Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12

Sở GD&ĐT Thanh hóa
Trờng thpt hậu lộc 3
o0o
Đề thi Học sinh giỏi THPT Môn Toán Bảng A
o0o
Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x
3
+ 3x
2
= m
3
+ 3m
2
.
c) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5).
d) Trên đờng thẳng y = 9x 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp
tuyến.
Câu 2: (3 điểm) Giải các phơng trình sau:
a)
3
cosx cos x
(7 5 2) (17 12 2) cos3x
.
b)

2 4 2
3
x 3x 1 x x 1
3

.
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
2 2
m 1 m
7
log 11 log ( x mx 10 4)log (x mx 12) 0
.
b) Tìm m để bất phơng trình sau đúng với mọi x.
1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m 1.
Câu 4: (2,5 điểm)
a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0:
3 3
1 ax cosx vớix 0
f(x)
ln(1 2x) b 1 vớix 0








.

b) Tính tích phân:
1 5
2
2
4 2 x
1 5
2
x 1
I dx
(x x 1)(1 2006 )







.
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho 2 elíp (E
1
):
2 2
x y
1
15 6

, (E
2
):

2 2
x y
1
6 15

và parabol (P): y
2
=
12x.
a) Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên.
b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (E
1
) và (P).
Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh
a (a> 0). Cạnh SA vuông góc với đáy và SA =
a 3
. M là một điểm khác B
trên SB sao cho AM MD. Tính tỉ số
SM
SB
.

Sở GD&ĐT Thanh hóa
Trờng thpt hậu lộc 3
o0o
Đáp án đề thi Học sinh giỏi THPT Môn Toán Bảng A
o0o
Chú ý: + Đáp án gồm 5 trang.
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì
cho điểm tối đa.

Câu
ý
Nội dung
điểm
1
1a
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y = 3x
2
+ 6x = 0
x 0
x 2





.
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2) và (0; +);
hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0).
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 1) và đạt cực
tiểu tại điểm (-2; 5).
+ Giới hạn:
x
lim y


đồ thị hàm số không có tiệm
cận.

+ Tính lồi lõm và điểm uốn: y = 6x + 6 = 0 x = -1.
Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-; -1), lõm trên khoảng
(-1; +) và có điểm uốn là (-1; 3).
+ Bảng biến thiên:
x - -2 -1 0 +
y + 0 - - 0 +
5 +
y 3
- 1
- Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-3; 1), (-2; 5),
(-1; 3), (0; 1) và (1; 5). Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối
xứng.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
1b
Ta có: x
3
+ 3x
2
= m
3
+ 3m
2
(1)
x
3

+ 3x
2
+ 1 = m
2
+ 3m
2
+ 1 = a
số nghiệm của phơng trình (1) chính là số giao điểm
của đồ thị (C) và đờng thẳng y = a, từ đồ thị ở câu a ta có:
- Phơng trình (1) có 1 nghiệm nếu a > 5 hoặc a < 1.
- Phơng trình (1) có 2 nghiệm nếu a = 5 hoặc a = 1.
- Phơng trình (1) có 3 nghiệm nếu 1 < a < 5.
Xét hàm số f(m) = m
3
+ 3m
2
+ 1 f(m) cũng có đồ thị là
(C), nên từ đồ thị ở câu a ta có:
- a > 5 m > 1; a = 5 m = 1 hoặc m = -2
- a < 1 m < -3; a = 1 m = -3 hoặc m = 1.
- 1 < a < 5 -3 < m < 1
Vậy ta có:
+ Với m > 1 hoặc m < -3 thì phơng trình (1) có 1 nghiệm.
+ Với m = -3 hoặc m = -2 hoặc m = 1 hoặc m = 2 thì
phơng trình (1) có 2 nghiệm.
+ Với -3 < m < 1 và m -2, m 0 thì phơng trình (1) có 3
nghiệm phân biệt.
0,25
0,25
0,25

0,25
1c
Gọi phơng trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có dạng:
y = k(x 1) + 5 y = kx + 5 k.
Vì là tiếp tuyến của (C) nên ta có:
3 2
2
x 3x 1 kx 5 k x 2,k 0
x 1,k 9
k 3x 6x












