CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẢNG

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

1








Đường tròn
Mục lục


Loại 1. Phương trình đường tròn 2
Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn 8
Loại 3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung 18

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

2

Loại 1. Phương trình đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
* Phương trình chính tắc: Phương trình
   
2 2
2
x a y b R
    (

R 0

)
là phương trình chính tắc đường tròn tâm


I a;b
, bán kính
R
.
* Phương trình tổng quát: Phương trình
2 2
x y 2ax 2by c 0
 
 
(
2 2
a b c 0
  
) là
phương trình tổng quát của đường tròn tâm


I a;b
, bán kính
2 2
R a b c
  
.
* Chú ý (điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn



C
có tâm
I
, bán kính
R
và đường thẳng

. Khi đó:


C
tiếp xúc với






R d I,
 
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

3

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn



C
tâm


I 1; 2

trong các trường hợp sau
1)


C
có bán kính bằng
5
.
2)


C
đi qua điểm


A 2;7
 .
3)


C
tiếp xúc với đường thẳng
: 3x 2y 12 0

   
.
Giải
1)


C
có tâm


I 1; 2

, bán kính bằng
5



     
2 2
C : x 1 y 2 25
   
.
2) Gọi
R
là bán kính của


C
.



A C



2 2 2 2
R IA 3 9 90
   
.
Vậy
     
2 2
C : x 1 y 2 90
   
.
3) Gọi
R
là bán kính của


C
.


C
tiếp xúc với




 


3.1 2. 2 12
19
2 2 13
3 2
R d I,
  

    .
Vậy
     
2 2
361
13
C : x 1 y 2   
.
Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm


A 2;0
,


B 3; 1

,



C 3; 3

.
Giải
Gọi


C
là đường tròn đi qua ba điểm


A 2;0
,


B 3; 1

,


C 3; 3

.



I a;b
là tâm của



C



2 2
2 2
IA IB
IB IC










     
       
2 2 2
2
2 2 2 2
a 2 b a 3 b 1
a 3 b 1 a 3 b 3

     




      




a b 3
b 2
 


 




a 1
b 2



 






I 1; 2

.

R
là bán kính của


C



2 2
R IA 5
 
. Vậy
     
2 2
C : x 1 y 2 5
   
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

4

Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm


A 1;4
,


B 1;6
 và có tâm thuộc

đường thẳng
: x 2y 4 0
   
.
Giải
Giả sử


C
là đường tròn cần lập phương trình và


C
có tâm
I
, bán kính
R
.
Cách 1:
I
 


tọa độ
I
có dạng


I 2a 4;a
  .

Ta có


IA 2a 3; a 4
  




   
2 2
2 2
IA 2a 3 a 4 5a 20a 25
      
.


IB 2a 5; a 6
  




   
2 2
2 2
IB 2a 5 a 6 5a 32a 61
      
.
Từ

A
,


B C



2 2
IA IB

(cùng bằng
2
R
)



2 2
5a 20a 25 5a 32a 61
    




a 3







I 2;3
 .
Lại có
2 2 2 2
R IA 3 1 10
   
. Vậy
     
2 2
C : x 2 y 3 10
   
.
Cách 2: Gọi
M
là trung điểm của
AB



IM AB

(bán kính đi qua trung điểm của dây cung
thì vuông góc với dây cung).
Ta có
M
là trung điểm của
AB





M 0;5
,


AB 2;2


.
Δ
M
A
I
B



   
IM M 0;5
IM AB 2;2 1; 1



  





qua





IM : x y 5 0
  





IM : x y 5 0
  
.
I IM
  



x y 5 0
I :
x 2y 4 0
  


  







I 2;3
 .
2 2 2 2
R IA 3 1 10
   
. Vậy
     
2 2
C : x 2 y 3 10
   
.
Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm


A 2;9
,


B 3;10
 và tiếp xúc với
đường thẳng
: 3x 2y 2 0
   
.

