- Trang chủ >>
- Sư phạm >>
- Sư phạm toán
Giải bài tập toán cao cấp a1 đh nông lâm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.96 MB, 68 trang )
ĐẠI HỌC NÔNG LÂM
KHOA KHOA HỌC
GIẢI BÀI TẬP
T
T
O
O
Á
Á
N
N
C
C
A
A
O
O
C
C
Ấ
Ấ
P
P
A
A
1
1
death
birth
time
time
happiness
Life
BIÊN SOẠN: BBT ĐỀ THI NÔNG LÂM
- LƯU HÀNH NỘI BỘ 2015 -
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 1 -
- Gii hn Liên tc
Câu 6. Tính các gii hn sau
6
4
4.3
3
1
4
3
.4
4.3
3
1
4
3
.4
4
4
3
3
4
34.4
3
3
4
34.4
32
34
).
limlimlimlimlim
12
1
n
n
n
x
n
n
n
n
n
x
n
n
nn
x
n
n
nn
x
nn
nn
x
a
6
1
1
2
12
1
1
2
12
).
3
24
3
24
limlimlim
n
nn
n
n
n
nn
n
n
b
xxx
202
11
2
1
1
11
2
1
1
2
3
32
3
32
limlimlim
nn
n
n
n
nn
nn
n
n
n
n
xxx
6
111).
333
lim
nnnc
x
Ta có:
BA
BA
BA
,
Áp dụng vào ta có:
1
1
1
1
1
2
11
2
11
33
33
3333
limlimlim
nn
nn
nnnn
xxx
6
0
2
1
11
2
1
1
12
1
).
limlimlim
2
2
2
2
2
2
n
x
n
x
n
x
n
n
n
n
n
nn
n
d
Có thể giải bằng tiêu chuẩn 2 (Định lý Weierstrass)
6
0
2
sin1
).
2
2
lim
n
nn
e
x
Giới hạn đã cho có dạng:
, Áp dụng Quy tắc L’Hospital ta có:
n
nnnn
n
nn
n
nn
xx
L
x
2
1cos.2sin
2
sin1
2
sin1
22
2
2
2
2
limlimlim
2
sin41cos2cos.2
2222
lim
nnnnnn
x
L
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 2 -
6
112012).
limlimlim
n
x
n
x
n
x
aVìDof
6
n
x
ng 1).
lim
Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC”
t
0
1
11
limlim
n
x
n
x
nnA
Ly Lô-ga Nepe 2 v ta có:
L
n
n
n
n
nA
xx
n
x
1ln
1ln
1
1ln)ln(
limlimlim
1
0
1
1
1
1
1
1ln
limlimlim
n
n
n
n
xxx
,
Vậy
10)ln( AA
Cách 2: Với mọi giá trị:
1n
ta có:
nnn
nnn 21
1
lim
n
x
nMà
Trang 20 Giáo Trình Toán CC A1 ĐHNL
Mặc khác ta có:
1;121.22
limlimlimlimlim
n
x
n
x
n
x
n
x
n
x
nVàDonnMà
Vậy ta có
11
lim
n
x
nMà
6
2
1
12)12
1
7.5
1
5.3
1
3.1
1
).
lim
nn
h
x
12
1
12
1
5
1
3
1
3
1
1
12)12
1
7.5
1
5.3
1
3.1
1
2
1
lim
lim
nnnn
x
x
2
1
12
1
1
2
1
lim
n
x
6
01).
3
3
lim
nni
x
Ta có Công thức liên hợp (hiệp):
22
33
BABA
BA
BA
, Ta có:
0
11
1
1
3
2
3
3
32
33
3
3
limlim
nnnn
nn
nn
xx
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 3 -
6
1
1
2
1
1
1
).
222
lim
nnnn
j
x
nnnn
x
222
1
2
1
1
1
lim
Với
1n
, Ta có:
nnnn
222
1
2
1
1
1
Cho nên:
1
11
22
n
n
nn
n
Mà
1
1
2
1
1
1
1
1
11
22222
limlimlim
nnnn
nên
nnn
xxx
Câu 8. Tính các giới hạn sau
8
0
!
3
).
lim
n
a
n
x
Do:
!n
Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với
n
3
khi
n
8
0
3
).
3
lim
n
x
n
b
Cách 1: Do:
n
3
Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với
3
n
khi
n
Cách 2: Giới hạn đã cho có dạng
, Dùng quy tắc L’Hospital ta có:
0
3ln.3
6
3ln.3ln.3.1
6
3ln.3ln.3.1
6
3ln.3.1
3
3
32
''
2
'
3
limlimlimlimlim
n
x
n
x
L
n
x
L
n
x
L
n
x
nnn
8
0
!