.
Có 2 tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (1; 5) là:
y = 5 và y = 9x 4.
0,25
0,50
0,25
1d
Gọi M (x

0
; 9x
0
4) là điểm trên đờng thẳng y = 9x
4.
Đờng thẳng đi qua M có phơng trình dạng:
0,25
y
5
3
1
-3 -2 -1 0 1 x
y = k(x x
0
) + 9x
0
4.
Ta có:
3 2
0 0
2
x 3x 1 k(x x ) 9x 4
k 3x 6x

.
Để có 3 tiếp tuyến qua M thì hệ trên cần có 3 nghiệm
phơng trình sau cần có 3 nghiệm phân biệt:
(x 1)[2x
2
+ (5 3x
0
)x + 5 9x
0
] = 0.
Từ đó ta có điều kiện của x
0
là:
0
0
0
x 1/ 3
x 5
x 1

.
Vậy các điểm M cần tìm có toạ độ (x; 9x 4) với điều
kiện:
x 1/3
x 5
x 1











0,25
0,25
0,25
2
2a
Tập xác định: D = R.
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
3
3
3cosx 4 cos x 3
3cosx 3 4 cos x
(1 2) (1 2) 4cos x 3cosx
(1 2) 3cosx 4cos x (1 2)

Xét hàm số f(t) =
t
(1 2) t
, ta có f(t) đồng biến với
mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos
3
x) 3cosx = 4cos
3
x
cos3x = 0 x =
k
6 3


, k Z
0,25
0,50
0,50
0,25
2b
Ta có: x
4
+ x
2
+ 1 = (x
2
+ x + 1)(x
2

x + 1) > 0
x
2
3x + 1 = 2(x
2
x + 1) (x
2
+ x + 1)
Đặt
2
2
x x 1
t
x x 1



, t > 0. Phơng trình trở thành:
2
3
t 0
3
2 3
2t t 1 0
3
1
t
3

2
2
x x 1 1
x x 1
3



x = 1
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
3
3a
Điều kiện: m > 0 và m 1, x
2
+ mx + 10 0.
0,50
Bất phơng trình đã cho tơng đơng với:
2 2

7 11
11
1 log ( x mx 10 4)log (x mx 12)
0
log m


. (*)
Đặt u = x
2
+ mx + 10, u 0.
+ Với 0 < m < 1: (*) f(u) = log
7
(
u
+ 4)log
11
(u + 2) 1
Ta thấy f(9) = 1 và f(u) là hàm đồng biến nên ta có:
f(u) f(9) u 9 x
2
+ mx + 10 9 x
2
+ mx + 1 0
Vì phơng trình trên có = m
2
4 < 0 với 0 < m < 1 nên
phơng trình trên vô nghiệm bất phơng trình đã cho vô
nghiệm.
+ Với m > 1: Ta có: f(u) 1 = f(9) 0 u 9

0 x
2
+ mx + 10 9
2
2
x mx 10 0 (1)
x mx 1 0 (2)








.
Xét phơng trình x
2
+ mx + 1 = 0 có = m
2
4.
Nếu 1 < m < 2 < 0 (2) vô nghiệm bất phơng
trình đã cho vô nghiệm.
Nếu m > 2 > 0 phơng trình trên có 2 nghiệm đều
thoả mãn (1) và (2) bất phơng trình đã cho có nhiều
hơn một nghiệm.
Nếu m = 2 (2) có nghiệm duy nhất x = -1 bất
phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1.
Vậy giá trị cần tìm của m là: m = -2.
0,50

0,50
0,50
3b
Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx. Bài toán trở thành:
tìm m sao cho maxf(x) 2m 1.
Ta có f
2
(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) +
4sinxcosx
Đặt t = sinx + cosx,
2 t 2
. Ta có:
f
2
(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t
2
+ 2t 1 với
2 t 2
.
Xét sự biến thiên của g(t) ta có:
2
2; 2
max g(t) 4( 2 1)




Vì f(x) 0 nên ta có:
maxf(x) =
2

maxf (x) maxg(t) 2( 2 1)
Vậy ta có:
3 2 2
2( 2 1) 2m 1 m
2


.
0,25
0,25
0,25
0,75
0,25
0,25
4
4a
Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi nó liên tục tại x = 0.
0,25
x 0 x 0
lim f(x) lim f(x) f(0) b 1



.
Ta lại có:
3 3
x 0
1 a x cos x a
f '(0 ) lim
x 3

Và
x 0
ln(1 2 x)
f '(0 ) lim 2
x






a = 6.
Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi a = 6 và b = 1.
0,50
0,25
0,25
0,25
4b
Chứng minh đợc:
1 5 1 5
2 2
2 2
4 2 x 4 2
1 5 1 5

2 2
x 1 x 1
I dx dx
(x x 1)(1 2006 ) x x 1







1 5
2
2
2
1 5
2
1
1
x
I dx
1
(x ) 1
x

.
Đặt
/ 4
/ 4
1
x tgt I dt
x 2





.
0,50
0,25
0,50
5
5a
Toạ độ giao điểm của 2 elíp (E
1
) và (E
2
) là nghiệm của hệ
phơng trình:
2 2
2 2
2 2
x y
1

60
15 6
x y
7
x y
1
6 15










Vậy đờng tròn đi qua các giao điểm của 2 elíp là:
2 2
60
x y
7

0,50
0,50
5b
Gọi đờng thẳng Ax + By + C = 0 (A
2
+ B
2

0), là tiếp
tuyến chung của (E
1
) và (P). Ta có:
2 2
2
15A 6B C 0 C 5A
C 5A
6B 2AC












Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là:
3x 5y 5 3 0
.
1,0
0,50
6
Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ nh hình vẽ. Suy ra ta
có: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a
3

) và
B =
a a 3
; ;0
2 2



. Suy ra phơng trình của SB là:
2x 2y z a 3
a
a 3 a 3



Gọi M(x
0
; y
0
; z
0
) thuộc cạnh SB, ta có:
0 0
0 0
y 3x
z a 3 2 3x

.
Mặt khác AMDN
AM.DM 0

x
0
2
2ax
0
+ y
0
2
+ z
0
2
= 0
0
3a
x
8

3a 3a 3 a 3
M ; ;
8 8 4

3
SM SB
4


hay
SM 3
SB 4

.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
Hết

A
D
B
C
S
H
Họ tên TS:
Số BD:
Chữ ký GT 1:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
(Đề thi chính thức)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011 – 2012
Khóa ngày: 17 / 11 / 2011
Môn thi: TOÁN Cấp: THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
(Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
(Đề thi có 01 trang)
Bài 1 (5,0 điểm).
Tìm m để phương trình
2 3x m x  
có nghiệm.
Bài 2 (4,0 điểm).
Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 6 chữ số mà tích các chữ số của số
này bằng 3500 ?
Bài 3 (5,0 điểm).
Cho góc vuông xOy và điểm A (A ≠ O) cố định trên đường phân giác
Om của góc ấy. Một đường tròn (C ) thay đổi luôn đi qua hai điểm A, O cố
định và cắt Ox tại M, cắt Oy tại N.
a) Chứng minh rằng khi đường tròn (C ) thay đổi thì tổng OM + ON có
giá trị không đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MN khi đường
tròn (C ) thay đổi.
Bài 4 (3,0 điểm).
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 4c = 1. Chứng
minh rằng:
2 2 1 3 2 1 4 2 1 10a b c     

.
Bài 5 (3,0 điểm).
Tìm tất cả các số f: 

 thỏa mãn các điều kiện:
i) f(1) = 2011,
ii) f(x
2
– y) = xf(x) – f(y), với mọi x, y  .
HẾT
www.VNMATH.com

Trang 1/9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐAKNÔNG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIẢI TÓAN TRÊN MÁY
TÍNH CASIO NĂM HỌC 2008 – 2009
Khóa ngày 10 tháng 2 năm 2009
MÔN: TOÁN LỚP 12 THPT
thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)






Quy định :
1/ Thí sinh được sử dụng hai loại máy tính CASIO fx-500MS và CASIO fx- 570 MS, hoặc
các loại máy có chức năng tương đương .