Giải
Giả sử


C
là đường tròn cần lập phương trình và


C
có tâm


I a;b
, bán kính
R
.
Ta có


IA 2 a;9 b
  




   
2 2
2
IA a 2 b 9
    ,

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

5




IB 3 a;10 b
   




   
2 2
2
IB a 3 b 10
    ,

 
3a 2b 2
13
d I,
 
  .
Từ
2 2
IA IB

(cùng bằng

2
R
)


       
2 2 2 2
a 2 b 9 a 3 b 10
      


b 5a 12
 



1
.
Lại có
 
2 2
IA d I,
 
(cũng cùng bằng
2
R
)


   

 
2
3a 2b 2
2 2
13
a 2 b 9
 
   


2
.
Thay


1
vào


2
ta thu được
   
 
2
3a 2 5a 12 2
2
2
13
a 2 5a 12 9
 

  
 
 
    
 



     
2 2 2
a 2 5a 3 13 a 2
    



2
a 2a 3 0
  




a 1
a 3
 





+) Thay
a 1
 
vào


1
ta có
b 7






I 1;7
 .
2 2 2 2
R IA 3 2 13
   
. Vậy trong trường
hợp này


C
có phương trình
   
2 2
x 1 y 7 13
   

.
+) Thay
a 3

vào


1
ta có
b 27






I 3;27
.
2 2 2 2
R IA 1 18 325
   
. Vậy trong
trường hợp này


C
có phương trình
   
2 2
x 3 y 27 325

    .
Tóm lại
     
2 2
C : x 1 y 7 13
   
hoặc
     
2 2
C : x 3 y 27 325
    .









THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

6

C. Bài tập
Bài 1. Lập phương trình đường tròn


C
biết

1)


C
có tâm


I 1;3
, bán kính
R 4

.
2)


C
có tâm


I 2;3
,




A 1; 2 C
  .
3)



C
đi qua các điểm


A 1;2
,


B 2; 3
 
và tâm
I
thuộc đường thẳng
d : x 3y 1 0
  
.
4)


C
đi qua các điểm


A 1;4
,


B 4;0
 và



C 2; 2
 
.
5)


C
Có đường kính là đoạn thẳng
AB
với


A 3;4
,


B 2;7
.
6)


C
có tâm


I 1;2
, tiếp xúc với đường thẳng
d : 3x 4y 1 0
  

.
7)


C
có tâm


I 2;3
, cắt đường thẳng
d : 3x 4y 1 0
  
theo một dây cung có độ dài bằng
2
.
8)


C
đi qua


A 2; 1

và tiếp xúc với các trục tọa độ.
9)


C
là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng

5y x 2
 
,
y x 2
 
và
y 8 x
 
.
10)


C
nội tiếp tam giác
OAB

với


A 4;0
,


B 0;3
.
Bài 2. [ĐHA07] Cho tam giác
ABC
có



A 0;2
,


B 2; 2
 
và


C 4; 2

. Gọi
H
là chân
đường cao kẻ từ
B
;
M
và
N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB
và
BC
. Viết phương
trình đường tròn đi qua các điểm
H
,
M
,

N
.
Bài 3. Cho
ABC

có
AB : x y 2 0
  
,
AC:2x 6y 3 0
  
và


M 1;1
 là trung điểm cạnh
BC
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
ABC

.
Bài 4. [ĐHB09Chuẩn] Cho
   
2
2
4
5
C : x 2 y
  
và hai đường thẳng

1
:x – y 0
 
,
2
:x – 7y 0
 
. Xác định toạ độ tâm
K
và tính bán kính của đường tròn


C'
biết


C'
tiếp xúc
với các đường thẳng
1

,
2

và tâm
K
thuộc
(C)
.
Bài 5. [ĐHB05] Cho hai điểm



A 2;0
và


B 6;4
. Viết phương trình đường tròn


C
tiếp xúc
với trục hoành tại điểm
A
và khoảng cách từ tâm của


C
đến điểm
B
bằng
5
.
Bài 6. Cho


A 3;1
,



B 0;7
,


C 5;2
.
1) Chứng minh rằng
ABC

vuông và tính diện tích tam giác.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

