Chuyên đề khảo sát hàm số (Cù Đức Hoà)

Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

11


Chuyªn ®Ị kh¶o s¸t hµm sè: Híng dÉn vµ ®¸p ¸n
Bài 1:
1) Khảo sát hàm số:



1
1
x
y
x
(C) TXĐ: D = R \ (1)
2
2
' 0
( 1)
y
x

  

Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh.
TCĐ: x = 1 vì

 
1

lim
x
y

TCN: y = 1 vì


lim 1
x
y

BBT:

Đồ thò:


2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):
Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + 1
(d) tiếp xúc (C)








2
x+1
= k(x-3) + 1 (1)

x-1
-2
= k (2)
(x-1)
có nghiệm
Thay (2) vào (1) :

 

2
1 -2(x-3)
1
1 (x-1)
x
x

          
2 2
1 2( 3) ( 1) 4 8 2
x x x x x

Thay vào (2)
  
2
k
Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7
3)

0 0 0
( , ) ( )

M x y C
. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác
có diện tích không phụ thuộc M.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
  
0 0 0
'( )( )
y f x x x y


  

  
  
  
2
0 0 0
0
2 2
0 0 0
2
0
1 3 1
3
)
1 ( 1) ( 1)
-3
(
( -1)
x x x

x x
x x x
y x
x

Giao điểm với tiệm cận đứng x =1.
 
 
   
 
 
 
0 0
0 0
4 4
1 1,
1 1
x x
x y A
x x

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1.
 
 
   
 
 
0 0
5 2 5 2
1 ,1

3 3
x x
y x B

Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1)
Ta có :
 
      

0 0
0
4 5 21 1 1
. . 1 . 1
2 2 2 1 3
A I B I
IAB
x x
IA IB y y x x
x
S


   

0
0
5 21 5 25
. 1 hằng số
2 1 3 6
x

x
Vậy:
IAB
S
không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
A
B
M
O
x
y
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

12


C©u 2: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
1
x
y
x



TXĐ: D=R\{1}
 
3
,

0
2
1
y
x

  

Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh
TCD: x=1 vì
lim
1
y
x
 
 

TCN: y=1 vì
lim 1
y
x

 

BBT:

Đồ thò:

2) Xác đònh a để từ A(0,a) kẻ được 2 tiếp tuyến đến
(C)

sao cho 2 tiếp điểm đến nằm về 2 phía của 0x.
Gọi
( ; ) ( )
0 0
M x y C

2
0
0
1
0
x
y
x

 


Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
'
( )( )
0 0 0
y f x x x y
  

2
2 4 2
3 3
0 0 0
( )

0
2 2 2
1
( 1) ( 1) ( 1)
0
0 0 0
x x x
y x x y x
x
x x x
  
 
      

  

Tiếp tuyến qua A(0,a)
2
4 2
0 0
2
( 1)
0
x x
a
x
 
 


2
( 1) 2( 2) 2 0
0 0
a x a x a
      
(1)
(vì
0
x
=1 không là nghiệm)
Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là:
1 0
1
,
2
0
a
a
a
 





 
 
 



Khi đó (1) có 2 nghiệm là
0
x
,
1
x


Tung độ tiếp điểm
2
0
0
1
0
x
y
x



và
2
1
1
1
1
x
y
x




Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía
Ox.
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

13
 
2 2( ) 4
2
0 0 1 0 1
1
0 . 0 0
0 1
1 1
1
0 1
0 1 0 1
2 4( 2)
4
9 6 2
1 1
0 0 3 2 0
2 2( 2)
3 3
1
1 1
x x x x x
x
y y

x x
x x x x
a a
a
a a
a a
a a
a a
   

     
 
  
 
 
 
 
         
 

 
 

Tóm lại:
2, 1
2
3
a a
a
  








2
3
a

 
và
1
a

ĐS:
2
, 1
3
a a

 

C©u 3: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
2
2 1
1
x x

y
x
 



TXĐ: D = R\{-1}
2
2 4
'
2
( 1)
x x
y
x




0
' 0
2
x
y
x


 

 



Tiệm cận đứng: x= -1 vì
lim
1
y
x
 
 

Ta có:
2
2 1
1
y x
x
  

Tiệm cận xiên: y = 2x - 1 vì
2
lim 0
1x
x


 



BBT

Đồ thò:
Cho x = 1 suy ra y = 2.




2) Gọi M
 (C) có X
M
= m. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách
từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m.
Ta có: X
M
= m
2
2 1
1
y m
M
m
   


Tiệm cận đứng : x + 1 = 0 (D1)
Suy ra d
1
(M, D1)
1
1

1
m
m

  

Tiệm cận xiên: 2x – y – 1 = 0 (D2) d
2
(M,D2) =
2
2 2 1 1
2
1
5 5 1
m m
m
m
   




Suy ra d
1
.d
2
=
2 2
1
5 1 5

m
m
 

(không phụ thuộc m)
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

14
C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:
2
2 2
1
x mx
y
x
 



1) Tìm m để diện tích tam giác tạo bởi TCX và 2 trục tọa độ bằng 4.
Ta có:
2 2
1
m
y x m
x
   


Với

0
m

thì TCX: y = 2x + m + 2 vì
lim 0
1
m
x
x


 

Giao điểm TCX và Ox: y = 0









 0,
2
2
2
2 m
A
m

x

Giao điểm TXC và oy:
0 2 (0, 2)
x y m B m
     

1 1 2
. 2 4
2 2 2
OAB
m
S OA OB m

     

2
2
( 2) 16
6
m
m
m


   

 

( thỏa điều kiện

0
m

)
2) Khảo sát và vẽ đồ thò khi m = -3:
2
2 3 2
(C)
1
x x
y
x
 



TXĐ: D = R\ {1}
0
)1(
542
'
2
2




x
xx
y

1


x


Suy ra hàm số tăng trên từng khoảng xác đònh.

