Chuyên đề phương trình mũ logarith

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1





1) Khái niệm về Lũy thừa
 Lũy thừa với số mũ tự nhiên:
. . ,
=
n
a a a a a
với n là số tự nhiên.
 Lũy thừa với số nguyên âm:
1
,
−
=
n
n
a
a
với n là số tự nhiên.
 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
( )
= =
m
m
n

m
n
n
a a a
với m, n là số tự nhiên.
Đặt biệt, khi m = 1 ta có
1
.
=
n
n
a a

2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa


 Tính chất 1:
0
1
1,
,

= ∀


= ∀


a a
a a a



 Tính chất 2
(tính
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n):
1:
0 1:

> > ⇔ >

< < > ⇔ <


m n
m n
a a a m n
a a a m n



 Tính chất 3
(so sánh l

ũ
y th
ừ
a khác c
ơ
s
ố
): v
ớ
i a > b > 0 thì
0
0

> ⇔ >

< ⇔ <


m m
m m
a b m
a b m

Chú ý:
+ Khi xét lu
ỹ
th
ừ
a v
ớ

i s
ố
m
ũ
0 và s
ố
m
ũ
nguyên âm thì c
ơ
s
ố
a ph
ả
i khác 0.
+ Khi xét lu
ỹ
th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
không nguyên thì c
ơ
s
ố
a ph

ả
i d
ươ
ng.
3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa


 Nhóm công thức 1:

( ) ( )
.
+
−
=
=
= =
m n m n
m
m n
n
n m
m mn n
a a a
a
a
a
a a a





 Nhóm công thức 2:

( )
1 1
1
3
3
2
; ;
. , , 0
, , 0
= = → = = =
= ∀ ≥
= ∀ ≥ >
m
m
n
m
n n
n n
n n n
n
n
n
a a a a a a a a a
ab a b a b
a a
a b
b

b


Ví dụ 1:
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau :
a)
2 1
2
1
.a
a
−
 
 
 
b)
π 2 4π
4
. :
a a a

c)
(
)

3
3
a
d)
3
2. 1,3 3 2
. :
a a a

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
2 1
2 1
2 2 1 2 1 2
1
.
a a a a a a
a
−
−
− −
 
= = =

 
 
.
b)
1
1
2
π 2 4π π4
2
π
. :
a
a a a a a a
a
= = =

c)
(
)
3
3 3. 3 3
a a a
= =

d)
2. 1,3
3
2. 1,3 3 2 1,3
2
.

. :
a a
a a a a
a
= =

Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức :
Tài liệu bài giảng:

01. MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

a)
( )
2 2 2 3
2
2 3
1
a b
a b
−
+
−
b)
(
)
(

)
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
1a a a a
a a
− + +
−

c)
5 7
2 5 3 7 2 7
3 3 3 3
a b
a a b b
−
+ +
d)
( )
π
1
2
π π
π
4
a b ab
 
+ −
 
 

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
(
)
(
)
( )
( )
2 3 2 3
2 2 2 3 2 3 2 3 2
2 2
2 3
2 3
2 3 2 3
2
1 1
a b a b
a b a b a b a
a b
a b
a b a b
− +
− + + −

+ = + = =
−
−
− −

b)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
( )
2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3
3
4 3 3
3 3 3 2 3
1 1 1 1
1
1 1
a a a a a a a a a
a
a a
a a a a
− + + − + + +

= = +
−
− + +

c)
5 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3
5 7
5 7
3 3
2 5 3 7 2 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3 3 3
a b a a b b
a b
a b
a a b b a a b b
  
− + +
  
  
−
  
= = −
+ + + +

d)
( ) ( )
π
1
2 2

π π
2
π
2
π π π π π π π π π
π
4 2 4
a b ab a b a b a b a b a b
 
+ − = + + − = − = −
 
 

Ví dụ 3:
Vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ

h
ữ
u t
ỷ
các bi
ể
u th
ứ
c sau :
a)
5
3
2 2 2
A =
b)
( )
11
16
: 0
B a a a a a a
= >

c)
2
4
3
C x x
=
d)
( )

5
3
0
b a
D ab
a b
= >

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
1 1
1 1 1
5 5
3 1 3
1 3 1
3 3 5
5
3
2 5 10
2 2 2
2 2 2 2 .2 .2 2 .2 2 .2 2 2
A
 
   

 
     
 
   
= = = = = =
 
     
   
     
 
   
   
 
 

b)
1
1 1
2
1 151 1
2 2
11 11 11 7 11
3 3 1
2
162 2
1
1
16 16 6 8 16
2 4 4
11

16
: . : . : :
a
B a a a a a a a a a a a a a a a
a
+
+
 
   
 
 
   
 
   
= = = = = =
 
 
   
   
   
 
 
   
   
 
 

Ví dụ 4:
Rút g
ọ

n bi
ể
u th
ứ
c sau :
a)
1 1
1
1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a b
A a b
a a b a b
−
 
 
− −
 
= − −
 
 
 
+ +
 
 
b)

3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2
a b a b
B ab
a b
 
  
− +
 
  
 
  
= −
 
 
−
 
 

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
1 1 1 1 1 1

1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 4 4 4
3 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 4 4 4 4 4
2 4 4 2 4 4 4 4
1
: : .
a b a b a b a b a b a a b
A a b a b
a a b a b a b
a a b a a b a b
 
 
 
   
− − − − − − +
 
 
= − − = − − = =
   
 
 
     
   
+ + +
 
 
+ + −

 
     
 
     
 

1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
b a b b
a
a a b
 
−
 
= =
 
 
−
 

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

b)
( )
3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1
1 1
2 2 2 2
2 2
a b a b a b a b a b a b a b
B ab a b
a b a b
a b
   
      
− + − − − − −
   
      
         
= − = = = −
   
 
   
− −
−
 
   
 
   

Ví dụ 5: Đơn giản các biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa)
a)
3
2
1 1

3
2
4 4
3
3
:
a b a
A a b
b a
a b
 
   
 
 
= + +
   
 
    
 
   
 
 
b)
2
2
2
4
4
4
2

a
B
a
a
a
+
=
 
−
+
 
 

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
3
3 1
2
1 1 1 1
2 2
3
2
2 2
3

4 4 4 4
3 1 1 1
2 3
1 1
3
3
3
2 2 4 4
4 4
1
1
: :
a
a b a a b a a b
b ab
A a b a b
a b
b a
a b
b a a b
ab a b
 
 
 
+
   
   
+
 
 

 
= + + = + + = =
   
   
 
    
 
 
    
   
 
  +
+
 
 
 
 
 

b)
( )
2 2
2 2
2 2
2
2 0
2
4 4
2 0
4 4

4
2
4
aa
a a
B
a
a
a a
a
a
a
a
⇔ ≥

+ +
= = = =

− ⇔ <

 
− +
+
 
 

Ví dụ 6:
Cho a, b là các s
ố
d

ươ
ng. Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c sau :
a)
( )
2 2
3 3 3
3 3
a b a b ab
 
+ + −
 
 
b)
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
a b
b a
 
 
+ + +
 

 
 
 
 

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3
a b a b ab a b a a b b a b a b
 
 
+ + − = + − + = + = +
 
 
 
 

b)
1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3

1 1
1 1
3 3
3 3
3 3
1 1 2 2 2 1 1
1 1
3 3 3 3 3 3
3 3
: 2
2
a b a b a b a b
a b a b
a b
b a
a b a b a b
a b
   
+ +
   
 
 
   
+ + + = = =
 
 
 
 
 
 

+ + +
+
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1:
Vi
ế
t các bi
ể
u th
ứ
c sau d
ướ
i d
ạ
ng l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
h
ữ

u t
ỉ
, (coi các bi
ể
u th
ứ
c
đ
ã t
ồ
n t
ạ
i)
a)
2
4
3
.
=
A x x
b)
5
3
.
=
b a
B
a b
c)
5

3
2 2 2 .
=C

d)
3
3
2 3 2
.
3 2 3
=D
e)
4
3
8
.
=
D a
f)
2
5
3
.
=
b b
F
b b

Bài 2:
Có th

ể
k
ế
t lu
ậ
n gì v
ề
s
ố
a trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau?
a)
( ) ( )
2 1
3 3
1 1 .
− −
− < −a a
b)
( ) ( )
3 1
2 1 2 1 .
− −
+ > +a a
c)
0,2
2

1
.
−
 
<
 
 
a
a

d)
( ) ( )
1 1
3 2
1 1 .
− −
− > −a a
e)
( ) ( )
3
2
4
2 2 .
− > −
a a
f)
1 1
2 2
1 1
.

−
   
>
   
   
a a

Bài 3:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:

a)
( ) ( )
1
1 1
2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
−
  
= + − − + + −
   
   
   
A

b)

4 10 2 5 4 10 2 5 .
= + + + − +B

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

Bài 4: Cho hàm số
4
( ) .
4 2
=
+
x
x
f x
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.
b) Tính tổng
1 2 2010
.
2011 2011 2011
     
= + + +
     
     
S f f f
Bài 5.1: So sánh các cặp số sau
a)

5
2
π
2
 
 
 
và
10
3
π
2
 
 
 

b)

2
π
2
 
 
 
và
3
π
5
 
 

 

c)

10
4
3
5
 
 
 
và
5
2
4
7
 
 
 

d)

3
7
6







và
2
8
7







e)

5
π
6
 
 
 
và
2
π
5
 
 
 

Bài 5.2: So sánh các cặp số sau
a)

3
30
và
5
20

b)

4
5
và
3
7

c)

17
và
3
28

d)

4
13
và
5
23

Bài 6:

Tìm
x
th
ỏ
a mãn các ph
ươ
ng trình sau?

1)
5
4 1024
=
x
2)
1
5 2 8
2 5 125
+
 
=
 
 
x
3)
1 3
1
8
32
−
=

x

4)
( )
2
2
1
3 3
9
−
 
=
 
 
x
x
5)
2 8 27
.
9 27 64
−
   
=
   
   
x x
6)
2
5 6
3

1
2
− +
 
=
 
 
x x

7)
2 8
1 0,25
.32
0,125
8
−
−
 
=
 
 
x
x
8)
0,2 0,008
=
x
9)
3 7 7 3
9 7

49 3
− −
   
=
   
   
x x

10)
( )
( )
1
12 . 3
6
=
x
x
11)
1 1
1
7 .4
28
− −
=
x x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1

1) Khái niệm về Logarith
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng
log
= ⇔ =
y
a
y x x a

Ví dụ 1:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c logarith sau
(
)
2 3
2 2
log 4; log 81; log 32; log 8 2

H
ướ
ng d
ẫ

n gi
ả
i:
•

2 2
log 4 2 4 2 log 4 2
= ⇔ = ⇔ = → =
y
y y
•
y 4
3 3
log 81 y 3 81 3 y 4 log 81 4
= ⇔ = = ⇔ = → =

•
(
)
(
)
y 10
5
2 2
log 32 y 2 32 2 2 y 10 log 32 10
= ⇔ = = = ⇔ = → =

•
(
)

(
)
(
)
(
)
7
3
2 2
log 8 2 2 8 2 2 . 2 2 7 log 8 2 7
= ⇔ = = = ⇔ = → =
y
y y
Ví dụ 2:
Tính giá tr
ị
c
ủ
a
a)

2 2
log 32
=
b)

3
2
log 128 2
=

c)

3
log 81 3
=
d)

3
3
log 243 3
=
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta g
ọ
i là logarith c
ơ
s
ố
th
ậ
p phân, ký hi
ệ
u là lgx ho
ặ
c logx
Khi a = e, (v
ớ
i e ≈ 2,712818…)
đượ
c g

ọ
i là logarith c
ơ
s
ố
t
ự
nhiên, hay logarith Nepe, ký hi
ệ
u là lnx, (
đọ
c là len-x)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
• Bi
ể
u th
ứ
c logarith t
ồ
n t
ạ
i khi c
ơ
s
ố
a > 0 và a ≠ 1, bi
ể
u th
ứ
c d

ướ
i d
ấ
u logarith là x > 0.
•

log 1 0 ;log 1,
= = ∀
a a
a a

• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith:
1
log log
0 1
> ⇔ >

> ⇔

< ⇔ < <

a a
b c a
b c
b c a

3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1:
log ,
= ∀ ∈

ℝ
x
a
a x x
,(1)
Chứng minh:
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có
log
= ⇔ =
x x x
a
a x a a

Ví dụ 1:
(
)
8
5 4
2 2
2 2 2
log 32 log 2 5;log 16 log 2 log 2 8
= = = = =
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3
2
5
1
4
log .

a
a a a
P
a a
=
b)
log .
a
Q a a a a
=
Hướng dẫn giải:
a) Ta có
1 2 1 2 28
67
1
28 3 67 67
3
2
5
5 3 5 3 15
60
15 4 60 60
1 1
1 1 1 1 3
4
2 4 2 4 4
. . 1 67
log log .
60
.

a a
a a a a a a a a
a a P a
a
a a
a a a a
+ +
−
−
+
 


= = = = = → = = = −




 

b) Ta có
( )
15
7 15 15
1 3
8
8 16 16
2 4
15
. . . log log .

8
a a
a a a a a a a a a a a a a a Q a a
= = = = → = = =

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
Tài liệu bài giảng:

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

a)
3
5
log
a
A a a a
=
b)
2
3
5
log
a
B a a a a
= c)
5 3

3 2
1
4
log
a
a a a
a a

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
1 1
3
3
5
2 5
1 1 37
log log 3
2 5 10
a a
A a a a a
+ +
 
= = = + + =
 

 

b)
1
3
1
1 1
1 2
3
23
2 5
5
3
27 3
log log 1 1
10
10
a a
B a a a a a
 
+ + +
 
 
 
 
 
= = = + = +
 
 
 

 
 

c)
3 2
1
5 3
3 2
5 3
1
1 1
4
2 4
34 3 91
log log
15 4 60
a
a
a a a a
a a
a
+ +
+
 
 
 
= − = − − = −
 
 
 

 
 

Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
1
5
log 125

=
b)
2
log 64

=

c)
16
log 0,125

=


d)
0,125
log 2 2

=

e)
3
3
3
log 3 3

=
f)
7
8
7
7
log 7 343

=

Ví dụ 5:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
(
)
3 5
log

a
P a a a= =

b)
(
)
2
3
5
4
log

= =
a
Q a a a a
Công thức 2:
log
, 0
= ∀ >
a
x
a x x ,
(2)

Ch
ứ
ng minh:
Đặ
t
(

)
log , 2
=
⇒
= ⇔ =
t t t
a
x t x a a a

Ví dụ 1:
( )
( ) ( ) ( )
3
3
3
5
2
log 4 1
1 1
log 4
log 4
log 6
log 3
2
2 2
2 3, 5 6, 3 3 3 4 2
 
 
= = = = = =
 

 
 

Ví dụ 2:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
1)
8
log 15
2

=
2)
2 2
log 64
2

=

3)
81
log 5
1

3
 


=




 
4)
(
)
3
log 4
3
9

=
Công thức 3:
(
)
log . log log
= +
a a a
x y x y
, (3)
Ch
ứ
ng minh:

Áp dụng công thức (2) ta có
log
log log log log
log
. .
+

=

→ = =

=


a
a a a a
a
x
x y x y
y
x a
x y a a a
y a

Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(1)

ta
đượ
c :
(
)
log log
log . log log log
+
= = + ⇒
a a
x y
a a a a
x y a x y dpcm

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)

(
)
3
2 2 2 2 2 2 2
log 24 log 8.3 log 8 log 3 log 2 log 3 3 log 3
= = + = + = +

b)

(
)
3
3 3 3 3 3 3

log 81 log 27.3 log 27 log 3 log 3 log 3 3 1 4
= = + = + = + =

Ví dụ 2:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
4
2
3 3
3
2 2 2 2 2
4 10
log 4 16 log 4 log 16 log 2 log 2 2 .
3 3
= + = + = + =

b)
1
3
1
3
3
3 3
3

1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 10
log 27 3 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 3 .
3 3 3 3
− −
   
 
 
= + = + = + =− − = −
 
 
 
 
   


c)
(
)
(
)
6 2
3
5 5
2 2 2 2 2 2 2
log 8 32 log 8 log 32 log 2 log 2 log 2 log 2 6 2 8.
= + = + = + = + =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Ví dụ 3: Cho biết
log 2;log 2
a a
b c= =
Tính giá tr
ị
c
ủ
a
log
a
x
với
a)
3 2
x a b c
=


b)
3 3
x ab a bc
=


Công thức 4:
log log log

 
= −
 
 
a a a
x
x y
y
,
(4)

Ch
ứ
ng minh:
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(2)
ta có
log
log
log log
log
log
−

=


→ = =

=


a
a
a a
a
a
x
x
x y
y
y
x a
x a
a
y
a
y a

Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(1)
ta
đượ

c :
log log
log log log log
−
 
= = − ⇒
 
 
a a
x y
a a a a
x
a x y dpcm
y

Ví dụ 1:
4
5
3
32
2 2 2 2 2
3
32 5 4 7
log log 32 log 16 log 2 log 2 .
2 3 6
16
= − = − = − =

Ví dụ 2: Cho biết
1

log ;log 3
3
a a
b c= =
Tính giá trị của
log
a
x
với
a)
2
3
2
ab c
x
abc
=


b)
5 3
3
4
a bc
x
a abc
=

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a)

1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
b)
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 
+
=
 
+
 
c)
2
3

log
1
x
y
x
−
=
+

f)
2
0,3 3
2
log log
5
x
y
x
 
+
=
 
+
 
d)
2
1 2
2
1
log log 6

1
x
y x x
x
−
= − − −
+

e)
( )
2
2
1
lg 3 4
6
y x x
x x
= − + + +
− −
g)
1
log
2 3
x
y
x
−
=
−

Hướng dẫn giải:
a)
1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
. Điều kiện :
1
2
1
1
log 0
1 2
1
1 0 0 1
1
1
1 1
1
1
1; 1 1; 1
0
0

1
1
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x x x
x
x
−

−

≥
− −
≤
 


− ≤ ≤ → ≥ −
+
   
+
⇔ ⇔ ⇔
+ +

   
−
−
   
< − > < − >
>
>
 


+

+


V
ậ
y
(
)
1;
D
= +∞

b)
2
1 5
5
1
log log

3
x
y
x
 
+
=
 
+
 
.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n :
2
2
1 5
2
3
2 2
5
2
2
1
2
log log 0
0

3
3
1
1
1 5 14
3
0 log 1 0
3 3
1
0 5
3
1
3
0 5
3
x
x x
x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x
x
x

 

+

− −
≥

 
≥

+
 
+


+

≥
 

+ − −
 
+
≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤
  
+ +
+
  
< ≤
> −
  
+

+

< ≤
 
+




( ) ( )
3 1; 2
3; 2 2;7
3; 2 7
x x
x
x x
− < < − >

⇔
⇒
∈ − − ∪

< − − < <


Ph
ầ
n còn l
ạ
i các em t

ự
gi
ả
i n
ố
t nhé!
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1





3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5:
log .log
=
m
a a
b m b
,
(5)

Ch
ứ
ng minh:
Theo công th
ứ
c

(2)
ta có
(
)
log log .log
= ⇒ = =
a a a
m
b b m b
m
b a b a a

Khi
đ
ó
.log
log log .log
= =
⇒
a
m b
m
a a a
b a m b dpcm

Ví dụ 1:
( )
3 2
2 2 2 5 5 5
1

4
4
2 2 2
log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6
1 5
log 32 log 32 log 32
4 4
= = = =
= = =

Ví dụ 2:
4
2
2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 6 .45 1
2log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81
log 4.
2 20 3
−
 
− + = − + = = = = −
 
 

Ví dụ 3:
5 5 5 5 5 5 5 5
1 50 3

log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2.
2
2 3
− + = − + = = =

Ví dụ 4:
Cho bi
ế
t
1 3
log ;log
2 4
a a
b c
= =
Tính giá tr
ị
c
ủ
a
log
a
x
với
a)
3 2
2 3
4
a b c
x

a bc
=


b)
3 3
3
ab a bc
x
bc
=


Công thức 6:
1
log log
=
n
a
a
b b
n
, (6)
Chứng minh:
Đặt
(
)
log
= ⇒ = ⇔ =
n

y
n ny
a
b y a b a b

Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được :
1
log log log log
= ⇔ = ⇒ =
ny
a a a a
a b ny b y b
n

hay
1
log log= ⇒
n
a
a
b b dpcm
n

Ví dụ 1 :
1
2
5 1
5
2
2

2
2
2
2
1
log 16 log 16 log 16 2.4 8.
1
2
1
log 64 log 64 log 64 5.6 30.
1
5
= = = =
= = = =

Hệ quả:
T
ừ
các công th
ứ
c
(5)
và
(6)
ta có :
log log
=
n
m
a

a
m
b b
n

Ví dụ 2:
( )
( )
( )
( )
3 1 3
3
1
11
3
4
4
5
2 2 2
5
2
5
3
9 11 11
4
log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .
1
4 3 3
3
= = = = = =

Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
1
3 3
5
3
4
1
3
3
27
log 27 log
9
.
1 1
log log
81 3
 
+

 
 
=
 
+
 
 
A
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:


(
)
2
3 3 3 3
log 27 log 3 3 2
= =


1
2
13
3
5

1 3
2
5
3
3
5
27 3 1 13 26
log log log 3 2. .
1
5 5
9
3
2
−
 
 
 
= = = − = −
 
 
 
−
 


1
2
1
3 3
5

4
3
3
4
3
3
1
3
3
27
26
log 27 log
2
9
1 4
5
log log 3 4.2log 3 8 .
81 8 4 5
1 1
log log
81 3
−
 
+
 
−
 
= = − = − → = = =
− +
 

+
 
 
A

Công thức 7: (Công thức đổi cơ số)
log
log
log
=
c
a
c
b
b
a
, (7)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có
( )
log log
log
log log log .log log
log
= ⇒ = = ⇒ = ⇒
a a
b b
c
c c a c a
c

b
b a b a b a b dpcm
a

Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log log .log
=
a a c
b c b

+ Khi cho b = c thì (7) có dạng
log
1
log .
log log
= =
b
a
b b
b
b
a a

Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho
2 2
log 14 log 49 ?
= → = =
a A

b)
Cho
15 25
log 3 log 15 ?
= → = =
a B
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
(
)
2 2 2 2
log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1.
= ⇔ = = + ⇒ = −
a a a
Khi
đ
ó
(
)
2 2
log 49 2log 7 2 1 .
= = = −
A a

b)
Ta có
3
15
3 3
5
1 1
log 5 1
1 1
log 3
log 15 1 log 5
log 3
1
−

= − =


= ⇔ = = →

+

=

−

a
a a
a a
a

a

( ) ( )
3
25
3 3
1 1
log 15
1 1
log 15 .
1
log 25 2log 5 2 1 2 1
2
= = = = = → =
−
− −
a a
B B
a
a a
a

Ví dụ 2:
Cho
log 3.
a
b
=
Tính
a)

log .
=
b
a
b
A
a
b)
log .
=
ab
b
B
a

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có
1

log 3 log .
3
= ⇒ =
a b
b a

a)

1 1 1 1
log log log
log log log log
log log
= = − = − = − =
   
− −
   
   
   
b b b
b b a a
a a a
b a
b
A b a
a b a b a
b b
a a

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

3

1 1 1 1 3 1 3 1
.
2
1 2log log 2
3 2 3 2 3 2
1
3
− −
= − = − = → =
− −
− − −
−
b a
A
a b

Cách khác:
Ta có
đượ
c
2
2
2
2
log
log 1
3 1
log log log

log 2
3 2
log
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
b
b
b b b
a
A
b
a b
a a
a
 
 
 
 
 
−
−
= = = = = =

 
 
−
−
 

b)

1 1 1 1
log . log log
log log log log log log
= = − = − = − =
+ +
ab ab ab
b b b
a a a
b
B b a
a ab ab a b a b

1 1 1 1 2 3 1 2 3 1
.
1 1 1 1
1 log
1 3 3 1 3 1
log
2 2 2
2 3
− −
= − = − = → =

+
+ + +
+ +
a
b
B
b
a

Cách khác:
Ta có
( )
2
2
2
2
log
2log 1
2 3 1
log log log .
log 1 log
1 3
a
a
ab
ab
ab
a a
b
b

b b b
a
B
a ab b
a a
−
 
−
= = = = = =
 
+
+
 

Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
81 25 .49
−
 
+
 
 
b)
2 5

4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+
+
+
c)
7 7
3
1
log 9 log 6
log 4
2
72 49 5
−
−
 
+
 
 
d)
6 9
log 5 log 36
1 lg 2
36 10 3
−
+ −

Hướng dẫn giải:
a)
( )
3
9
3
9
125 7 5 7
1 1
1 1
log 4
2log 2
4 log 4
log 8 log 2 2log 2
4 2
4 2
81 25 .49 3 5 7
 
−
−
 
 
 
 
+ = +
 
 
 
 
5

3 7
1
2 .3log 2
1 log 4 log 4
3
3
3 5 7 4 4 19
4
−
 
 
= + = + =
 
 
 
 

b)
( )
2 5
4
2 54
1
log 3 3log 5
2 1 log 5
log 3 6log 5
1 log 5 6
2
16 4 4 2 16.25 3.2 592
+

+
+
+
+ = + = + =
c)
( )
7 7
5
7 7 5
1
log 9 log 6
log 4
log 9 2log 6 2log 4
2
9 1
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
−
−
− −
 
 
+ = + = + = +
 
 
 
 
4,5=22,5
d)
6 9 6

log 5 log 36 log 25
1 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30
−
+ − = + = + =

Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
9 9 9
log 15 log 18 log 10
A = + − b)
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B = − +

c)
36 1
6
1
log 2 log 3
2
C = −
d)
(
)
1 3 2

4
log log 4.log 3
D =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
3 3
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A
= + − = = = =

b)
2 4
3
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
 
= − + = = = − = −

 
 

c)
36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C
= − = + = =

d)
( ) ( ) ( )
1 3 2 4 2 3 4 2 2
4
1 1
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
2 2
D
= = − = − = − = −

Ví dụ 5: Hãy tính :
a.
( )
2 3 4 2011
1 1 1 1
2011!
log log log log
A x

x x x x
= + + + + =

b. Chứng minh :
+
( )
ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

+
(
)
2
1
1 1 1

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2 3 4 2011
1 1 1 1
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2
011 log 2011!
log log log log
x x x x x
A
x x x x
= + + + + = + + + = =

Nếu x = 2011! Thì A=
(
)
2011!

log 2011! 1
=

b) Chứng minh :
( )
ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+

Ta có
ax
log log log
log
log ax 1 log
a a a
a a
bx b x
bx
x
+
= = ⇒

+
đpcm.
Chứng minh :
(
)
2
1
1 1 1

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =
( )
(
)
2
1
log log log 1 2 3 log
2log
k
x x x x
a
k k
VT a a a k a VP
x

+
= + + = + + + + = =

Ví dụ 6: Chứng minh rằng :
a) Nếu :
2 2 2
; 0, 0, 0, 1
a b c a b c c b
+ = > > > ± ≠
, thì log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
b) Nếu 0<N
1
≠
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
( )
log log log
, , 1
log log log
a a b
c b c
N N N
a b c
N N N
−
= ≠
−

c) Nếu
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì
2log .log
log
log log
a c
b
a c
x z
y
x z
=
+

d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn :
2 2
7
a b ab
+ = . Chứng minh :
ln ln
ln
3 2
a b a b
+ +
=
Hướng dẫn giải:

a) Từ giả thiết
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 log log
a a
a c b c b c b c b c b
= − = − +
⇒
= − + +

1 1
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
a a
− + + −
− +
⇔ = + ⇔ = +

b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có :
2

b ac
=

Lấy logarith cơ số N hai vế ta được
1 1 1 1
2log log log
log log log log
N N N
b a c b
b a c
N N N N
= + ⇔ − = −

log log log log log log log
log .log log .log log log log
a b b c a a b
a b c b c b c
N N N N N N N
N N N N N N N
− − −
⇔ = ⇔ =
−
. ( đpcm )
c) Nếu
log ,log ,log
x y z
a b c
tạo thành cấp số cộng thì
log log 2log
x z y

a c b
+ =
2log .log
1 1 2
log
log log log log log
a c
b
a c b a c
x z
y
x z y x z
⇔ + = ⇔ =
+

d) Nếu :
( )
2
2
2 2
ln ln
7 9 ln
3 3 2
a b a b a b
a b ab a b ab ab
+ + +
 
+ = ⇒ + = ⇔ = ⇒ =
 
 

.
Ví dụ 7: Tính
a.
6
log 16
A = . Biết :
12
log 27
x
=

b.
125
log 30
B =
. Biết : lg3 ;lg2
a b
= =

c.
3
log 135
C = . Biết:
2 2
log 5 ;log 3
a b
= =

d.
6

log 35
D = . Biết :
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3
a b c
= = =

e. Tính :
49
log 32
. Biết :
2
log 14
a
=

Hướng dẫn giải:
a)
6
log 16
A =
. Từ :
3
12 3 3
3 3
log 27
3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
x x

x x
x x x
− −
= ⇔ = = ⇒ = − = ⇔ =
+
(*)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
5

Do đó :
4
3 3
6
3 3
log 2 4log 2
log 16
log 6 1 log 2
A = = =
+
. Thay t
ừ
(*) vào ta có : A=
(
)
( )
2 3 .2
12 4
3 3
x x

x
x x x
−
−
=
+ +

c) T
ừ
:
3
2
3 3 3
2
log 5
3
log 135 log 5.3 log 5 3 3 3
log 3
a a b
C
b b
+
= = = + = + = + =

d) Ta có :
27 3 3 8 2 2
1 1
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
3 3
a a b b

= = ⇒ = = = → =
(*)
Suy ra :
(
)
2 3 2
2 2 2
6
2 2 2
3 1
log 3.log 5 log 7
log 5.7 log 5 log 7 .3 3
log 35
log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1
b a
b a b
D
b b
+
+
+ +
= = = = = =
+ + + +

e) Ta có :
2 2 2
log 14 1 log 7 log 7 1
a a a
= ⇔ + = ⇒ = −

Vậy :
( )
5
2
49
2
2 2
log 2
5 5
log 32
log 7 2log 7 2 1
a
= = =
−

Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức
a)
(
)
(
)
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a
= + + − −

b)
( )
( )
2

log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x
x
B x x x x
+
= + +
c)
(
)
log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p
= + + −
Hướng dẫn giải:
a)
( )( ) ( )
2
log 1
log log 2 log log log 1 1 log 1
log
a
a b a ab b ab
a
b
A b a b b a a

b
 
+
= + + − − = − − =
 
 

2 2 2
log 1 log log 1 log 1 log
1
1 1 1 1 1
log log log 1 log log 1 log
a a a a a
a a a a a a
b a b b b
b ab b b b b
           
+ + +
− − = − − = −
           
+ +
           

log 1
1
1 log
log log
a
b
a a

b
a
b b
+
= − = =

b)
( )
( )
( )( ) ( )
2
2
log log 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
2 2
x
x
B x x x x x x x x
+
= + + = + + + + =

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
1 3log log 8 log 9 log 3log 1
x x x x x
= + + + = + +

c)
( )
( )
2
2
log 1
log
log log 2 log log log log log
log 1 log
a
a
a p a ap a a a
a a
p
p
C p a p p p p p
p p
+
 
= + + − = − =
 
+
 

(
)
( )
2
3

log 1
log
log log
log 1 log
a
a
a a
a a
p
p
p p
p p
+
 
= =
 
+
 

Ví dụ 9:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
( ) ( )
1
log 3 log2 log log
2

a b a b
− − = + v
ớ
i :
2 2
3 0; 9 10
a b a b ab
> > + =
b) Cho a, b, c
đ
ôi m
ộ
t khác nhau và khác 1, ta có :
+
2 2
log log
a a
b c
c b
=
+
log .log .log 1
a b c
b c a
=

+ Trong ba s
ố
:
2 2 2

log ;log ;log
a b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nh
ấ
t m
ộ
t s
ố
l
ớ
n h
ơ
n 1
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) T
ừ
gi
ả
thi
ế
t

( )
2
2 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4
a b a b ab a ab b ab a b ab
> > + = ⇔ − + = ⇔ − =

Ta l
ấ
y log 2 v
ế
:
( ) ( ) ( )
1
2log 3 2log2 log log log 3 log2 log log
2
a b a b a b a b
− = + + ⇔ − − = +
b) Ch
ứ
ng minh :
2 2
log log
a a
b c
c b
= .
* Th
ậ
t v

ậ
y :
1 2
2 2
log log log log log log
a a a a a a
b c c b c c
c b b c b b
−
   
= = −
⇒
= − =
   
   

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
6

*
log .log .log 1 log .log log 1
a b c a b a
b c a b a a
= ⇔ = =

* Từ 2 kết quả trên ta có
2
2 2 2
log log log log .log log 1

a b c a b c
b c a b c a
c a b b c a
b c a c a b
 
= =
 
 

Ch
ứ
ng t
ỏ
trong 3 s
ố
luôn có ít nh
ấ
t m
ộ
t s
ố
l
ớ
n h
ơ
n 1

Ví dụ 10:
Tính giá tr
ị

các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
3
6
log 3.log 36

=

b)
4
3
log 8.log 81

=

c)
3
2 25
1
log .log 2

5
=

Ví dụ 11:
Cho

log 7.
a
b
=
Tính
a)
3
log .
=
a b
a
A
b

b)
3
2
log .
=
b
a
B ab

Ví dụ 12:
Tính các bi
ể
u th
ứ
c sau theo
ẩ

n s
ố

đ
ã cho:
a)
Cho
3
25 2
5
49
log 7 ; log 5 log ?
8
= = → = =
a b P
b) Cho
log 2 log ?
= → = =
ab ab
b
a Q
a

Công thức 8:

log log
=
b b
c a
a c ,

(8)
Ch
ứ
ng minh:
Theo công th
ứ
c
(7):

(
)
log
log log .log log log log
log log .log= ⇒ = ⇔ = = ⇒
b
b b a b a b
a
c a c c c a
b b a
c a c a a a a c dpcm

Ví dụ 1:
( )
2
7 7 2
1
log 27
log 2 log 49
log 2
2

2
49 2 2 4; 2 27 27 3 3
= = = = = =

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3
6 9
log 4
log 5 log 36
36 3 3

A = + − =

b)
2
3
3
log 3
2 log 2
log 4
3 .4



27
B
−
= =

c)
3 9 9
log 5 log 36 4log 7
81 27 3

C
= + + =


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831




I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN


 Các ví dụ giải mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình
1 2 1
2 2 2 5 2.5
x x x x x
+ + −
+ + = + .
Hướng dẫn giải:
Ta có
1 2 1 2
1
2 2 2 5 2.5 2 2 .2 2 .2 5 2.5 .

5
x x x x x x x x x x+ + −
+ + = + ⇔ + + = +
( )
5
2
2 7 5
1 2 4 .2 1 .5 7.2 .5 5 log 5
5 5 2
x
x x x x
x
   
⇔ + + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ =
   
   

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 1 nghi
ệ
m là
5
2
log 5.
x =

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
1)
2
3 2 1
2 16
x x x
+ − +
=

2)
2
4
1
3
243
x x− +
=

3)
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=

Hướng dẫn giải:

1)
2 2
3 2 1 3 2 4 4 2 2
2
2 16 2 2 3 2 4 4 6 0
3
x x x x x x
x
x x x x x
x
+ − + + − +
=

= ⇔ = ⇔ + − = + ⇔ − − = →

= −


Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2)
2 2
4 4 5 2
1
1
3 3 3 4 5
5
243
x x x x
x
x x

x
− + − + −
= −

= ⇔ = ⇔ − + = − ⇔

=


Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = 5.
3)
( )
10 5
10 15
16 0,125.8 , 1 .
x x
x x
+ +
− −
=
Điều kiện:
10 0 10
15 0 15
x x
x x
− ≠ ≠
 
⇔
 
− ≠ ≠

 

Do
4 3 3
1
16 2 ; 0,125 2 ; 8 2
8
−
= = = =
nên ta có
( )
10 5
4. 3.
3
10 15
10 5
1 2 2 .2 4. 3 3.
10 15
x x
x x
x x
x x
+ +
−
− −
+ +
⇔ = ⇔ = − +
− −

( )

2
0
4( 10) 60
5 150 15 150
20
10 15
x
x
x x x
x
x x
=

+
⇔ = ⇔ − − = − →

=
− −


Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
1)
2 9 27
.
3 8 64
x x
   
=
   

   

2)
1 2 1
4.9 3 2
x x
− +
=

3)
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −
Hướng dẫn giải:
1)
3 3
2 9 27 2 9 3 3 3
. . 3.
3 8 64 3 8 4 4 4
x x x x
x

           
= ⇔ = ⇔ = → =
           
           

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
2)
( )
2x 3 0
2x 1
x 1
3 2x
2
x 1 2x 1 2x 3 2x 3
2
2x 1
2
4.9 3 3 3
4.9 3 2 1 3 .2 1 3 . 2 1 1 x .
2
2 2
3.2
−
+
−
−
−
− + − −
+
   

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
   
   

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
3
.
2
x
=

Cách khác:
2 3
1 2 1 1 2 1
81 81 18.81 9 9 3
4.9 3 2 16.81 9.2 16. 9.2.4 .
81 4 16 2 2 2
x x
x
x x x x x
x
− + − +

     
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
     
     

Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3)
( ) ( )
( )
1
1
1
5 2 5 2 , 1 .
x
x
x
−
−
+
+ = −

Điều kiện:
1 0 1.
x x
+ ≠ ⇔ ≠ −

Do
( )( ) ( )
1
1
5 2 5 2 1 5 2 5 2
5 2
−
+ − = → − = = +
+

( ) ( )
1 1
1
1 1 1 1 0
2
1 1
x
x
x x
x
x x
−
=
 


⇔ − = ⇔ − + = ⇔
 

= −
+ +

 

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1)
( )
2
1
1
3
2
2 2 4
x
x
x
−
+
 
 
=
 
 
2)
( ) ( )

2
5 6
3 2 3 2
x x−
+ = − 3)
(
)
2 2 2 2
1 1 2
5 3 2 5 3
x x x x+ − −
− = −
Hướng dẫn giải:
1)
( )
( )
2
1
1
3
2
2 2 4, 1 .
x
x
x
−
+
 
 
=

 
 
Điều kiện:
0
1
x
x
>


≠


( )
(
)
( )
( )
( )
3 1
1
2
3 1
1 2 2 2 2 5 3 0 3 9.
1
x
x x
x
x x x x
x x

+
−
+
⇔ = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ =
−

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9.
2)
( ) ( )
( )
2
5 6
3 2 3 2 , 2 .
x x−
+ = −
Do
( )( ) ( )
( )
( )
1
1
3 2 3 2 1 3 2 3 2 .
3 2
−
+ − = → − = = +
+

( )
( ) ( )
2

5 6
2
2
2 3 2 3 2 5 6 0
3
x x
x
x x
x
− −
=

⇔ + = + ⇔ − + = ⇔

=


V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m
x
= 2 và
x
= 3.

3)

(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2
2 2 2 2
5 3 2 5 3 5 3.3 5 3 5 5 3.3 3
5 9 5 9
x x x x x x x x x x x x
+ − −
− = − ⇔ − = − ⇔ − = −
2 2
2 2
3
3 25 5 125 5 5
5 3 3.
5 9 3 27 3 3
x x
x x
x
     
⇔ = ⇔ = ⇔ = → = ±
     
     

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
3.
x = ±



 Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ 1:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
1 2
7 7 7 342
x x x+ +
+ + =
b)
1 1
5 10.5 18 3.5
x x x
− +
+ + =

c)
1
7.5 2.5 11
x x−
− =


d)
2 2
14.7 4.3 19.3 7

x x x x
+ = −

Ví dụ 2:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
2 2 2 2
1 1 2
2 3 3 2
x x x x
− − +
− = −
b)
2
3 2 1
2 16
x x x
+ − +
=

c)
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x

+ +
− −
=
d)

( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −

Ví dụ 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x

x x
− +
− +
+ = −
b)
2
1 2 4
9 3
x x
+ −
=

c)
3
8
2
4
3
2 8
x
x
−
−
=
d)
( )
2
9
32 2
2 2 2 2

x
x x x x
−
− + = − +

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
e)
( )
1
cos cos
2 2
2 2
x
x x
x
x x
+
+ = +

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ MŨ


 Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1. Giải phương trình:
25 30.5 125 0
x x
− + =

Hướng dẫn giải:

Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng:
(
)
2
5 30.5 125 0
x x
− + =
.
Đặ
t
5
x
t
=
,
đ
i
ề
u ki
ệ
n t > 0.
Khi

đ
ó ph
ươ
ng trình tr
ở
thành:
2
5
30 125 0
25
t
t t
t
=

− + = ⇔

=


+ V
ới
5 5 5 1
x
t x
= ⇔ = ⇔ =
.
+ Với
2
25 5 25 5 5 2

x x
t x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
2
3 3 10
x x
+ −
+ =
.
Hướng dẫn giải:
Ta có
( )
0
2
2
2
3 1 3
0
1
3 3 10 9.3 10 9. 3 10.3 1 0
1
2
3
3 3
9
x
x x x x x

x
x
x
x
+ −
−

= =
=


+ = ⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⇔


= −
= =




V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là
0, 2.

x x
= = −

Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
1
5 5 4 0
x x−
− + =
2)
2
3 8.3 15 0
x
x
− + =
3)
2 8 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =

H
ướ
ng d
ẫ

n gi
ả
i:
1)
( )
1
5 5 4 0, 1 .
x x−
− + =

Đ
i
ề
u ki
ệ
n: x
≥
0.
( )
( )
2
5 1 0 0
5
1 5 4 0 5 4.5 5 0
1
5
1
5 5
x
x x x

x
x
x x
x
x


= = =


⇔ − + = ⇔ + − = → ⇔ ⇔


=

=


=



C
ả
hai nghi
ệ
m
đề
u th
ỏ

a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n, v
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m x = 0 và x = 1.
2)
( ) ( )
(
)
( )
2
2
3
3
3 3
2
3 8.3 15 0 3 8. 3 15 0
log 5 log 25
3 5
x
x
x x

x
x
x
x

=
=


− + = ⇔ − + = → ⇔


= =

=



V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
3
2; log 25.
x x
= =

3)
4
2 8 5 2( 4) 4 2( 4) 4
4 2
3 3 3
3 4.3 27 0 3 4.3 .3 27 0 3 12.3 27 0
3 9 3 2
x
x x x x x x
x
x
x
+
+ + + + + +
+

= ⇒ = −
− + = ⇔ − + = ⇔ − + = →

= = ⇒ = −



V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi

ệ
m là x = –2 và x = –3.
Ví dụ 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
2
2 2 3.
x x x x− + −
− =

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Đặ
t
2
2 ( 0).
x x
t t
−
= >
. Ph

ươ
ng trình tr
ở
thành
4 1
4
3
1( ) 2
t x
t
t L x
t
= = −
 
− = ⇔ ⇒
 
= − =
 

Ví dụ 5.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x− − − − −
− + =

.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Đặt
2
2
5
2
3
2 5 1
2 ( 0)
9
4
5 2
4
x x
x
t x x
t t
t
x
x x
− −

=


= − − =



= > ⇒ ⇒ ⇔


=
=


− − =





 Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
2 2
1 1

9 3 6 0
x x+ +
− − =
b)
2 2
1 3
9 36.3 3 0
x x− −
− + =

c)
2 2
2 1 2
4 5.2 6 0
x x x x+ − − + −
− − =

d)

3 2cos 1 cos
4 7.4 2 0
x x+ +
− − =

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài I:
Gi
ả
i các ph
ươ

ng trình sau:
1)
( )
2
6 10
0,2 5
x x
x
−
−
=
2)
2
5 2 3
3 2
2 3
x x x
− − +
   
=
   
   
3)
(
)
(
)
4 1 2 3
3 2 2 3 2 2
x x

− +
+ = −
4)
( )
2
1
9. 3 81
x x
x
−
−
= 5)
2
5 4 1
10 1
x x− −
=
6)
2
2
3
1
1
x
x
e
e
−
−
 

=
 
 

7)
( )
1
3
1
16. 4
8
x
x
−
 
=
 
 
8)
2
5 7
4 1
1
9
3
x
x x
−
− −
 

=
 
 
9)
1 4 2
1 2
1
27 .81
9
x x
x x
+ −
− +
=

10)
1 1
3 .
3 27
x x
x
   
=
   
   
11)
( ) ( )
3 2
5 3 2 1
10 3 19 6 10

x x x
− −
− = +
Bài II: Giải các phương trình sau
1)
( )
3
1 1
x
x
−
+ =
2)
2
5
6
2
2 16 2
x x− +
=
3)
( )
2
1
2
1 1
x
x x
−
− + =

4)
(
)
2
2
1
x
x x
−
− =

5)
( )
2
4
2
2 2 1
x
x x
−
− + =
6)
( ) ( )
2
5 10
2 2
x
x x
x x
+

− −
+ = + Đ/s:
x
= -1;
x
= 5
7)
( )
2
4
2
5 4 1
x
x x
−
− + =
Đ
/s:

5 13
2
2
x
x

±
=


= −




8)
( )
2
2
3 3
x x
x x
−
− = −
Đ
/s:

1
2
4
x
x
x
= −


=


=


9)
( )
3
1 1
x
x
−
+ =
Đ
/s:
x
= 3
Bài III:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau

1)
1 2
2 .3 .5 12
x x x− −
=
2)
4 6
3 4
5 25
x
x

−
−
=
Đ
/s :
7
5
x
=

3)
2 2 1
9.2 8. 3
x x
+
=
4)
5 17
7 3
32 0.25.128
x x
x x
− +
− −
=
Đ
/s :
x
= 13

5)
( ) ( )
4
4
10 3 10 3
x x
x x
−
+
+ = −
6)
( ) ( )
3
3
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −

7)
1 1 2 1 1 1
3.4 3 .9 6.4 2 .9
x x x x
+ − + + − +
+ = −

Đ
/s:
1
2
x
= −

8)
3 1
2 1
2 2
9 2 2 3
x x
x x
+ +
−
− = −
Đ
/s:
9
2
9
log
2 2
x
 
=
 
 

9)
1 1
2 2
2 2
5 9 3 5
x x
x x
+ −
−
− = −
Đ
/s:
3
2
x
=

10)
3 2 2 3
7 9.5 5 9.7
x x x x
+ = +
Đ
/s:
x
= 0

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương trình chia rồi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
3.9 7.6 6.4 0
x x x
+ − =
.
Hướng dẫn giải:
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng:
2
3 2
1
2 3
3 3
3. 7. 6 0
2 2
3
3 0
2

x
x x
x
x

 
= ⇒ = −

 
 
   

+ − = ⇔
   

   
 

= − <
 

 

.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ

ã cho có 1 nghi
ệ
m là x =
−
1.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =

b)
1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =

c)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x+ +
+ − =

d) (ĐH khối A – 2006):

3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Chia cả hai vế của (1) cho 9
x

ta được
( )
2
2
4 4
12 16 4 4
1
3 3
1 64 84. 27. 0 27. 84. 64 0
2
9 9 3 3
4 16 4
3 9 3
x
x x x x
x

x
x

 
=

 
=
       

 

⇔ − + = ⇔ − + = → ⇔
       

=


       
   
= =

   
   


Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
x
= 1 và
x

= 2.
b) Điều kiện:
x
≠ 0.
Đặt
( )
2
3 1 5
1 9 6 3 3
2 2
, 2 4 6 9 1 0 1 0
4 4 2 2
3 1 5
0
2 2
t
t t t t
t t t
t
t
x

+
 
=

 
       
 


− = ⇔ + = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔
       

       
−
 
= <

 
 


Từ đó ta được
3
1 5
2
2
3 1 5 1 5 1 3
log log .
2 2 2 2
t
t x
t
+
 
+ +
   
= ⇔ = → = − = −
 
   

 
   
 

c)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0 81.9 45.6 36.4 0
x x x x x x+ +
+ − = ⇔ + − =

2
2
3 4 3
2 9 2
9 6 3 3
81. 45. 36 0 81. 45. 36 0 2.
4 4 2 2
3
1 0
2
x
x x x x
x
x
−

   
= =

   

   
       

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ → = −
       

       
 

= − <
 

 


V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = –2.
d)
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =

3 2

3 3
.
2 2
12 18 27 3 3 3
3 4. 2. 0 2. 4. 3 0 1.
8 8 8 2 2 2
3
. 2 0
2
x
x x x x x x
x
x

 
=

 
 
           

⇔ + − − = ⇔ + − − = ⇔ → =
           

           
 

= − <
 


 


V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = 1.

Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Dạng 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Cách giải:
Do
( )
( )
( )
( )

1
1 1
f x
f x
f x
ab ab b
a
= ⇔ = → =
T
ừ

đ
ó ta
đặ
t
( ) ( )
1
, ( 0)
f x f x
a t t b
t
= > → =


Chú ý:

Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:
(
)
(

)
(
)
(
)
( )( ) ( )( )
2 1 2 1 1 2 3 2 3 1
5 2 5 2 1 7 4 3 7 4 3 1
;
;
+ − = + − =
+ − = + − =


Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:
(
)
( )
2
2
3 2 2 2 1
7 4 3 2 3

± = ±
± = ±

Ví d
ụ
m
ẫ

u.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =


b)
(
)
(
)
3 3
3 8 3 8 6
x x
+ + − =

c)
( ) ( )
3
5 21 7 5 21 2

x x
x
+
− + + =

d)

( ) ( )
2 2
( 1) 2 1
4
2 3 2 3
2 3
x x x− − −
+ + − =
−

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
(
)
(
)
( )

2 3 2 3 4, 1 .
x x
+ + − =
Do
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
1
2 3 2 3 1 2 3 . 2 3 1 2 3
2 3
x x x
x
+ − = ⇔ + − = → − =
+

Đặ
t
(
)
(
)
1

2 3 , ( 0) 2 3 .
+ = > → − =
x x
t t
t

Khi
đ
ó
( )
2
1
2 3
1 4 0 4 1 0
2 3
t
t t t
t
t

= +
⇔ + − = ⇔ − + = →

= −



V
ớ
i

(
)
(
)
2
2 3 2 3 2 3 2 3 2.
x
t x
= + ⇔ + = + = + → =


V
ớ
i
(
)
( )
(
)
2
1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2.
x
t x
−
−
= − ⇔ + = − = + = + → = −

V
ậ

y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
x
=
±
2.
b)
(
)
(
)
( )
3 3
3 8 3 8 6, 2 .
x x
+ + − =

Do
(
)
(
)
( )( )
(
)
(
)

(
)
( )
3 3 3 3 3
3
3
1
3 8 3 8 3 8 3 8 1 3 8 . 3 8 1 3 8
3 8
x x x
x
+ − = + + = ⇔ + − = → − =
+

Đặ
t
(
)
(
)
3 3
1
3 8 ,( 0) 3 8
x x
t t
t
+ = > → − =
.
Khi
đ

ó
( )
2
1
3 8
2 6 0 6 1 0
3 8
t
t t t
t
t

= +
⇔ + − = ⇔ − + = →

= −



V
ớ
i
(
)
( )
3
3
3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3.
x
x

t x
= + ⇔ + = + ⇔ + = + → =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
 Với
(
)
( ) ( ) ( )
1 1
3
3
3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3.
x
x
t x
− −
= − ⇔ + = − = − ⇔ + = − → = −

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.
c)
( ) ( )
( )
3
5 21 5 21
5 21 7 5 21 2 7. 8, 3 .
2 2
x x
x x
x+

   
− +
− + + = ⇔ + =
   
   

Ta có

5 21 5 21 5 21 5 21 5 21 1
. 1
2 2 2 2 2
5 21
2
x x x x
x
       
− + − − −
= = → =
       
 
     
 
 
+
 
 

Đặ
t
5 21 5 21 1

,( 0)
2 2
x x
t t
t
   
+ −
= > → =
   
   
.
Khi
đ
ó
( )
2
1
1
3 7 8 0 7 8 1 0
1
7
t
t t t
t
t
=


⇔ + − = ⇔ − + = →
=




 Với
5 21
1 1 0.
2
x
t x
 
+
= ⇔ = → =
 
 

 Với
5 21
2
1 5 21 1 1
log .
7 2 7 7
x
t x
+
 
+
 
= ⇔ = → =
 
 

 
 

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
5 21
2
0
1
log
7
x
x
+
=


 
=

 
 



d)

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
( 1) 2 1 2 1 2 1
4
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4
2 3
x x x x x x x− − − − + − −
+ + − = ⇔ − + + − − =
−

( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 4, 4 .
x x x x x x x x− − − −
− + + + − = ⇔ + + − =

Đặ
t
( ) ( )
2 2
2 2

1
2 3 , ( 0) 2 3 .
x x x x
t t
t
− −
= + > → − =

Khi đó
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2 3 2 3
2 3 2 1
1
4 4 0 4 1 0
2 1
2 3
2 3 2 3
x x
x x
t x x
t t t

t
x x
t
−
−

+ = +


= + − =

⇔ + − = ⇔ − + = → ⇔ ⇔



− = −

= −




+ = −


 Với phương trình
2 2
2 1 2 1 0 2 2
x x x x x− = ⇔ − − = ⇔ = ±

 Với phương trình
2 2
2 1 2 1 0 1.
x x x x x
− = − ⇔ − + = ⇔ =


Vậy phương trình có hai nghiệm
1
2 2
x
x
=


= ±


Dạng 3: Phương trình đặt ẩn phụ trực tiếp bằng phép quan sát
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x− − −
+ =
+ + + +

H
ướ

ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Viết lại phương trình dưới dạng:
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 1 2 2 2
x x x x− − − −
+ =
+ + + +

Đặt
1
1
2 1
, , 1
2 1
x
x
u
u v
v
−
−

= +

>


= +



LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ta có
(
)
(
)
1 1 1 1
. 2 1 . 2 1 2 2 2
x x x x
u v u v
− − − −
= + + = + + = +

Phương trình tương đương với hệ
8 1 18 2
8 18
9
9;
8
u v
u v
u v u v
u v uv
u v

u v uv
= =
 
+ =
+ =



⇔ ⇔
+
 

+ =
= =


+ =

 

+ V
ớ
i u = v = 2, ta
đượ
c:
1
1
2 1 2
1
2 1 2

x
x
x
−
−

+ =

⇔ =

+ =



+ V
ớ
i
9
9;
8
u v
= =
, ta được:
1
1
2 1 9
4
9
2 1
8

x
x
x
−
−

+ =

⇔ =

+ =



Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 1 và x = 4.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
2 2 6 6
x x
− + =

Hướng dẫn giải:
Đặ
t
2 ; 0.
x
u u
= >

Khi

đ
ó ph
ươ
ng trình thành
2
6 6
u u
− + =

Đặ
t
6,
v u
= +
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
6 6
v v u
≥ ⇒ = +

Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình

đượ
c chuy
ể
n thành h
ệ

( ) ( )( )
2
2 2
2
6 0
0
1 0
6
u v u v
u v u v u v u v
u v
v u

= + − =


⇔ − = − − ⇔ − + = ⇔


+ + =
= +




+ V
ớ
i u = v ta
đượ
c:
2
3
6 0 2 3 8
2( )
x
u
u u x
u L
=

− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

= −


+ Với u + v + 1 = 0 ta được
2
2
1 21
21 1 21 1
2
5 0 2 log
2 2
1 21

(1)
2
x
u
u u x
u

− +
=

− −

+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

− −
=



Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 8 và
2
21 1
log .
2
x
−
=
Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ 1:
Gi

ả
i ph
ươ
ng trình
a)
13
250125
+
=+
xxx

b)
1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =

c) (ĐH khối A – 2006):
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =

Ví dụ 2: Giải phương trình

a)
(
)
(
)

3 5 3 5 7.2 0
x x
x
+ + − − =

b)

lg10 lg 2lg100
4 6 3
x x x
− =

Ví dụ 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)

07.022)12()12( −=−++− B
xx

b)
( ) ( )
2 2
1
10 3 10 3 10 4
x x −

+ + − = +

c)

( ) ( )
( )
2 2
2 1 2 1
101
2 3 2 3
10 2 3
x x x x− + − −
+ + − =
−

Ví dụ 4:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)

(
)
(
)
sin sin
7 4 3 7 4 3 4

x x
+ + − =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
b)
(
)
(
)
(
)
7 5 2 2 5 3 2 2 3(1 2) 1 2 0
x x
x
+ + − + + + + − =

Ví dụ 5:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)

3 1
5 3
5.2 3.2 7 0
x

x
−
−
− + =

b)

3 1
4.3 3 1 9
x x x
+
− = −


BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
( ) ( )
5 24 5 24 10
x x
+ + − =

b)
7 3 5 7 3 5
7 8

2 2
x x
   
+ −
+ =
   
   
   

c)
(
)
(
)
2
5 21 5 21 5.2
x
x x
+ + − = d)
(
)
(
)
4 15 4 15 8
− + + =
x x

e)
(
)

(
)
(
)
(
)
3243234732 +=−+++
xx


Bài 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
04.66.139.6
111
=+−
xxx
b)
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =

c)
2 2
6.3 13.6 6.2 0

x x x
− + =
d)
+ =
3.16 2.81 5.36
x x x

e)
− + =
64.9 84.12 27.16 0
x x x


Bài 3:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
(
)
(
)
1
3 5 1 5 1 2
x x
x
+
+ − − =

b)
(
)
(
)
(
)
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1 0
x x x
+ + + − + − =


Bài 4:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)

2 1 1 1
5.3 7.3 1 6.3 9 0
x x x x
− − +
− + − + =

b)
4 4 2 2 10
x x x x− −

+ + + =

c)
1 1
3 3 9 9 6
x x x x− + −
− + + =
d)
1 3 3
8 8.(0,5) 3.2 125 24.(0,5)
x x x x
+ +
+ + = −

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831




IV. PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Khái niệm:
Là phương trình có dạng
(
)
( ) ( )
. , 1
f x g x
a b c=

trong đó a, b nguyên tố cùng nhau, f(x) và g(x) thường là hàm bậc nhất hoặc bậc hai.

Cách giải:
Lấy logarith cơ số a hoặc cơ số b cả hai vế của (1) ta được
( )
(
)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 log . log log log log ( ) ( )log log , 2 .
f x g x f x g x
a a a a a a a
a b c a b c f x g x b c⇔ = ⇔ + = ⇔ + =

(2) thu được là phương trình bậc nhất của x, hoặc phương trình bậc hai có thể giải đơn giản.

Chú ý:
Những dạng phương trình kiểu này chúng ta cố gắng sử dụng tính chất của hàm mũ để biến đổi sao cho c = 1. Khi đó
việc logarith hóa hai vế với c = 1 sẽ cho phương trình thu được đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
1
3 .2 72
x x+
=
b)
2
5 .3 1
x x

=
c)
3 2 2 3
7 9.5 5 9.7
x x x x
+ = +
Hướng dẫn giải:
a)
1
1 2 2 2
3 .2
3 .2 72 1 3 .2 1 6 1 2.
9.8
x x
x x x x x
x
+
+ − − −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = → =

V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m x = 1.
b)
(
)

2 2 2
2
3 3 3 3 3
5 .3 1 log 5 .3 log 1 log 5 log 3 0 log 5 0
x x x x x x
x x
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ + =

( )
3
3
0
log 5 0
log 5
x
x x
x
=

⇔ + = →

= −


V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ

ã cho có hai nghi
ệ
m x = 0 và x = –log
3
5.
c)
(
)
(
)
3 2 2 3 3 2 3 2 3 2
7 9.5 5 9.7 8.7 8.5 7 5 lg 7 lg 5 3 .lg7 2 .lg5 0
x x x x x x x x x x
x x
+ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =

(
)
3lg7 2lg5 0 0.
x x
→ − = ⇔ =

V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ

m x = 0.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
1
5 .8 500
x
x
x
+
=
b)
2 1
1
5 .2 50
x
x
x
−
+
=
c)
2
3 5 6
2 5
x x x

− − +
=
d)
2lg
10
x
x x
=

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
1
5 .8 500, 1 .
x
x
x
+
=
Đ
i
ề
u ki
ệ

n: x
≠
0.

( )
( )
( )
1 3 3
3
3 2 3 3
2 2 2
3
1 5 .2 5 .2 2 5 log 2 log 5 3 log 5
x x x
x x x
x x x
x
x
x
+ − −
− −
 
−
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
 
 
 


( ) ( )

2
2 2
5
3
log 5 3 log 5 1 3 0
1
log
2
x
x x
x
=


⇔ − − − = →
=



b)
( )
2 1
1
5 .2 50, 2 .
x
x
x
−
+
= Điều kiện: x ≠ –1.

( ) ( )
2 1 2 1 2 1
1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 1
2 5 .2 5 .2 5 .2 1 log 5 .2 log 1 0 1 2 log 5 0
1
x x x
x x x
x x x
x
x
x
− − −
− −
− −
+ + +
 
−
⇔ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ − + − =
 
 
+
 


( )( )
( )

( )
2
2
2
2
2
2 0
1 log 5
1
2 2 1 log 5 0
1 1 log 5 0
log 5 lg5
x
x
x x x
x
x
=

− =


+
⇔ − + − + = → ⇔


+ + =
= − = −





Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
2; .
lg5
x x= = −

c)
(
)
(
)
(
)
2 2
3 5 6 3 5 6 2
2 2 2
2 5 log 2 log 5 3 5 6 log 5
x x x x x x

x x x
− − + − − +
= ⇔ = ⇔ − = − +
( ) ( )
2
2
5
2 2
2
3
3 0
3 1 2 log 5 0
log 50
log 50
log 5 1 2log 5
log 5
x
x
x x
x
x
=

− =


⇔ −  − −  = → ⇔

 


= =
= +




Vậy phương trình có hai nghiệm
5
3; log 50.
x x= =
d)
(
)
2lg
10 , 4 .
=
x
x x
Điều kiện: x > 0.
( )
( )
( )
2lg 2
lg 1
10
4 lg lg 10 2lg lg 1 0
1
lg
10
2

x
x
x
x x x x
x
x
=

=


⇔ = ⇔ − − = ⇔ ⇔


=
=



Vậy phương trình có hai nghiệm
10; 10.
x x= =

BÀI TẬP LUYỆN TÂP:
Bài 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
1
5 .8 500
−
=
x
x
x

b)
1
3 .8 36
+
=
x
x
x

c)
4 3
3 4
=
x x

Bài 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :

a)
5
3 log
5 25
−
=
x
x
b)
9
log
2
9.
=
x
x x

c)
2 2 2
log 9 log log 3
2
.3= −
x
x x x
d)
( )
3
2
3 log log
3

3
100. 10
−
=
x x
x

Bài 3:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
a)
log9 log
9 6
+ =
x
x
b)
2 2 2
log log 3 3log
3 6+ =
x x
x

c)
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4

4 2.3− =
x x
x
d)
( )
(
)
2
lg 100
lg 10
lg
4 6 2.3− =
x
x
x

Bài 4:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
a)
(
)
(
)
2 2
3 3
2log 16 log 16 1

2 2 24
− − +
+ =
x x

b)
( )
2
2
2
1 log
2log
2 224
+
+ =
x
x
x

c)
2
lg 3lg 4,5
2lg
10
− −
−
=
x
x
x

x

Bài 5:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
a)
2
2 8 2
4 5
x x x
+ − −
=
b)
9
1
7 .2 392
x
x+
=
c)
2
9
2 .3 8
x x−
=

d)

2 1
1
5 .2 50
x
x
x
−
+
=
e)
2
2
3
2 .3
2
x x x−
=
f)
2
1 1
3 5
x x
− −
=
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1. Giải phương trình
a)
1
5 .8 500
x

x
x
−
=
b)
1
3 .8 36
x
x
x+
=
c)
4 3
3 4
x x
=

a)
( ) ( )
( )
3 1 3 1
1
2
3 2 3
2
2
3
3
5 .8 500 5 .2 5 .2 2 5 3 log 5
log 5

− −
−
−
−
=

−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ⇔

= −

x x
x
x x x
x x x
x
x
x
x
x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
b)
( )
3
1
3
2
2 2

3
1 1
3
3 3
3
1
2 log 4
2
3 .8 36 3 2 .3 3 4 log 4
1 log 4 2 log 4
1 1 log 4
+
−
+ +
≠ −

+
−

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⇒ =

− = +
+ −


x
x
x x
x
x x

x
x
x
x
x

c)
( )
4 3
3 3 4 3
3
4
3 4 4 3 .log 4 log 4 log log 4
3
 
= ⇔ = ⇔ = ⇒ =
 
 
x x
x
x x
x

Bài 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
a)

5
3 log
5 25
−
=
x
x
b)
9
log
2
9.
=
x
x x

c)
2 2 2
log 9 log log 3
2
.3= −
x
x x x d)
( )
3
2
3 log log
3
3
100. 10

−
=
x x
x
GI
Ả
I
a)
5
5
3 log
2
3
3 2 2
log
0
0
5 25 5 5
5
5 5
25
5
−
>

>


= ⇔ ⇔ ⇔ = → =
 

=
=



x
x
x
x
x x x
x
x

b)
9
log
2
9.
x
x x
= ⇔
L
ấ
y loga c
ơ
s
ố
9 hai v
ế
, ta có ph

ươ
ng trình :
( ) ( )
2 2
9
9 9 9
0 0
0
9 0
log 1
1 log 2log 0 log 1 0
> >
 
>

 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = >
  
=
+ − = − =

 
 
x x
x
x
x
x x x

c)

2 2 2
log 9 log log 3
2
.3= −
x
x x x . S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c :
log log
=
c c
b a
a b . Ph
ươ
ng trình bi
ế
n
đổ
i thành :
( )
2
2 2 2 2 2 2
2
log
log log log log log log
2 2 2

log
2
3 0
9 .3 3 0 3 3 1 0 3 1
3 1 0

>
⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = −

− + =


x
x x x x x x
x
x x x
x

Đặ
t :
2
2
log 2 4
= ⇒ = ↔ =
t t
t x x x . Ph
ươ
ng trình :
2
log

2
3 1
3 1 3 4 1 1 0
4 4
   
⇔ = − = = − ⇔ + − =
   
   
t t
x
t t
x .
Xét hàm số
3 1 3 3 1 1
( ) 1 '( ) ln ln 0
4 4 4 4 4 4
           
= + − → = + <
           
           
t t t t
f t f t .
Chứng tỏ hàm số f(t) là một hàm số nghịch biến.
Do f(1) = 0 cho nên với t = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất
2
log 1 2
= → =
x x .
d)
( )

3
2
3 log log
3
3
100. 10
−
=
x x
x . Lấy log hai vế , phương trình trở thành :
( )
( )
3
2
3 log log
3
3
3
4 2
log
2 1
100. 10 3 log log log 2 0 1
3 3
2 7
3 0
3 3
−


=


 
= ⇔ − = + ⇔ < ≠

 
 


− − =

x x
t x
x x x x x
t t

7
3
7
2
3
2
0 1
log
10
7
0 1 log
3
10
1
7

log
7
3
9
−





< ≠


=

=

 
⇔ < ≠ ⇔ = − ⇔
 

 


=
= −

 

=

 


=




x
t x
x
x x
x
t
x
t

Bài 3:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
a)
log9 log
9 6
+ =
x
x b)
2 2 2

log log 3 3log
3 6+ =
x x
x
c)
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3− =
x x
x d)
( )
(
)
2
lg 100
lg 10
lg
4 6 2.3− =
x
x
x

a)
1
log9 log
2
log log log 2log
0 1
0 1 0 1 0 1

9 6 10 10
1
log
9 9 6 9 3 3 3
2
< ≠

< ≠ < ≠ < ≠
  

+ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ↔ = =
   
=
+ = = =
  


x
x x x x
x
x x x
x x
x