Phân tích phần tử hữu hạn cho bài toán dòng chảy đi qua vật thể hình trụ tròn

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


v

MC LC
Trang tựa TRANG
Quyết định giao đề tài
Lý lịch khoa học

i
Li cam đoan ii
Cảm tạ iii
Tóm tắt v

Mục lục v
Danh sách các bảng viii
Danh sách các hình viii
Danh sách các chữ viết tắt ixx
Chng 1: TNG QUAN 1
1.1 Tng quan chung về lĩnh vực nghiên cu, các kết quả nghiên cu trong và
ngoài nước đã công bố. 1
1.1.1 Tng quan về lĩnh vực nghiên cu 1
1.1.2 Các kết quả nghiên cu trong và ngoài nước đã công bố. 3
1.2 Mục đích ca đề tài. 5
1.3 Nhiệm vụ ca đề tài và giới hạn đề tài. 6
1.4 Phương pháp nghiên cu. 7
Chng 2: C S Lụ THUYT 8
2.1 Giới thiệu nội dung: 8
2.2 Cơ s lý thuyết 8
2.2.1 Phương trình bảo toàn khối lượng: 8

2.2.2 Phương trình momentum. 12
2.3 Dạng tng quát ca các phương trình ch đạo cho tính toán động lực học chất
lỏng. 16
2.4 Điều kiện biên cho các phương trình chung. 17
Chng 3: PHNG PHÁP PHN T HU HN 19
3.1 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn. 19
3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn. 21
3.2.1 Cơ s 22
3.2.2 Phần tử và hàm dạng 24
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


vi

3.2.3 Phần tử một chiều. 24
3.2.4 Phần tử tam giác hai chiều. 27
3.2.5 Phần tử t giác hai chiều. 30
3.3 Phương pháp số dư trọng lượng 34
Chng 4: GII PHÁP CHO DÒNG CHY KHÔNG NÉN 40
4.1 Phương trình biến nguyên thy ca dòng chảy không nén. 40
4.2 Giải pháp bằng phần tử hữu hạn 42
4.3 Phần tử hữu hạn cho phương trình Stokes 2D trong các biến nguyên thy. 43
4.4 Giải quyết thử thách số cho phương trình dòng chảy không nén 47
4.5 Phương trình Stokes GLS n định cho những phần tử tam giác và t giác
tuyến tính. 48
4.6 Phần tử hữu hạn cho phương trình Navier-Stokes hai chiều trong biến gốc. . 51
4.7 Tuyến tính hóa Newton. 54
4.8 n định GLS ca phương trình Navier-Stokes cho phần tử tam giác và t
giác. 54
Chng 5: KT QU TệNH TOÁN 57

5.1 Số liệu tính toán và lập trình. 57
5.2 Kết quả tính toán và nhận xét. 60
Chng 6: KT LUN VÀ HNG PHÁT TRIN 72
6.1 Kết luận 72
6.2 Hướng phát triển. 72
TÀI LIU THAM KHO 74









Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


vii

DANH MC CÁC BNG

Bng 4.1: Danh sách không đầy đ các phần tử tam giác và chữ nhật n định 49
Bng 5.1: Các hệ số tính toán 58
Bng 5.2: Kí hiệu các hệ số trong biểu đ 58

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


viii

DANH MC CÁC HÌNH

Hình 1.1: Lưới và đưng dòng ca động cơ máy bay trong ngành hàng không 2
Hình 1.2: ng dụng đa dạng ca động cơ máy bay 2
Hình 1.3: Dòng chảy qua một chiếc ô tô 2
Hình 1.4: Vị trí trụ tròn trong miền tính toán 4
Hình 1.5: Đưng dòng tại thi điểm (a) t=48.2s, (b) t=51.2s, (c) t=54.2s, (d) t=57.2
s với Re=100 5
Hình 1.6: Mô hình bài toán 6
Hình 2.1: Điều khiển thể tích hữu hạn n định trong không gian 9
Hình 2.2 : Bảo toàn khối lượng trong một thể tích điều khiển vô cùng bé ca dòng
chất lỏng giữa hai tấm phẳng đặt song song. 10
Hình 2.3: Lực bề mặt tác dụng lên thể tích điều khiển vô cùng nhỏ cho thành phần
vân tốc. Biến dạng ca phần tử chất lỏng dựa trên lực tác dụng trên bề mặt. 14
Hình 3.1: Lưới phần tử hữu hạn dạng hai chiều. 23
Hình 3.2: Chia miền tuyến tính biểu thị trong bài toán một chiều 25
Hình 3.3: Biến tuyến tính trên một phần tử 25
Hình 3.4: Hàm dạng tuyến tính cho bài toán 1 chiều 26
Hình 3.5: Phần tử vuông và hàm dạng 27
Hình 3.6: Phần tử tam giác tuyến tính hai chiều 28
Hình 3.7: Phần tử t giác hai chiều tuyến tính 31
Hình 3.8: Xây dựng phần tử đẳng tham số cho phần tử t giác 31
Hình 3.9: Phần tử t giác 8 nút 34
Hình 3.10: Lưới phần tử hữu hạn cho phương trình 3.60 35
Hình 3.11: Phần tử tuyến tính 1 chiều đẳng tham số 35
Hình 3.12: Lược đ hệ thống lắp ráp ma trận 38
Hình 4.1: Phần tử dạng tam giác và hình chữ nhật với NENv>NENp. 45
Hình 5.1: Kích thước tính toán cho dòng chảy đi qua vật thể hình trụ tròn 57
Hình 5.2: Dòng chảy qua tiết diện hình trụ tròn 60