2
).
lim
n
c
n
x
Do:
!n
Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với
n
2
khi
n
Câu 11. Tính các giới hạn sau
11
1
3
3
32.22
12
32
1
).
2
2
2
2
2
lim
xx
x
a
x
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 4 -
Do thế vào không có dạng vô định
11
3
1
1
1
21
2
2
2
).
2
2
22
2
2
24
2
2
limlimlim
xxx
x
xx
x
b
xxx
cách 1:
3
1
12
1
24
2
2
2
2
2
2
2
3
2
24
2
2
'
24
2
2
limlimlimlim
xxx
x
xx
x
xx
x
xxx
L
x
cách 2: (Phân tích tha s kh)
Ta thấy
2x
là nghiệm của tử và mẫu, vậy ta có:
3
1
1
1
21
2
2
2
2
2
22
2
2
24
2
2
limlimlim
xxx
x
xx
x
xxx
Do có dạng vô đinh
nên phải tiến hành biến đổi rồi khi hết dạng
ta mới thế giá trị vào
11
8
26
).
3
3
2
lim
x
x
c
x
cách 1:
4626422
2
8
26
3
2
3
2
2
3
3
2
limlim
xxxxx
x
x
x
xx
144
1
462642
1
3
2
3
2
2
lim
xxxx
x
cách 2:
Nhn thy
8
26
3
3
2
lim
x
x
x
có dạng vô định
0
0
vậy có thể dùng được
144
1
12
12/1
3
6.3
1
8
26
8
26
2
3
2
2
3
3
2
3
3
2
limlimlim
x
x
x
x
x
x
xx
L
x
Với
6.6.
3
1
66
13/13/1
3
xxxx
11
L
x
x
d
x
0
0
2516
238
).
4
3
0
lim
Công thức tổng quát:
uuu
1
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 5 -
4
3
3
2
0
4/3
3/2
0
14/1
13/1
0
516
1
.4/5
38
1
5164/5
38
5.5164/1
3.38.3/1
limlimlim
x
x
x
x
x
x
xxx
5
8
8
16
.
5
4
38
516
.
5
4
3
2
4
3
0
3
2
4
3
0
limlim
xx
x
x
Câu 12. Tính các giới hạn sau
12
ba
x
bxax
a
x
,
tan
sinsin
).
lim
0
ba
x
bbxaax
x
bxax
x
L
x
2
00
cos
1
.cos.cos
tan
sinsin
limlim
cách 2
x
bxaxbxax
x
bxax
xx
tan
2
sin.
2
cos.2
tan
sinsin
limlim
00
Do
2
~
2
sinvàx~tan
limlim
00
bxaxbxax
x
xx
Trở thành
x
bxax
bax
x
bxaxbxax
x
bxaxbxax
xxx
2
cos
2
cos.
2
.2
tan
2
sin.
2
cos.2
limlimlim
000
1
2
cos
2
cos.
limlim
00
bxax
Vìba
bxax
ba
xx
cách 2
Ta có :
0~tan;0~sin xkhixxukhiuu
, Vậy giới hạn đã cho trở thành
baba
x
bxax
x
bxax
xxx
limlimlim
00
~
0
tan
sinsin
12
2
1
2
cos1tansintan
).
3
2
0
3
0
3
0
limlimlim
x
x
x
x
xx
x
xx
b
xxx
Do
2
~cos1vàx~tan
2
x
xx
12
2
tan1).
lim
1
x
xc
x
t n ph
t
1 xt
Khi
1x
thì
0t
Khi đó
trở thành
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 6 -
t
t
ttttttt
tttt
2
sin
2
cos
2
cot
2
cot1
2
tan
limlimlimlim
0000
Do
0Khi
2
~
2
sin
ttt
2
2
0cos
2
2
cos
2
2
cos
2
sin
2
cos
limlimlim
000
t
t
t
t
t
t
t
t
ttt
Vy
2
2
tan1
lim
1
x
x
x
cách 2: (Bi
VĐ
x
x
x
.0
2
tan1
lim
1
VĐ
x
x
x
.0
2
cot
1
.1
lim
1
HospitalLVĐ
x
x
x
'
0
0
2
cot
1
lim
1
2
2
.
2
sin
1
1
2
1
lim
x
x
L
12
2
0
2
0
3cos.3coscos
2
1
1
3cos.2cos.cos1
).
limlim
x
xxx
x
xxx
d
xx
2
0
2
0
6cos1
4
1
4cos1
4
1
2cos1
4
1
6cos1
4
1
4cos
4
1
2cos
4
1
1
limlim
x
xxx
x
xxx
xx
7
7
9
2
2
1
Câu 13. Tính các giới hạn sau
13
32
2
1
).
lim
x
x
x
x
a
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 7 -
Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC”
t
1
2
1
32
lim
x
x
x
x
A
Ly Lô-ga Nepe 2 v ta có:
2
1
ln32
2
1
ln)ln(
limlim
32
x
x
x
x
x
A
x
x
x
t
0,;
1
txKhi
x
t
Vậy ta có giới hạn đã cho tương đương với
t
t
t
t
t
t
t
t
tx
x
x
ttx
21
1
ln
32
2
1
1
1
ln3
2
2
1
ln32
limlimlim
00
1
21
132
11
21
1
ln
32
21
1
ln
32
limlimlim
000
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
ttt
HospitalL
tt
tt
t
t
t
t
tt
'
0
0
2
96
21
332
2
2
00
limlim
6
41
186
lim
0
'
t
t
t
L
Vậy
6
6)ln( eAA
Cách 2: Giải nhanh từ Công thức suy ra cách 1 như sau:
A
xfx
x
ax
eexf
ax
1lim
lim
Vy áp dng CT ta có:
6
2
96
1
2
1
32
32
limlim
2
1
lim
eee
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
13
x
x
x
xx
b
1
1
).
2
2
lim
Áp dụng công thức như trên ta có:
ee
x
e
x
xx
x
x
x
xx
x
x
x
x
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
lim
lim
1
1
lim
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 8 -
13
2
/1
0
2cos).
lim
x
x
xc
Áp dụng công thức như câu trên ta có:
2
2
0
2
2
0
2
0
2
sin21sin21
12cos
1
/1
0
limlimlim
2cos
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
eeex
xxxKhiDoee
x
x
x
~sin0
lim
2
sin
2
2
2
0
13
2
1
2
1
2
1cos1cos1lncosln
).
limlimlimlimlim
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
xxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
d
2
~1cos;1cos~1cos1ln0
2
x
xVàxxxKhiDo
13
bavàba
x
ee
e
bxax
x
0,,).
lim
0
x
e
x
e
bxax
x
bxax
x
x
ee
11
0
lim
lim
0
Ta có:
bb
bx
e
x
e
vàaa
ax
e
x
e
bx
x
bx
x
ax
x
ax
x
1111
limlimlimlim
0000
Vy
ba
x
ee
bxax
x
lim
0
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx
eexxf
1cossin
1cossin
1
/1
0
limlim
cossin).
00
lim
Mà ta có:
01.
2
2
sin
0.
2
2
sin
1cos
1
sin
limlimlimlim
lim
0
2
2
2
0
2
2
2
00
0
xVà
x
x
Dox
x
x
x
x
Và
x
x
xxxx
x
Vy
exx
x
x
/1
0
cossin
lim
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 9 -
13
xx
x
x
x
x
g
sin
sin
0
sin
).
lim
01
sin
,
1
sin
1
sin
sin
limlim
00
x
x
Do
x
x
xx
x
Xét
xx
Giới hạn đã cho có dạng vô định:
1
, Ta có:
e
eee
x
x
xx
x
x
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
xx
1
limlim
sin
1
sin
sin
sin
1
sin
sin
sin
0
00
lim
Câu 14. Tính các giới hạn sau
14
1
32
).
2
2
1
lim
x
xx
a
x
cách 1: Xét du
Ta thực hiện xét dấu để “Phá dấu trị tuyệt đối”
X
-3 1
x
2
+2x - 3
+ 0 - 0 +
Nhn xét: 1
-
giá tr ca hàm s
2
1
3
11
31
1
32
1
32
limlimlimlim
11
2
2
1
2
2
1
x
x
xx
xx
x
xx
x
xx
xxxx
cách 2: Bii
11
3.1
11
31
1
32
limlimlim
11
2
2
1
xx
xx
xx
xx
x
xx
xxx
Do
1x
nên
1x
âm
2
2
4
11
3
11
3.1
limlim
11
xx
x
xx
xx
xx
14
2
arctan).
lim
xb
x
Dựa vào đồ thị của hàm arctanx
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 10 -
14
x
x
c
x
4
4
tan
).
lim
4
cách 1: nh lý kp
Chú ý:
4
x
Có nghĩa là
4
x
và
4
x
. Cho nên khi
4
x
thì
0
4
x
Vậy ta có:
4
tan
4
tan
xx
. Khi đó giới hạn đã cho trở thành:
1
4
4
tan
;
4
1
4
4
tan
4
1
4
4
tan
limlim
44
x
x
Do
x
x
x
x
xx
HospitalLVĐ
x
x
x
'
0
0
4
4
tan
lim
4
t n ph
0
44
txkhixt
( ngầm hiểu:
4
x
là
4
x
)
VĐ
t
t
x
x
xx
0
0
4
tan
4
4
tan
limlim
44
0
44
limlim
4
~
4
~
tDo
t
t
t
t
xx
4
1
Câu 15. Tính các giới hạn sau
15
x
a
x
x
13
).
lim
0
cách 1:
VĐ
x
x
x
,
0
013
lim
0
.3ln.
2
1
0
1
.3ln.
2
1
2
3
.3ln.
2
1
1
2
1
.3ln.3
limlim
00
x
x
x
x
x
x
L
cách 2:
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 11 -
xx
e
Do
xx
e
x
e
x
xx
xx
x
x
x
3ln
,1
3ln
13ln
3ln
1113
.
3ln3ln
0
3
00
limlimlim
Công thức:
1
1
lim
0
e
, ở bài này
3lnx
15
HospitalLVĐ
o
x
x
b
x
x
',
0
cos2
).
lim
0
Bài này có 2 cách gi
cách 1: S d
2ln
1
sin2ln.2
x
x
L
cách 2:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos11211cos2cos2
limlimlim
000
2ln
2
2ln
2
2ln
limlim
0
2
0
~
x
x
x
x
xx
Chú ý công thc: a
x
-1 ~ x.lna ; 1 cosax ~
2
2
ax
15
VĐ
x
x
x
c
x
,
0
0
1ln
1
arcsin
).
2
0
lim
Bài này có 2 cách gi
cách 2:
1
1
1
1
1ln
1
arcsin
2
0
2
0
~
2
0
limlimlim
x
x
x
x
x
x
x
xxx
cách 3: S d
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
L
1
1
1.1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
2
1.1
22
2
0
2
2
2
0
2
2
2
0
limlimlim
1
1.1
11
22
2
0
lim
xx
xxx
x
. Cách này rất lâu và dễ sai xót. Vậy nên tùy bài toán mà ta nên lựa
chọn phương pháp phù hợp.
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 12 -
15
VĐ
x
x
x
d
x
,
0
0
2sin.
2
arcsin
arctan
).
2
0
lim
cách 1: n ch gii
cách 2:
1
2
2
2.
2
2sin.
2
arcsin
arctan
2
2
0
2
2
0
2
0
~
2
0
limlimlimlim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
15
VĐ
xxx
x
e
x
,
0
0
3tan.2sin2
2cos1
).
2
0
lim
cách 1:
4
1
8
2
62
2
3.22
2
2
2
2
0
22
2
0
2
2
0
~
limlimlim
x
x
xx
x
xxx
x
xxx
cách 2: S d(Cách này lâu )
15
HospitalLVĐ
x
x
f
x
',
0
0
lg
1
).
lim
1
10ln
10ln.
1
1
lim
1
x
x
L
Chú ý công thc:
ax
x
a
ln.
1
log
15
VĐ
x
x
g
x
,
0
0
14
12arcsin
).
2
2
1
lim
t n ph
t
;0,2/112 txKhixt
ttxxxxxx .11211212121214
2
2
Vậy ta có:
1
1
1
.1.1
arcsin
14
12arcsin
limlimlimlim
00
~
0
2
2
1
ttt
t
tt
t
x
x
ttt
x
15
xx
x
xx
xx
x
x
h
xxx
1ln
2
1
1ln
2
11
1ln1ln
1
1
1
ln.
1
).
limlimlim
000
1
2
2
22
1ln1ln
limlimlim
000
x
x
x
xx
x
xx
xxx
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 13 -
15
VĐxxj
x
x
12cossin).
1
0
lim
t
VĐxxA
x
x
12cossin
1
0
lim
Ly Lô-ga Nepe 2 v ta có:
L
x
xx
xx
x
xxA
xx
x
x
0
02cossinln
2cossinln
1
2cossinln)ln(
limlimlim
0
1
0
i:
Cách 1: Dùng Quy tắc L’Hospital (Sẽ ra nhưng lâu)
1cos1sin
sin11cos
2cossin
sincos
1
2cossin
sincos
2cossinln
limlimlimlim
000
'
0
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
xxx
L
x
1
1
2
1
2
2
2
0
lim
x
x
x
x
x
Vậy
eAA 1)ln(
Cách 2: Dùng tương đương
1
2
1
2
1cossin2cossinln
limlimlimlim
0
2
000
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xxxx
Vậy
eAA 1)ln(
15
VĐexk
x
x
x
0
1
lim
).
a. Các kin thc cn nh
Nhớ
1
0
1
e
Dạng đặc trưng :
xv
xulim
lũy thừa cơ số hàm :
b. Trình t cách gii:
* B1: Đặt
xv
xuA lim
, Tìm A
* B2: Lấy Loga Nepe 2 vế (Nhớ câu “thần chú”: “lốc của lim = lim của lốc” )
bxuxvxuxuA
xvxv
ln.limlnlimlimlnln
( Chú ý trong dấu “….” Tức là biến đổi 1 thời gian để đưa về “=b” )
Vậy
b
eAbA ln
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 14 -
c. Áp dng gii bài tp k). :
* Đặt
x
x
x
exA
1
lim
, Tìm A
* Lấy lô-ga Nepe 2 vế:
x
x
x
exA
1
lim
lnln
VĐex
x
x
x
.0ln
1
lim
HospitalLVĐ
x
ex
x
x
'
0
0ln
lim
HospitalLVĐ
ex
e
ex
ex
x
x
x
x
x
x
L
'
1
1
.
1
limlim
HospitalLVĐ
e
e
x
x
x
L
'
1
lim
1
lim
x
x
x
L
e
e
* Vậy
eeAA
1
1ln
15
VĐ
x
xz
x
1
cot*).
lim
0
Mo gặp dạng vô định “
” thường NG sau đó dung
HospitalLVĐ
xx
xxx
xx
x
x
x
xxx
'
0
0
sin.
sincos.1
sin
cos1
cot
limlimlim
000
0
0
cos.sin
sin
cos.sin.1
cossincos.1
sin.
sincos.
limlimlim
000
VĐ
xxx
xx
xxx
xxxx
xx
xxx
xxx
L
Tới đây có 2 cách để giải: Dùng L’hospital, Hoặc tương đương (VCB tương đương), Để đa dạng phương
pháp tôi dung cách tương đương.
0
11
0
cos.1cos.
.
limlim
00
~
x
x
xxx
xx
xx
Câu 16. Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm x
0
=0
16a).
01
0
sin
xKhi
xKhi
x
x
xf
1:
Hàm số lien tục tại điểm x
0
=0 nếu
0
lim
0
fxf
x
, Mà
xf
x
lim
0
không tồn tại, thật vậy:
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 15 -
1
sin
1
sin
limlim
limlim
00
00
x
x
xf
x
x
xf
xf
xx
xx
Do đó f(x) không tồn tại tại x
0
= 0
2:
: Nếu đề cho (x ≠ 0, x = 0 :Thì dùng định nghĩa ), ( Nếu cho x ≥ … , x ≤ … :Thì dùng trái phải )
chi tit:
Kiểm tra:
i). Hàm số f(x) xác định tại x
0
vì f(0) = 1,
Xác định
ii xét
0
0
,
sin
limlim
00
VĐ
x
x
xf
xx
)0(
)0(
_
0
0
_
0
0
lim
lim
fxf
fxf
thayTa
x
x
thayTa
x
x
Nhn thy: Hàm số chỉ liên tục phải tại x = 0 mà không liên tục trái.
Kt lun: Hàm số không liên tục tại x
0
= 0.
16b).
0
4
1
0\
2
;
2
sin
cos1
2
xKhi
xKhi
x
x
xf
Hàm số liên tục tại điểm x
0
=0 nếu
0
lim
0
fxf
x
, Mà ta có:
4
1
2
2/1
cos1.
sin
cos
1
sin
cos1
2
2
2
0
2
0
limlim
x
x
x
x
x
x
x
xx
4
1
xf
4
1
0
sin
cos1
2
00
limlim
f
x
x
xf
xx
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x
0
=0
2:
chi tit:
Kiểm tra:
i). Hàm số f(x) xác định tại x
0 =
0 vì f(0)= 1/4 ,
Xác định
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 16 -
ii) xét
0
0
sin
cos1
2
00
limlim
VĐ
x
x
xf
xx
, Giới hạn này có 2 cách giải: L’Hospital hoặc liên
hợp, Cách giải sau sử dụng lien hợp sau đó tương đương
xx
x
x
x
xf
x
hopLiên
xx
cos1.sin
cos1
sin
cos1
2
0
_
2
00
limlimlim
4
1
11.2
1
cos1.2
1
cos1.
