Toàn văn luận án tính ổn định và bền vững của một số tính chất hệ động lực tuyến tính

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầy của
mình, GS. Đỗ Công Khanh, người đã tận tình hướng dẫn tôi học tập và hoàn thành luận
án. Xin cám ơn GS. Nguyễn Khoa Sơn và GS. Dương Nguyên Vũ đã có những chỉ dẫn
quan trọng, và anh Bùi Thế Anh đã có những trao đổi và cộng tác hữu ích.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng đánh giá luận án đã đọc và đóng
góp nhiều ý kiến quý giá cho luận án này.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán-Tin học, Phòng Quản lý Sau Đại
Học và Hợp Tác Quốc Tế trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên thành phố Hồ Chí Minh
đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận án.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô và các bạn trong Khoa Công Nghệ Thông Tin
và Toán ứng dụng trường Đại học Tôn Đức Thắng đã luôn quan tâm và động viên tôi
trong quá trình học tập.
Tác giả luận án.
i
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu
trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một luận án nào
khác.
Tác giả luận án
Dương Đặng Xuân Thành
ii
Danh sách ký hiệu
L (X ) Tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X
L
R
(X ) Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục trên X
L
+

(X ) Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục trên X
L (X ,Y ) Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y
L
R
(X ,Y ) Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục từ X vào Y
L
+
(X ,Y ) Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục từ X vào Y
σ(.) Tập phổ
ρ(.) Tập giải
svs(.) Tập các giá trị kỳ dị
r(A) Bán kính phổ - sup{|λ|: λ ∈σ(A)}
s(A) Chận trên phổ - sup{ℜλ : λ ∈σ(A)}
R(λ, A) Giải thức (λI − A)
−1
null(.) Ma trận cơ sở của không gian con nhân
σ
min
(.) Giá trị kỳ dị nhỏ nhất
σ
min
(.,.) Giá trị kỳ dị suy rộng nhỏ nhất
(.)
†
Nghịch đảo Moore-Penrose
N
(.)
Không gian con nhân
R(.) Không gian con ảnh bởi
.


F
Chuẩn Frobenius
.

2
Chuẩn 2-Euclide
C
−
Nửa đóng trái mở của mặt phẳng phức
C
1
Tập các số phức có độ dài nhỏ hơn 1
K C hoặc R
v
Mục lục
Danh sách ký hiệu v
Lời mở đầu 1
Phần 1: Bán kính ổn định 9
Chương 1 Hệ liên tục có chậm 10
1.1 ToántửMetzler 11
1.2 Tính ổn định của hệ dương và tựa đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Bánkínhổnđịnh 21
1.4 Tính ổn định không phụ thuộc trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Vídụ 25
Chương 2 Hệ rời rạc cấp cao 27
2.1 Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Bánkínhổnđịnh 31
2.3 Vídụ 36
Chương 3 Phương trình sai phân 39

3.1 Tính ổn định của phương trình sai phân dương . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số . . . . . . 45
3.3 Bánkínhổnđịnh 47
3.3.1 Hệ sai phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Vídụ 55
iii
Phần 2: Bán kính điều khiển được 57
Chương 4 Vô hạn chiều 58
4.1 Kiếnthứccơbản 59
4.2 Bán kính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Nhiễu trên cả
A và B 63
4.2.2 Nhiễu trên chỉ
A 64
4.2.3 Nhiễu trên chỉ
B 65
4.2.4 Bán kính điều khiển được thực và phức . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Vídụ 68
Chương 5 Hữu hạn chiều 69
5.1 Kiếnthứccơbản 71
5.2 Bán kính điều khiển được có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.1 Nhiễu trên cả
A và B 74
5.2.2 Nhiễu trên chỉ
A 77
5.2.3 Nhiễu trên chỉ
B 79
5.3 Tính bán kính điều khiển được có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Chương 6 Thuật toán tính toán 83

6.1 Mở rộng kết quả của Gu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Thuật toán chia ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.1 Thực hiện kiểm tra Gu mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2.2 Tìmtrịriêng 90
6.3 Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 Bán kính ổn định hóa được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Kết luận 97
Danh mục công trình 99
Tài liệu tham khảo 101
iv
Phần 1
Bán kính ổn định
9
Chương 1
Hệ liên tục có chậm
Trong nhiều thập kỷ qua, tính ổn định bền vững của hệ liên tục theo thời gian đã được
nhiều nhà toán học quan tâm. Một trong các vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứu
tính ổn định bền vững là tính bán kính ổn định của hệ dưới tác động của nhiều loại nhiễu
khác nhau. Các kết quả cho không gian hữu hạn chiều đã được nghiên cứu khá đầy đủ
trong các tài liệu tham khảo [59, 61, 62, 87, 104]. Một số mở rộng cho không gian vô
hạn chiều được thực hiện trong [34, 35, 36, 39, 60, 96, 114]; đặc biệt, công thức tường
minh cho bán kính ổn định phức đối với hệ
˙
x(t)
= Ax(t), t ≥0,
dưới tác động của đơn nhiễu có cấu trúc
A → A +D∆E
đã được đưa ra trong [36], nhằm mở rộng một kết quả kinh điển của D. Hinrichsen và A.
J. Pritchard [54]; sau đó, [35] nghiên cứu bài toán trong trường hợp
A là toán tử Metzler

và chỉ ra rằng bán kính ổn định thực và phức của hệ là trùng nhau và có thể được tính
toán một cách dễ dàng.
Trong chương này, chúng tôi xem xét hệ liên tục có chậm sau
(1.1)
˙
u(t)
= A
0
u(t) + A
1
u(t −h
1
) + + A
N
u(t −h
N
), t ≥0,
trong đó A
i
là các toán tử trên không gian Banach X,vàh
i
∈ R
+
:= (0,+∞), với mọi
i ∈ N :=1,2, ,N.
10
Bố cục của chương này được trình bày như sau. Trước hết, chúng tôi nghiên cứu
tính ổn định bền vững của toán tử Metzler dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc. Tính
ổn định của hệ dương được nghiên cứu thông qua tựa đa thức đặc trưng trong phần 2.
Bán kính ổn định được nghiên cứu trong phần 3. Cuối cùng là kết quả đối với tính ổn

định không phụ thuộc trễ. Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong
[T1, T5].
1.1 Toán tử Metzler
Cho X là không gian Banach phức và A : X −→ X là toán tử đóng, tập phổ của A
được ký hiệu là σ(A), tập giải của A được ký hiệu là ρ(A):=C\σ(A) ,và đặt R(λ, A):=
(λI − A)
−1
∈L (X ) - tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X -vớiλ ∈ ρ(A). Bán kính
phổ
r(A) và chận trên phổ s(A) được định nghĩa như sau
r(A):=sup{|λ|: λ ∈ σ(A)} s(A):=sup{ℜλ : λ ∈σ(A)}.
Kí hiệu nửa đóng trái mở của mặt phẳng phức bởi C
−
= {λ ∈ C : ℜλ < 0}, toán tử
A : X −→ X được gọi là ổn định Hurwitz nếu σ(A) ⊂ C
−
,vàlàổn định Hurwitz chặt
nếu
s(A) < 0. Rõ ràng rằng một toán tử ổn định Hur witz chặt thì sẽ ổn định Hurwitz.
Giả sử rằng
X ,Y là các không gian Banach phức có thứ tự, và X
+
, Y
+
lần lượt ký hiệu
các nón dương của
X , Y ;vàL
R
(X ,Y ), L
+

(X ,Y ) lần lượt là các tập của tất cả các toán
tử tuyến tính liên tục thực và dương đi từ
X vào Y . Trong suốt chương này, chúng tôi
luôn giả sử rằng các không gian được xét đến là các không gian Banach phức có thứ tự.
Định nghĩa 1.1.1.
[35] Toán tử đóng A : X −→ X được gọi là toán tử Metzler nếu tồn
tại
ω ∈ R sao cho (ω,∞) ⊂ρ(A) và R(t, A ) là toán tử dương với mọi t ∈(ω,∞).
Toán tử Metzler còn được gọi là toán tử có phổ dương và được giới thiệu trong [6].
Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một số tính chất quan trọng của toán tử dương và toán tử
Metzler.
Định lý 1.1.2.
[79] Cho T ∈L
+
(X ), ta có
11
(a) r(T) ∈σ(T);
(b)
R(λ, T) ≥0 khi và chỉ khi λ ∈R và λ > r(T).
Định lý 1.1.3. [35] Cho A là toán tử Metzler trên X , ta có
(a)
s(A) ∈σ(A) và s(A) = t −[r(R(t, A))]
−1
,∀t > s(A);
(b) hàm số
R(·, A) là dương và giảm dần với t >s(A)
s(A)
< t
1
≤ t

2
=⇒ 0 ≤R(t
2
, A) ≤ R(t
1
, A);
(c) nếu A sinh nửa nhóm dương liên tục thì R(t, A) là toán tử dương khi và chỉ khi
t >s(A);
(d)
|ER(λ, A)x|≤ER(ℜλ, A)|x|, ℜλ >s(A), x ∈ X,vớiE ∈L
+
(X ,Y ).
Bây giờ, chúng tôi giả sử rằng toán tử
A bị nhiễu với cấu trúc như sau
(1.2)
A → A
∆
:= A +
N

i=1
D
i
∆
i
E
i
,
trong đó, D
i

∈ L (U
i
, X),E
i
∈ L (X ,Y
i
), i ∈ N := {1, , N}, là các toán tử xác định cấu
trúc của nhiễu và
∆
i
∈L (Y
i
,U
i
), i ∈ N, là các toán tử chưa biết.
Hàm truyền
G
ij
: ρ(A) → L (U
j
,Y
i
) gắn với bộ các toán tử (A, D
i
, E
j
) được định
nghĩa bởi
G
ij

(λ):= E
i
R(λ, A)D
j
, λ ∈ ρ(A), i, j ∈N.
Ta có hàm truyền G
ij
(·) là giải tích trên ρ(A).
Mệnh đề 1.1.4. Cho λ ∈ρ(A) và ∆
i
∈ L(Y
i
,U
i
), i ∈ N, nếu
N

i=1
||∆
i
||<
1
max
i, j∈N
||G
ij
(λ)||
,
thì λ ∈ρ(A
∆

).
12
Chứng minh. Ta trang bị cho không gian Banach tích U
1
× ×U
N
chuẩn sau
||u||=max
i∈N
||u
i
||, u =(u
1
, ,u
N
), u
i
∈U
i
, i ∈ N.
Đặt
D =

D
1
D
N

, ∆ =





∆
1
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 ∆
N




, E =




E
1
.
.

.
E
N




Ta có
∆ER(λ, A)D =







∆
1
G
11
(λ) ∆
1
G
12
(λ) ··· ∆
1
G
1N
(λ)
∆

2
G
21
(λ) ∆
2
G
22
(λ) ··· ∆
2
G
2N
(λ)
··· ··· ··· ···
∆
N
G
N1
(λ) ∆
N
G
N2
(λ) ··· ∆
N
G
NN
(λ)








Hơn nữa,
||∆ER(λ, A)D||
L (U
1
× ×U
N
)
≤max
i∈N
N

j=1
||∆
i
G
ij
(λ)||<1.
Do đó, toán tử [I −∆ER(λ, A)D] là khả nghịch. Suy ra toán tử [I −D∆ER(λ, A)] cũng
khả nghịch và
[I −D∆ER(λ, A)]
−1
= I +D[I −∆ER(λ, A)D]
−1
∆ER(λ, A).
Ngoài ra,
[λI −(A +D∆E)]
−1

=R(λ, A)[I −D∆ER(λ, A)]
−1
Hay λ ∈ρ(A +D∆E) =ρ(A +

N
i=1
D
i
∆
i
E
i
).
Định nghĩa 1.1.5. Cho toán tử A là ổn định Hurwitz. Các bán kính ổn định (Hurwitz)
thực, phức và dương của
A đối với nhiễu cấu trúc (1.2) được định nghĩa như sau
r
C
=inf{
N

i=1
||∆
i
||: ∆
i
∈L (Y
i
,U
i

), i ∈ N,σ(A
∆
i
) ⊂C
−
},
r
R
=inf{
N

i=1
||∆
i
||: ∆
i
∈L
R
(Y
i
,U
i
), i ∈ N,σ(A
∆
i
) ⊂C
−
},
r
+

=inf{
N

i=1
||∆
i
||: ∆
i
∈L
+
(Y
i
,U
i
), i ∈ N,σ(A
∆
i
) ⊂C
−
},
trong đó inf=+∞.
13
Định lý 1.1.6. Cho toán tử A là ổn định Hurwitz, ta có
1
max
i, j∈N
sup
ℜs≥0
||G
ij

(s)||
≤ r
C
≤
1
max
i∈N
sup
ℜs≥0
||G
ii
(s)||
.
Hơn nữa, nếu D
i
=D
j
(hoặc E
i
=E
j
) với mọi i, j ∈ N,thì
r
C
=
1
max
i∈N
sup
ℜs≥0

||G
ii
(s)||
.
Chứng minh. Giả sử rằng
r
C
<
1
max
i, j∈N
sup
ℜs≥0
||G
ij
(s)||
Theo định nghĩa của bán kính ổn định phức, suy ra tồn tại (∆
1
, ,∆
N
),∆
i
∈L (Y
i
,U
i
), i ∈
N,vàλ ∈C với ℜλ ≥0 sao cho λ ∈σ(A
∆
) và

N

i=1
||∆
i
||<
1
max
i, j∈N
||G
ij
(λ)||
,
và σ(A
∆
) ⊂C
−
. Sử dụng Mệnh đề 1.1.4, từ bất đẳng thức trên ta suy ra λ ∈ρ(A
∆
) . Điều
này là mâu thuẫn, nên suy ra
r
C
≥
1
max
i, j∈N
sup
ℜs≥0
||G

ij
(s)||
Điều còn lại cần phải chứng minh là
r
C
≤
1
max
i∈N
sup
ℜs≥0
||G
ii
(s)||
.
Thật vậy, xét λ ∈C thỏa ℜλ ≥0, i ∈ N và ε >0 bất kỳ, thì sẽ tồn tại u ∈U
i
thỏa mãn



||
u||=1
||G
ii
(λ)||≥||G
ii
(λ)u||≥||G
ii
(λ)||−ε

Sử dụng định lý Hahn-Banach, suy ra tồn tại y
∗
∈Y
∗
i
sao cho
14



||
y
∗
||=1
y
∗
(G
ii
(λ)u) =||G
ii
(λ)u||
Xét toán tử ∆ : Y
i
→U
i
được định nghĩa bởi
∆ y =
1
||G
ii

(λ)u||
y
∗
(y)u, ∀y ∈Y
i
.
Ta có ∆ ∈L (Y
i
,U
i
) và
||∆||≤
1
||G
ii
(λ)u||
≤
1
||G
ii
(λ)||−ε
Xét các toán tử nhiễu (∆
1
, ,∆
N
) được định nghĩa bởi
∆
j
=




∆, j = i
0, j = i
j
∈ N.
Ta có

N
j
=1
||∆
j
|| = ||∆||,và(A +

N
j
=1
D
j
∆
j
E
j
)x = λx,vớix = R(λ, A)Du ∈ D(A).Từ
đó suy ra
λ ∈σ(A
∆
). Do đó, theo định nghĩa của bán kính ổn định phức r
C

thì
r
C
≤
N

i=1
||∆
i
||=||∆||≤
1
||G
ii
(λ)||−ε
.
Cho ε tiến về 0 ta có được điều cần phải chứng minh. Hơn nữa, nếu D
i
= D
j
,∀i, j ∈ N
(hoặc E
i
=E
j
,∀i, j ∈N) thì theo định nghĩa của hàm truyền ta có G
ii
(s) =G
ij
(s),∀i, j ∈
N (hoặc G

jj
(s) =G
ij
(s),∀i, j ∈N). Từ đó, định lý được chứng minh xong.
Chú ý 1.1.7. Nếu toán tử A là ổn định Hurwitz thì hàm truyền G
ij
(.) là giải tích trên
C
−
⊂ρ(A). Nên theo nguyên lý cực đại ta có
sup
λ∈C
−
||G
ij
(s)||=sup
s∈R
||G
ij
(ıs)||.
Định lý 1.1.8. Cho toán tử Metzler A là ổn định Hurwitz và D
i
, E
i
, i ∈ N, là các toán
tử dương. Nếu
D
i
=D
j

(hoặc E
i
=E
j
) với mọi i, j ∈ N thì
r
C
= r
R
= r
+
=
1
max
i∈N
||G
ii
(0)||
.
15
Chứng minh. Vì s(A) <0 và E
i
, D
i
, i ∈ N, là các toán tử dương, nên theo Định lý
1.1.3 ta có
0 ≤G
ii
(t
2

) ≤G
ii
(t
1
) và

G
ii
(t
2
)

≤

G
ii
(t
1
)

, ∀i ∈N, 0 ≤ t
1
≤ t
2
,

G
ii
(λ)


≤

G
ii
(ℜλ)

≤

G
ii
(0)

, ∀λ ∈ C,ℜλ ≥0.
Do đó, từ Định lý 1.1.6, suy ra
r
C
=
1
max
i∈N
||G
ii
(0)||
.
Ngoài ra, theo định nghĩa ta có
r
C
≤ r
R
≤ r

+
.
Nên việc còn lại là chứng minh
r
+
≤
1
max
i∈N
||G
ii
(0)||
.
Việc này được chứng minh tương tự như trong Định lý 1.1.6 bằng cách sử dụng định lý
Krein-Rutman thay cho định lý Hahn-Banach để xây dựng nhiễu cụ thể.
Định lý 1.1.6 và 1.1.8 mở rộng ra trường hợp vô hạn chiều các kết quả của [87]. Kỹ
thuật chứng minh nằm chủ yếu ở Mệnh đề 1.1.4 khi chọn chuẩn vô cùng cho không gian
tích. Khó khăn của chứng minh này là không thể sử dụng kỹ thuật như trong trường hợp
hữu hạn chiều, khi mà các bất đẳng thức được đánh giá thông qua các đẳng thức nhờ sự
tồn tại của vectơ riêng - xem [87].
1.2 Tính ổn định của hệ dương và tựa đa thức đặc trưng
Gọi (S(t))
t≥0
là nửa nhóm liên tục được sinh bởi toán tử (A,D(A)) trên không gian
Banach
X , chận trên tăng trưởng của (A,D(A)) được định nghĩa bởi
ω
1
(A):=inf{ω ∈ R : ∃M >0, ||S(t)x||≤Me
ωt

||x||
D(A)
, ∀t ≥0, x ∈D(A)},
với ||x||
D(A)
:=

x

+

Ax

. Nửa nhóm (S(t))
t≥0
(hay toán tử A) được gọi là ổn định mũ
nếu
ω
1
(A) <0. Cần chú ý là
s(A) ≤ω
1
(A) <∞
16
và bất đẳng thức chặt có thể xảy ra, xem [36, 86].
Mệnh đề 1.2.1. [84, tr. 357] Nếu A sinh nửa nhóm dương liên tục thì s(A) =ω
1
(A).
Cho
p ∈ [1,∞), các số thực không âm 0 ≤h

1
< h
2
< < h
N
=: h, A
1
, , A
N
là các
toán tử bị chận và
A
0
sinh nửa nhóm liên tục (T(t))
t≥0
trên X, ta viết lại một cách tường
minh hệ (1.1) như sau
(1.3)














˙
u(t)
= A
0
u(t) +
N

i=1
A
i
u(t −h
i
), t ≥0,
u(0)
= x,
u(t)
= f (t), t ∈[−h,0).
Trong đó, x ∈ X và f ∈ L
p
([−h,0); X) là các giá trị đầu. Hàm u(·) ∈ L
p
loc
([−h,+∞); X)
được gọi là nghiệm của (1.1) nếu
u(t) =






T(t)x +

t
0
T(t −s)
N

i=1
A
i
u(s −h
i
)ds, t ≥0,
f (t), t
∈[−h,0).
Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại M >0 và ω >0 sao cho nghiệm u(t) của
(1.3) thỏa
||u(t)||≤ Me
−ωt
(||x||+||f ||
L
p
([−h,0);X)
), t ≥0.
Để nghiên cứu các nghiệm bằng phương pháp nửa nhóm, chúng ta xem xét không
gian tích sau
X := X ×L
p
([−h,0); X),

được trang bị chuẩn ||(x, y)|| :=||x||+||y||
L
p
([−h,0);X)
; và toán tử A trên X được định
nghĩa bởi
A (x, y):=(A
0
x +
N

i=1
A
i
y(h
i
), y

),
với miền xác định
D(A ):={ (x, y) ∈X : y ∈W
1,p
([−h,0); X), y(0) = x ∈D(A
0
)},
trong đó, W
1,p
([−h,0); X) ký hiệu tập các hàm y(.) nhận giá trị trên X liên tục trên
[−h,0) và có đạo hàm thỏa y


(t) ∈ L
p
([−h,0); X). Theo [8, 36], A sinh nửa nhóm liên
17
tục (T (t))
t≥0
được định nghĩa bởi
(T (t))(x, f ):=(u(t), u
t
), t ≥0,
với u
t
(s):=u(t +s), s ∈[−h,0); hơn nữa, hệ (1.1) là ổn định mũ khi và chỉ khi nửa nhóm
(T (t))
t≥0
là ổn định mũ, hay ω
1
(A ) <0.
Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.1), chúng tôi xét đến toán tử có dạng tựa đa
thức đặc trưng sau
(1.4)
P(λ):= A
0
+
N

i=1
e
−λh
i

A
i
.
Tập phổ, tập giải và chận trên phổ của toán tử tựa đa thức P(·) được định nghĩa bởi
σ(P(·)) :={λ : λ ∈σ(P(λ))},
ρ(P(·)) :=C\σ(P(·)),
s(P(
·)) :=sup{ℜλ : λ ∈ σ(P(·))}.
Mệnh đề 1.2.2. [36] Ta có λ ∈ρ(A ) khi và chỉ khi λ ∈ρ(P(λ)). Lúc đó,
R(λ,A ) = E
λ
R(λ, P(λ))H
λ
F +T
λ
,
với E
λ
∈ L (X,X ), H
λ
∈ L (X , X),F ∈ L (X ,X ) và T
λ
,∈ L (X ,X ) được định nghĩa
bởi
E
λ
x :=(x, e
λ·
x);
H

λ
(x, f ):= x +
0

−h
e
λs
f (s)ds;
F(x, f ):
=(x,
N

i=1
χ
[−h
i
,0]
(·)A
i
f (−h
i
−·));
T
λ
(x, f ):=(0,
0

·
e
λ(·−s)

f (s)ds).
Chú ý 1.2.3. Từ mệnh đề trên, ta có ρ(A ) =ρ(P(.)),vàs(A ) = s(P(·)). Do đó, nếu A
sinh nửa nhóm dương liên tục, như trong Mệnh đề 1.2.1, thì hệ (1.1) là ổn định mũ khi
và chỉ khi
s(P(·)) <0.
18
Như vậy, việc nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.1) dương có thể được thực hiện
thông qua nghiên cứu toán tử tựa đa thức (1.4). Tiếp theo, chúng tôi mở rộng định lý
Perron-Frobenius cho toán tử tựa đa thức (1.4).
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử tựa đa thức
(1.4) được gọi là dương nếu A
0
sinh nửa nhóm
dương liên tục và
A
i
∈L
+
(X ), với mọi i ∈N.
Cần chú ý rằng nếu toán tử tựa đa thức (1.4) là dương thì hệ (1.1) cũng là một hệ
dương, nghĩa là với mọi giá trị đầu
f ∈ L
p
([−h,0); X
+
) và x ∈ X
+
, nghiệm tương ứng
u(t, x, f ), t ≥ 0 thỏa mãn u(t, x, f ) ∈ X
+

với mọi t ≥ 0. Nên ta có định nghĩa tương tự
rằng hệ (1.1) được gọi dương nếu toán tử tựa đa thức (1.4) tương ứng là dương. Nhờ
biểu diễn của
R(·,A ) trong Mệnh đề 1.2.2, ta thu được kết quả sau.
Mệnh đề 1.2.5. Cho toán tử tựa đa thức (1.4) dương, và λ
1
,λ
2
∈ R, các phát biểu sau
đây là tương đương:
(a)
R(λ
1
, P(λ
1
)) ≥R(λ
2
, P(λ
2
)) ≥0;
(b)
R(λ
1
,A ) ≥ R(λ
2
,A ) ≥0.
Chứng minh. Do
E
λ
, H

λ
, F, và T
λ
là các toán tử dương với mọi λ ∈ R, ta suy ra
(a) ⇒(b). Ngược lại, lấy f =0,vàx ∈ X, ta có
R(λ,A )(x,0) =R(λ, P(λ))(x).
Do đó, ta nhận được (b) ⇒(a).
Chú ý rằng toán tử A sẽ sinh nửa nhóm dương liên tục nếu A
0
sinh nửa nhóm dương
liên tục và
A
i
∈ L
+
(X ), với mọi i ∈ N, xem [36]. Sử dụng Định lý 1.1.3 và Mệnh đề
1.2.5, ta thu được Định lý Perron-Frobenius cho toán tử tựa đa thức (1.4), là một mở
rộng đối với kết quả trong [88].
Định lý 1.2.6. Cho toán tử tựa đa thức (1.4) dương, ta có
(a)
s(P(·)) ∈ σ(P(·));
19
(b) R(λ, P(λ)) ∈L
+
(X ) khi và chỉ khi λ > s(P(·)),vớiλ ∈R;
(c)
R(λ
1
, P(λ
1

)) ≥R(λ
2
, P(λ
2
)) với λ
2
≥λ
1
> s( P(·)).
Định lý sau đây sẽ cho chúng ta một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của hệ
(1.1) dương, nghĩa là A
0
sinh nửa nhóm dương liên tục và A
i
∈L
+
(X ) với mọi i ∈N.
Định lý 1.2.7. Cho hệ (1.1) dương, các phát biểu sau là tương đương:
(a) Hệ (1.1) là ổn định mũ;
(b)
s(A
0
+ A
1
+ + A
N
) <0;
(c)
s(A
0

) <0 và r(−A
−1
0
(A
1
+ + A
N
)) <1;
(d)
(−A
0
− A
1
− − A
N
)
−1
≥0.
Chứng minh. Giả sử rằng hệ (
1.1) là ổn định mũ. Vì A sinh nửa nhóm dương liên
tục nên
s(A ) = s(P(·)) < 0. Sử dụng Định lý 1.1.3, phát biểu (a) tương đương với các
điều kiện: toán tử
(−A
0
−A
1
− −A
N
) khả nghịch và (−A

0
−A
1
− −A
N
)
−1
∈ L
+
(X ).
Do đó,
(a) ⇔(d). Hơn nữa, toán tử (A
0
+ A
1
+ + A
N
) sinh nửa nhóm dương liên tục,
xem
[84,Hệ quả VI.1.11]. Nên theo Định lý 1.1.3, ta có (d) ⇔(b).
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh
(b) ⇒(c). Sử dụng Định lý 1.1.3 (a), ta thu được
(1.5)
s(A
0
) = t
0
−[r(R(t
0
, A

0
))]
−1
,∀t
0
> s(A
0
),
s(A
0
+ + A
N
) = t
0
−[r(R(t
0
, A
0
+ + A
N
))]
−1
,∀t
0
> s(A
0
+ + A
N
).
Ngoài ra, với t

0
đủ lớn, ta có
R(t
0
, A
0
+ + A
N
) = R(t
0
, A
0
)
∞

n=0
[R(t
0
, A
0
)(A
1
+ + A
N
)]
n
.
Vì vậy, R(t
0
, A

0
+ + A
N
) ≥ R(t
0
, A
0
) ≥ 0. Từ đây suy ra r[R(t
0
, A
0
+ + A
N
)] ≥
r[R(t
0
, A
0
)]. Do đó, từ (1.5), ta có s(A
0
) ≤ s(A
0
+A
1
+A
N
).Nhưvậy,từ(b) ta suy ra
được
s(A
0

) <0. Tương tự, ta có s(A
0
+
1
t
(A
1
+ A
N
)) <0 với mọi t ≥1. Mặt khác,
tI −(−A
0
)
−1
(A
1
+ + A
N
) = tA
−1
0
[A
0
+
1
t
(A
1
+ + A
N

)],
20
nên [1;∞) ⊂ρ((−A
0
)
−1
(A
1
+ +A
N
)). Sử dụng Định lý 1.1.2, ta suy ra r[(−A
0
)
−1
(A
1
+
+ A
N
)] <1.
Vấn đề còn lại là chứng minh (c) ⇒(d), điều này được suy ra nhờ đẳng thức sau
−A
0
− A
1
− − A
N
=(−A
0
)[I −(−A

0
)
−1
(A
1
+ + A
N
)].
Như vậy, định lý được chứng minh xong.
Sử dụng công cụ về mối quan hệ giữa hệ liên tục có chậm và toán tử sinh nửa nhóm
liên tục, Định lý 3.6 và 1.2.7 tổng quát và mở rộng các kết quả của [88].
1.3 Bán kính ổn định
Giả sử rằng các toán tử A
i
, i ∈ N, bị nhiễu dưới dạng
(1.6)
A
i
→ A
i
+D
i
∆
i
E
i
,
trong đó D
i
∈ L (U

i
, X),E
i
∈ L (X , Y
i
), i ∈ N, là các toán tử xác định cấu trúc của
nhiễu và
∆
i
∈ L (Y
i
,U
i
), i ∈ N, là các toán tử chưa biết. Ta viết lại hệ bị nhiễu, và các
toán tử liên kết như sau.
(1.7)













˙

u(t)
=(A
0
+D
0
∆
0
E
0
)u(t) +
N

i=1
(A
i
+D
i
∆
i
E
i
)u(t −h
i
), t ≥0
u(0)
= x,
u(t)
= f (t), t ∈[0,−h).
A
∆

(x, f ) =((A
0
+D
0
∆
0
E
0
)x +
N

i=1
(A
i
+D
i
∆
i
E
i
)f (−h
i
), f

),
và
P
∆
(λ) =(A
0

+D
0
∆
0
E
0
) +
N

i=1
e
−λh
i
(A
i
+D
i
∆
i
E
i
).
21
Định nghĩa 1.3.1. Cho hệ (1.1) là ổn định mũ. Các bán kính ổn định phức, thực và
dương của hệ dưới tác động của nhiễu
(1.6) được định nghĩa như sau
r
(DE)
C
=inf{

N

i=0
||∆
i
||: ∆
i
∈L (Y
i
,U
i
), i ∈ N và hệ (1.7) không ổn định mũ},
r
(DE)
R
=inf{
N

i=0
||∆
i
||: ∆
i
∈L
R
(Y
i
,U
i
), i ∈ N và hệ (1.7) không ổn định mũ},

r
(DE)
+
=inf{
N

i=0
||∆
i
||: ∆
i
∈L
+
(Y
i
,U
i
), i ∈ N và hệ (1.7) không ổn định mũ}.
Vì toán tử A
0
sinh nửa nhóm liên tục, Nên theo Định lý 1.16 trong [84, tr. 167], toán
tử
(A
0
+D
0
∆
0
E
0

) cũng sinh nửa nhóm liên tục. Và theo Bổ đề 2.4 trong [36], thì hệ
(1.7) là không ổn định mũ khi và chỉ khi
s(A
∆
) = s(P
∆
(·)) ≥ 0. Vì vậy các bán kính ổn
định của hệ (1.1) có thể được viết lại như sau
r
(DE)
C
=inf{
N

i=0
||∆
i
||: ∆
i
∈L (Y
i
,U
i
), i ∈ N,s(P
∆
(·)) ≥0}
r
(DE)
R
=inf{

N

i=0
||∆
i
||: ∆
i
∈L
R
(Y
i
,U
i
), i ∈ N,s(P
∆
(·)) ≥0}
r
(DE)
+
=inf{
N

i=0
||∆
i
||: ∆
i
∈L
+
(Y

i
,U
i
), i ∈ N,s(P
∆
(·)) ≥0}
Giả sử rằng hệ (1.1) ổn định mũ. Cho λ ∈ρ(P(·)), chúng ta xét các hàm truyền gắn
với bộ các toán tử
(P(λ), D
j
, E
i
) được định nghĩa bởi
G
P
ij
(λ) = E
i
R(λ, P(λ))D
j
, i, j ∈N.
Với chứng minh tương tự như Mệnh đề 1.1.4 ta có được kết quả sau.
Mệnh đề 1.3.2. Cho λ ∈ρ(P(·)),ℜλ ≥0 và ∆
i
∈L (Y
i
,U
i
), với mọi i ∈ N.Nếu
N


i=1
||∆
i
||<
1
max
i, j∈N
||G
P
ij
(λ)||
,
thì λ ∈ρ(P
∆
(λ)).
22
Sử dụng Mệnh đề 1.3.2, và chứng minh tương tự như trong Định lý 1.1.6 và Định lý
1.1.8, ta thu được các kết quả dưới đây về bán kính ổn định của hệ (1.1).
Định lý 1.3.3. Cho hệ
(1.1) là ổn định mũ, ta có
1
max
i, j∈N
sup
s∈R
||G
P
ij
(ıs)||

≤
r
(DE)
C
≤
1
max
i∈N
sup
s∈R
||G
P
ii
(ıs)||
.
Hơn nữa, nếu D
i
=D
j
(hoặc E
i
=E
j
) với mọi i, j ∈ N,thì
r
(DE)
C
=
1
max

i∈N
sup
s∈R
||G
P
ii
(ıs)||
.
Định lý 1.3.4. Cho hệ (1.1) là dương và ổn định mũ, và các toán tử D
i
, E
i
, i ∈ N,là
dương. Nếu
D
i
=D
j
(hoặc E
i
=E
j
) với mọi i, j ∈N, ta có
r
(DE)
C
= r
(DE)
R
= r

(DE)
+
=
1
max
i∈N
||G
P
ii
(0)||
=
1
max
i∈N
||E
i
(−A
0
− A
1
− − A
n
)
−1
D
i
||
.
Các Định lý 1.3.3 và 1.3.4 tổng quát và mở rộng các kết quả về đơn nhiễu có cấu
trúc trong [35, 36] thành đa nhiễu có cấu trúc trên các không gian vô hạn chiều.

1.4 Tính ổn định không phụ thuộc trễ
Hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ không phụ thuộc trễ (delay-independently exponentially
stable, viết tắt là d.i.e.s.) nếu hệ ổn định mũ với mọi
(h
1
, , h
N
) ∈(R
+
)
N
. Khái niệm ổn
định mũ không phụ thuộc trễ đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học như trong
[12, 13, 24, 45, 80]. Theo định nghĩa, nếu hệ
(1.1) ổn định mũ không phụ thuộc trễ thì
hệ sẽ ổn định mũ, nhưng điều ngược lại là không đúng. Tuy nhiên, đối với hệ dương, hai
khái niệm này là tương đương như trong định lý sau, được suy ra từ Định lý 1.2.7.
23
Định lý 1.4.1. Cho hệ (1.1) là dương, các phát biểu sau đây là tương đương
(a) Hệ
(1.1) là ổn định mũ;
(b) Hệ
(1.1) là ổn định mũ không phụ thuộc trễ.
Ví dụ 1.4.2. Xét hệ
˙
u(t)
=a
0
u(t) +a
1

u(t −h
1
) + +a
N
u(t −h
N
),
trong đó a
0
∈ R, a
i
∈ [0,∞), i ∈ N. Theo Định lý 1.4.1, thì hệ này là ổn định mũ cũng
như ổn định mũ không phụ thuộc trễ khi và chỉ khi
a
0
+a
1
+ +a
N
<0.
Cần chú ý rằng tính ổn định mũ không phụ thuộc trễ là không vững đối với các tác
động của nhiễu lên các toán tử
A
i
. Cụ thể, tập các hệ ổn định mũ không phụ thuộc trễ
đối với tôpô tích là không đóng và không mở, ngay cả đối với không gian hữu hạn chiều
như trong ví dụ sau với
X =R.
Ví dụ 1.4.3. Xét các hệ
(1.8)

˙
x(t)
=−x(t) + ix(t −τ),
và
(1.9)
˙
x(t)
=−(1 +
1
n
)x(t)
−x(t −τ).
Sử dụng Định lý 9.1 trong [46], chúng ta có thể kiểm tra rằng hệ (1.8) là ổn định mũ
không phụ thuộc trễ, nhưng các hệ
˙
x(t)
=−(1 −
1
n
)x(t) +ix(t −τ) là không ổn định mũ
không phụ thuộc trễ với mọi
n ∈N. Điều này nghĩa là tập các hệ ổn định mũ không phụ
thuộc trễ là không mở.
Ngoài ra, các hệ
(1.9) là ổn định mũ không phụ thuộc trễ với mọi n ∈ N, nhưng hệ
˙
x(t)
=−x(t) −x(t −τ) là không ổn định mũ không phụ thuộc trễ. Điều này nghĩa là tập
các hệ ổn định mũ không phụ thuộc trễ là không đóng.
24

Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh rằng dưới giả thiết về tính dương, tính ổn định
mũ không phụ thuộc trễ là vững thông qua việc xác định khoảng cách từ hệ ổn định mũ
không phụ thuộc trễ đến tập các hệ không ổn định mũ không phụ thuộc trễ.
Định nghĩa 1.4.4. Cho hệ
(1.1) là ổn định mũ không phụ thuộc trễ. Các bán kính ổn
định mũ không phụ thuộc trễ phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu
(1.6)
được định nghĩa như sau
r
dies
C
=inf{
N

i=0
||∆
i
||: ∆
i
∈L (Y
i
,U
i
), i ∈ N và (1.7) là không d.i.e.s.},
r
dies
R
=inf{
N


i=0
||∆
i
||: ∆
i
∈L
R
(Y
i
,U
i
), i ∈ N và (1.7) là không d.i.e.s.},
r
dies
+
=inf{
N

i=0
||∆
i
||: ∆
i
∈L
+
(Y
i
,U
i
), i ∈ N và (1.7) là không d.i.e.s.}.

Định lý 1.4.5. Cho hệ (1.1) là dương và ổn định mũ không phụ thuộc trễ, và các toán
tử
D
i
, E
i
, i ∈N, là dương. Nếu D
i
=D
j
(hoặc E
i
=E
j
) với mọi i, j ∈N,thì
r
dies
C
= r
dies
R
= r
dies
+
=
1
max
i∈N
||E
i

(−A
0
− A
1
− − A
N
)
−1
D
i
||
>
0.
Chứng minh. Từ định nghĩa trên ta có
r
dies
C
≤ r
dies
R
≤ r
dies
+
≤ r
(DE)
+
.
Nên điều ta cần chứng minh là r
dies
C

≥ r
(DE)
+
. Thật vậy, xét ∆

i
∈ L (Y
i
,U
i
), i ∈ N sao
cho

N
i=0
||∆

i
|| < r
+
và ( h

1
, , h

N
) ∈ R
N
+
, theo Định lý (1.2.7) thì hệ có các hệ số trễ

(h

1
, , h

N
) cũng dương và ổn định mũ. Do đó, theo Định lý 1.3.4, hệ bị nhiễu có các hệ
số trễ
(h

1
, , h

N
) và các toán tử nhiễu ∆

i
, i ∈ N, cũng ổn định mũ. Như vậy, ta suy ra
điều phải chứng minh.
1.5 Ví dụ
Cho X = l
2
(R), xét hệ có chậm sau
˙
u(t)
= A
0
u(t) + A
1
u(t −1) +A

2
u(t −2), t ≥0,
25
có thể viết lại dưới dạng của hệ (1.1) với N =2, h
1
=1, h
2
=2,và
A
0
(x
1
, x
2
, x
3
, ) =(−3x
1
,−4x
2
,−5x
3
,−6x
4
, ), A
1
= A
2
= Id.
Vì A

0
sinh nửa nhóm dương liên tục và A
i
∈ L
+
(X ),hệ(1.5) là dương. Sử dụng
Định lý
1.4.1 và Định lý 1.2.7,dos(A
0
+ A
1
+ A
2
) =−1 <0, ta suy ra được hệ (1.5) là
ổn định không phụ thuộc trễ.
Giả sử các toán tử
A
i
, i =0,1,2, bị nhiễu cấu trúc dạng (1.6) với E
0
= E
1
= E
2
=
E được định nghĩa bởi E(x
1
, x
2
, x

3
, ) = (x
2
, x
3
, x
4
, ), D
0
= Id, D
1
(x
1
, x
2
, x
3
, ) =
(0, x
1
, x
2
, x
3
, ),vàD
2
(x
1
, x
2

, x
3
, ) =(0,0, x
1
, x
2
, x
3
, ). Ta có,
E(−A
0
− A
1
− A
2
)
−1
D
0
(x
1
, x
2
, x
3
, ) =(
1
2
x
2

,
1
3
x
3
,
1
4
x
4
, ),
E(−A
0
− A
1
− A
2
)
−1
D
1
(x
1
, x
2
, x
3
, ) =(
1
2

x
1
,
1
3
x
2
,
1
4
x
3
, ),
E(−A
0
− A
1
− A
2
)
−1
D
2
(x
1
, x
2
, x
3
, ) =(0,

1
3
x
1
,
1
4
x
2
,
1
5
x
3
, ).
Vì vậy, theo Định lý 1.4.5, ta suy ra được
r
(DE)
C
= r
(DE)
R
= r
(DE)
+
= r
dies
C
= r
dies

R
= r
dies
+
=2.
26
Chương 2
Hệ rời rạc cấp cao
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định bền vững của hệ rời rạc cấp cao
(2.1) x(t +K +1) = A
0
x(t +K)+A
1
x(t +K −1) +A
K
x(t), t, K ∈ N,
trong đó, các toán tử A
i
, i ∈ K =
{
0,1, , K
}
, là tuyến tính liên tục trên không gian
Banach có thứ tự
X . Trước hết, chúng tôi mở rộng định lý Perron-Frobenius cho đa thức
đặc trưng gắn với hệ (2.1). Sau đó, tính ổn định của hệ (2.1) được nghiên cứu và một
điều kiện cần và đủ đơn giản - dễ kiểm tra - để hệ (2.1) dương là ổn định được đưa ra.
Cuối cùng, tính ổn định bền vững được nghiên cứu thông qua khái niệm bán kính ổn
định dưới tác động của các loại nhiễu
A

i
→ A
i
+
N

j=1
D
ij
∆
ij
E
ij
, i ∈K,
và
A
i
→ A
i
+
N

j=1
δ
ij
B
ij
, i ∈K,
trong đó D
ij

∈L (U
ij
, X), E
ij
∈L (X ,Y
ij
),vàB
ij
∈L (X ), i ∈ K, j ∈ N :=
{
1, , N
}
là
các toán tử xác định cấu trúc của nhiễu và
∆
ij
∈ L (Y
ij
,U
ij
), δ
ij
∈ C, i ∈ K, j ∈ N, là
các thành phần chưa biết, và các không gian được xét đến là các không gian Banach có
thứ tự. Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T6] và nhận đăng
trong [T7].
27