
C
là:
5 7
4 4
y x
,
5 17
y x
.
Ví dụ 7. Cho
2 1
1
x
x
f x
C
. Tìm tọa độ điểm
M C
sao cho khoảng cách từ điểm
1;2
I
tới tiếp tuyến của
C
tại
M
đạt giá trị lớn nhất.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
15
Giải. Giả sử
0
x
là hoành độ của
M
tiếp tuyến tại
M
của
( )
C
có phương trình:
0 0 0
: '
y f x x x f x
2
0
3
0
1
0
3
: 2
1
x
y x x
x
2
2
0 0 0
3 1 2 5 0
x x y x x
2
2
0 0 0
0
4 4 2
9
0 0 0
2
1
0
3 2 1 2 2 1
6 1
6
9 1 9 1 1
,
x
x x x
x
x x x
d I
.
Theo bất đẳng thức Cô-si:
2
0
2
9
0
1
1
2 9 6
x
x
, vậy
,
6
d I . Đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi
2
0
2
0
9
1
1
x
x
2
0
1 3
x
0
1 3
x .
Vậy khoảng cách
,
d I
lớn nhất bằng
6
, đạt được khi và chỉ khi
0
1 3
x
1 3;2 3
M
hoặc
1 3;2 3
M
Ví dụ 8. [ĐHD07] Cho
2
1
x
x
f x
C
. Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
C
biết tiếp tuyến của
C
tại
M
cắt hai trục
Ox
,
Oy
tại
A
,
B
sao cho tam giác
OAB
có diện tích bằng
1
4
.
Giải. Ta có
2
2
'
1
y
x
. Xét điểm
M C
,
M
có hoành độ
0
x
. Ta có PTTT với
C
tại
M
:
0 0 0
:
y f x x x f x
0
2
0
0
2
2
0
1
1
:
x
x
x
y x x
2
0
2 2
0 0
2
2
1 1
:
x
x
x x
y
.
A Ox
2
0
2 2
0 0
2
2
1 1
:
0
x
x
x x
y
y
A
2
0
;0
A x ,
B Oy
2
0
2 2
0 0
2
2
1 1
:
0
x
x
x x
x
y
B
2
0
2
0
2
1
0;
x
x
B
.
Ta có
2
0
OA x
,
2
0
2
0
2
1
x
x
OB
0
2
0
4
.
2
1
x
OA OB
ABC
x
S
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
16
1
4
OAB
S
0
2
0
4
1
4
1
x
x
2
0 0
4
1
4x x
0 0
0
2
0
2
2 1
2 1
x x
x x
0 0
0 0
2
2
2 1 0
2 1 0 7 0
voâ nghieäm
x x
x x
0
1
0
2
1
x
x
1;1
1
; 2
2
M
M
.
C. Bài tập
Bài 1. Viết PTTT của
C
biết rằng
1) [ĐHB06]
C
là ĐTHS
2
1
2
x x
x
y
và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 1
d y x
.
2)
C
là ĐTHS
1 2
2 1
x
x
y
và tiếp tuyến song song với đường thẳng
:4 1 0
d x y
.
3)
C
là ĐTHS
3 2
1 1
2 2
2 1
y x x x
và tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: 3 1 0
d x y
góc
45
.
Bài 2. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị
C
của hàm số
3
1 2
3 3
y x x
mà tiếp tuyến tại đó vuông
góc với đường thẳng
1 2
3 3
:
d y x
.
Bài 3. Cho
4 2
1
2
2 3
y mx m x
m
C
. Tìm
m
để tiếp tuyến của
m
C
tại các điểm có
hoành độ bằng
1
và
3
tạo với nhau một góc có cô-sin bằng
3
13
.
Bài 4. Cho
3 2
1
3
1 3 4 1
y mx m x m x
m
C
. Tìm điều kiện của
m
để
m
C
có tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng
2012
y x
.
Bài 5. Cho
3
4
x
x
y
C
. Viết PTTT của
C
biết tiếp tuyến cách
4; 1
A
một khoảng bằng
7 2
5
.
Bài 6. Cho
1
3 4
x
x
f x
C
. Viết PTTT của
C
biết khoảng cách từ điểm
4 1
3 3
;
I tới tiếp
tuyến đạt giá trị lớn nhất.
Bài 7. [ĐHA09] Cho
2
2 3
x
x
f x C
. Viết PTTT của
C
biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
tại các điểm
A
,
B
sao cho tam giác
OAB
cân tại
O
.
Bài 8. Cho
3
2 1
x
x
f x
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
C
biết tiếp tuyến cắt các trục
tọa độ tại các điểm
A
,
B
sao cho trung trực của đoạn thẳng
AB
đi qua gốc tọa độ
O
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
17
Bài 9. Cho
2
2
x
x
f x C
. Viết PTTT của
C
biết rằng tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
Ox
,
Oy
lần lượt tại hai điểm
A
,
B
phân biệt sao cho
2
AB OA
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1. 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là
2 2 5
y x
,
2 2 5
y x
.
2) Chỉ có một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
4 7
y x
.
3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
1 1
2 2
y x
,
229
1
2 54
y x
,
2 1
y x
,
29
27
2y x
.
Bài 2. Trên
C
có hai điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với
d
là
2;0
và
4
2;
3
.
Bài 3.
1
48
m
hoặc
7
240
m
.
Bài 4.
m
C
có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2012
y x
phương trình
2
0 0
2 1 3 4 1
mx m x m
có nghiệm đối với
0
x
1
1
2
m
.
Bài 5. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
7 15
y x
,
7 43
y x
,
3
1
7 7
y x
,
25
1
7 7
y x
.
Bài 6. Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
1
y x
,
7
3
y x
.
Bài 7. Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là
2
y x
.
Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu bài toán là
3
2
y x
,
5
2
y x
.
Bài 9.
Đồ thị có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là
4
y x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
18
Loại 3. Điều kiện tiếp xúc
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa (Hình 1). Cho
y f x
C
và
y g x
'
C
.
C
và
'
C
tiếp xúc với nhau tại điểm
0 0
;
M x y
nếu cả hai điều
kiện sau đây thỏa mãn:
M
là một điểm chung của
C
và
'
C
;
Tiếp tuyến của hai đường cong tại
M
trùng nhau.
Điểm
M
được gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
y
x
O
y
0
x
0
M
Hình 1
2. Điều kiện tiếp xúc. Để xét sự tiếp xúc của hai ĐTHS
y f x
C
và
y g x
'
C
, ta
xét hệ:
' '
f x g x
f x g x
.
*
Ta có:
C
và
'
C
tiếp xúc nhau
hệ
*
có nghiệm đối với
x
;
Nghiệm của
*
chính là hoành độ tiếp điểm;
0
x
là hoành độ tiếp điểm
tiếp tuyến chung của
C
và
'
C
tại điểm có hoành độ
0
x
là:
0 0 0
'
y f x x x f x
.
Hệ quả. Đường thẳng
y kx m
là tiếp tuyến của ĐTHS
y f x
C
khi và chỉ khi hệ
'
f x kx m
f x k
có nghiệm đối với
x
.
B. Một số ví dụ
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
19
Ví dụ 1. [SGKNC] Cho
3
5
4
2
y x x
C
và
2
2
y x x
'
C
. Chứng minh
C
và
'
C
tiếp xúc nhau và viết PTTT chung.
Giải. Ký hiệu
3
5
4
2
f x x x
và
2
2
g x x x
. Xét hệ:
' '
f x g x
f x g x
I
.
Ta có
I
3 2
5
4
' '
3 2
5
4
2 2
2 2
x x x x
x x x x
3 2
4
2
5
4
0
3 2 1
x
x x
x x
1
2
x
.
Vậy
C
và
'
C
tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ bằng
1
2
.
5
1
2 4
1
2
' 2
g
g
PTTT chung là:
5
1
2 4
2y x
hay
9
4
2
y x
.
Ví dụ 2. [SGK] Chứng minh rằng đường thẳng
y kx m
là tiếp tuyến của parabol
2
y ax bx c
(
0
a
) khi và chỉ khi phương trình
2
ax bx c kx m
1
có nghiệm kép.
Giải. Ta có
1
2
0
ax b k x c m
(
2
4
b k a c m
).
Do đó:
1
có nghiệm kép
0
2
4 0
b k a c m
.
Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm đối với
x
I
2
2
ax bx c kx m
ax b k
.
Ta có
I
2
2
0 1
2
k b
a
ax b k x c m
x
.
I
có nghiệm
2
k b
a
x
là nghiệm của
1
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
20
2
2 2
. 0
k b k b
a a
a b k c m
2 2
4 2
0
b k b k
a a
c m
2
4 0
b k a c m
1
có nghiệm kép (ĐPCM).
Ví dụ 3. [SGKNC] Viết PTĐT qua điểm
1; 2
A
và tiếp xúc với parabol
2
2
y x x
.
Giải. PTĐT qua
1; 2
A
có hệ số góc
k
có dạng
: 1 2
y k x
: 2
y kx k
.
Xét phương trình
2
2 2
x x kx k
hay
2
2 2
x k x k
1
(
2
2 4 2
k k
).
tiếp xúc với parabol đã cho
1
có nghiệm kép
0
2
2
k
k
.
2
k
: 2 1 2
y x
: 2
y x
.
2
k
: 2 1 2
y x
: 2 4
y x
.
Vậy qua điểm
A
có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là:
2
y x
và
2 4
y x
.
Ví dụ 4. [ĐHB08] Cho
3 2
4 6 1
f x x x C
. Viết phương trình các tiếp tuyến đi qua điểm
(
)
M 1; 9
của
(
)
C
.
Giải. Đường thẳng qua
M
, hệ số góc
k
có phương trình dạng
: 1 9
y k x
.
là tiếp tuyến của
C
khi và chỉ khi hệ sau đây có nghiệm
I
3 2
2
4 6 1 1 9 1
12 12 2
x x k x
x x k
.
Thế
2
vào
1
ta có:
3 2 2
4 6 1 12 12 1 9
x x x x x
3 2
4 3 6 5 0
x x x
5
4
1
x
x
.
Do đó:
I
có nghiệm
5
4
x
là nghiệm của
2
hoặc
1
x
là nghiệm của
2
.
BI GING ễN THI VO I HC TIP TUYN V S TIP XC
THS. PHM HNG PHONG GV TRNG H XY DNG D: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
21
Thay
5
4
x
vo
2
ta cú
15
4
k
15
4
: 1 9
y x
15
21
4 4
: y x
.
Thay
1
x
vo
2
ta cú
24
k
: 24 1 9
y x
: 24 15
y x
.
Vy phng trỡnh cỏc tip tuyn i qua im
M
ca
(
)
C
l
15
21
4 4
y x
,
24 15
y x
.
Vớ d 5. [HD02] Cho
2
2 1
1
m x m
x
f x
C
v
d : y x
. Tỡm
m
(
)
C
tip xỳc vi
d
.
Gii.
C
tip xỳc vi
d
khi v ch khi h sau õy cú nghim i vi
x
I
' 1
f x x
f x
.
Ta cú
I
2
2 1
1
2
1
1
1
m x m
x
m
x
x
2
2 1 1 1
2
1
m x m x x
x m
x m
x
Do ú
I
cú nghim
1
1
2 1
2 1
laứ nghieọm cuỷa
laứ nghieọm cuỷa
m
m
m
m
2
2
1
2 1 1
2 1
2 1 2 2 1
m
m m m m m
m
m m m m m
1
1
1
m
m
m
m
1
m
.
Vy
C
tip xỳc vi
d
1
m
.
C. Bi tp
Bi 1. [SGK] Chng minh cỏc th sau tip xỳc nhau v vit PTTT chung
1)
2
3 1
f x x x
v
2
2 3
1
x x
x
g x
.
2)
2
3
2 2
x
f x x
v
3
2
x
x
g x
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
22
3)
2
3 6
f x x x
,
3 2
4
g x x x
và
2
7 8
h x x x
.
Bài 2. [SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến của parabol
2
3
y x x
đi qua điểm
3 5
2 2
;A
và
chúng vuông góc với nhau.
Bài 3. Viết PTTT qua
A
của đồ thị
C
trong các trường hợp sau:
1)
23
9
; 2
A
,
C
là ĐTHS
3 2
3 2
y x x
.
2)
6;5
A ,
C
là ĐTHS
2
2
x
x
y
.
Bài 4. Chứng minh rằng qua
1;0
A có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của ĐTHS
2
2 2
1
x x
y
x
.
Bài 5. Tìm
m
để đường thẳng
9
y mx
tiếp xúc với đồ thị
4 2
8 7
y x x
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1) PTTT chung:
5
y x
. 2) PTTT chung:
3
2
y x
.
3) PTTT chung:
5 7
y x
.
Chú ý. Ba ĐTHS
y f x
,
y g x
,
y h x
tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ
' ' '
f x g x h x
f x g x h x
có nghiệm đối với
x
.
Bài 2 Đường thẳng
qua
3 5
2 2
;A
có hệ số góc
k
3 5
2 2
: y k x
. Ta chứng minh
tồn tại hai giá trị của
k
có tích bằng
1
sao cho phương trình
2
3 5
2 2
3x x k x
có nghiệm
kép.
Bài 3 1) Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
5 61
3 27
y x
,
9 25
y x
,
2
y
.
2) Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
1
y x
,
7
1
4 2
y x
.
Bài 4 Chứng minh tồn tại hai giá trị của
k
có tích bằng
1
sao cho hệ sau có nghiệm
2
'
2
2 2
1
1
2 2
1
x x
k x
x
x x
k
x
.
Bài 5
0
m
.