2
limlim
0
2
2
0
~
xxx
x
xx
0
_
f
thayta
Thỏa i) và ii) nên hàm số lien tục tại x
0 =
0
Câu 17. Tìm giá trị của a (và b, nếu có) để hàm số sau liên tục lien tục tại x
0
17a).
2,
21
2.
2
tan
0
xtai
xKhi
xKhi
x
x
xf
Hàm số f(x) liên tục tại x
0
=0, Nếu
10
lim
0
fxf
x
Ta có
axf
+
axaxf
xx
limlim
00
+
xx
xf
xx
1
arctan
limlim
00
2
limlim
00
xfxfa
xx
Vậy
2
a
thì hàm số liên tục tại x
0
=0
17b).
0,
0
0
1
arctan
0
xtai
xKhiax
xKhi
x
xf
Kiểm tra:
i). Hàm f(x) xác định tại x
0
=0 vì f(0) = a.0 = 0,
Xác định
ii). Điều kiện để hàm số lien tục tại x
0
=0
liên tục phải, liên tục trái tại x
0
=0
0
limlim
00
fxfxf
xx
Ta có:
0000
limlim
00
xhayxaxaxf
xx
00
2
arctan
1
arctan
limlim
00
xhayx
x
xf
xx
Từ (*)
0
2
0
(Vô lý)
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 17 -
00
2
0
(Vô lý)
không có giá trị a nào để hàm số f(x) liên tục tại x
0
=0
17c).
1
11arccos
1
xKhibx
xKhix
xKhia
xf
Tại
0
0
x
và
1
1
x
y
yx
xy
0
111
cos
arccos
c ht hàm s phnh ti x
0
= -1 và x
1
= 1
af 1
xác định và
01 f
xác định
* Hàm f liên tc ti
1
0
x
vừa phải liên tục phải và lien tục trái tại
1
0
x
Ta có :
afxf 1
0
Giới hạn :
1
limlim
11
fxfxf
xx
( I )
Mà :
1arccosarccos
limlim
11
xxf
xx
Và :
aaxf
xx
limlim
11
Thế vào ( I )
Vậy để hàm liên tục tại
1
0
x
thì a =
* hám s liên tc ti
1
0
x
Ta có :
01
1
fxf
Và :
bbxxf
xx
1
limlim
11
Vậy để hàm liên tục tại
1
0
x
thì b =
1
V hàm s liên tc thì a =
và b =
1
Câu 18. Tìm và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
18 a).
1
1
2
xx
x
y
1
1
11
1
1
1
2
xxxxx
x
xx
x
y
* Ti x
0
= 0:
1
1
limlim
00
xx
xf
xx
0
0
x
gọi là điểm gián đoạn vô cực:
* Ti x
0
= -1:
1
1
limlim
11
xx
xf
xx
Toán Cao Cấp A1
Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 18 -
Vn loi 2
18 b).
01
0
sin
xKhi
xKhi
x
x
xf
* Ti x
0
= 0:
1
sin
limlim
00
x
x
xf
xx
0
0
x
gọi là điểm gián đoạn bỏ được:
*Ti
0
0
x
:
các hàm sinx, x đều liên tục tại x
0
, do đó
x
xsin
cũng lien tục tại x
0
18 c).
1
1
2
x
x
y
Toán Cao Cấp A1
Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 19 -
A HÀM 1 BIN
Câu 2.1 Tính f’(1), f’(2), f’(3) của hàm số f(x) = (x – 1)
3
(x – 2)
2
(x – 3)
0
0
lim
0
xx
xfxf
xf
xx
Gọi
xxxxxx
00
0
0
23
0
0
00
321
lim
0
xx
xxxxx
xx
xfxxf
xx
0321
1
321
1
22
1
23
1
limlim
xxx
x
xxx
f
xx
0321
2
321
2
3
2
23
2
limlim
xxx
x
xxx
f
xx
821
2
321
3
23
3
23
3
limlim
xx
x
xxx
f
xx
Câu 2.2 Tính đạo hàm
a).
32
222 xxxy
Mượn bàn tay của Lô-ga ta có:
3232
2ln2ln2ln222lnln xxxxxxy
=
32
2ln
2
1
2ln
2
1
2ln xxx
Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x ta có:
3
2
23
2
2
2
2
3
2
2
1
2
3
2
1
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xy
y
32
3
2
23
2
2
222
2
2
3
2
2
1
2
2
3
2
2
1
xxx
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
b).
3
43
2
321
3
3
1
2
11111
xx
x
yxxx
xx
x
y
c).
xxxxxxxy
323232
tan.cos.costan.cossintan.cossin
xxx
x
xxxxx
32
2
223
tan.cos.cos
cos
1
.tan3.costansin.cos2
xxxxxx
3223
tan.cos.costan3tan2sin
d).
xx
xxy 2
* Ta có:
1
11
xyxy
,
ayy
xxx
ln.222
22
*
x
xy
3
, Ta lấy Loga-Nepe 2 vế ta có
xxxy
x
ln.lnln
3
Lấy đạo hàm 2 vế ta có:
1lnlnlnln.
3
3
xxxxxxxx
y
y
Toán Cao Cấp A1
Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 20 -
x
xxxyxxy 1ln1ln
33
Vậy
axxxy
xx
ln.21ln1
e).
x
x
x
x
yy
x
x
x
x
x
x
2
lnlnln
ln
1ln
2.2ln
ln
.2ln.22
f).
0,2
0,2
.
xx
xx
yxxy
0
0
.
0
0
limlimlim
000
x
x
xx
x
yxy
xxx
g).
2
11 xxy
222
111111 xxxxxxy
Do
01
2
x
111
111
2
2
xKhixx
xKhixx
y
112311
112311
2
2
2
2
xKhixxxx
xKhixxxx
y
h).
0,
1
1
0,1
11ln
1
x
x
x
y
xKhix
xKhix
y
1
1ln
0
0
limlim
00
x
x
x
yxy
xx
1
0
0
limlim
00
x
x
x
yxy
xx
i).
12log xy
x
Vì đề cho cơ số x nên ta đổi qua cơ số e để tính giới hạn như sau:
x
x
x
x
xy
e
e
x
ln
12ln
log
12log
12log
xxx
xxxx
x
xxxx
y
22
ln.12
12ln.12ln.2
ln
12lnlnln.12ln
j).
2
1arcsin xy
Áp dụng Công thức:
u
u
u
.
1
1
arcsin
2
Toán Cao Cấp A1
Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 21 -
22
2
2
2
1
1
12
2
.
1
1
11
1
1arcsin
xx
x
x
x
x
xy
( Do còn nằm trong dấu tuyệt đối)
k).
1arctan
2
xy
Áp dụng Công thức:
u
u
u
.
1
1
arctan
2
121
.
2
1
1
11
1
1arctan
222
2
2
2
2
xx
x
x
x
x
x
x
xy
l).
12arccos xy
Áp dụng Công thức:
u
u
u
.
1
1
arccos
2
22
121
2
12
121
1
12arccos
x
x
x
xy
Câu 2.5 Tính đạo hàm
dx
dy
biết
a).
tby
ttax
cos1
sin
t
t
a
b
ta
ttb
ta
tb
dx
dy
tbtb
dt
dy
taatta
dt
dx
sin
cos1
sin
cos1sin
cos1
sin
sincos1
cossin
2
b).
ty
tx
2
2
cos
sin
1
cos.sin2
sin.cos2
sin.sin2
cos.cos2
sin
cos
2
2
tt
tt
tt
tt
t
t
dx
dy
Câu 2.6 Tìm đạo hàm
dx
dy
biết
a).
xyxyx 22
22
Cách 1:
Xem y = y(x), đạo hàm 2 vế phương trình theo x, ta có:
xyxyx 22
22
Toán Cao Cấp A1
Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 22 -
2222
yyyxyxx
dx
dy
1.
yyxyx
yx
yx
yx
y
1
Với
xxxy 22
2
Cách 2
022
22
xxxyy
Tính nghiệm theo x ta có:
xx
x
xx
x
y
xx
x
xx
x
y
xxxy
xxxy
22
12
1
222
24
1
22
12
1
222
24
1
22
22
22
2
22
1
2
2
2
1
b).
22
lnarctan yx
x
y
Ta có:
22
2
1
22
ln
2
1
arctanlnarctan yx
x
y
yx
x
y
Đạo hàm 2 vế phương trình theo x, ta có:
22
ln
2
1
arctan yx
x
y
2222
.22
2
1.
.