TCĐ: x = 1 vì
lim
1
y
x
 


TCX: y = 2x - 1 (theo câu 1)

BBT:


Đồ thò:
0 2, 2 0
x y x y
     

C©u 5: (2 điểm) Cho: y = x
4
– (m
2
+ 10)x
2
+ 9 (C
m
).
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số với m = 0. y = x
4
– 10x
2
+ 9
TXD: D = R
3 2
' 4 20 4 ( 5)
y x x x x
   

0
' 0
5
x
y
x


 


 


5 44
2
'' 12 20 '' 0
3 9
y x y x y

       


điểm uốn
5 44 5 44
; ;
3 9 3 9
  
  
  
  
  

BBT:

Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

15
Đồ thò:
Cho
2

1 1
0
2 3
9
x x
y
x
x

  


  

 









2) Chứng minh rằng với

0
m

, (C

m
) luôn luôn cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm

(-3,3)
và 2 điểm nằm ngoài (-3,3).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và Ox.
4 2 2
( 10) 9 0
x m x
   
(1) Đặt
2
( 0)
t x t
 

Phương trình trở thành:
2 2
( 10) 9 0
t m t
   
(2)
Ta có:











mmS
P
mm
,010
09
,036)10(
2
22


0 < t
1
< t
2


(1) có 4 nghiệm phân biệt
2 1 1 2
x x x x
    

Đặt f(t) =
2 2
( 10) 9

t m t
  
Ta có: af(9)=
2 2
81 9 90 9 9 0, 0
m m m
       

0 9
1 2
t t
   

2
9 ( 3;3)
1 1
3 3
2 1 1 2
2 ( 3;3)
9
2
2
x x
x x x x
x
x

  

 

          
 
 
 




Vậy (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm
( 3,3)
 
và 2 điểm
( 3,3)
 
.

C©u 6: (2 điểm) Cho hàm số
3 2
( ) ( 3) 3 4
y f x x m x x
     
(m là tham số)
1) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại và cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm cực trò này.
Ta có:
2 2
' 3 2( 3) 3; ' 0 3 2( 3) 3 0 (1)
y x m x y x m x         

Hàm số có CĐ, CT

(1) có 2 nghiệm phân biệt.
2 2
' 0 ( 3) 9 0 6 0 6 0
m m m m m
              

Chia f(x) cho f’(x) ta được :
1 1 2 1
2
'( ) ( 3) ( 6 ) 5
3 9 9 3
y f x x m m m x m
 
      
 
 

Vậy phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là:
2 1
2
( 6 ) 5
9 3
y m m x m
    
.
2) Tìm m để
( ) 3

f x x

với mọi
1
x

Ta có:
4
3 2
( ) 3 , 1 ( 3) 4 0 , 1 3 , 1
2
f x x x x m x x m x x
x
               

Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

16
min ( )
1
m g x
x
 

với
4
( ) 3
2
g x x
x

  

Ta có:
3
8 8
'( ) 1 , 1 ; '( ) 0 2
3 3
x
g x x g x x
x x

       

+) BBT:
min ( ) 0
1
g x
x
 

Vậy:
0
m


C©u 7: (2 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
2
6 9
( )

2
x x
y C
x
 

 

 TXĐ: D = R\ {2}
2
4 3
'
2
( 2)
x x
y
x
 

 

1
' 0
3
x
y
x


 





TCĐ: x = 2 vì
lim
2x
 

; Ta có:
1
4
2
y x
x
   
 

TCX: y = - x + 4 vì
1
lim 0
2x
x
 
 
 

BBT:

Đồ thò:

Cho x = 0
9
2
y
 

b) Tìm M

Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C)
song song với đường thẳng y=
3
4

x có dạng.
Gọi M(0, b)
Oy

, tiếp tiếp qua M song song
đường thẳng
3
4
y x
 
có dạng: (D):
3
4
y x b
  

(D) tiếp xúc (C)

2
6 9 3
(1)
2 4
2
4 3 3
(2)
2
4
( 2)
x x
x b
x
x x
x

 

  
 





  

 

 


co ùnghiệm

(2)
2
4 0 0 4
x x x x
      
Thay vào (1):
9 5
0 ; 4
2 2
x b x b
     

Vậy :
9 5
(0; ), (0; )
1 2
2 2
M M

C©u 8: (2 điểm)
a) Khảo sát (1)
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)
y x m x m m x     
khi m= 1:
3 2
1: 2 9 12 1

m y x x x
    
TXĐ: D= R
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

17
1 6
2
' 6 18 12 ; ' 0
2 5
3 11 3 11
'' 12 18 ; '' 0 ,
2 2 2 2
x y
y x x y
x y
y x y x y
  

    

  

 
       
 
 
điểm uốn I

BBT:

Đồ thò:



b) Chứng minh rằng

m hàm số (1) luôn đạt cực trò
tại x
1
, x
2
với x
1
- x
2
không phụ thuộc m.
Ta có:
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
2 2
' 6 6(2 1) 6 ( 1); ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*)
2
(2 1) 4 ( 1) 1 0
y x m x m m x
y x m x m m y x m x m m
m m m

     
           
      


(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
.