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


ix

DANH MC CH VIT TT

Ting Vit
LVTN Luận Văn Tốt Nghiệp
PGS.TS Phó Giáo Sư. Tiến Sĩ
TS Tiến Sĩ
GVHD Giảng Viên Hướng Dẫn
HVTH Học Viên Thực Hiện
TP.HCM Thành Phố H Chí Minh
PTHH Phần Tử Hữu Hạn
Ting Anh
N - S Navier - Stockes
NENv Number of Element Node velocity
Re Reynold
CFD Computational Fluid Dinamics
FEM Finite Element Method
NEN Number of Element Node
GFEM Galerkin Finite Element Method

LBB Ladyzhenskaya Babuska Brezzi
GLS Galerkin Least Squares











Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


1

Chng 1:
TNG QUAN

1.1 Tng quan chung v lĩnh vực nghiên cứu, các kt qu nghiên cứu trong và
ngoƠi nc đã công bố.
1.1.1 Tng quan v lĩnh vực nghiên cứu
Nghiên cu động lực học dòng chảy là một trong những vấn đề cấp thiết cần được
giải quyết vì ng dụng rộng rãi ca nó. Vì đây là một bài toán khó trong kỹ thuật
mà để giải quyết được nó ngưi nghiên cu phải nắm rõ được về bản chất vật lý và
toán học để xây dựng. Đã có rất nhiều công trình nghiên cu trong và ngoài nước
nghiên cu về vần đề này để áp dụng cho các ngành kỹ thuật như: hàng không, xây
dựng, chế tạo, dự báo thi tiết… Dưới đây là một mô hình về nghiên cu dòng chảy

qua một máy bay phản lực. Trong cùng một lĩnh vực chúng ta có thể nghiên cu
cho động cơ máy bay, cánh động cơ máy bay, cánh nâng máy bay…














Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


2


Hình 1.1: Lưới và đưng dòng ca động cơ máy bay trong ngành hàng không.

Hình 1.2: ng dụng đa dạng ca động cơ máy bay.








Hình 1.3: Dòng chảy qua một chiếc ô tô.
Nghiên cu dòng chảy trong các lòng dẫn h (open channel flow) là một bài toán
thưng gặp trong việc thiết kế và xây dựng các công trình thy lợi - thy điện. 
Việt σam cũng như các nước khác trên thế giới có nền khoa học kỹ thuật tiên tiến,
mặc dù có rất nhiều công trình nghiên cu về vấn đề này nhưng cho đến nay vẫn
còn nhiều vấn đề nghiên cu về dòng chảy nói chung và dòng chảy trong lòng dẫn
h nói riêng vẫn chưa giải quyết thỏa đáng. Trên thế giới hiện nay việc nghiên cu
dòng chảy được thông qua hai loại mô hình chính đó là: mô hình vật lý (physical
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


3

model) và mô hình toán (mathematical model). Mô hình vật lý với ưu điểm dễ xây
dựng, phản ánh được rõ ràng bản chất vật lý ca dòng chảy trong mọi bài toán cụ
thể nên đã tr thành công cụ không thể thiếu trong các nghiên cu về dòng chảy,
tuy nhiên mô hình vật lý gắn liền với nhiều khó khăn về đng dạng ca mô hình, về
vật liệu và về thiết bị đo. Để khắc phục khó khăn đó các nghiên cu đang đi vào xây