7

2) Giả sử điểm
M
chạy trên đường tròn ngoại tiếp
ABC

. Chứng minh rằng khi đó trọng tâm
G
của
MBC

chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó.
Bài 7. [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng
1
d : 3x y 0
 
và

2
d : 3x y 0
 
. Gọi


T
là
đường tròn tiếp xúc với
1
d
tại
A
, cắt
2
d
tại hai điểm
B
và
C
sao cho tam giác
ABC
vuông
tại
B
. Viết phương trình của


T
, biết tam giác

ABC
có diện tích bằng
3
2
và điểm
A
có
hoành độ dương.
Bài 8. [ĐHD09NC] Cho
   
2
2
C : x 1 y 1
  
. Gọi
I
là tâm của


C
. Tìm tọa độ điểm
M

thuộc


C
sao cho

o

IMO 30

.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

8

Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
* Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn: Xét đường tròn


C
có tâm
I
, bán kính
R
và
điểm
M
. Đặt
d IM

. Ta có
+)
M
nằm ngoài


C



d R

.
+)


M C



d R

.
+)
M
nằm trong


C



d R

.
* Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn



C
có tâm
I
, bán kính
R
và đường thẳng

. Đặt


d d I,
 
. Ta có
+)

không có điểm chung với


C



d R

.
+)

tiếp xúc với



C
(

là tiếp tuyến của


C
)


d R

.
+)

cắt


C
tại
2
điểm phân biệt


d R

.
* Chú ý: Xét đường tròn



C
và điểm
M
. Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa
M
và


C
với số tiếp tuyến qua
M
của


C
:
+)
M
nằm ngoài


C
: qua
M
tồn tại hai tiếp tuyến của


C
.

+)


M C
 : qua
M
tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của


C
. Tiếp tuyến
này nhận
M
làm tiếp điểm.
+)
M
nằm trong


C
: qua
M
không tồn tại tiếp tuyến của


C
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

9

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho đường tròn
     
2 2
C : x 1 y 2 16
   
và điểm


A 1;6
 . Chứng minh
A
nằm
ngoài


C
và viết phương trình các tiếp tuyến qua


A 1;6
 của


C
.
Giải
Ta có



C
là đường tròn tâm


I 1;2
, bán kính
R 4

.


IA 2;4





IA 4 16 2 5 R
   


qua
A
có hai tiếp tuyến của


C
.


là đường thẳng qua
A


phương trình

có dạng:




:a x 1 b y 6 0
    



:ax by a 6b 0
    
(
2 2
a b 0
 
).
Có
 
a 2b a 6b 2 a 2b
2 2 2 2
a b a b
d I,

   
 
   .

là tiếp tuyến của


C
khi và chỉ khi


d I, R
 



2 a 2b
2 2
a b
4






2 2
a 4ab 4b
2 2
a b

4
 





2
3a 4ab 0
 



4b
3
a 0
a



 


.
+)
a 0






:b y 6 0
  



: y 6 0
  
(
a 0




b 0

).
+) Từ
4b
3
a
 
, cho
b 3
 



a 4





:4x 3y 22 0
   

Vậy
: y 6 0
  
hoặc
:4x 3y 22 0
   
.
Ví dụ 2. Cho
 
2 2
C : x y 2x 6y 9 0
    
.Viết phương trình các tiếp tuyến của
(C)
biết:
1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng
d : x y 0
 
.
2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
d : 3x 4y 0
 
.

3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng
d : 2x y 0
 
góc
45

.
Giải
Ta có
     
2 2
C : x 1 y 3 1
   





C
có tâm


I 1;3
, bán kính
R 1

. Gọi

là tiếp tuyến
cần tìm.

1)
d




phương trình

có dạng
: x y c 0
   
.
Ta có
 
1 3 c c 2
2 2
d I,
  
   . Do đó:

là tiếp tuyến của


C
khi và chỉ khi

10




d I, R
 



c 2
2
1






c 2 2
 



c 2 2
c 2 2

 

  






c 2 2 2
c 2 2 2

 

 





: x y 2 2 2 0
: x y 2 2 2 0

    

    


.
Vậy
: x y 2 2 2 0
    
hoặc
: x y 2 2 2 0
    
.
2)
d

 


phương trình

có dạng
:4x 3y c 0
   
.
Ta có
 
4 9 c c 13
5 5
d I,
  
   . Do đó:

là tiếp tuyến của


C
khi và chỉ khi


d I, R
 



c 13

5
1






c 13 5
 




c 13 5
c 13 5
 


  





c 8
c 18
 



 




:4x 3y 8 0
:4x 3y 18 0
   


   

.
Vậy
:4x 3y 8 0
   
hoặc
:4x 3y 18 0
   
.
3) Xét đường thẳng

nhận


n a;b

(
2 2
a b 0

 
) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có
 
,d 45
 




 
cos ,d cos45
 





 
2a b
2
2
2 2
5 a b






 

2 2
4a 4ab b
1
2
2 2
5 a b
 




11




2 2
3a 8ab 3b 0
  



1

* Thay
b 0

vào



1



a 0

(loại).
*
b 0

: chia cả hai vế


1
cho
2
b
, đặt
a
b
t

ta được

2
3t 8t 3 0
  



1
3
t 3
t



 


.
+)
t 3




a
b
3




a 3b

. Cho
b 1




a 3



Phương trình

có dạng

: 3x y c 0
   
.


 
3 3 c c 6
10 10
d I,
  
   .
Do đó:

là tiếp tuyến của


C
khi và chỉ khi



d I, R
 



c 6
10
1






c 6 10
 



c 6 10
c 6 10

 

  






c 6 10
c 6 10

  

  





: x 3y 6 10 0
: x 3y 6 10 0

    

    


.
+)
1
3
t
 



a

1
b 3
 



b 3a
 
. Cho
a 1




b 3
 


Phương trình

có dạng

: x 3y c 0
   
.


 
1 9 c c 8
10 10

d I,
  
   .
Do đó:

là tiếp tuyến của


C
khi và chỉ khi


d I, R
 



c 8
10
1






c 8 10
 

12



c 8 10
c 8 10

 

  






c 8 10
c 8 10

 

 





: x 3y 8 10 0
: x 3y 8 10 0


    

    


.
Vậy
: 3x y 6 10 0
    
, hoặc
: 3x y 6 10 0
    
,
hoặc
: x 3y 8 10 0
    
, hoặc
x 3y 8 10 0
   
.
Ví dụ 3. Cho


A 0; 3

và đường tròn
 
2 2
C : x y 6x 6y 7 0
    

. Lập PTĐT qua
A
, cắt


C
theo một dây cung có độ dài bằng
10
.
Giải
Ta có
     
2 2
C : x 3 y 3 25
   





C
có tâm


I 3;3
 , bán kính
R 5

.
Δ

E
M
A
I
N



là đường thẳng qua
A


phương trình

có dạng:


:ax b y 3 0
   

hay
:ax by 3b 0
   
(
2 2
a b 0
 
).
Giả sử


cắt


C
tại
M
,
N
. Lấy
I
là trung
điểm của
MN



IE
 
(bán kính đi qua
trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây
cung).
Ta có:
 
2
10 3 10
2 2
2 2
d I, IE IM ME 25
 
      

 
 



1
.
Lại có
 
3a 3b 3b 3 a 2b
2 2 2 2
a b a b
d I,
   
 
  


2
.
Từ


1
,


2
suy ra
3 a 2b

3 10
2
2 2
a b





2 2
a 4ab 4b 5
2 2 2
a b
 





2 2
3a 8ab 3b 0
  



3
.

13

* Thay
b 0

vo


3



a 0

(loi).
*
b 0

: chia c hai v


3
cho
2
b
, t
a
b
t

ta c

2
3t 8t 3 0




1
3
t
t 3






.
+)
1
3
t




a
1
b 3

b 3a

. Cho
a 1




b 3




: x 3y 9 0

.
+)
t 3




a
b
3

a 3b

. Cho
b 1




a 3




: 3x y 3 0

.
Vy
: x 3y 9 0

hoc
: 3x y 3 0

.
Vớ d 4. [HD11NC] Cho


A 1;0
v ng trũn

2 2
C : x y 2x 4y 5 0

. Vit PTT

ct


C
ti hai im
M
v
N
sao cho tam giỏc
AMN
vuụng cõn ti
A
.
Gii
Ta cú

2 2
C : x 1 y 2 10






C

cú tõm


I 1; 2

, bỏn kớnh
R 10
.
(
C
)

A
M
N
I





IM IN R
AM AN

cuứng baống
giaỷ thieỏt



IA
l ng trung trc ca
MN





IA 0;2




phng trỡnh

cú dng
y m

.
Trc ht ta tỡm iu kin

ct


C

ti hai im phõn bit


1
. Xột h



2 2
x y 2x 4y 5 0 2
y m 3







.
Thay


3
vo


2
ta cú
2 2
x m 2x 4m 5 0

2 2
x 2x m 4m 5 0




4
(
2
' m 4m 6

).
Do ú:


1




4
cú hai nghim phõn bit


' 0

2
m 4m 6 0




5
.
Gi
1
x
,
2
x
l cỏc nghim ca


4



1 2
2
1 2
x x 2
x x m 4m 5

6
.

14

Khi đó


 
1
2
M x ;m
N x ;m










 
1
2
AM 1 x ; m
AN 1 x ; m

 


 







  
  
 
2
1 2 1 2 1 2
AM.AN 1 x 1 x m m x x x x 1 m
          
 




7
.
Thay


6
vào


7
ta có


2 2 2
AM.AN m 4m 5 2 m 2m 4m 6
       
 
.
Do đó


AMN
vuông tại
A



AM.AN 0

 



2
2m 4m 6 0
  



m 1
m 3



 

(thỏa mãn


5
).


: y 1
: y 3
 


  


(thỏa mãn


5
).
Vậy
: y 1
 
hoặc
: y 3
  
.
Ví dụ 5. [ĐH11A11Chuẩn] Cho đường thẳng
: x y 2 0
   
và đường tròn
 
2 2
C : x y 4x 2y 0
   
. Gọi
I
là tâm của


C
,
M
là một điểm thuộc


. Qua điểm
M
kẻ
các tiếp tuyến
MA
và
MB
đến


C
(
A
và
B
là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm
M
biết
tứ giác
MAIB
có diện tích bằng
10
.
Giải
x
x
A
B
I
M

Ta có
     
2 2
C : x 2 y 1 5
   





C
có tâm


I 2;1
, bán
kính
R 5
 .
Đặt
x MA MB
 
. Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn
thì


MAI MBI 90
 


. Do đó

MAIB MAI
S 2S MA.IA x 5
   .
Từ giả thiết suy ra:
x 5 10




x 2 5



2 2 2
MI IA MA 25
  



1
.

15

M
 



tọa độ
M
có dạng



M m; m 2
 





IM m 2; m 3
  




   
2 2
2 2
MI m 2 m 3 2m 2m 13
      



2
.
Từ



1
và


2
suy ra:
2
2m 2m 13 25
  



2
m m 6 0
  



m 2
m 3



 






 
M 2; 4
M 3;1






.
Vậy


M 2; 4

hoặc


M 3;1
 .
Ví dụ 6. [ĐHD07] Cho
     
2 2
C : x 1 y 2 9
   
và
d : 3x 4y m 0
  

. Tìm
m
để trên
d

có duy nhất một điểm
P
sao cho từ
P
kẻ được đúng hai tiếp tuyến
PA
,
PB
tới


C
(
A
,
B
là
các tiếp điểm) sao cho
PAB

đều.
Giải
Ta thấy



C
có tâm là


I 1; 2

, bán kính
R 3

.
(
C'
)
(C)
d
60
o
30
o
B
A
I
P

Theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ
một điểm nằm ngoài đường tròn tới đường
tròn thì
PAB
là tam giác cân tại
P

.
Ta có

PAB

đều



APB 60







API 30







AIP 60





IP 2AI 2R 6
  






P
thuộc đường
tròn


C'
có tâm
I
, bán kính
R' 6

.
Như vậy


P d C'
  . Do đó
điểm
P
tồn tại duy nhất



d
tiếp xúc với


C'





d I,d R'



3 8 m
5
6
 



16



11 m 30
 



11 m 30
11 m 30
 


  




m 19
m 41



 

.
Vậy
m 19

hoặc
m 41
 
.

17

C. Bài tập
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa điểm
M
và đường tròn
(C)

1)


M 1;2

,
 
2 2
C : x y 2x 4y 4 0
    
,
2)


M 0; 1

,
 
2 2
C : x y 2x 4y 4 0
    
,
3)


M 1;2
,
 
2 2
C : x y 2x 4y 20 0
    
.
Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng

và đường tròn

(C)

1)
: 3x 4y 5 0
   
,
 
2 2
C : x y 4x 6y 12 0
    
.
2)
: 3x 4y 23 0
   
,
 
2 2
C : x y 4x 6y 12 0
    
.
3)
: 3x 4y 20 0
   
,
 
2 2
C : x y 4x 6y 12 0
    
.
Bài 3. Cho

2 2
(C) : x y 2x 8y 8 0
    
.Viết phương trình các tiếp tuyến của
(C)
biết:
1) Tiếp tuyến đi qua


A 4;0
.
2) Tiếp tuyến đi qua


A 4; 6
 
.
Bài 4. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với
Ox
và đi qua điểm


0;1
. Tìm quỹ tích tâm
đường tròn đó.

18

Loại 3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến
chung

A. Tóm tắt lý thuyết
Xét hai đường tròn


1
C
có tâm
1
I
, bán kính
1
R
;


2
C
có tâm
2
I
, bán kính
2
R
. Đặt
1 2
d I I
 .
Ta có:
d

Vị trí tương đối Số tiếp tuyến chung

1 2
d R R
 



1
C
,


2
C
nằm ngoài nhau
4

1 2
d R R
 



1
C
,


2

C
tiếp xúc ngoài nhau ngoài nhau
3

1 2 1 2
R R d R R
   


1
C
,


2
C
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
2

1 2
d R R
 


1
C
,


2

C
tiếp xúc trong nhau
1

1 2
d R R
 


1
C
,


2
C
lồng nhau
0


19

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giao điểm
A
,
B
của hai đường tròn
 
2 2

1
C : x y 4x 6y 0
   
,
 
2 2
2
C : x y 4x 2y 0
   
. Viết PTĐTR đi qua
A
,
B
và


C 3;1
 .
Giải
* Tọa độ giao điểm của


1
C
,


2
C
là nghiệm của hệ

 
 
2 2
2 2
x y 4x 6y 0 1
x y 4x 2y 0 2

   


   


.
Trừ từng vế


1
và


2
ta có
8x 8y 0
 



y x




3
.
Thế


3
vào


1
ta được
2
2x 2x 0
 





 
3
3
x 0 y 0
x 1 y 1


  



  


.
Vậy các giao điểm của


1
C
,


2
C
là


A 0;0
và


B 1;1
.
*


3
C

là đường tròn đi qua
A
,
B
,
C


phương trình


3
C
có dạng
 




2 2 2 2
3
C :m x y 4x 6y n x y 4x 2y 0
       
,
m n 0
 
.


3

C
đi qua
C



8m 24n 0
  



m 3n




4
. Từ


4
cho
n 1




m 3

.

Do đó
 




2 2 2 2
3
C : 3 x y 4x 6y x y 4x 2y 0
       





2 2
3
C :4x 4y 8x 16y 0
   





2 2
3
C : x y 2x 4y 0
   



 
   
2 2
3
C : x 1 y 2 5
   
.
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn
 
2 2
1
C : x y 4x 2y 5 0
    
,
 
2 2
2
C : x y 6x 8y 9 0
    
.
Chứng tỏ


1
C
,


2

C
cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Viết PTĐT đi qua các giao điểm của


1
C
,


2
C
.
Giải
* Ta có
 
   
2 2
1
C : x 2 y 1 10
   





1
C
có tâm



1
I 2;1
 , bán kính
1
R 10
 .

20


 
   
2 2
2
C : x 3 y 4 16
   





1
C
có tâm


2
I 3;4
, bán kính
2

R 4

.


1 2
I I 5;3




1 2
I I 25 9 34
  


1 2 1 2 1 2
R R I I R R
   




1
C
,


2
C

cắt nhau
tại hai điểm phân biệt.
*






0 0 1 2
M x ;y C C
 


2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
x y 4x 2y 5 0
x y 6x 8y 9 0

    


    










2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
x y 4x 2y 5 x y 6x 8y 9 0
         




0 0
10x 6y 14 0
  




0 0
5x 3y 7 0
  



tọa độ điểm
M
thỏa mãn phương trình
5x 3y 2 0

  
.
Vậy PTĐTR đi qua các giao điểm của


1
C
,


2
C
là
5x 3y 2 0
  
.
Ví dụ 3. [ĐHB06] Cho đường tròn
 
2 2
C : x y – 2x – 6y 6 0
  
và điểm


M 3;1
 . Gọi
1
T
và
2

T
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ
M
đến


C
. Viết phương trình đường thẳng
1 2
T T
.
Giải
*
     
2 2
C : x 1 y 3 4
   





C
có tâm


I 1;3
.
Ta thấy



1 2
MT I MT I 90
 




1
T
,
2
T
thuộc đường tròn


C'
đường kính
MI

(


C'
là đường tròn tâm
I'
là trung điểm của
MI
, bán kính
MI

2
R' 
)



1
T
,
2
T
là các giao điểm của


C
và


C'
.
Ta có


I' 1;2
 ,


IM 4; 2
 




IM 16 4 2 5
  


R' 5
 .
Do đó
     
2 2
C' : x 1 y 2 5
   



 
2 2
C' :x y 2x 4y 0
   
.
*






0 0 1 2

M x ;y C C
 


2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
x y 2x 6y 6 0
x y 2x 4y 0

    


   










2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
x y 2x 6y 6 x y 2x 4y 0
        



0 0
4x 2y 6 0
   


21




0 0
2x y 3 0
  



tọa độ điểm
M
thỏa mãn phương trình
2x y 3 0
  
.
Vậy PTĐTR đi qua các giao điểm của


1
C

,


2
C
là
2x y 3 0
  
.

22

C. Bài tập
Bài 1. Xét vị trí tương đối của các đường tròn


1
C
,


2
C

1)
 
2 2
1
C : x y 4x 6y 3 0
    

,
 
2 2
2
143
C : x y 12x 0
4
   
,
2)
 
2 2
1
C : x y 4x 6y 3 0
    
,
 
2 2
2
C : x y 12x 35 0
   
,
3)
 
2 2
1
C : x y 4x 6y 4 0
    
,
 

2 2
2
C : x y 12x 27 0
   
.
Bài 2. Cho


1
C
có tâm


A 1;0
, bán kính
1
R 4

và


2
C
có tâm


B 1;0
 , bán kính
2
R 2


. Tìm quỹ tích tâm
I
của đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn
 
2 2
1
C : x y 4x 3 0
   
,
 
2 2
2
C : x y 8x 12 0
   
.
ĐS:
x 3y 0
 
,
x 3y 0
 
,
x 35y 8 0
  
,
x 35y 8 0
  
.

Bài 4. [ĐHD03] Cho đường tròn
     
2 2
C : x –1 y – 2 4
 
và đường thẳng
d : x – y –1 0

.
Viết phương trình đường tròn


C'
đối xứng với đường tròn


C
qua đường thẳng
d
. Tìm tọa
độ các giao điểm của


C
và


C'
.
ĐS:

   
2
2
C' : x 3 y 4
  
, các giao điểm của


C
và


C'
là


A 1;0
và


B 3;2
.