nghiên cứu và phát triển lý thuyết về các mô hình rủi ro trong bảo hiểm và tài chính

1
MỞ ĐẦU

Bảo hiểm là biện pháp chia sẻ rủi ro của một người hay một số người
cho cả cộng đồng những người có khả năng gặp rủi ro cùng loại, bằng cách
mỗi người trong cộng đồng góp một số tiền nhất định vào một quỹ chung
và từ quỹ chung đó bù đắp thiệt hại cho thành viên trong cộng đồng không
may bị thiệt hại do rủi ro đó gây ra. Bảo hiểm được xem như là một cách
thức chuyển giao rủi ro tiềm năng một cách công bằng từ một cá thể sang
cộng đồng thông qua phí bảo hiểm. Bảo hiểm góp phần bảo đảm cho các
quá trình tái sản xuất và đời sống xã hội được diễn ra bình thường. Ngày
nay, bảo hiểm đã trở thành một ngành kinh doanh hết sức phát triển và dần
trở nên một khái niệm quen thuộc với hầu hết mọi người. Ở nhiều quốc gia,
mua bảo hiểm từ lâu đã là một việc làm không thể thiếu đối với người dân.
Ở Việt Nam, bảo hiểm xuất hiện dưới hình thức sơ khai vào khoảng
năm 1880. Những năm gần đây, ngành bảo hiểm, tài chính đã thực sự trở
thành ngành kinh tế giữ vai trò trọng yếu, có vai trò điều chỉnh và thúc đẩy
hoạt động của các ngành kinh tế khác và đã trở thành nơi tập trung của các
ý tưởng, xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực tế khác nhau.
Các vấn đề của bảo hiểm, tài chính đã thu hút sự chú ý của các nhà toán
học nói chung và lý thuyết xác suất và thống kê toán học nói riêng. Hiện
nay, chúng ta đang được chứng kiến sự cộng tác chặt chẽ giữa các nhà kinh
tế, tài chính và toán học, nhằm mục đích ứng dụng các thành tựu toán học
hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, phân tích và tìm hiểu các
quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có các đề xuất và giải pháp
phù hợp với quy luật.
Trong cuộc sống sinh hoạt nói chung cũng như trong những hoạt

động sản xuất, kinh doanh phục vụ cuộc sống, con người luôn gặp phải
những tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ, ngẫu nhiên xảy ra, gây thiệt hại về tài




2
sản, con người Các tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ ấy gọi là rủi ro. Các
công ty bảo hiểm mở ra nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một
phần rủi ro cho chủ thể, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một
hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro (có thể
dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản). Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm
xảy ra rủi ro là nhu cầu cấp thiết đặt ra, đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải
quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra.
Năm 1903, một công trình của Lundberg, F. đã đặt nền móng cho lý
thuyết rủi ro trong bảo hiểm, tiếp theo đó, Cramer, H. và trường phái
Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc
hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học.
Mô hình cơ bản đầu tiên là mô hình rủi ro của Cramer – Lundberg, mô hình
này thường liên quan đến các trường hợp chi trả bảo hiểm bình thường, và
chưa được nghiên cứu nhiều cho các trường hợp phải chi trả bồi thường
bảo hiểm lớn.
Trong thời gian gần đây Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) được nghiên
cứu và phát triển mạnh, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo
hiểm, kinh tế, tài chính. Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết này
quan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại (hay xác suất rủi ro -
Ruin Probability) trong các mô hình rủi ro. Đối với các mô hình rủi ro cổ
điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy
biến ngẫu nhiên độc lập, chẳng hạn như ước lượng xác suất thiệt hại trong
mô hình rủi ro của tác giả Cramer – Lundberg với giả thiết về dãy các số

tiền đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân
phối. Chủ đề này cũng được rất nhiều tác giả khác quan tâm, thể hiện trong
các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học có tên tuổi như:
Asmussen [9], Buhlman, H. [12], De Vylder, F.E. [20], [21], [22],
Embrechts, P. [24], Ignatov [30], [31], Kluppelberg, C. [24], Lèfèvre, Cl.
[19], [40], Loisel, S. [19], Mikosch, T.[24], Grandell, J.[28], Hipp, C. [29],




3
Schmidli, H. [29], Marceau, M. [20], Musiela, M. [35], Nyrhinen, H. [36],
Rutkowski, M. [35], Paulsel, J. [37]. [38], Picard, Ph. [40], Schmidt, K.D.
[43], …
Ngoài ra, còn có một số công trình nghiên cứu mô hình rủi ro có xét
đến tác động của yếu tố lãi suất như: Bùi Khởi Đàm [11], Cai, J. [13], [14],
[15], [17], Dickson, D. C M. [15], [16], [23] Gaier, J. [26], Grandist, P.
[26], Kluppelberg, C. [32], Stadtmuller, U. [32], Konstantinides, D. G.
[33], Tang, Q. H. [33], Tsitsiashvili, G. S. [33], Sundt, B. [44], [45],
Teugels, J.L. [44], [45], Tang Q. [46], [47], [48], Yang, H. [51], [53],
Zhang, L. H. [53], Yuen, K. C. [54], [55], Wang, G. [54], [55], Wates, H.R.
[23], Wu, R. [54],…
Bên cạnh đó, một số tác giả xét mô hình rủi ro với giả thiết dãy số
tiền thu bảo hiểm, đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc: Như
m- phụ thuộc của tác giả Bùi Khởi Đàm. [1], [2], [3], [10], Nguyễn Huy
Hoàng. [1], [2], [3], [10], dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa tự hồi quy cấp
một, hoặc là xích Markov như Albrecher, H. [8], Cai, J. [18], Dickson, D.
C M. [18], Gerber, H. U. [27], Muller, A. [34], Pfug, G. [34], Promislow,
S. D. [39], Valdez, E. A. [49], Mo, K. [49], Xu, L. [50], Wang, R. [50],
Yang, H. [52], Zhang, L. H. [52],…