Hàm số luôn đạt cực trò tại
1 2
,
x x
.
Ta có:
2 1 1 2 ; 2 1 1 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
x m m x m m x x m m              
(hằng số)

Vậy:
2 1
x x

không phụ thuộc m.

Bµi 9: (2 điểm)

a) Khảo sát hàm số:
2
5 4
y x x
  
.
Tập xác đònh: D = R
y’= 2x – 5

BBT:
Đồ thò:





b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parapol:
2
( ) : 5 6
1
P y x x
  
và
2
( ) : 5 11
2
P y x x
   

Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

18
- Gọi



: y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2).
-



tiếp xúc với (P1) và (P2).
2
5 6
2
5 11
x x ax b
x x ax b

   




    

co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép

2

(5 ) 6 0
2
(5 ) 11 0
2
0
10 4 1 0 3 3
1
0 2 10 5
10 4 19 0
2
x a x b
x a x b
a a b a a
b b
a a b

    




    


 

      
 
 
   

   
    
 
 
   


co ùnghiệm kép
co ùnghiệm kép

Vậy phương trình tiếp tuyến chung là: y = 3x – 10 hay y = - 3x + 5

C©u 10: (2 điểm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
3 2
3 ( )
y x x C
 

TXĐ: D = R
2
' 3 6 3 ( 2)
y x x x x
   

0
' 0
2
x
y

x


 

 


'' 6 6
y x
 

'' 0 1 2y x y      
Điểm uốn I(-1, 2)



+) BBT:

Đồ thò:
Cho x = -3, y = 0
x = 1, y = 4


b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Gọi

M(a,0) Ox
, đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là:

y = k( x - a)
(d) tiếp xúc (C)
2
3 ( ) (1)
2
3 6 (2)
x x k x a
x x k

  




 

3
co ùnghiệm

Thay (2) vào (1):
2 2
3 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0
0
2 3( 1) 6 0
2 3( 1) 6 0 (3)
x x x x x a x a x ax
x
x x a x a
x a x a
        



 
     

 
 
   


3 3 2
2
2

Với x = 0

k = 0

1 tiếp tuyến là y = 0.
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

19
+) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

(3) có 2 nghiệm phân biệt
, 0
1 2
x x

và

1
1 2
k k
 
.
0
0
2
0 9( 1) 48 0
2 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1 9( ) 18 ( ) 36 1
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
3
3
1
3
vì x x = - 3a
3
1 2
2
81 81 ( 1) 108 1 0
3(a-1)
x + x =
1 2
2
a
a
a a
x x x x x x x x x x x x

a a
a a
a a a a
 


 
 
      
 
 
        
 
 

     


     

 
 

 

    
 

 


 

và a 0
và a 0
-27a
1
27
a


 



+ 1 = 0

Vậy chỉ có 1 điểm
1
( ,0)
27
M Ox

thoả điều kiện bài toán.
C©u 11: (2 điểm) Cho hàm số:
 
4 3 2
3 4 1 6 1 ( )
y x m x mx m C
m
     

1) Khảo sát hàm số khi m= -1:
4 2
3 6 2
y x x
  
TXĐ: D = R


3 2
' 12 12 12 1
y x x x x
   

0
' 0
1
x
y
x


 

 


1 1 1 1
2
'' 36 12 '' 0 , ,

3 3 3
3
y x y x y
   
         
   
   
1 1
điểm uốn -
3 3

BBT:








Đồ thò:
Cho y=2
0
4 2
3 6 0
2
x
x x
x



   

 


2) Tìm giá trò m < 0 để (C
m
) và
( ) : 1
y
 
có ba giao điểm phân biệt.
Ta có:
 
4 3 2
3 4 1 6 1 ;
y x m x mx m
     

   
0 1
3 3 2
' 12 12 1 12 12 1 ' 0 1
4 3
2 1
x y m
y x m x mx x x m x m y x y m
x m y m m m


   

 
             

 
 

      




x -  -1 0 1
+ 
y’ - 0 + 0 - 0 +

y +  2 +
CĐ
-1 -1
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

20

( )
C
m
Và




cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nếu đường thẳng :y=1 đi qua điểm cực trò
của
( )
C
m
.
 
 
1 1 0( )
1 1( )
4 3
2
2 1 1
1 1 0
m m
m m
m m m
m m m m


  



   





    

   



loại
loại

0 ( )
1 ( )
1 5
( )
2
1 5
( )
2
m
m
m
m

















loại
loại
loại
nhận vì m < 0

ĐS:
1 5
2
m



C©u 12: (2 điểm) Cho
 
3 2
3 2 2 ( )
y x x m x m C
m
    

1) Khảo sát và vẽ đồ thò
( )
1

C
khi m = 1.
3 2
3 3 2 ( )
1
y x x x C
   
TXĐ: D = R

 
2
2
' 3 6 3 3 1 0
y x x x
     
suy ra hàm số luôn tăng trên R
' 0 1 ; '' 6 6
y x y x
     
;
'' 0 1 1y x y
      
điểm uốn I(-1, 1).
 BBT:

 Đồ thò:

Cho x = 0, y = 2
x = -2, y = 0
' 0y

I
 
tiếp tuyến tại I song song Ox.
2) Tìm m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
m
C
và Ox.

   


3 2 2
3 2 2 0 2 0
2
(1)
2
0 (2)
x x m x m x x x m
x
x x m
         
 




  




( )
m
C
cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ âm

(2) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2.
2 2
2
0 1 4 0
1 1
0
0 0
4 4
0
0 1 0
m m
m
m
m m
P m
m
S
   
 

 

 

   
  
      
  
 
  

  
  

 
ĐS:
1
0
4
m
 

C©u 13: (2 ®iĨm) Cho
3 2
7 3
y x mx x
   
(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 5.
3 2

5 7 3
y x x x
   

TXĐ :

y’= 3x
2
+10x + 7
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

21
1 0
5 16
' 0 ; '' 6 10 '' 0
7 32
3 27
3 27
x y
y y x y x y
x y
   


         

   




điểm uốn
5 16
,
3 27
 

 
 
.

BBT :

Đồ thò:



2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu.
Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu.
Ta có :
3 2 2
7 3; ' 3 2 7
y x mx x y x mx
      

2
' 0 3 2 7 0(*)
y x mx    

Hàm số có cực đại và cực tiểu
(*)


có hai nghiệm phân biệt
2
' 0 21 0
m
     

21
m  
v
21
m 

Chia y cho y’ ta được :
2
1 2(21 ) 27 7
'( )
3 9 9 9
m m m
y f x x
 
 
   
 
 

Vậy phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:
2
2(21 ) 27 7
9 9

m m
y
 
 

C©u 14: (2 điểm)
4 2
2
y x x
 

1a) Khảo sát và vẽ:
TXĐ:


3
' 4 4
y x x
 
2
1 5
' 0 0 1 ; '' 12 4; " 0
9
3
y x x y x y x y
              

=> Điểm uốn
1 2
1 5 1 5

; , ;
9 9
3 3
I I
   
    
   
   

BBT:


Đồ thò:

+) 1b. Biện luận số nghiệm:
Ta có :
4 2
2 0
x x m
  

4 2
2
x x m
  

Dựa vào đồ thò (C) ta kết luận :
m< -1: vô nghiệm. ; m= -1: 2 nghiệm.
-1< m < 0: 4 nghiệm. ; m= 0: 3 nghiệm. ; m> 0: 2 nghiệm.

Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

22


C©u 15: (2 điểm)
a.Khảo sát hàm số :
2
4 8
2
 


x x
y
x
(C) TXĐ:
\{ 2}
 
D R

2
2
4
'
( 2)



x x

y
x

0
' 0
4


 

 

x
y
x

 Tiệm cận đứng: x = -2 vì
2
4
lim
2

 

x
x

 Chia tử cho mẫu:
4
2

2
  

y x
x



Tiệm cận xiên: y= x + 2 vì
4
lim 0
2



x
x

 BBT:
 Đồ thò:

b.Từ đồ thò (C) suy ra đồ thò hàm số :
2
1
4 8
2
 


x x

y
x

1
( )
C

Ta có :
1
nếu x > -2
-y nếu x < -2
y
y





Do đó đồ thò
1
( )
C
suy từ (C) như sau:
- Nếu x > -2 thì
1
( ) ( )

C C

- Nếu x< -2 thì lấy phần đối xứng của (C) qua Ox ta được

1
( )
C

c. Xác đònh tập hợp những điểm mà không có đồ thò nào trong họ
( )
m
C
ï đi qua:

2 2
4 8
2
  


x x m
y
x

( )
m
C

Gọi
2 2
0 0
0 0 0
0
4 8

( , ) ( ),
2
  
   

m
x x m
M x y C m y
x
vô nghiệm với mọi m
0
2
  
x

hoặc
2 2
0 0 0 0
( 2) 4 8
    
m y x x x
vô nghiệm theo m.

          









2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 0
0 0
0
2
0 0
0 0
0
( 2) 4 8 0 ( 2) 4 8
x +4x +8
y < (nếu x >-2)
x +2
x +4x +8
y > (nếu x <-2)
x +2
y x x x y x x x


M miền (I) giới hạn bởi (C) với x
> -2
M miền (III) giới hạn bởi (C) với x<
-2








Vậy những điểm M thoả điều kiện bài toán là những điểm thuộc mặt phẳng toạ độ
Oxy, không nằm trên miền (I), miền (III) và không nằm trên (C).
(C)
(C1)
(I)
X
Y
(III)
-4
O
4
2
(C1)
-2
-4
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

23
C©u 16:
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
        
2 3 2
( 1) ( 4) 6 9 4
y x x x x x

 TXĐ: D = R
 


      

 

          
2
1
' 3 12 9 ' 0
3
'' 6 12 " 0 2 2
x
y x x y
x
y x y x y

Điểm uốn :( -2, -2)
 BBT:

 Đồ thò :

2) Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của
phương trình :
    
2 2
( 1) ( 4) ( 1) ( 4)
x x m m

       
2 2

( 1) ( 4) ( 1) ( 4)
x x m m

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C)
và đường thẳng (d) có phương trình :
   
2
( 1) ( 4)
y m m

- Số giao điểm là số nghiệm của phương trình .
 Biện luận:
         
2 2
( 1) ( 4) 4 ( 3) 0 0
m m m m m
: 1 nghiệm
         
2
( 1) ( 4) 4 0 3
m m m m
: 2 nghiệm
         
2
4 ( 1) ( 4) 0 4 0
m m m
: 3 nghiệm
         
2
( 1) ( 4) 0 1 4

m m m m
: 2 nghiệm
      
2
( 1) ( 4) 0 4
m m m
:1 nghiệm

C©u 17: ( 3 điểm) Cho:
2
( 1)( )
y x x mx m
   
(1)
1) Khảo sát hàm số (1) tương ứng với m= -2:
2 3 2
( 1)( 2 2) 3 2
y x x x y x x
      
Tập xác đònh : D = R
2
' 3 6 3 ( 2)
   
y x x x x

0
' 0
2



 



x
y
x

'' 6 6
 
y x

" 0 1 0
    
y x y


Điểm uốn : I(1, 0)
BBT:
Đồ thò:
Điểm đặc biệt :
2) Tìm m để đồ thò (1) tiếp xúc trục hoành.
Xác đònh toạ độ tiếp điểm.
Ta có :
3 2
( 1)
y x m x m
   
(1)
Đồ thò (1) tiếp xúc trục hoành

3 2
2
x +(m-1)x -m=0 (2)
3x +2(m-1)x=0 (3)






có nghiệm .
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

24
 
0
(3) 3 2( 1) 0
2( 1)
3
x
x x m
m
x



    


 



Thay vào (2) :
3 3
3 3 2
2
0 0
2( 1) 8 4
( 1) ( 1) 0
3 27 9
4( 1) 27 0 4 12 15 4 0
4
( 4)(4 4 1) 0
1
2
x m
m
x m m m
m m m m m
m
m m m
m
  

        
        



     


 


Hoành độ tiếp điểm là :
1
0 0 4 2 1
2
m x m x m x
          

Vậy đồ thò (C) tiếp xúc Ox khi: m= 0, m= 4,
1
2
m
 

Toạ độ tiếp điểm tương ứng là: (0, 0), (-2, 0), (1, 0)
C©u 18: ( 3 điểm)
1) Khảo sát hàm số:



1
1
x
y
x
(C) TXĐ: D = R \ (1)
2

2
' 0
( 1)
y
x

  

Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh.
TCĐ: x = 1 vì

 
1
lim
x
y
TCN: y = 1 vì


lim 1
x
y

BBT:

Đồ thò:

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):
Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k: y = k( x-3) + 1
(d) tiếp xúc (C)








2
x+1
= k(x-3) + 1 (1)
x-1
-2
= k (2)
(x-1)
có nghiệm
Thay (2) vào (1) :

 

2
1 -2(x-3)
1
1 (x-1)
x
x

          
2 2
1 2( 3) ( 1) 4 8 2
x x x x x

A
B
M
O
x
y
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

25
Thay vào (2)
  
2
k

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7
3)

0 0 0
( , ) ( )
M x y C
. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác
có diện tích không phụ thuộc M.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
  

0 0 0
'( )( )
y f x x x y


  

  
  
  
2
0 0 0
0
2 2
0 0 0
2
0
1 3 1
3
)
1 ( 1) ( 1)
-3
(
( -1)
x x x
x x
x x x
y x
x

Giao điểm với tiệm cận đứng x =1.
 
 
   
 
 
 
0 0
0 0
4 4
1 1,
1 1
x x
x y A
x x

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 1.
 
 
   
 
 
0 0
5 2 5 2
1 ,1
3 3
x x
y x B

Giao điểm hai đường tiệm cận: I(1, 1)

Ta có :
 
      


   

0 0
0
0
0
4 5 2
1 1 1
. . 1. 1
2 2 2 1 3
5 2
1 5 25
. 1 hằng số
2 1 3 6
A I B I
IAB
x x
IA IB y y x x
x
x
x
S

Vậy:
IAB

S
không phụ thuộc vào vò trí điểm M.
C©u ( 2 điểm) Cho
   
3
( ) 2( 1)
3
m
y f x x m x

a) Khảo sát hàm số khi m= 1:
 
3
1
4
3
y x x

 TXĐ: D = R
2
' 4
y x
 





        
 

;
2
' 0 " 2 " 0 0 0
2
x
y y x y x y
x

Điểm uốn O(0, 0).
BBT:

Đồ thò:
Cho
    
16
4
3
x y

  
16
4
3
x y


b)Tìm m để đồ thò hàm số có cực đại,
cực tiểu sao cho:
  
2 3

2
( ) (4 4)
9
CĐ CT
y y m

Ta có:
  
3
2( 1)
3
m
y x m x

  
2
' 2( 1)
y mx m

-2
2
+
16
3
x
y’
y
+
+
+

16
3
0
0
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

26
    
2
' 0 2( 1) 0
y mx m
(1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu

(1) có 2 nghiệm phân biệt

      
2( 1)
0 1 0
m
m m
m

Khi đó (1) có 2 nghiệm

1 2 1 2
, ( )
x x x x

 

1
( )
CĐ
y f x
và

2
( )
CT
y f x

Để tìm
CĐ
y
và
CT
y
ta chia f(x) cho f’(x) thì được:
 
 
 
 

1 4
( 1)
3 3
( ) '( ).
x m x
f x f x

 
 
  
 
1
2
1
2
4
( 1)
3
4
( 1)
3
( )
( )
CĐ
CT
m x
m x
y f x
y f x

 
1 2
(Vì f'(x ) 0, '( ) 0)
f x

Theo giả thiết:
  

2 3
2
( ) (4 4)
9
CĐ CT
y y m

         
    
 
2 2 3
1 2 1 2
2
16 2
( 1) ( ) 64( 1) ( ) 8( 1) ( Vì m+1 0 )
9 9
8(m+1) -2(m+1)
S 4 8(m+1) 0 (vì S = 0 , P = )
m
m = 1 ( Vì m+1 0 )
m x x m x x m
P
m

So với điều kiện

m< -1 m > 0
nhận giá trò m = 1 ĐS: m = 1.

C©u 20: ( 2 điểm)

1) Khảo sát hàm số:
 

1
1
y x
x
(C) Tập xác đònh:



\ 1
D R


2
2 2
1 2
' 1
( 1) ( 1)
x x
y
x x

  
 

0
' 0
2

x
y
x


 




 Tiệm cận đứng: x = 1 vì

 
1
lim
x

 Tiệm cận xiên: y = x vì



1
lim 0
1
x
x

 BBT:

 Đồ thò:

2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A(0, 3)
- Đường thẳng (D) qua A và có hệ số góc k: y = kx +3
(D) tiếp xúc (C)

 






 



2
1
kx + 3 (1)
1
1
1 k (2)
( 1)
x
x
x
có nghiệm
- Thay (2) vào (1) :
X

O
Y
2
-1
1
3
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

27
   
 
         





 


 



2
2 2
1
3
1 ( 1)
1 3( 1) 3 8 4 0

2
0
2
8
3
x
x x
x x
x x x x x
x
k
k
x

ĐS: y = 3 ; y = -8x + 3
Câu 21:
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
   
3 2
2 2
y x x x
; TXĐ : D = R
2
' 3 4 1
y x x
  







 
 
 
1
' 0
1
3
x
y
x

       
2 52
" 6 4 ; " 0
3 27
y x y x y
Điểm uốn
 
 
 

2 50
,
3 27
I

BBT:

Đồ Thò:









b) Biện luận theo k số giao điểm của (C) và
1
( )
D
: y = kx + 2 .
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và
1
( )
D
:



         

     
   
3 2 2
2
2 2 2 ( 2 1 ) 0

0
' 1 1
2 1 0
x x x kx x x x k
x
k k
x x k

Biện luận :
k > 0 và

1
k
: (C) và
1
( )
D
có 3 điểm chung.
k = 0

k = 1: 2 điểm chung.
k < 0: 1 điểm chung
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục hoành và đường thẳng
2
( )
D
:y = -x + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và
2
( )

D
.
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

28
          
         
3 2 3 2
2
2 2 1 2 2 1 0
( 1)( 1) 0 1 2
x x x x x x x
x x x x y

Giao điểm của (C) và trục hoành:
          
3 2 2
2 2 0 ( 2)( 1) 0 2
x x x x x x

Diện tích hình phẳng cho bởi:

 



  

 



  

                
 
1
1
1 1
4 3 2 2
3 2
2 1
2
1
2 17 41
( 2 2) ( 1) 2 2 ( )
4 3 2 2 12 12
x x x x
S x x x dx x dx x x đvdt

CÂU 22:

1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
2
3 2 2
3
2
x x
y x
x
 

   
(C) TXĐ: D = R\ {0}
2
2
2
'
x
y
x


;
2
' 0
2

x
y
x

 
 





TCĐ: x = 0 vì
0
lim

x
y

 

TCX: y = x – 3 vì
2
lim 0
x
x



BBT:

Đồ thò:
Cho y = 0

x
2
– 3x +2 = 0
1
2
x
x









2)Tìm M trên đường thẳng x = 1 sao cho từ M kẻ được
đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = 1.
Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b
(d) tiếp xúc với (C)
2
2
2
3 2
2
k(x - 2) + b (1)
k (2)
x x
x
x
x

 











có nghiệm.
Thay (2) vào (1):
2 2
2
3 2 ( 2)( 1)x x x
b
x
x
   
 

(b + 2)x
2
– 4x + 2 = 0 (3)

Từ M kẻ 2 tiếp tuyến đến (C) và vuông góc với nhau.

(2) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2


0 sao cho k
1
, k
2
= -1.
2 2

1 2
1 2
2 2
1 2
4 2( 2 0)
' 0
2 2
. 1
1
b
x x
k k
x x
  

 


 
 
 
 
 




Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

29

1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2
x
0
2
với
4
( ) 2 0
2
x
b
b
x x x x
x x
b








 
   



 





2
0
0

6 2 0
3 7 (nhận)
b
b
b b
b





 
 
  
  




CÂU 23:

1)Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
2
3 2 2
3
2
x x
y x
x
 
   
(C) TXĐ: D = R\ {0}
2
2
2
'
x
y
x


;
2
' 0
2

x
y
x

 

 





TCĐ: x = 0 vì
0
lim
x
y

 

TCX: y = x – 3 vì
2
lim 0
x
x



BBT:

Đồ thò: Cho y = 0

x
2
– 3x +2 = 0
1

2
x
x








2)Tìm M trên đường thẳng x = 1 sao cho từ M kẻ được
đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.
Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = 1.
Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b
(d) tiếp xúc với (C)
2
2
2
3 2
2
k(x - 2) + b (1)
k (2)
x x
x
x
x

 











có nghiệm.
Thay (2) vào (1):
2 2
2
3 2 ( 2)( 1)x x x
b
x
x
   
 


(b + 2)x
2
– 4x + 2 = 0 (3)
Từ M kẻ 2 tiếp tuyến đến (C) và vuông góc với nhau.

(2) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2


0 sao cho k
1
, k
2
= -1.
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
4 2( 2 0)
' 0
2 2
. 1
1
b
x x
k k
x x
  

 


 
 
 
 

 




1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
2
x
0
2
với
4
( ) 2 0
2
x
b
b
x x x x
x x
b









 
   


 




Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

30
2
0
0

6 2 0
3 7 (nhận)
b
b
b b
b





 
 

  
  





Câu 24:

Cho
4 2
2 2 ( )
m
y x x m C
   

1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số khi m = 0
4 2
2 2
y x x
  
TXĐ: D = R
3 2
' 4 4 4 ( 1)
y x x x x
   

0
' 0
1

x
y
x


 

 


2
'' 12 4
y x
 
;
1 13
'' 0
9
3
y x y
      
điểm uốn
1 13 1 13
, , ,
9 9
3 3
   

   
   

BBT:
Đồ thò: Cho y=2  x
4
- x
2
=0

0
2
x
x



 




2) Tìm m để (C
m
) chỉ có hai giao điểm chung với trục Ox.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và trục Ox:
x
4
- 2x
2

+ 2-m = 0 (1)
Đặt t = x
2
(t≥0)
Phương trình trở thành:
t
2
- 2t + 2 – m = 0 (2)
(1) chỉ có 2 nghiệm  (2) có nghiệm trái dấu hoặc (1)
có nghiệm kép dương
0
2
2 0
' 0
1
1 2 0
0
2
P
m
m
m
m
b
a






  
 


  
 



  



 





Vậy (C
m
) cắt Ox tại 2 điểm khi: m = 1 hay m > 2.
3) Chứng minh rằng m tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trò của (C
m
) là một tam giác
vuông cân:
Ta có: y = x
4
- 2x
2

+ 2 - my’= 4x
3
- 4x
2
0
' 0
1
1
y m
x
y
y m
x
 



   


 
 



Gọi 3 điểm cực trò là:
A(0, 2- m), B(-1, 1- m), C(1, 1- m)
Ta có:
1 1 0,
( 1, 1) 2 ; (1, 1) 2

2,
AC AB m
AB AB AC AC
AB AC m

    

         

  



 

Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

31
Vậy  ABC là tam giác vuông cân tại A, m.
Câu 25:
a) Khảo sát hàm số: y=x
4
-5x
2
+4 (C) TXD: D = R
y’= 4x
3
- 10x = 2x (2x
2
- 5)

0
y'=0
10
2
x
x





 



y’’= 12x
2
– 10
5 19
'' 0
6 36
y x y     
 điểm uốn:
5 19 5 19
, ,
6 36 6 36
  

  
  

  

BBT:

Đồ thò:


Cho
4 4
1
4 0
2
0 5
x
x
y x x
 

  

 

  

b) Tìm tất cả các giá trò của a để (C) tiếp xúc với đồ
thò y=x
2
+a.
Tìm toạ độ tiếp điểm: Gọi (P): y = x
2

+ a.
(C) tiếp xúc (P)
3
4 4 2
(1)
(2)
4 10 2
5 4
a
x x
x x x
x






 
  


có nghiệm
 
3 3
0
(2) 3 0 3 0
3
x
x x x

x
x


     

 



Thay vào (1):
0 4; 3 5
x a x a
       

Vậy a = 4, a = -55. Tiếp điểm
 




0,4 3, 2 3, 2
  
.

Câu 26: Cho hàm số: y = x
3
-(2m + 1)x
2
+ (m

2
- 3m + 2)x + 4
a) Khảo sát hàm số khi m = 1: y=x
3
- 3x
2
+ 4 TXD: D = R
y' = 3x
2
- 6x ;
0
' 0
2
x
y
x


 




y’’= 6x – 6 ; y’’= 0  x = 1  y = 2  điểm uốn I(1, 2)
BBT:

Đồ thò:
x = 3, y = 4
x = -1, y = 0

Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

32
b) Xác đònh m để đồ thò hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ở về
2 phía trục tung. Ta có: y = x
3
- (2m +1)x
2
+ (m
2
- 3m + 2)x + 4
y’= 3x
2
- 2(2m + 1)x + m
2
- 3m + 2
Đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về 2 phía của trục Oy.
 y = 0 có 2 nghiệm x
1,
x
2
trái dấu  P< 0.
2
3 2
0 1 2
3
m m
m
 

    
ĐS: 1 < m < 2
Câu 27:
a) Khảo sát hàm số:
 
2
3 6
1
1
x x
y
x
 


TXD: D=R\{1}

 
2
2
1
2 3
' ' 0
3
1
x
x x
y y
x
x

 

 
  





Tiệm cận đứng: x=1 vì
1
lim
x
y

 

Tiệm cận xiên: Ta có:
4
2
1
y x
x
  

 TCX: y = x - 2 vì
4
lim 0
1
x

x




BBT:

Đồ thò:
Cho x = 0
 y = -6
x = 2  y = 4


b) Từ đồ thò hàm số (1) hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thò hàm số:

2
3 6
1
x x
y
x
 


(C
1
) Ta có: y≥0  (C
1
) ở phía trên Ox.

1
nếu ( 1)
nếu ( 1)
y x
y
y x




 


Suy ra cách vẽ (C
1
) như sau:
- Phần của đồ thò (1) ứng với x > 1 trùng với (C
1
).
- Bỏ phần của (1) ứng với x < 1 và lấy phần đối xứng
của phần này qua trục Ox ta được (C
1
).
c) Từ gốc O có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thò (C).
Tìm tọa độ tiếp điểm (nếu có).
- Đường thẳng (d) qua 0 và có hệ số góc k là: y=kx.
- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

 
2

2
2
3 6
(1)
1
2 3
(2)
1
x x
kx
x
x x
k
x

 





 






Thay (2) vào (1):
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

33

 
2 2
2
2
3 6 4 6 9
3 6 ( 2 3)
6 3 0
1
1
3 6 4 6 9
x k
x x x x x
x x
x
x x k
 
   
   
      
 


    
 
 

Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ 0 đến đồ thò (1).

Tọa độ tiếp điểm là:
1
3 6 3 6 3 (3 6,3 6 3)
x y M
       


2
3 6 3 6 3 (3 6, 3 6 3)
x y M
         

Câu 28: Cho hàm số:
3
1
y x x m (1)
3
  

1) Khảo sát hàm số (1) khi
2
m
3



3
1 2
y x x (C)
3 3

  
TXD: D = R

2
y' x 1
x 1
y' 0
x 1
y'' 2x
2 2
y'' 0 x 0 y điểm uốn I(0, )
3 3
 
 

 




     

 BBT:

 Đồ thò:
Cho

x 2, y 0
4
x 2, y

3
  
 


2) Tìm m để đồ thò (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:
Đồ thò (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

3
3
1
x x m 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3
1 2 2
x x m (*) có 3 nghiệm phân biệt.
3 3 3
   
     

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d).
Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
 (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt:
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

34

2 4
0 m
3 3
2 2

m
3 3
    
   

Câu 29 :
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số :
2
( )
2
x x
y C
x




 TXĐ :


\ 2
D R


2
2
4 2
'
( 2)
2 6

' 0
2 6
x x
y
x
x
y
x
 



 
 

 



 Tiệm cận đứng :
x = 2 vì
2
lim
x
y

 

Ta có :
6

3
2
y x
x
  


 Tiệm cận xiên:
y = x + 3 vì
6
lim 0
2
x
x




 BBT:


 Đồ thò :
Cho x = 0 , y = 0
x = 1 , y = -2

X
Y
O
(C)

2) Xác đònh b để
( )

cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Cï §øc Hoµ Trêng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

35
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại O.

1
'( ).
2
y f O x y x
   


( )

qua B(0, b) và song song (d) có dạng :

1
( ) :
2
y x b
   

Phương trình hoành độ giao điểm của
( )

và (C) :

2
2 2
2
1
2 2
2 2 2 2 4
3 2 4 0
x x
x b
x
x x x x bx b
x bx b

  

      
   


( )

cắt (C) tại 2 điểm phân biệt :
' 0
  


2
12 0 0 12
b b b b

      

Toạ độ trung điểm I cuả MN :

2
5
2 6 3
2
1
2
M N
x x
b b
x
x
y
y x b


  


 


  



Vậy I nằm trên đường thẳng cố đònh có phương trình :

5
2
x
y 

Câu 30:
Cho hàm số :
2
2 2
1
x mx
y
x
 



1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số với m = 1:

2
2 2
1
x x
y
x
 



 TXĐ :



\ 1
D R
 


2
2
2
'
( 1)
x x
y
x





0
' 0
2
x
y
x





 
 

 Tiệm cận đứng :
x = -1 vì
1
lim
x
 

Ta có:
1
1
1
y x
x
  


 Tiệm cận xiên :
y = x + 1 vì
1
lim 0
1
x
x




 BBT: