Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Kiến thức lớp 10
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
I. Véc tơ chỉ phương và pháp tuyến
1) Véc tơ
u
r
là véc tơ chỉ phương của đt (d)
0
/ /( )
u
u d u d

≠

⇔

∪ ≡


r r
r r

u
r
là véc tơ chỉ phương thì k
u
r
với mọi k
≠
0 cũng là
véc tơ chỉ phương của đt đó

2) Véc tơ
n
r
là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d)
0
( )
n
n d

≠

⇔

⊥


r r
r
;
n
r
là véc tơ pháp tuyến thì k
n
r
với mọi k
≠
0 cũng là
véc tơ pháp tuyến của (d)
3) Nếu (d) có véc tơ chỉ phương là
u

r
(u
1
; u
2
) thì véc tơ pháp tuyến của nó là
n
r
(-u
2
; u
1
) hoặc
n
r
(u
2
;-u
1
)
II. Pương trình của đường thẳng
1) Đt (d) đi qua M(x
0
; y
0
) và có véc tơ chỉ phương là
u
r
(u
1

; u
2
) thì pt tham số là
0 1
0 2
x x u t
t R
y y u t
= +

∀ ∈

= +


Phương trình chính tắc là
0 0
1 2
x x y y
u u
− −
=

và Phương trình tổng quát u
2
(x - x
0
) – u
1
(y – y

0
) = 0
2) Đt (d) đi qua M(x
0
; y
0
) và có véc tơ pháp tuyến
n
r
(n
1
; n
2
) thì phương trình tổng quát là n
1
(x-x
0
) + n
2
(y-y
0
) = 0
phương trình tham số là
0 2
0 1
x x n t
t R
y y n t
= −


∀ ∈

= +


và phương trình chính tắc là
0 0
2 1
x x y y
n n
− −
=
−
3) Đt đi qua M(x
0
; y
0
) và có hệ số góc là k thì pt theo hệ số góc là y-y
0
= k(x-x
0
) và véc tơ chỉ phương là
(1; )u k
r

đt tạo với Ox theo chiều dương một góc
α
thì hsg k = tan
α
4) Đt (d) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm có tọa độ là A( x

0
;0) và B(0;y
0
) có pt là
0 0
1
x y
x y
+ =
5) Đt (d) đi qua 2 điểm M
1
(x
1
; y
1
) và M
2
(x
2
; y
2
) => véc tơ chỉ phương
1 2 2 1 2 1
( ; )u M M x x y y= − −
r uuuuuur
thì
pt tham số
1 2 1
1 2 1
( )

( )
x x x x t
y y y y t
= + −


= + −

hoặc phương trình chính tắc là
1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
− −
=
− −
6) Lưu ý từ PTTS suy ra PTTQ ta có thể làm mất bằng pp cộng đại số ; hoặc có
u
r
=>
n
r
. từ PTTQ suy ra PTTS ta cũng có
n
r
=>
u
r
hoặc đặt x = t rồi thế vào pt => y
III. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng: cho 2 đt có PTTQ

( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
d : A x B y C 0
d : A x B y C 0
+ + =


+ + =


1)
1 1 1
1 2
2 2 2
/ /
A B C
d d
A B C
⇔ = ≠
2)
1 1 1
1 2
2 2 2
A B C
d d
A B C
≡ ⇔ = =
3)

1 1
1 2
2 2
A B
d d
A B
× ⇔ ≠
4)
1 2 1 2 1 2
0d d A A B B⊥ ⇔ + =
5) ÁP DỤNG: cho đường thẳng (d) có phương trình: A
1
x +B
1
y +C
1
= 0
- 1 -
Kiến thức lớp 10

đt (d’) // (d) có dạng pt A
1
x +B
1
y +C’ = 0
đt (d’) vuông góc với (d) có pt B
1
x -A
1
y +C

2
= 0 hay -B
1
x +A
1
y +C
2
= 0
6) Trường hợp đặc biệt: (d) // Oy hoặc vuông góc với Ox và đi qua M(x
0
; y
0
) có pt x = x
0
(d) // Ox hoặc vuông góc với Oy và đi qua M(x
0
; y
0 có
phương trình y = y
0
7) Đường phân giác của góc phần tư thứ I và III là y = x còn của góc phần tư thứ II và IV là y = -x
8) * cho hai đt cắt nhau
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
d : A x B y C 0
d : A x B y C 0
+ + =



+ + =


mọi đường thẳng đi qua giao điểm của (d
1
) và (d
2
) có dạng pt
2 2
1 1 1 2 2 2
( A x B y C )+ ( A x B y C ) = 0 voi ; R 0
α β α β α β
+ + + + ∈ + >
IV. Góc và khoảng cách
1) GÓC
• 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt có 2 véc tơ chỉ phương là
u
r
(u
1
; u
2
) và
v
r
(v
1
; v
2

) khi đó góc
α
giữa 2 đt là
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
os =
.
u v
u v u v
c
u v
u u v v
α
×
× +
=
×
+ +
r r
r r
• 2 đường thẳng có hệ số góc là k
1
và k
2
thì góc giữa chúng là
1 2
1 2
tan

1
k k
k k
α
−
=
+

2) KHOẢNG CÁCH
• Khoảng cách từ điểm M(x
0
; y
0
) tới dt Ax + By +C = 0 là MH=
0 0
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
• Khoảng cách giữa 2 đt song song là k/h từ điểm M thuộc đt này tới đt kia
• Cho 2 đt
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
d : A x B y C 0
d : A x B y C 0
+ + =



+ + =


ta có 2 đường phân giác của góc giữa 2dt này là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
+ + + +
= ±
+ +
M
3) HÌNH CHIẾU CỦA M LÊN(d)
Cách 1: H d
B
1
viết phương trình đt (M
x
):
qua M
( ) ( )
x
M d


⊥

M

1
B
2
tìm tọa độ H là giao điểm của (M
x
) và (d) bằng cách giải
Hệ pt của 2 đt đó
Cách 2: cho (d) Ax + By +C = 0 và M(x
0
; y
0
)
( )
. 0
d
H d
MH u MH u
∈



⊥ ⇔ =


uuuur uur uuuur r

0 1 0 2
Ax By C 0
( ). ( ) 0
H H

H H
x x u y y u
+ + =

⇔

− + − =

0 0
Ax By C 0
( ). ( )( ) 0
H H
H H
x x B y y A
+ + =

⇔

− + − − =


4) Xác định M
1
đối xứng với M qua (d)
Cách 1
Ta làm

b1; b2 như trên sau đó áp dụng ct H là trung điểm của MM
1

Cách 2:
1 1
( )
. 0
d
H d
MM u MM u
∈



⊥ ⇔ =


uuuuur uur uuuuur r

/ /
0 1 0 2
Ax By C 0
( ). ( ) 0
H H
x x u y y u
+ + =

⇔

− + − =


/ /

0 0
0 0
A( ) B( ) C 0
2 2
( ). ( )( ) 0
H H
x x y y
x x B y y A

+ +
+ + =

⇔


− + − − =


- 2 -