Tính toán xác suất rủi ro là bài toán rất quan trọng trong ngành bảo
hiểm. Đây là bài toán khó và cho đến nay vẫn được nhiều tác giả quan tâm
nghiên cứu. Các nghiên cứu về đề tài này thường được thực hiện theo
những cách tiếp cận sau:
- Ước lượng xác suất rủi ro bằng các bất đẳng thức (như bất đẳng
thức Cramer-Lundberg).
- Dùng kỹ thuật mô phỏng Monte Carlo để tính xác suất rủi ro.
- Phương pháp tính đúng (như công thức Picard- Lefèvre tính xác
suất rủi ro)…




4
Với những lý do nói trên, chúng tôi xác định đối tượng nghiên cứu
của luận án là các mô hình rủi ro trong bảo hiểm, thời gian rời rạc với các
dãy biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov. Ngoài ra, các mô
hình còn xét tới tác động của yếu tố lãi suất, với lãi suất là dãy biến ngẫu
nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Luận án
đã đánh giá xác suất thiệt hại cho mô hình này. Đóng góp chính của luận án
là tìm ra công thức tính xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình rủi ro khi
dãy số tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc,
độc lập, có phân phối bất kỳ (trường hợp riêng là dãy biến ngẫy nhiên độc
lập cùng phân phối) và mở rộng công thức tính chính xác xác suất này cho
dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Bên cạnh đó, bất đẳng thức ước
lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình rủi ro có số tiền
chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục cũng được
đưa ra.
Các kết quả chủ yếu của luận án đã được công bố trong các công trình [1],
[2], [3], [4], [5] (xem danh mục công trình khoa học đã công bố của luận

án).
Luận án đã thu được các kết quả mới sau đây:
a. Trong mô hình rủi ro có dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu
nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập
Lần đầu tiên đưa ra được công thức tính chính xác xác suất rủi ro
(không rủi ro) cho mô hình rủi ro này (trước đó, các tác giả Claude Lefevre
và Stephane Loissel (2008) chỉ đưa ra công thức tính chính xác cho mô
hình cổ điển khi dãy tiền thu là tất định, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy
biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức).
Phương pháp tiếp cận (tính toán) trực quan, cho phép mở rộng đối
với các mô hình mà dãy thu, dãy chi là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
Markov.




5
b. Trong mô hình rủi ro có dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên
liên tuc.
Luận án đã đưa ra được bất đẳng thức ước lượng xác suất rủi ro cho
mô hình khi dãy tiền thu là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn dãy tiền
chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối
và có phân phối liên tục.
c. Áp dụng phương pháp Monter Carlo tính xác suất rủi ro
Chúng tôi nghiên cứu xác suất rủi ro đối với mô hình rủi ro của các
công ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, hữu hạn, khi có tác động của yếu tố
lãi suất, dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm trong mô hình được giả thiết là
dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Đồng thời chúng
tôi còn xem xét mô hình rủi ro tổng quát hơn khi có tác động của lãi suất là
dãy các biến ngẫu nhiên không âm, phụ thuộc Markov.

Qua việc hoàn thành bản luận án, chúng tôi cũng hy vọng được góp
phần vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết về các mô hình rủi ro
trong bảo hiểm và tài chính, với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ
thuộc Markov (đặc biệt là tính được chính xác xác suất rủi ro trong bảo
hiểm) và các ứng dụng của chúng vào thực tiễn.
Nội dung của luận án bao gồm 3 chương và 1 phụ lục, được cấu trúc
như sau:
Chương 1 được dành cho việc trình bày các khái niệm, các kết quả
cơ bản về xác suất, xác suất điều kiện, biến ngẫu nhiên, phân phối của biến
ngẫu nhiên, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, quá trình ngẫu nhiên, xích
Markov và mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính.
Chương 2 là đóng góp chính của luận án. Trong chương này, chúng
tôi mở rộng mô hình rủi ro trong [19].
Chúng tôi tìm ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho
các mô hình rủi ro tương ứng. Chúng tôi đã mở rộng công thức Picard-
Lefèvre (xem [40]) cho xác suất rủi ro (không rủi ro) với mô hình rủi ro mà




6
quá trình thu, chi là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc. Kết quả này là mở rộng
đáng kể kết quả trước đó của Claude Lefèvre và Stephane Loisel (xem
[19]). Trong bài báo này các tác giả chỉ xét mô hình rủi ro trong đó quá
trình chi trả bảo hiểm có phân phối nhị thức, còn quá trình thu thì giả thiết
đơn giản là quá trình tất định, tuyến tính theo thời gian. Chúng tôi đã mở
rộng mô hình khi dãy số tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu
nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ
(hệ quả là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối). Thuật toán được
thiết lập để tính toán kết quả số, minh họa cho công thức tính chính xác

suất rủi ro khi hai dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu
nhiên độc lập cùng phân phối.
Bên cạnh đó, chúng tôi còn mở rộng công thức tính chính xác xác
suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hỉnh rủi ro khi dãy tiền thu bảo hiểm và
chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov.
Luận án còn đưa ra được ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác
tùy ý cho mô hình khi dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có
phân phối liên tục.
Chương 3 nghiên cứu mô hình rủi ro được xét với thời gian rời rạc
khi có tác động của yếu tố lãi suất. Trong chương này phương pháp Monte-
Carlo được áp dụng để tính xác suất rủi ro khi xét mô hình rủi ro có tác
động của lãi suất. Lãi suất được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm,
độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov. Một vài ví dụ số minh
họa cho mô hình được đưa ra.
Cuối cùng là phụ lục phần code các chương trình tính.
Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:
- Đại hội toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang (8/ 2013)
- Xêmina tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà
Nội.




7
- Hội thảo khoa học tại trường Đại học Công nghiệp Việt Trì (10/
2011)
- Hội thảo khoa học tại trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội (5/ 2013).
Các kết quả chủ yếu của luận án đã được đăng trong các công trình
[1], [2], [3], [4], [5] (xem trong danh mục công trình khoa học đã công bố
của luận án).

8
Chƣơng 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN


 nhiên, quá trình
xích Markov và 
tính (
n).
[4], [5], [6], [7] và [42].
1.1 Không gian xác suất
1.1.1 Xây dựng không gian xác suất Kolmogorov
Xét

là một tập tùy ý khác

. Ký hiệu
()
là tập hợp gồm tất cả
các tập con của

.
1.1.1.1 Đại số. Lớp
A

()  
được gọi là một đại số nếu:
A1)

, A

A2)
\,A A A    AA

A3)
, , .A B A B A B     A A A

Ta nhận thấy
, ,A B A B A B A B     
nên trong A3) chỉ cần đòi
hỏi một trong hai điều kiện.
1.1.1.2


đại số. Lớp
A

()  
được gọi là một


đại số nếu nó là
đại số và ngoài ra:
A4) Từ

, 1,2,
n
AnA
suy ra
1
n
n
A




A
,
1
n
n
A




A
.
Ở đây cũng như A3) chỉ cần đòi hỏi một trong hai hệ thức. Hệ thức kia tự
động được thỏa mãn

9
1.1.1.3 Không gian đo. Cặp
 
,  A
, trong đó
  
bất kỳ, còn
A
là
một


đại số các tập con của

được gọi là một không gian đo.
Trong lý thuyết xác suất, người ta gọi:

là biến cố chắc chắn, tập

được gọi là biến cố không. Và nếu
A  A
thì
A
được gọi là biến cố đối
của biến cố A.
1.1.1.4 Định nghĩa hàm tập.
a) Hàm tập P:
A



+
gọi là hữu hạn cộng tính nếu
( ) ( ) ( )P A B P A P B  
với mọi
,,AB A
và
.AB  

b) Hàm tập P:
A


+
gọi là


cộng tính nếu
1
1
( ).
ii
i
i
P A P A











với mọi
,
i
A  A

ij
AA

với
,ij

*
và
ij
.
1.1.1.5 Độ đo xác suất. Hàm tập hợp P xác định trên đại số
A
được gọi là
độ đo xác suất nếu
p1)
( ) 0,PA
,A  A

p2)
( ) 1,P 

p3) Nếu với
i

*
và
,
i
A  A

ij
AA

với
,ij

*

thỏa
ij
sao cho
1
i
i
A



A
thì
1

1
( ).
ii
i
i
P A P A










1.1.1.6 Không gian xác suất Kolmogorov. Ta gọi bộ ba
 
,,P A
là một
không gian xác suất Kolmogorov nếu:
a)


là tập hợp tùy ý có các phần tử ký hiệu là

; hay




b)
A
là


đại số các tập con của

;
c) P là độ đo xác suất hay gọi là xác suất trên
A
,
Tập

được gọi là không gian các biến cố sơ cấp
Mỗi


được gọi là một biến cố sơ cấp.
Mỗi
A  A

được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
()PA
là xác suất của biến cố A.




10

P
được gọi là xác suất trên
A
.
Ví dụ 1.1 Khi


là tập hữu hạn
 
12
, , ,
n
a a a
và
1
( ) ; 1,2, ,
i
P a i n
n


thì
( ) .
A
PA


1.1.2 Tính chất của xác suất
Mệnh đề 1.1 Trên không gian xác suất
 

,,P A
ta có:
1.
( ) 0P 
.
2. Nếu
 
12
, , ,
n
A A A
là một họ hữu hạn các biến cố ngẫu nhiên từng
đôi xung khắc thì
1
1
( ).
n
n
kk
k
k
P A P A








Mệnh đề 1.2 Giả sử A, B là các biến cố ngẫu nhiên bất kì, khi đó:
1.
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB   
.
2. Nếu
AB
thì
( ) ( )P A P B
.
3. Với
AA
thì
0 ( ) 1PA
và
 
1 ( )P A P A
.
Mệnh đề 1.3 Trong không gian xác suất
 
,,P A
cho họ biến cố ngẫu
nhiên
 
,1
n
An
thỏa mãn điều kiện:
1.
12

n
A A A   

2.
1
k
k
A




Khi đó,
( ) 0 ( )
n
P A n  
.
Hệ quả 1.1
1. Nếu
 
,1
n
Bn
là họ các biến cố thỏa
1

nn
BB



và
1
n
n
BB



thì
( ) ( ) ( )
n
P B P B n  
.
2. Nếu
 
,1
n
Cn
là họ các biến cố thỏa
1

nn
CC


và
1
n
n
CC




thì
( ) ( ) ( )
n
P C P C n  
.




11
Mệnh đề trên và hệ quả của nó nói lên tính liên tục của độ đo xác suất.
1.1.3 Xác suất điều kiện
Trong phần này ta sẽ xây dựng một đại lượng để biểu thị khả năng
xuất hiện một biến cố A khi có một biến cố B đã xuất hiện với xác suất nào
đó.
Định nghĩa 1.1 Xét không gian xác suất
 
,,P A
Giả sử B là biến cố
ngẫu nhiên có
( ) 0,P B AA
. Đại lượng
 
()
|
()
P A B

P A B
PB


được gọi là
 
Nhận xét 1.1 Trong lược đồ định nghĩa cổ điển, ta có
 
()
|
()
n A B
P A B
nB


,
nghĩa là xác suất điều kiện
( | )P A B
có thể xem như xác suất của A xét
trong không gian B.
Với
, ( ) 0B P BA
ánh xạ
( | )PB
từ
A
vào 
+
là một xác suất

(thỏa mãn hệ tiên đề Kolmogorov).
Mệnh đề 1.4 (Công thức nhân xác suất)
Giả sử
 
12
, , ,
n
A A A
là họ các biến cố ngẫu nhiên sao cho
1 2 1
( ) 0
n
P A A A


, khi đó:

1 2 1 1 2 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ).
n n n
P A A A P A P A A P A A A A



1.2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất
Giả sử
 
, A
là không gian đo đã cho,   
Định nghĩa 1.2 Hàm thực

 
XX


xác định trên

lấy giá trị trên  sẽ
được gọi là một hàm
A
đo được hoặc một biến ngẫu nhiên nếu
 
, ( )XB

A
với mỗi
()B  B
(ở đây
()B
là


đại số các tập
Borel của tập số thực ).




12
Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu miền giá trị X(


) chỉ gồm
hữu hạn hoặc đếm được giá trị.
Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu miền giá trị X(

) lấp kín
một khoảng trên tập số thực  (số phần tử của miền giá trị X(

) là một tập
vô hạn không đếm được).
Định nghĩa 1.3. Hàm số
( ) ( ),
X
F x P X x x  
được gọi là hàm phân
phối của biến ngẫu nhiên X.
1.3 Kỳ vọng và phƣơng sai của biến ngẫu nhiên
Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất
 
,,P A
.
1.3.1 Trường hợp rời rạc
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc X là một số thực xác định theo
công thức:

 
n n n n
nn
EX x p x P X x  


nếu chuỗi hội tụ.
Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc X là một số thực không âm
xác định theo công thức:
2
2 2 2 2
ar ( ) ( ) ( ) ( )
nn
nn
V X E X EX EX EX x P X x xP X x

       



.
1.3.2 Trường hợp liên tục
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục X là số thực xác định theo
công thức:
( ) ,EX xf x dx





nếu tích phân suy rộng là hội tụ.




13

Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục X là số thực không âm xác
định theo công thức:

       
2
22
22
VarX E X EX EX EX x f x dx xf x dx
 
 

     



.
1.4 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên theo một số nghĩa khác nhau đóng
vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất. Trong phần này, các dạng hội
tụ: theo xác suất, hầu chắc chắn, trung bình bậc p, theo phân phối sẽ được
giới thiệu. Giả sử
 
1
n
n
X

là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên không
gian xác suất
 

,,P A
.
1.4.1 Hội tụ theo xác suất
Dãy biến ngẫu nhiên
 
1
n
n
X

được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến
ngẫu nhiên X nếu với
0


bất kỳ
 
lim 0
n
n
P X X


  
.
Sự hội tụ theo xác suất được kí hiệu là
P
n
XX 
.

Trong lý thuyết hàm biến thực, thuật ngữ hội tụ theo xác suất chính
là hội tụ theo độ đo.
1.4.2 Hội tụ hầu chắc chắn
Dãy biến ngẫu nhiên
 
1
n
n
X

được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (a.s)
đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho
   
n
XX


, khi
n 
với
A


. Nghĩa là,
 
| lim ( ) ( ) 1.
n
n
P X X
  




Sự hội tụ hầu chắc chắn được kí hiệu là
.
.
as
n
XX 






14
1.4.3 Hội tụ trung bình
Dãy biến ngẫu nhiên
 
1
n
n
X

được gọi là hội tụ theo trung bình bậc
 
0pp  
đến biến ngẫu nhiên X, nếu
 
0,

p
n
E X X n   
.
Sự hội tụ theo trung bình bậc p được kí hiệu là
p
n
XX 
L
.
1.4.4 Hội tụ theo phân phối
Dãy biến ngẫu nhiên
 
1
n
n
X

được gọi là hội tụ theo phân phối đến
biến ngẫu nhiên X, nếu
n
XX
FF
()n 
tại mọi điểm liên tục của
.
X
F

Sự hội tụ theo phân phối được kí hiệu là

.
D
n
XX 

Định lý 1.1 ( [7])
.as
n
XX
khi và chỉ khi, với
0


bất kì,

 
sup 0,
k
kn
P X X n


    
.
Hệ quả 1.2 Nếu chuỗi
 
1
n
n
P X X






hội tụ với
0


tùy ý thì
.as
n
XX
.
1.5 Quá trình ngẫu nhiên
1.5.1 Định nghĩa và kí hiệu
Giả sử
 
,,P A
là một không gian xác suất
a. Cho
,0
t
Xt
là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất
 
,,P A
.
Quá trình ngẫu nhiên
 

,0
t
X X t
là một hàm hai biến
( , )Xt
xác định
trên


lấy giá trị trong và là một hàm đo được đối với

trường
tích

BA
. Trong đó

B
là

trường các tập Borel trên


0,

 
.

15
Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên 

thì tập hợp
   
 
, : ,t X t B

     
là một phần tử của

trường tích

BA
.

trường này là

trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng
 
0,tA
với
t


và
A  A
.

b. Khi cố định một
  
thì ánh xạ riêng phần
 
,t X t
từ

vào được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên
 
, 0 ,
t
X X t

ứng với yếu tố ngẫu nhiên ấy.
c. Nếu X lấy giá trị trong
( 1)
n
n 

thì ta có một quá trình ngẫu nhiên
n - chiều.
Nói chung ta thường nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên có ở một trong các
dạng sau:
 


 
 
 
, ; , 0, ; , 0,1 .

n t t
X X n X X t X X t      

1.5.2 Phân phối hữu hạn chiều
Định nghĩa 1.4 Giả sử
 
,
t
X X t T
là quá trình ngẫu nhiên và
 
12
, , ,
n
I t t t
là một tập con hữu hạn của T. Hàm phân phối đồng thời của
12
, , ,
n
t t t
X X X

   
 
12
1 2 1 2 1 2 1 2
, , , , , , , , , , , , ,
n
I n n n t t t n
F x x x F x x x t t t P X x X x X x    

được gọi là phân phối hữu hạn chiều của quá trình ngẫu nhiên X ứng với
tập hữu hạn đã cho trước I, và tập
 
I
F
được gọi là họ các phân phối hữu
hạn chiều của quá trình ngẫu nhiên X.
Phân phối hữu hạn chiều là một trong những khái niệm then chốt của
lý thuyết quá trình ngẫu nhiên. Nhiều tính chất quan trọng của quá trình
ngẫu nhiên được xác định bởi các tính chất của họ các phân phối hữu hạn
chiều của nó.





16
1.5.3 Tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều
Họ các phân phối hữu hạn chiều thỏa mãn các điều kiện sau:
i. Điều kiện đối xứng, tức là
 
1 2 1 2
, , , , , , ,
nn
F x x x t t t
không thay đổi khi
hoán vị các cặp
 
, , 1, .

kk
x t k n

ii. Điều kiện nhất quán theo nghĩa:
   



1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
lim , , , , , , , , , , , , , , .
n
n n n n
x
F x x x t t t F x x x t t t

1.6 Xích Markov với thời gian rời rạc
1.6.1 Tính Markov
Giả sử ta nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ (hệ sinh
thái, vật lý…) nào đó. Kí hiệu
{ , }
t
X X t T
là quá trình ngẫu nhiên mô
tả vị trí của hệ tại thời điểm t. Tập hợp các vị trí có thể của hệ sẽ được gọi
là không gian trạng thái E của quá trình ngẫu nhiên X xét trên. Về phương
diện toán học, tính Markov có thể định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.5 Ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên
{ , }
t
X X t T

là có tính
Markov nếu
       
 
   
 
1 0 0 1 1
1
, , ,
n n n n
nn
P X t j X t i X t i X t i
P X t j X t i
  

   
  

với bất kỳ các bộ giá trị
0 1 2 1
,
n n i
t t t t t t T

     
và
01
, , , ,
n
i i i j E



.
Ta xem
n
t
là hiện tại,
1n
t

là tương lai, và
 
0 1 1
, , ,
n
t t t

là quá khứ
thì tính Markov có nghĩa là: Sự tiến triển của hệ trong tương lai chỉ phụ
thuộc vào hiện tại và độc lập với quá khứ.
Xích Markov là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, không
gian trạng thái hữu hạn hoặc đếm được và có tính chất Markov.
Với
st
, ta ký hiệu
 
 
, , ,
ts
p s i t j P X j X i  

là xác suất có
điều kiện để quá trình tại thời điểm s ở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển




17
sang trạng thái j, vì thế ta gọi
 
, , ,p s i t j
là xác suất chuyển trạng thái hay
xác suất chuyển của quá trình ngẫu nhiên
{ , }
t
X X t T
.
Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào
 
,ts
tức là:

   
, , , , , ,p s i t j p s h i t h j  

thì ta nói quá trình ngẫu nhiên được xét là  theo thời gian.
Ví dụ 1.2 Cho
01
, , , ,
n
  

là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập,
k
E
là
tập hợp các giá trị của
k

,
k
E
là hữu hạn hoặc đếm được với
k
.
Đặt
0
k
k
EE



, rõ ràng E là tập hợp không quá đếm được.
Khi đó ta thấy:

 
   
 
1 0 0 1 1
11
| , , ,

| , , 1,
n n n n
n n n
P j i i i
P j P j i P n i n j
  

       
         

với
  
    
0 0 1 1 1 1 1
, , , , , .
n n n n
i E i E i E i E j E

Vậy
{ , 0,1,2, }
n
n   
là một xích Markov.
1.6.2 Ma trận xác suất chuyển
Giả sử
{ , }
n
Xn
là xích Markov rời rạc và thuần nhất.
Đặt

   
1 1 0 0 1 1
, , ,
ij n n n n n n
p P X j X i P X j X i X i X i
   
        


ij
p

là xác suất có điều kiện để quá trình tại thời điểm n (hiện tại) ở
trạng thái i chuyển sang trạng thái j tại thời điểm
1n 
(tương lai).
Do xích Markov có tính thuần nhất nên
ij
p
không phụ thuộc vào n mà chỉ
phụ thuộc vào khoảng thời gian xảy ra sự chuyển trạng thái này và
ij
p
còn
được gọi là xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j của xích
Markov sau 1 bước.

18
Đặt
 
ij
Pp
thì ma trận
 
ij
Pp
được gọi là    

Đặt các biến cố:

     
1 0 0 1 1
, , , ,
n n n n
A X j B X i C X i X i
  
      

Thì tính Markov có nghĩa là:
   
P A B P A BC

Từ đó suy ra:

 
 

 
 
 
 
 
   
 
   

,
P BC P A BC P B P C B P A B
P ABC
P AC B
P B P B P B
P C B P A B
  


tức là, quá khứ và tương lai là độc lập với nhau khi cho trước hiện tại.
Từ công thức xác suất đầy đủ, suy ra ma trận
 
ij
Pp
có tính chất:
0 1, , ; 1
ij ij
jE
p i j E p

    



Ma trận
 
,
ij
i j E
Pp


có tính chất trên, sẽ gọi là  nhiên.
1.6.3 Phương trình Chapman – Kolmogorov
Xác suất chuyển sau n bước, ký hiệu là
()n
ij
p
và được định nghĩa theo
công thức:
   
()
0
||
n
ij n m m n
p P X j X i P X j X i

     

Đây là xác suất để quá trình tại thời điểm ban đầu ở trạng thái i, sau
n bước chuyển sang trạng thái j.

Rõ ràng
(1)
ij ij
pp
. Ta quy ước:
(0)
ij
1
0
ij
p
ij






nÕu
nÕu

Đặt
 
( ) ( )nn
ij
Pp
, đó là ma trận xác suất chuyển sau n bước.

19
Từ công thức xác suất đầy đủ và tính Markov ta có:

( 1) ( )nn
ij ik kj
kE
p p p




(1.1)

( 1) ( )nn
ij ik kj
kE
p p p




(1.2)
Với mọi
0,1,2 n

Tổng quát hơn, với mọi
, 0,1,2 nm
ta có:
( ) ( ) ( )




n m n m
ij
ik kj
kE
p p p
(1.3)
Phương trình (1.1) gọi là phương trình ngược.
Phương trình (1.2) gọi là phương trình thuận.
Phương trình (1.3) gọi là phương trình Chapman – Kolmogorov.
1.6.4 Phân phối hữu hạn chiều
Phân phối hữu hạn chiều của xích Markov được tính theo công thức sau:
 
0
00 i
P X i p

 
0 0 1 1
0 0 1 1 1 1
, , , , .
n
n n n i i i i i
P X i X i X i X i p p p


    

Phân phối của xích Markov tại thời điểm n được cho bởi công thức sau:
( ); 0,1, 2, ,
n
jn
p P X j n j E   

Đặt
 
( ) ( )
,
nn
j
p j E  
và gọi
(0)
  
là phân phối ban đầu của
xích.
Ta quy ước viết
 
( ) ( )
,
nn
j
p j E  
ở dạng một véc tơ hàng.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
m n n m

j m n n m n n i ij
i E i E
p P X j P X i P X j X i p p



      


vậy ta có:
( ) ( )
( 1) ( ) (1) ( )
( ) ( ) ( )
nn
n n n
n m n m
P
PP
P


  
    
  





20

Phân phối ban đầu được gọi là phân phối dừng nếu
()

n
không phụ
thuộc vào n, tức là
()n
  
hay
.P  

Như vậy mô hình xác suất của một xích Markov rời rạc và thuần
nhất là bộ ba
 
,,
n
XP
, trong đó:

n
X
là dãy các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc


là phân phối ban đầu

P
là ma trận xác suất chuyển.
Chú ý 1.1 Xích Markov hoàn toàn xác định một cách duy nhất bởi bộ ba
 

,,
n
XP
, nhưng nếu thay
P
bởi
(2 )
P
thì tính duy nhất không còn đúng
nữa. Chẳng hạn:
Với
(2)
10
01




P
thì
10
01
P




hoặc
01
10

P




.
1.6.5 Xích Markov có hữu hạn trạng thái
Bây giờ ta xét trường hợp đơn giản nhất của xích Markov với giả
thiết không gian trạng thái E của xích
{}
n
X
gồm hai phần tử. Ta kí hiệu
 
0,1E 
.
Giả sử ma trận xác suất chuyển của xích là
1
1
aa
P
bb






với
0 , 1.ab

Có thể kiểm tra lại rằng
1ab
khi và chỉ khi
12
, , XX
là một dãy
các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với
 
0
n
P X b
và
 
1
n
P X a
, nếu ta xem
 
0
0P X b
,
 
0
1P X a
và giả thiết là
1ab
thì
{}
n

X
là dãy phụ thuộc, nhưng có tính Markov.
Bằng quy nạp ta có

 
()
1
1
n
n
b a a a
ab
P
b a b b
a b a b


   

   


   





21
vì vậy nếu

11ab  
thì

 
lim
n
n
ba
a b a b
P
ba
a b a b










.
Điều này nói lên rằng, trong tương lai (xa xôi) quá trình sẽ rơi vào
trạng thái 0 với xác suất
b
ab
và rơi vào trạng thái 1 với xác suất
a
ab

.
1.7 Mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính
1.7.1 Sơ lược về phương pháp Monte-Carlo
Tên gọi “phương pháp Monter Carlo” xuất hiện trong từ điển toán
học vào những năm 1949 -1950, nhưng thật ra nó ra đời vào những năm
1943 -1944 gần như cùng thời với những máy tính điện tử đầu tiên ở Mỹ,
sự ra đời của các máy tính điện tử đã đảo lộn những quan niệm trước đó về
phương pháp số giải toán. Nhưng khi sử dụng các máy tính điện tử ta lại
lựa chọn các phương pháp thích hợp với hoạt động của máy tính điện tử.
Bởi vậy, nếu chọn được những phương pháp số thích hợp cho máy tính thì
cái “lợi” do thuật toán đơn giản sẽ lấn át cái “hại” do tăng khối lượng tính
toán. Một trong những phương pháp như vậy là phương pháp Monte-
Carlo, đôi khi người ta còng gọi nó là “phương pháp thử thống kê”.
Trên cơ sở nền tảng là luật mạnh số lớn, phương pháp Monte-Carlo
là phương pháp giải bằng số các bài toán thông qua việc tạo ra và sử dụng
các số ngẫu nhiên. Để giải bằng số mỗi bài toán ta cần thiết lập các phép
thử ngẫu nhiên tương ứng và xác định lời giải gần đúng của bài toán đã nêu
từ các kết quả của các phép thử này. Với một đại lượng khó tính toán về
mặt giải tích, người ta tìm cách tính một loạt các giá trị cụ thể của nó (xem
như các thể hiện của một biến ngẫu nhiên) rồi lấy trung bình cộng các giá
trị đó.




22
Đối với các bài toán tất định, tức là bài toán không liên quan đến
phép tính xác suất, đây là những bài toán trong giải tích số thông thường.
Để sử dụng phương pháp Monte-Carlo vào mỗi bài toán tất định nói trên,
trước hết ta cần lập các bài toán xác suất tương đương (mô hình xác suất

tương ứng) mà lời giải y của bài toán tất định được xác định từ lời giải x
của bài toán xác suất bởi quan hệ hàm tính
()y f x
nào đó. Để giải gần
đúng bài toán xác suất tương đương trong mô hình thông qua việc tiến hành
các phép thử ngẫu nhiên. Đây là quá trình thể hiện mô hình xác suất tương
ứng. Từ kết quả của các phép thử trong quá trình nói trên, ta có thể thiết lập
một véc tơ ngẫu nhiên
X 

m
xấp xỉ với lời giải
x 

m
của mô hình xác
suất (theo một nghĩa nào đó). Nếu lời giải
y 

n
của bài toán tất định được
xác định từ x bởi quan hệ hàm tính
()y f x
(với
f
là hàm liên tục), thì ta có
thể xấp xỉ nó (theo một nghĩa nào đó) bởi véc tơ ngẫu nhiên
()Y f X

n

,
nghĩa là
Xx

m
;
( ) ( )Y F X f x y   

n

trong đó: Y và X được gọi là ước lượng Monte-Carlo hoặc phỏng ước đối
với lời giải y và x của lần lượt các bài toán tất định và bài toán xác suất
tương đương.
Bây giờ ta xét việc ứng dụng của phương pháp Monte-Carlo vào việc
giải bằng số các bài toán xác suất với các hiện tượng ngẫu nhiên không
quan sát được. Thuộc các loại bài toán này là các bài toán quan trọng của lý
thuyết thông tin, lý thuyết phục vụ đám đông, lý thuyết trò chơi, vật lý, kỹ
thuật và kinh tế… Các bài toán nói trên đều có chung một đặc điểm là: Các
hiện tượng ngẫu nhiên xuất hiện trong đó là “không có khả năng quan sát
được”, nghĩa là ta không thể tiến hành các thí nghiệm để quan sát chúng
trong thực tế, vì các thí nghiệm ngẫu nhiên này thuộc một trong ba loại:
Loại thí nghiệm diễn biến quá chậm, loại thí nghiệm diễn biến quá nhanh
và loại thí nghiệm đắt giá. Tương tự như trường hợp của bài toán tất định,
để giải bằng số các bài toán xác suất với các hiện tượng ngẫu nhiên không




23
quan sát được ở trên, ta thiết lập một bài toán xác suất tương đương (gọi là

mô hình mô phỏng tương ứng), sao cho tuy nó có cùng lời giải x với bài
toán xác suất ban đầu nhưng lại có thể mô hình hóa trên máy tính, nghĩa là
có thể xác định phỏng ước của X đối với lời giải x thông qua quá trình thể
hiện một mô hình xác suất cơ bản nào đó. Với mỗi bài toán xác suất khác
nhau, sẽ có những mô hình mô phỏng khác nhau.
Tiếp theo, ta xét việc mô hình hóa trên máy tính (tạo lập những thí
nghiệm ngẫu nhiên), nghĩa là xét các quá trình thể hiện các mô hình xác
suất cơ bản trên máy tính, cụ thể ta xét thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên
trong phần sau đây bằng phương pháp nghịch đảo hàm phân phối.
1.7.2 Thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên
Bây giờ ta xét việc mô phỏng thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên

có
hàm phân phối
( ) { }F x P x


đã cho, tức là ta xét những thể hiện (trong
phép thử mô phỏng) của đại lượng ngẫu nhiên

ứng với hàm phân phối
( ),Fx
trong đó
()Fx
là hàm không giảm, liên tục trái và
0 ( ) 1Fx
. Tuy
nhiên, nói chung
()Fx
không có hàm ngược theo ý nghĩa giải tích thông

thường. Từ hàm phân phối xác suất, ta cần tìm một hàm ngược
1
()Fx

(theo
nghĩa rộng) của
()Fx
sao cho:
1
( ) ( ) ( ) .x F F x y


   
Khi đó từ hàm
()y F x
, ta định nghĩa hàm ngược theo nghĩa rộng
()x G y
của
()Fx
như
sau:
1
( ) inf{ : ( )}: ( ).x G y x y F x F y

   
(1.4)
Ta thu được kết quả.
Bổ đề 1.1 ([42]) Đại lượng ngẫu nhiên

có hàm phân phối

( ) { }F x P x



đã cho trước và từ hàm phân phối xác suất
()Fx
, ta định nghĩa hàm ngược
của
()y F x
(theo nghĩa rộng) bởi (1.4). Giả sử
[0,1]R 
là đại lượng ngẫu
nhiên phân phối đều trên [0,1].
Khi đó, phương trình




24
()FR



có nghiệm duy nhất
1
()FR



, (1.5)

và nếu thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên

được mô phỏng bởi quy tắc
(1.5), thì

là thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối
()Fx

cho trước.
Kết luận
Trong chương 1, chúng tôi đã giới thiệu một số khái niệm và kết quả
đã có liên quan trực tiếp đến nội dung, phương pháp chứng minh của luận
án bao gồm các định nghĩa: Xác suất, xác suất có điều kiện, dãy biến ngẫu
nhiên độc lập, các dạng hội tụ của biến ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên,
xích Markov và mô phỏng các đại lượng ngẫu nhiên trên máy tính. Luận án
sẽ tập trung nghiên cứu mô hình rủi ro trong bảo hiểm (thời gian rời rạc)
với giả thiết dãy các số tiền thu, đòi trả bảo hiểm là độc lập; đồng thời, luận
án còn nghiên cứu các mô hình này trong trường hợp có xét đến tác động
của lãi suất. Các nội dung, cũng như các kết quả nghiên cứu mà tác giả đã
đạt được về các vấn đề này, sẽ được trình bày trong các chương tiếp theo.






25
Chƣơng 2

CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT RỦI RO

Tro 
 .  

1
)(
ii
X
 
1
)(
ii
Y

 
1
)(
ii
X
và
1
)(
ii
Y
là
(
).  

1
)(

ii
X

1
)(
ii
Y
là các dãy
  a,  
ro  
  không
  
  công trình [1], [2], [3], và
[5] 
2.1 Các công thức tính chính xác xác suất rủi ro
Trong lý thuyết rủi ro, có hai mô hình cổ điển sau đây là rất quan
trọng và được nghiên cứu nhiều: Một là mô hình rời rạc, đó là quá trình với
thời gian rời rạc và lượng tiền chi trả trong mỗi chu kỳ thời gian được giả
thiết là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương (hoặc bằng không).
Hai là mô hình Poisson phức hợp, đó là mô hình liên tục hóa (thời gian liên
tục) của mô hình rời rạc (lượng tiền chi trả được giả thiết có phân phối liên
tục). Mặc dù mô hình liên tục là tổng quát nhưng mô hình rời rạc trực quan
và dễ áp dụng hơn trong nhiều trường hợp thực tế.
Bây giờ chúng tôi xin giới thiệu mô hình rủi ro rời rạc.