dựng các mô hình toán có thể giải quyết được các bài toán tng quát, phản ánh được
quy luật ca dòng chảy giúp cho quá trình nghiên cu không còn giới hạn về không
gian và thi gian. Với lý do đó việc nghiên cu và triển khai xây dựng mô hình toán
kết hợp với mô hình vật lý cho dòng chảy nhằm giải quyết những vấn đề đã và đang
đặt ra hiện nay là hết sc cần thiết.
Hàng năm,  Việt nam có rất nhiều cơn bão, lũ, lụt… trên các lưu vực sông, biển ri
các dòng chảy trong các đập thy điện, kênh mương mà hầu hết chúng ta mới chỉ
thiết kế hệ thống b, đập thông qua các thông số thống kê. Việc hiểu sâu xa bản
chất ca dòng chảy sẽ giúp ngưi thiết kế có thêm rất nhiều để hoàn thiện thiết kế.
Trong bối cảnh  Việt nam cần phất triển về động học dòng chảy để giúp làm giảm
bớt thi gian thống kê gây tn hao công sc và tiền ca.
Một trong những vấn đề kinh điển được đặt ra là bài toán dòng chảy trong các lòng
dẫn tự nhiên hoặc nhân tạo được dùng để dự đoán và phân tích trạng thái dòng
chảy, sự thay đi lưu lượng và sóng lũ trên các lưu vực sông và các kênh nhân tạo.
Đây là một vấn đề rất rộng cả về lý thuyết cũng như thực nghiệm do đó trong phạm
vi nghiên cu này tôi tập trung vào việc xây dựng mô hình toán dòng chảy đi qua
vật thể hình trụ tròn trong lòng dẫn h qua phương trình Navier-Stokes bài toán hai
chiều bằng một phương pháp, phương pháp phần tử hưu hạn. (trích dẫn”
Computational Fluid Dynamics”)
1.1.2 Các kt qu nghiên cứu trong vƠ ngoƠi nc đã công bố.
Nghiên cu dòng chảy đi qua một vật thể hình trụ tròn bằng phương pháp thể tích
hữu hạn đã được giới thiệu bi công trình khoa học ca các nhà nghiên cu Md.
Mahbubar Rahman, Md. Mashud Karim và Md. Abdul Alim tại trưng đại học
Department of Natural Science, Stamford University Bangladesh, Dhaka-1209,
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


4

Dept. of Naval Architecture and Marine Engineering, BUET, Dhaka-1000,

Department of Mathematics, BUET, Dhaka-1000, Bangladesh.









Hình 1.4: Vị trí trụ tròn trong miền tính toán.
Mô hình trong hình 1.4 sử dụng lưới hình chữ nhật để mô phỏng. Lưới sử dụng
15659 nút, 15380 phần tử t giác. Vận tốc lớn nhất tại biên vào là 1m/s và hệ số
Reynold là Re=100. Kết quả tính toán được thể hiện trong hình bên dưới.

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


5




Hình 1.
5
:

Đưng dòng tại thi điểm (a) t=48.2s, (b) t=51.2s, (c) t=54.2s, (d)
t=57.2 s với Re=100.
Chúng ta cũng thấy các xoáy nước được hình thành khác nhau trong các thi điểm

khác nhau. Chúng ta sẽ nghiên cu và so sánh kết quả đạt được từ phương pháp
phần tử hữ hạn để so sánh với phương pháp thể tích hữ hạn ca các tác giả trên.
1.2 Mc đích của đ tài.
Hiện nay có rất nhiều công trình được xây dựng trên các lưu vực sông, kênh, đập
nhưng chúng ta không biết được sự tác động ca dòng chảy tác động lên các kết cấu
này. Ngày nay khoa học kỹ thuật phát triển và công cụ máy tính hỗ trợ, chúng ta có
thể giải quyết được khá nhiều vấn đề trong tự nhiên mà tưng như con ngưi không
làm được và luôn luôn phụ thuộc vào nó. Với mô hình này chúng ta có thể giải
quyết tương đối chính xác các bài toán dòng chảy trên các lưu vực sông, cửa sông
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


6

ven biển, các bài toán dòng chảy qua các công trình thuỷ lợi thuỷ điện, bài toán
sóng vỡ đập hai chiều…
1.3 Nhim v của đ tài và gii hn đ tài.
Lựa chọn mô hình:
Trạng thái dòng chảy trong kênh chịu ảnh hưng rất lớn khi có các công trình và kết
cấu như đập tràn, tưng chắn, đưng đắp, mố trụ, đưng ống… được xây dựng
chắn ngang dòng chảy. Vận tốc dòng chảy sẽ thay đi rất nhanh khi tiến đến gần
các công trình nói trên do mặt cắt ngang ca dòng chảy bị thay đi đột ngột.
Ví dụ với trưng hợp trên hình vẽ dưới đây, dòng chảy đi qua một vật thể hình trụ
tròn. Sau đó dòng chảy sẽ tạo thành những xoáy nước lớn theo cả phương ngang và
phương đng là nguyên nhân dẫn đến việc phá hy công trình. Trong trưng hợp
này một mô hình toán ba chiều sẽ biểu diễn được toàn bộ trạng thái ca dòng chảy
và là mục đích ca các nghiên cu về dòng chảy không n định trong lòng dẫn h.

Hình 1.6: Mô hình bài toán.
Dòng vào

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


7

Tuy nhiên để áp dụng mô hình toán ba chiều gặp phải khó khăn rất lớn. Một trong
những khó khăn đó là giải hệ phương trình phi tuyến σavier-Stokes không gian 3
chiều. Việc giải bằng các phương pháp gần đúng phụ thuộc vào biến đi ca lưu
lượng dòng chảy do sự thay đi quá nhanh ca mặt cắt ngang, phụ thuộc tỷ lệ dọc
theo chiều dòng chảy và mặt cắt ngang là rất lớn khiến cho vùng tính toán phải chia
thành quá nhiều lưới nhỏ sẽ là tr ngại lớn cho việc giải bằng các phương pháp số.
Tất nhiên hoàn toàn có thể giải quyết vấn đề này bằng các phương pháp toán học
hiện đại cùng với sự hỗ trợ ca máy tính, nhưng mô hình sẽ phc tạp và việc áp
dụng cho các vùng tính toán sẽ khó khăn. Với các dòng chảy trong lòng dẫn h
trong một số điều kiện phù hợp có thể chọn giải pháp thay thế cho dòng chảy ba
chiều bằng dòng một chiều tại những tuyến dòng chảy thẳng, thay đi dần hoặc
bằng mô hình hai chiều theo phương đng và phương dòng chảy hoặc mô hình hai
chiều bình diện đối với dòng chảy qua lòng dẫn có nền bằng phẳng.
Trong nghiên cu này tôi lựa chọn mô hình toán hai chiều theo phương dòng chảy
và phương thẳng đng, đây là mô hình ph biến trên thế giới đã áp dụng hiệu quả
cho nhiều bài toán phc tạp.
1.4 Phng pháp nghiên cứu.
ng dụng phần tử hữu hạn để mô phỏng quá trình tác động ca dòng chảy lên vật
chắn hình trụ tròn qua kênh dẫn h bằng phần tử hữu hạn.  đây tác giả cũng sử
dụng phần mềm Matlab để tính toán và mô phỏng bài toán trên

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


8

Chng 2:
C S Lụ THUYT

2.1 Gii thiu ni dung.
 đây chúng ta sẽ tìm hiểu về những phương trình ch đạo trong tính toán động lực
học chất lỏng. Động lực học chất lỏng dựa ch yếu vào những phương trình ch đạo
ca động lực học chất lỏng. Chúng biểu thị các phương trình toán học về các định
luật bảo toàn trong vật lý. Mục đích ca phần này là giới thiệu các cơ s lý thuyết
để phục vụ cho nghiên cu về dòng chảy đi qua một vật thể hình trụ tròn sau này.
Các định luật vật lý được áp dụng bao gm:
 Khối lượng được bảo toàn cho chất lỏng
 Định luật 2 σewton, tỷ lệ về sự thay đi ca tng các phương trình momentum
lực tác động lên chất lỏng.
Nó thực sự quan trọng với bất kỳ ai bao gm một vài hiểu biết về s hữu động lực
học chất lỏng về các hiện tượng vật lý về chuyển động chất lỏng, những hiện tượng
đó là phân tích và dự đoán về tính toán động lực học chất lỏng. Tất cả việc tính toán
động lực học chất lỏng dựa trên các phương trình đó; chúng ta vì thế phải bắt đầu sự
hiểu biết ca chúng ta bằng hầu hết các mô tả cơ bản về xử lý dòng chảy, ý nghĩa và
tín hiệu trong mỗi thuật ngữ trong chúng. Đằng sau những phương trình đó nó cha
đựng những công thc cụ thể phù hợp cho việc sử dụng giải quyết những giải pháp
tính toán động lực học chất lỏng sẽ được phác thảo. σhững dạng vật lý ca điều
kiện biên và những phương trình toán học thích hợp ca chúng cũng sẽ được phát
triển tới dạng số phù hợp với các điều kiện biên vật lý thực sự phụ thược vào dạng
số cụ thể ca các phương trình ch đạo và giải thuật số được sử dụng. Bây gi
chúng ta sẽ đi cụ thể từng phương trình.

2.2 C s lý thuyt.
2.2.1 Phng trình bo toàn khối lng:
Định luật bảo toàn 1 phù hợp với dòng chất lỏng có thể được tạo ra hoặc phá hy.
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


9

Cho rằng việc điều khiển tùy ý thể tích V thì n định trong không gian và thi gian
(hình 2.1)

Hình 2.1: Điều khiển thể tích hữu hạn n định trong không gian.
Dòng chất lỏng di chuyển qua thể tích điều khiển n định, chảy xuyên qua mặt điều
khiển. Bảo toàn khối lượng đòi hỏi rằng tỉ số về sự biến đi ca khối lượng bên
trong thể tích điều khiển thì tương đương với khối lượng chảy qua bề mặt S ca thể
tích V. Trong dạng tích phân,
 

V S
ndSVdV
dt
d

(2.1)
Với n là vector pháp tuyến đơn vị. Chúng ta có thể áp dụng lý thuyết phân tán ca
Gauss điều này biến đi với tích phân thể tích phân tán ca một vector thành tích
phân diện tích trên bề mặt định nghĩa thể tích. σó được trình bày như sau
 

V S

ndSVVdVdiv
dt
d

(2.2)
Sử dụng lý thuyết bên trên, tích phân bề mặt trong hình 2.1 có thể được thay thế bi
một tích phân thể tích, sau đây phương trình tr thành
 











V
dVV
t
0


(2.3)
σơi


VdivV



. Khi phương trình 2.3 có giá trị cho mọi kích thước ca thể tích
V, hệ quả là
 
0


V
t


(2.4)
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


10

Phương trình(2.4) là phương trình bảo toàn động lượng. Trong hệ trục tọa độ
Cartesian, có thể được viết thành






0












z
w
yx
u
t




(2.5)
σơi vận tốc chất lỏng V tại bất kì điểm nào trong trưng dòng chảy đều được mô tả
bi thành phần vector địa phương u,v và w cái mà, nói chung, chc năng ca tọa độ
địa phương(x,y,z) và thi gian (t).

Hình 2.2 : Bảo toàn khối lượng trong một thể tích điều khiển vô cùng bé ca dòng
chất lỏng giữa hai tấm phẳng đặt song song.
σhư một sự lựa chon, cho rằng diễn tiến ca dòng chất lỏng giữa hai tấm phẳng đặt
song song như được mô tả trong hình 2.2. Một thể tích điều khiển nhỏ vô cùng
ΔxΔyΔz n định trong không gian (được m rộng tới bên phải ca biểu đ) được
phân tích, nơi mà phương trình bảo toàn khối lượng áp dụng cho trưng dòng
(u,v,w). Vận chuyển bao gm chuyển động thì thưng tác động đến sự bình lưu.
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh

11

Định luật bảo toàn đòi hỏi rằng, cho dòng không n định, tỷ lệ ca sự tăng trong thể
tích điều khiển tương đương với tỷ lệ lưới tại khối lượng nhập vào thể tích điều
khiển( dòng vào - dòng ra), trong các trưng hợp khác,


outin
mm
dt
dm

(2.6)
Tỷ lệ khối lượng đặt vào thể tích điều khiển thông qua mặt vuông góc với x có thể
được thể hiện thành (ρu)ΔyΔz, nơi ρ là mật độ địa phương ca chất lỏng và tương
tự lần lượt thông qua bề mặt vuông góc với y và z như là (ρv)ΔxΔz và (ρw)ΔxΔy.
Tỷ lệ tại bất kỳ khối lượng nào đưa ra khỏi bề mặt tại x + Δx có thể được thể hiện
thông qua công thc m rộng ca Taylor
 


 
VxOzyx
x
u
u 










 ,


, với
zyxV





(2.7)
Tương tự, tỷ lệ khối lượng được đưa vào bề mặt tại y + Δy và z + Δz có thể được
thể hiện
 


 
VyOzxy
y











 ,



Và

 


 
VzOyxz
z
w
w 









 ,



(2.8)
Khi khối lượng ca thể tích điều khiển m được đưa ra bi ρΔxΔyΔz, phương trình
(2.6) tr thành



       


 
 
 
 
 
zyxVO
yxz
z
w
wzxy
y
zyx
x
u
uyxwzxzyu
t
zyx





































,,







(2.9)
Trong giới hạn, hy những thông số và chia bi kích thước hằng số ΔxΔyΔz, chúng
bao hàm






0












z
w
yx
u
t




(2.10)
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


12

Phương trình (2.10) thì chính xác cùng dạng như được đề cập trong phương trình
(2.5). Phương trình này thì chính xác các dạng sai phân riêng. Chúng ta thể hiện
rằng dạng tích phân trong phương trình (2.1) có thể, sau một vài th thuật, lưu
lượng ca dạng sai phân riêng. Dạng sai phân đặc biệt này thì thưng được gọi là
dạng bảo toàn. Cả hai phương trình (2.1) và (2.10) là dạng bảo toàn; sử dụng th
thuật không được áp dụng không thay đi trạng thái.
Chấp nhân để tập hợp tất cả các thông số tỷ trọng bằng cách m rộng phương trình
(2.10) bằng luật bắc cầu. Điều này đưa ra phương trình
0





























z
w
yx
u
z
w

yx
u
t





(2.11)
Hoặc
0

















z
w

yx
u
Dt
D



(2.12)
σơi D/Dt là bắt ngun từ thực tế trong hệ tọa độ Cartesion. Thi gian bắt đầu ca
Dρ/Dt và t


/

là sự khác biệt về đại lượng vật lý và số. Vì chúng ta chỉ xét bài
toán hai chiều nên chúng ta có công thc hai chiều cho dòng không nén.
0





yx
u

(2.13)
2.2.2 Phng trình momentum.
Cân bằng lực.
Nếu chúng ta cho rằng thuộc tính biến tng quát trên một đơn vị khối lượng được
biểu thị là ф, ngun gốc thực tế ca ф với mối liên quan đến thi gian, viết là

Dф/Dt, là
z
w
yx
u
tDt
D


















(2.14)
Công thc trên địn nghĩa tỷ lệ thay đi ca thuộc tính giá trị ф trên một đơn vị khối
lượng. σhư trưng hợp ca bảo toàn khối lượng, chúng ta phải quan tâm tới những
phương trình phát triển cho tỷ lệ biến đi trên một đơn vị thể tích. Tỷ lệ biến đi
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh

13

ca thuộc tính giá trị ф trên một đơn vị thể tích có thể bao hàm bằng cách m rộng
mật độ ρ với ngun gốc thực tế ca ф điều này dẫn tới













z
w
yx
u
tDt
D











(2.15)
Nhận thấy rằng phương trình (2.15) biểu thị dạng không bảo toàn ca tỷ lệ biến đi
thuộc tính biến ф trên một đơn vị thể tích.
Phương trình bảo toàn khối lượng định nghĩa tng tỷ lệ biến đi ca mật độ và
được gọi là thông số bình lưu, đó là






0











z
w

yx
u
t




(2.16)
Công thc trên biểu thị tỷ lệ biến đi ca ф trên một đơn vị thể tích với việc thêm
lưới dòng chảy ca ф ngoài phần tử chất lỏng trên một đơn vị thể tích. Bây gi nó
được viết để biểu thị mối quan hệ giữa dạng bảo toàn ca phương trình (2.16) và
dạng không bảo toàn ca phương trình (2.15):








     
Dt
D
z
w
yx
u
tz
w
yx

u
t
z
w
yx
u
t



































































  
0

(2.17)
Cả hai phương trình đó có thể được sử dụng để biểu thị sự bảo toàn ca đại lượng
vật lý. Rút gọn lại, chỉ dạng không bảo toàn được sử dụng để tìm thấy được ngun
gốc định luật vật lý kế tiếp không tính toán được trong vấn đề dòng chảy đó là lý
thuyết momentum. Chúng ta đi tới dạng bảo toàn đó là phương pháp ph biến sử
dụng trong tính toán động lực học chất lỏng.
Từ ngun gốc ca định luật vật lý này, chúng ta bắt đầu bằng cách cho một phần tử
chất lỏng như được định nghĩa trong hình 2.2 cho bảo toàn khối lượng. Định luật 2
Newton về sự chuyển động nói là tng lực tác động lên phần tử chất lỏng, như trình
bày trong hình 2.4, tương đương với kết quả giữa khối lượng và gia tốc ca phần tử.
Có 3 mối quan hệ vô hướng thiết yếu theo các chiều x,y và z ca hệ trục tọa độ
Phương trình
liên t
ục

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


14

Cartesian dựa trên định luật có thể được đưa ra. Chúng ta bắt đầu bằng cách cho
phương x ca định luật 2 σewton.


xx
maF
(2.18)
σơi F
x
và a
x
là lực và gia tốc theo trục x. Gia tốc a
x
tai vế bên phải ca phương trình
2.18 đơn giản là tỷ lệ thay đi ca u, nó được đưa ra bi ngun gốc thực tế. Do đó,
Dt
Du
a
x

(2.19)

Lực trên bề mặt

Hình 2.3: Lực bề mặt tác dụng lên thể tích điều khiển vô cùng nhỏ cho thành phần
vân tốc. Biến dạng ca phần tử chất lỏng dựa trên lực tác dụng trên bề mặt.
Định dạng
phần tử chất
lỏng
Biến dạng
phần tử chất
lỏng
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


15

Nhớ rằng khối lượng ca phần tử chất lỏng m là ρΔxΔyΔz, tỷ lệ tăng ca
momentum theo trục x là
zyx
Dt
Du


(2.20)
Vế trái ca phương trình (2.18), có hai ngun ca lực mà phần tử chất lỏng di
chuyển qua đó. Chúng là lực thân và lực bề mặt. Lực thân ảnh hưng đến tỷ lệ thay
đi ca momentum chất lỏng là trọng lực, lực li tâm, lực Coriolis, và lực điện từ.
Những hệ quả này thưng được kết hợp bằng cách đặt chúng vào trong phương
trình momentum như là những thông số ngun thêm vào sự phân bố ca lực bề mặt.
Lực bề mặt cho thành phần vận tốc u, như trong hình 2.4, biến dạng ca phần tử
chất lỏng bao gm ng suất pháp tuyến Ń
xx
và ng suất tiếp tuyến ń

yx
và ń
zx
tác
động lên bề mặt ca phần tử chất lỏng. Kết hợp tng ca các lực bề mặt trên phần tử
chất lỏng và chuyển đi tỷ lệ thi gian ca u từ phương trình(3.20) vào trong
phương trình 2.18, phương trình momentum tr thành











x
zx
yx
xx
F
zyxDt
Du




(2.21)

Theo cách tương tự, phương trình momentum theo trục y và z là











x
zx
yx
xx
F
zyxDt
D





( (2.22)
Và












x
zx
yx
xx
F
zyxDt
Dw




(2.23)
ng suất pháp tuyến Ń
xx
, Ń
yy
, Ń
zz
trong phương trình (2.21)-(2.23) là bao gm ca
áp suất p và thành phần ng suất nhớt pháp tuyến ń
xx
, ń
yy

, và ń
zz
tác động vuông góc
lên thể tích điều khiển. Những số hạng còn lại bao gm những thành phần ng suất
vận tốc tiếp tuyến. Trong nhiều dòng chât lỏng, một dạng phù hợp cho những ng
suất nhớt được giới thiệu. Chúng thưng là một chc năng gây ra tỷ lệ biến dạng địa
phương( hoặc tỷ lệ ng suất) điều đó được biểu thị trong công thc Gradients vận
tốc. Công thc về mối quan hệ xấp xỉ ng suất và độ giãn cho chât lỏng σewton
được tìm thấy trong Appendix A.
ng lực
ng lực

ng lực

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


16

Trong trưng hợp xét dòng chất lỏng hai chiều giữa hai tấm phẳng đặt song song(
dòng không xét theo trục z) trưng hợp nghiên cu thì dòng chât lỏng có thuộc tính
không đi. σó kéo theo mật độ là không đi và lực thân, đặc biệt là trọng lực( ví dụ,
giá trị mật độ là lực ni), không cần thiết cho vào phương trình.
Bằng cách đưa ra phương trình liên tục, phương trình momentum với sự bao hàm
ca mối quan hệ ng suất-độ giãn có thể được giảm thành

 


diffusion

gradientpressure
advection
onacceleratilocal
y
u
x
u
x
p
y
u
x
u
u
t
u
2
2
2
2
1





















(2.24)

  
diffusion
gradientpressureadvection
onacceleratilocal
yx
y
p
yx
u
t
2
2
2
2
1


























(2.25)
Phương trình (2.24) và (2.25) được đưa ra từ định luật 2 σewton, nơi v là độ nhớt
khí động học ( v=μ/ρ), mô tả sự bảo toàn momentum trong dòng chất lỏng và cũng
được biết đến là phương trình Navier - Stokes. Ý nghĩa vật lý ca mỗi thông số
trong phương trình momentum ca phương trình(2.24) và (2.25) được xem xét và
giải thích trong phần tiếp theo.
2.3 Dng tng quát của các phng trình chủ đo cho tính toán đng lực học cht

lỏng.
Dạng bảo toàn ca dòng không nén.








S
zzyyxxz
w
yx
u
t



















































Các phương trình ch đạo
 Bảo toàn khối lượng
 
0








z
w
yx
u
m


 Phương trình momentum
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


17

 






   
 






























































uuT
TTx
S
x
p
S
z
u
z
y
u
yx
u
xz
wu
y
u
x
uu
t
u

M




1

 






   
 







































































S
y
p
S
zz

yyxxz
w
yx
u
t
M
T
TTy
1

 






   
 






























































wwT
TTz
S
z
p
S
z
w
z
y
w

yx
w
xz
ww
y
w
x
uw
t
w
M




1

Chiều xét trong hệ trục toạn dộ Cartesiens

2.4 Điu kin biên cho các phng trình chung.
Bây gi chúng ta xét điều kiện biên cho một dòng chảy nhớt. Chúng ta tập trung
vào điều kiện biên không trượt.  đây, điều kiện biên trên bề mặt một khối có quan
hệ với vận tốc bằng 0 giữa bề mặt và bề mặt chất lỏng. σếu bề mặt là đng yên, với
chất lỏng chạy qua nó, thì tất cả các thành phần vận tốc có thể được cho bằng 0.
Trong trưng hợp này
u=v=w=0 tại bề mặt
Giải pháp ca các phương trình chung cho bất kì thuộc tình chuyển đi ф cho hầu
hết các dòng yêu cầu tại ít nhất một thành phần vận tốc được đưa ra điều kiện biên.
Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh

18

Cho dòng chảy qua kênh, nó được cung cấp bi điề kiện biên Drichlet ca vận tốc
theo trục x:
u=f và v=w=0 tại biên vào
và điều kiện biên tại đầu ra sẽ là:
0








n
w
n
n
u

tại đầu ra.
σơi n là trục cơ bản cho bề mặt biên đầu ra, cho vấn đề dòng chảy qua kênh là trục
x. Điều kiện biên này được biết đến như là điều kiện biên Neumann. (trích dẫn
“Computational Fluid Dynamics”).

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


19

Chng 3:
PHNG PHÁP PHN T HU HN

3.1 Gii thiu v phng pháp phn t hu hn.
Phương pháp phần tử hữu hạn được dựa trên cái gọi là “phương pháp số dư trọng
lượng”. Đó là một phương pháp mạnh nhất cho việc giải quyết phương trình vi phân
từng phần được phát triển từ giữa những năm 1940 và 1960, ch yếu cho các bài
toán động lực học kết cấu. Sau này nó được m rộng để nghiên cu trưng ca
dòng chất lỏng.
Phương pháp này có một thuận lợi riêng so với phương pháp Sai phân hữu hạn
trong thực tế là nó vốn cho phép việc xử lý hình dạng phc tạp một cách tùy ý như
nó có thể được áp dụng dễ dàng trong việc sử dụng lưới bất thưng ca biến đa
dạng. σó cũng cung cấp một tập hợp các hàm cái mà đưa ra biến ca các phương
trình sai phân giữa các điểm lưới, nhưng ngược lại phương pháp Sai phân hữu hạn
chỉ cung cấp thông tin cho các giá trị tại điểm nút.

Có một phần m rộng ca lý thuyết mô tả về nên tảng toán học ca phương pháp
này. Chúng ta sẽ dùng đến đây những mô tả đơn giản để truyền tải những nguyên lý
cơ bản ca phương pháp.
Giả sử rằng phương trình sai phân tại đây là dạng khuếch tán đối lưu chung như
được đưa ra trong phương trình (3.1). Đưa ra phương trình  giai đoạn n định, để
tập trung trong việc ri rạc hóa không gian, phương trình tr thành:
0
2
2






x
T
x
T
u

(3.1)
Để đơn giản trong việc trình bày, phương trình này sẽ được thu gọn theo dạng ký
hiệu như sau:


0TQ
(3.2)
Chú ý rằng phương trình 3.1 đưa ra  đây cho mục đích trình bày và các nguyên lý
có thể được áp dụng cho bất kỳ phương trình sai phân khác nào.

Luận Văn Thạc Sĩ GVHD: TS. Phan Đức Huynh


20

Nếu chúng ta giả sử rằng chúng ta đang tìm kiếm một giải pháp xấp xỉ
'
T
sử dụng
hàm kiểm tra ca một vài dạng. Tiếp theo các hàm con đó chuyển thành phương
trình sai phân sẽ không thỏa mãn phương trình. Do đó số dư xuất hiện trên vế phải
thay thế 0. Đó là:


RTQ 

(3.3)

Bi vì
)(
'
TQ
là xấp xỉ, số dư R không bao ph hầu hết miền. Phương pháp số dư
trọng lượng dựa trên khái niệm giới thiệu hàm trọng lượng W và sau đó đòi hỏi rằng
tích phân ca số dư hàm trọng lượng bao ph trên hầu hết miền tính toán. Đó là:







0dTWQ
(3.4)

Mục đích ca thảo luận, σếu chúng ta giả sử rằng hàm kiểm tra là một đa thc với
một số hệ số chưa biết, sau đó bằng cách lựa chọn một chuỗi ca hàm kiểm tra và
tích phân, một số phương trình có thể được tạo ra cái mà có thể được giải quyết
đng thi để đạt được hệ số ca đa thc do đó dẫn đến kết quả bài toán.
Ngụ ý rằng phương pháp phần tử hữu hạn có thể được sử dụng để đạt được giải
pháp phân tích phương trình sai phân được cung cấp những hàm trọng lượng và
kiểm tra phù hợp có thể được tìm thấy.
Có nhiều kỹ thuật khác nhau được mô tả trong lý thuyết được sử dụng để định nghĩa
hàm trọng lượng và kiểm tra như là phương pháp miền con, phương pháp sắp xếp
theo th tự và phương pháp Least-Square. Tôi sẽ tập trung vào phương pháp ph
biến nhất có tên gọi là phương pháp Galerkin, cái sẽ được nghiên cu trong phần
sau.
Bây gi chúng ta tập trung vào việc làm thế nào để sử dụng phương pháp này giải
quyết phương trình sai phân số. Bước đầu tiên là giả sử hàm kiểm tra địa phương
trên miền ri rạc. Miền tính toán được chia nhỏ thành những phần không chng
chất, gọi là các phần tử. Cho ví dụ, trong bài toán một chiều, đó có thể là các đoạn
thẳng giữa các nút lưới. Hàm kiểm tra sau đó là các hàm tích phân cái mà giả định
hình dạng biến đi ca biến giữa các điểm lưới bao gm phần tử. Việc đơn giản