1
1
yx
yyx
x
yyx
x
y
yyxyyx
Với
0
22
yx
yx
yx
yx
y
Câu 2.7 Tính
0y
biết
exye
y
Khi x =0 . Tìm y , Ta có:
10 yeeeye
yy
Đạo hàm:
exye
y
0
yxyey
y
1,0
1
01.
yxKhi
e
yyey
Câu 2.8 Tính đạo hàm cấp cao tương ứng
a).
yTínhxey
x
,sincos.
sin
Ta có:
xxx
exxexey
sinsinsin
sincossincossincos.
xx
exxxxe
sinsin
.cos.sinsinsincos.cos.
Toán Cao Cấp A1
Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 23 -
xx
exxxxey
sinsin
.cos.sinsinsincos.cos.
xxxx
exxxxeexxxxe
sinsinsinsin
cos.sinsincos.sinsincos.sinsinsincos.cos
xxexxe
xx
cos.sinsinsincos.cos
sinsin
xxexxxex
xx
cos.sinsin.cossincos.cos.cos
sinsin
xxex
x
sinsinsincos.cos
sin2
b).
8
2
2
1
yTính
x
x
y
Ta có:
22
2
1
1
1
1 xx
x
y
Suy ra:
8
2
8
2
8
2
8
8
2
8
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
xxxx
y
Đặt
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
xx
x
y
(Dùng phương pháp đồng nhất)
Suy ra:
88
8
8
2
8
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
xxxx
x
y
9
8
8
9
8
8
1
1
!.8.1.1
2
1
1
1
!.8.1.1
2
1
xx
1
1
! 1
1
n
n
n
n
bax
na
bax
ADCT
c).
n
yTính
x
x
y
1
1
Đặt
2/1
1
1
1
;1
x
x
xgxxf
Xét:
201 nKhixxf
n
n
Xét:
2
3
1
2
1
2/12/1
1
2
1
1.1
2
1
1;1
xxxxgxxg
2
5
2
2
1
2/3
1
4
3
11
2
3
2
1
1
2
1
xxxxg
n
n
xnxgxxxg
2
1
2
7
2
5
3
11
2
1
.
2
1
1
8
15
1
2
3
2
1
, Với
2n
Áp dụng Công thức Leibniz ta có
k
kn
n
k
k
n
kkn
n
k
k
n
n
xxCxgxfCy
11
2/1
00
n
n
n
n
n
n
n
n
xxCxxCxxCy
11 1111
0
2/11
1
2/1
1
02/1
0
Nhận thấy:
01
n
x
khi
2n
1
2/12/11
1
2/1
1
02/1
0
1111111
nnn
n
n
n
n
xnxxxxCxxCy
Toán Cao Cấp A1
Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến
THI NÔNG LÂM | TRUY CP : DETHINLU.TK
- Trang | 24 -
d).
n
yTínhxy
2
cos
Hạ bậc ta có:
2
2cos1
cos
2
x
xy
Suy ra:
nn
nnn
n
xxxxy 2cos
2
1
2cos
2
1
02cos
2
1
2
1
2cos
2
1
2
1
Áp dụng công thức:
2
cos.cos
naxaax
n
n
Suy ra:
2
2cos2.
2
1
nxy
nn
e).
2022
yTínhexy
x
Áp dụng công thức Leibniz ta có:
k
x
k
k
kx
exCexy
2
20
2
20
0
20
20
2220
20
2
0
220
20
19
2
1
219
20
18
2
2
218
20
1
2
0
19
21
20
0
2
0
20
20
20
xxxxx
exCexCexCexCexC
xxx
exCexCeCy
220220
20
21919
20
21818
20
20
2.2.2.22
Câu 2.9 Tính vi phân cấp cao tương ứng
a).
ydTínhxxy
10
,2cos.
xddxCxdxCyd
nn
2cos.2cos.
9010010
dxxxxd
2
2cos22sin22cos
222
2
22cos22cos dxxxd
99999
2sin2
2
92cos22cos dxxdxxxd
1010101010
2cos2
2
.102cos22cos xdxdxxxd
109101010
2sin22cos2 xdxnxdxnyd
b).
ydTínhexy
nxn
,.
n
k
xknnkk
n
n
edxdCyd
0
nnn
n
xn
n
xn
n
xn
n
dxexnCexnnCenxCexC .! 1
22110
c).
ydTínhxy
22
,1
2
2
2222
1 dxxdxyyd
2
1
2
1
2
2/1
22
1
2.1
2
1
11
x
x
xxxx