2/ Nếu không yêu cầu thêm hãy tính chính xác đến 10 chữ số thập phân (ghi vào ô kết quả
tất cả những chữ số đọc được trên màn hình ).
3/Thí sinh làm bài trực tiếp vào đề thi này. Nếu khung làm bài không đủ thì có thể làm tiếp
ở mặt sau trang đề (lưu ý ghi rõ câu).


Bài 1 (2 điểm) :Cho hàm số

2
1
x
1
y x . 3
2
.Tìm giá trị cực đại, giá trị cực tiểu.
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính Kết quả:

Điểm

Bằng số Bằng chữ

Giám khảo 1:.…………………

Giám khảo 2:.………………
S
ố phách
(thí sinh không ghi
vào khung này)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2/9


Trang 3/9
Bài 2: (2điểm)
Tìm min của hàm số
2 2
2 2
4
x y
S
x xy y


 

Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả

Bài 3: (2 điểm) Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau:
2
sin 2 5(sin cos ) 2
x x x
  

Sơ lược cách giải và thao tác máy tính Kết quả:

Trang 4/9

Bài4: (2điểm)
Bố Hùng mất để lại cho Hùng 11000USD trong ngân hàng với lãi suất 0,73% một tháng.
Mỗi tháng Hùng đến rút 60USD để sinh sống.
a) Hỏi sau một năm số tiền còn lại là bao nhiêu?
b) Nếu mỗi tháng rút 200USD thì sau bao lâu sẽ hết tiền?
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả

Trang 5/9

Bài 5 (2 điểm) : Giải hệ phương trình:



4
3
4
3
2(log log ) 17
log .log 4
x y
x y
 


Sơ lược cách giải và thao tác máy tính Kết quả:

Trang 6/9






Bài6: (2điểm)
Cho nhị thức Newton
2
3
2
3
n
x
x
 

 
 
 
. Biết

0 1 2
4096
n
n n n n
C C C C     . Hệ của số hạng chứa
4
x
,
9
x
lần lượt là a, b. Tính tỉ số
2
3
2
a
b
.
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính Kết quả:

Trang 7/9
Bài 7 (2 điểm) : Tìm giới hạn sau:

1 2 1
lim 1 cos cos cos
n
n
n n n n
 



 
   
 
 

Sơ lược cách giải và thao tác máy tính Kết quả:

Bài 8:(2điểm)
Cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình là:
1 2 3
:2 3 5 0; :3 7 0; :7 2 3 0
d x y d x y d x y
        

. Gọi
1 2 2 3 3 1
; ;
A d d B d d C d d
     
. Tính
tọa độ các điểm A, B, C và diện tích tam giác ABC.
(Kết quả tính gần đúng lấy chính xác tới 7 chữ số thập phân)
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả

Trang 8/9
Bài 9 (2 điểm): a)Tìm số tự nhiên n biết tổng các chử số của n bằng n
2
+1999n +8 .
b)Tính gần đúng nghiệm thực đến hai chữ số thập phân của phương trình
x
13
– x
6
+ 3x
4
– 3x
2
+ 1 = 0
.
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính Kết quả:

Bài10: (2điểm)
Tính gần đúng thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp đều S.ABCD với cạnh đáy
AB = 45cm, góc của mỗi cạnh bên và mặt đáy là
0
83 29 25

 
 .
(Kết quả tính gần đúng lấy chính xác tới 4 chữ số thập phân)
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính Kết quả

Trang 9/9

Hết

UBND HUYỆN LẠC SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Cấp THCS , năm học 2012 – 2013
Thời gian làm bài 120 phút
Điểm của toàn bài thi
Các giám khảo
(họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do TB chấm thi ghi)
Bằng số Bằng chữ



Quy định:

1-Học sinh được sử dụng các loại máy tính casio fx 500MS, 570 MS , 500ES, 570 ES , 570 ES
PLUS hoặc máy Viacal để làm bài trực tiếp vào đề thi
2,Bài làm cần ghi đáp số vào phần ghi kết quả và trình bày lời giải ngắn gọn các phần nếu sau
bài có “ ”
3, Nếu không yêu cầu gì thêm hãy tính chính xác đến 5 chữ số phần thập phân.
4- Đề thi có 10 bài gồm 5 trang
Đề bài và tóm tắt lời giải Ghi kết quả
Câu 1: (5 điểm)
a, Tính
3
3
3
3
3
3
26

21
18
21
54
2126200 



B

b) Viết tính D và viết dưới dạng phân số tối giản

4
D=5+
4
6+
4
7+
4
8+
4
9+
10

a,
B =

b,
D =
Câu 2: (5 điểm)

1, Cho a = 11994; b = 153923; c = 129935.
a,Tìm ƯCLN(a , b, c) b,Tìm BCNN( a, b, c)
2, Tìm 3 chữ số cuối cùng bên phải của
2012
7











1,

a, ƯCLN(a,b,c) =




b, BCNN(a,b,c) =

2,
3 chữ số cuối
cùng bên phải
của
2012
7
là

Câu 3: (5 điểm)

Cho đa thức:
260228418)(
234
 xxxxxP

1, Hãy tìm số dư trong phép chia P(x) cho đa thức 2x + 5
2, Hãy tìm m để đa thức
P(x)
+
m
3
2
chia hết cho đa thức 2x - 7
3, Hãy tìm các nghiệm của đa thức P(x)

1, Số dư là




2,
m =



3,
x
1
=
x
2
=
x
3
=
x
4
=

Câu 4: (5 điểm)
.
Cho đa thức:
4 3 2
P(x)=x +ax +bx +cx+d

Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 7; P(4) = 10
1, Tìm các hệ số a, b ,c, d
2, Với a, b,c,d vừa tìm được ta chia đa thức
P(x)
cho 2x+3 ta được
thương là đa thức Q(x) có bậc là 3. Hãy tìm hệ số của x trong Q(x)?

1,
Hệ số:
a =
b =
c =
d =


2,

Hệ số của x
trong Q(x) là:

Câu 5: (5 điểm)
1, Cho sinx
=
3
5


0 90
o o
x 

Tính A
=

xx
xxx
cot6tan5
tan32sin5cos2
2
22



2, Tìm phân số tối giản sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn:
621,12(2012)

1,
A =
2, Phân số cần
tìm là:

Câu 6: (5 đi
ểm)

Một người tiết kiệm tiền để mua một chiếc xe máy bằng
cách hàng tháng gửi vào ngân hàng a đồng . Biết rằng lãi xuất của ngân
hàng là 0.8%/tháng, hàng tháng không rút lãi ra.
a, Xây dựng công thức tính tổng số tiền tiết kiệm có được sau n tháng?
b, Đúng ba năm sau người đó mua được chiếc xe máy trị giá 20600000
đồng . Hỏi hàng tháng người đó phải gửi vào ngân hàng một số tiền là
bao nhiêu?

a, Công thức tổng
số tiền có được
sau n tháng







b, Số tiền là

C
â
u
7

(5

đ
i
ểm
)

Tìm số tự nhiên n ( 20349 < n < 47238 ) và A để
A = 4789655
–
27n là lập phương của một số tự nhiên .













n =

A =

Câu 8:(5 đi
ểm)
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công
thức
52
)51()51(
nn
n
U


với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
1. Tính U
1
, U
2
, U

3
, U
4
, U
5
.
2. Lập công thức truy hồi để tính U
n+2

theo U
n+1

, U
n

.
3. Lập quy trình ấn phím liên tục tính U
n+2

.

1,
U
1
= 1
U
2
= -2
U
3
= 8
U
4
= -24
U
5
.= 80


2,
U
n+2

=


























Câu 9: (5 điểm)
Cho
ABC


vuông tại A có BC = 2,55m; độ dài các cạnh AB và AC tỷ lệ
8: 15 , AD là phân giác trong của góc A.
a, Tính số đo góc B, góc C.
b, Tính chu vi của tam giác ABD






















a,
Góc B =
Góc C =

b, Chu vi của
tam giác ABD
là: