SKKN tài liệu giúp học sinh rèn luyện giải bài tập chương véctơ – hình học 10

Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học đòi hỏi sự nhạy bén trong tư duy, chặt
chẽ trong suy luận, cẩn thận trong tính toán, với nhiều học sinh thì đây là
một môn học khó.
Đối với Hình học lớp 10, chương Véctơ bao gồm các nội dung khá mới
lạ khiến cho các em học sinh mới bước vào lớp 10 gặp không ít khó khăn
trong quá trình tiếp thu kiến thức. Phần lớn các em thiếu sự nhạy bén cần
thiết trong tư duy là do không nắm vững kiến thức, như vậy song song với
việc bổ sung các kiến thức thiếu hụt của mình, các em cần tăng cường làm
bài tập nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức.
Để giúp học sinh có một hệ thống các bài tập phong phú hơn, đồng thời
thuận lợi hơn trong quá trình tự học tập ở nhà thông qua các bài tập mẫu
được trình bày theo từng bài học, tôi đã biên soạn tập “Tài liệu giúp học
sinh rèn luyện giải bài tập chương Véctơ – Hình học 10”.
2. Giới hạn đề tài.
Với mục đích áp dụng các kiến thức cơ bản nhằm củng cố lí thuyết,
đồng thời để phù hợp nội dung chương trình cũng như thực tế giảng dạy.
các bài tập có thể sẽ không đầy đủ các dạng, và không trình bày phần toạ
độ trên trục.
Trường THPT Pleime Trang 1
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
B. NỘI DUNG
I. Cơ Sở lí luận:
Lí thuyết và bài tập Toán học không tách rời mà có mối quan hệ mật
thiết, bổ trợ cho nhau: Nắm được lí thuyết mới có thể làm được bài tập, làm
nhiều bài tập để nắm vững kiến thức hơn. Tuy nhiên trong mối quan hệ đó
đóng vai trò then chốt vẫn là phần lí thuyết, phần kiến thức, bởi lẽ nắm
vững kiến thức thì bài toán nào cũng sẽ tìm ra cách giải quyết. Chính vì vậy
mà các bài tập ở đây sẽ được biên soạn theo cấu trúc bài học trong sách

giáo khoa mà không phân dạng bài tập để các em nắm kiến thức có hệ
thống hơn.
Để học sinh thuận tiện hơn trong khi làm bài tập, trong tài liệu có hệ
thống lại các kiến thức cơ bản cần nắm của mỗi bài học, có hệ thống các
bài tập mẫu – đã trình bày bài giải – để học sinh tìm hiểu kiến thức cũng
như cách trình bày bài giải, bên cạnh đó sẽ có hệ thống bài tập áp dụng theo
mẫu có gợi ý kiến thức vận dụng, và cuối cùng là một số bài tập để học
sinh tự rèn luyện.
Ngoài việc giúp cho học sinh có thêm tài liệu học tập thì giáo viên cũng
có thể sử dụng tập tài liệu này để hướng dẫn học sinh học tập trong các tiết
học ôn tập phụ đạo.
II. Nội dung cụ thể về “Tài liệu giúp học sinh rèn luyện giải bài tập
chương véctơ – Hình học 10”
1. Bài 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
1.1. Kiến thức cơ bản cần nắm
• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm
cuối B là
AB
uuur
.
• Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
• Độ dài của vectơ
AB
uuur
, kí hiệu
AB
uuur
.=AB
• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu
0

r
.
• Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Trường THPT Pleime Trang 2
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu
a b, ,
r
r
để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ
0
r
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.Mọi vectơ
0
r

đều bằng nhau.
1.2. Bài tập mẫu
Bài tập 1: Cho hai điểm phân biệt A, B. Lập các véctơ có điểm đầu và
điểm cuối lấy từ hai điểm trên.
Giải:
Ta lập được các véctơ:
AB, BA, AA, BB
uuur uuur uuur uuur
Bài tập 2. Cho hình bình hành ABCD. Hãy chỉ ra các véctơ (
0≠
r

) lập được
từ các cạnh của hình bình hành toả mãn: cùng phương, cùng hướng, bằng
nhau.
Giải:
+ Các véctơ:
AB,BA,CD,DC
uuur uuur uuur uuur
cùng phương

AD,DA,BC,CB
uuur uuur uuur uuur
cùng phương

+ Các véctơ:
AB, DC
uuur uuur
cùng hướng và
BA,CD
uuur uuur
cùng hướng

AD,BC
uuur uuur
cùng hướng và
CB,DA
uuur uuur
cùng hướng
+ Các véctơ bằng nhau:
AB DC=
uuur uuur

,
BA CD=
uuur uuur
,
AD BC=
uuur uuur
,
CB DA=
uuur uuur

Bài tập 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a. Tính độ dài các
véctơ
AC, BC
uuur uuur

Giải:

ABC
∆
vuông cân tại A nên: AC=AB=a
và BC=
2 2
AB AC a 2+ =
(Pi-ta-go)
Ta có:
AC AC a, BC BC a 2= = = =
Bài tập 4. Cho
∆
ABC. Hãy dựng
CD BA=

uuur uuur
. Tứ giác ABCD là hình gì?
Giải :
Trường THPT Pleime Trang 3
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
Ta dựng
CD
uuur
cùng hướng và cùng độ dài với
BA
uuur
nên BA và CD song song và bằng nhau.
Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành
1.3. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Hãy lập các véctơ (
0≠
r
) có
điểm đầu và điểm cuối lấy từ hai điểm trên.
Hướng dẫn : Qua 2 điểm phân biệt ta lập được 1 véctơ
0≠
r
Bài tập 2. Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo.
a. Tìm các véctơ cùng phương với
AC
uuur
b. Tìm các véctơ cùng hướng với
BD
uuur
c. Tìm ra các véctơ bằng nhau trong hình vẽ

Hướng dẫn: Tương tự bài tập 2 mục 1.2, chú ý thêm các véctơ-không
Bài tập 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, H là trung điểm BC.
Tính
AH
Hướng dẫn :
ABC∆
đều, H là trung điểm BC nên
AH BC⊥
, dùng định lí
Pi- ta-go trong tam giác vuông để tính AH
Bài tập 4. Cho tam giác ABC vuông tại B. Hãy dựng
AD BC=
uuur uuur
a. Tứ giác ABCD là hình gì?.
b. Nếu ABC là tam giác vuông cân tại B, là tam giác đều thì tứ giác
ABCD tương ứng là hình gì?.
Hướng dẫn: Tương tự bài tập 4 mục 1.2, cần chú ý thêm các điều kiện :
Hình bình hành có 1 góc vuông, 1 góc vuông và 2 cạnh kề bằng nhau, hai
cạnh kề bằng nhau.
1.4. Bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,
CA, AB.
a. Chứng minh:
BC C A A B
′ ′ ′ ′
= =
uuuur uuur uuuur
.
b. Tìm các vectơ bằng
B C C A,

′ ′ ′ ′
uuuur uuuur
.
Bài tập 2.Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh:
MP QN MQ PN;= =
uuur uuur uuur uuur
.
Bài tập 3. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tam
giác, M là trung điểm BC. AO cắt (O) tại A’ (
≠
A), BO căt (O) tại B’ (
≠
B).
Trường THPT Pleime Trang 4
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
a. Chứng minh:
' ; 'AH B C HC AB= =
uuur uuuur uuur uuuur
. b . So sánh 2 vectơ:
, 'HM MA
uuuur uuuur
2. Bài 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ
2.1. KiẾN thức cơ bản cần nắm
Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ
• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
.

• Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
.
• Tính chất:
a b b a
+ = +
r r
r r
;
( ) ( )
a b c a b c+ + = + +
r r
r r r r
;
a a0
+ =
r
r r
b) Hiệu của hai vectơ
• Vectơ đối của
a
r
là vectơ
b
r
⇔
a b 0+ =
r r
r

. Kí hiệu vectơ đối của
a
r
là
a
−
r
.
• Vectơ đối của
a
r
là vectơ
b
r
⇔
a b 0+ =
r r
r
. Kí hiệu vectơ đối của
a
r
là
a
−
r
.
• Vectơ đối của
AB
uuur
là

BA
uur
. Kí hiệu là
−AB
uuur
. Vậy -
AB
uuur
=
BA
uur
• Vectơ đối của
0
r
là
0
r
.
•
( )
a b a b− = + −
r r
r r
.
• Qui tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
OB OA AB− =
uuur uuur uuur
.
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔

MA MB 0+ =
uuur uuur
r

• Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ∆ABC ⇔
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
2.2. Bài tập mẫu.
Bài tập 1. Cho tam giác ABC. Xác định các véctơ sau:
a.
AB AC; AB CB+ +
uuur uuur uuur uuur
b.
AB AC; AB CB− −
uuur uuur uuur uuur
Giải:
Trường THPT Pleime Trang 5
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
a. Dựng
BD AC; EC AB= =
uuur uuur uuur uuur
(h vẽ)
Ta có
AB AC AB BD AD+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuur

AB CB EA CB EB+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuur

b.
AB AC CB− =
uuur uuur uuur
(quy tắc trừ)
AB CB AB BC AC− = + =
uuur uuur uuur uuur uuur
Bài tập 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a, AD=b. Tính
AB AD ;+
uuur
AD DC−
uuur
,
AC BD ;+
uuur
Giải:
Ta có
•
AB AD AC+ =
uuur uuur
(Q. tắc hbh)

2 2
AB AD AC AC a b⇒ + = = = +
uuur uuur
•
AD DC AD CD BC CD BD− = + = + =
uuur uuur uuur uuur
2 2
AD DC BD BD a b⇒ − = = = +
uuur uuur

Dựng hình bình hành BDEC ta có
BD CE−
uuur
nên:

AC BD AC CE AE AE 2AD 2b
+ = + = = = =
uuur uuur
Bài tập 3. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
a.
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
b.
DA DC DB+ =
uuur uuur uuur
c.
CB CD CA+ =
uuur uuur uuur
d.
BA BC BD+ =
uuur uuur uuur
Giải:
a. Ta có:
AB AD AB BC AC+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuur
(thay
AD
uuur
bởi
BC

uuur
)
b.
DA DC DA AB DB+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuur
(thay
DC
ur
bởi
AB
uuur
)
Tương tự cho hai ý còn lại
Bài tập 4. Cho 4 điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:
AB CD AD CB
+ = +
uuur uuur uuur uuur
Giải:
Cách 1: Dùng quy tắc ba điểm
Ta có:
AB CD AD DB CB BD+ = + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

AD CB BD DB
AD CB BB
AD CB
= + + +
= + +
= +
uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur
uuur uuur
Cách 2: Dùng quy tắc trừ
Ta có:
AB CD OB OA OD OC+ = − + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur

OD OA OB OC= − + −
uuur uuur uuur uuur
AD CB= +
uuur uuur
Trường THPT Pleime Trang 6
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
Bài tập 5. Tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC,
CA. Chứng minh
ABC, MNP∆ ∆
có cùng trọng tâm.
Giải:
Gọi G là trọng tâm
ABC GA GB GC 0
∆ ⇒ + + =
uuur uuur uuur r
Ta chứng minh G cũng là trọng tâm
MNP
∆
,
tức là
GM GN GP 0
+ + =
uuuur uuur uuur r

Thật vậy :
GM GN GP GA AM GB BN GC CP
+ + = + + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur

(GA GB GC) (AM BN CP)
= + + + + +
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur


(GA GB GC) (AM MP PA)
= + + + + +
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur


0 0
0
= +
=
r r
r
Chú ý : Có thể gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm
ABC, MNP
∆ ∆
. Ta chứng
minh:
GG ' 0 G G '= ⇒ ≡
uuuur r
2.3. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường

chéo. Chứng minh:
a.
− = + =AC BC AB AB AD AC;
uuur uuur uuur uuur uuur
.
b. Nếu
AB AD CB CD+ = −
uuur uuur uuur uuur
thì ABCD là hình chữ nhật.
Hướng dẫn:
a. Sử dụng quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành
b. Kiến thức: Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ
nhật
Bài tập 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các
vectơ
AB AD+
uuur uuur
,
AB AC+
uuur uuur
,
AB AD−
uuur uuur
.
Hướng dẫn: Tương tự bài tập 2 mục 2.2
Bài tập 3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a.
AB DC AC DB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b.

AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Hướng dẫn: Dùng quy tắc ba điểm hoặc quy tắ trừ như bài 4, mục 2.2
Bài tập 4. Cho ∆ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ,
BCPQ, CARS. Chứng minh:
RJ IQ PS 0+ + =
uur uur uur
r
.
Trường THPT Pleime Trang 7
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
Hướng dẫn: Sử dụng quy tắc ba điểm và tính chất véctơ đối
2.4. Bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1. Cho ∆ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
MA MB MC 0− + =
uuur uuur uuur r
.
Bài tập 2. Đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm
trên đường thẳng AB . Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI.
a. Chứng minh:
BN BA MB− =
uuur uur uuur
.
b. Tìm các điểm D, C sao cho:
NA NI ND NM BN NC;+ = − =
uuur uur uuur uuur uuur uuur
.
Bài tập 3. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
a. Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho

MD MC AB= +
uuuur uuur uuur
,
ME MA BC= +
uuur uuur uuur
,
MF MB CA= +
uuur uuur uur
. Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b. So sánh 2 véc tơ
+ +MA MB MC
uuur uuur uuur
và
+ +MD ME MF
uuur uuur uuur
.
3. Bài 3. TÍCH VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ
3.1. Kiến thức cơ bản cần nắm
Tích của một vectơ với một số
• Cho vectơ
a
r
và số k
∈
R.
ka
r
là một vectơ được xác định như sau:
+
ka

r
cùng hướng với
a
r
nếu k
≥
0,
ka
r
ngược hướng với
a
r
nếu k < 0.
+
ka k a.=
r r
.
• Tính chất:
( )
k a b ka kb+ = +
r r
r r
;
k l a ka la( )+ = +
r r r
;
( )
k la kl a( )=
r r
ka 0=

r
r
⇔ k = 0 hoặc
a 0=
r
r
.
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
( )
a vaø b a cuøng phöông k R b ka0 :≠ ⇔ ∃ ∈ =
r r r
r r r
• Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng
⇔ ∃k (
≠
0):
AB k AC=
uuur uuur
.
• Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ
không cùng phương
a b,
r
r
và
x
r
tuỳ ý. Khi đó ∃ duy nhất cặp số m, n
∈
R:

Trường THPT Pleime Trang 8
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
x ma nb= +
r
r r
.
Chú ý:
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của AB ⇔
MA MB 0+ =
uuur uuur
r
⇔
OA OB OM2+ =
uuur uuur uuur
(O tuỳ ý).
• Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ∆ABC ⇔
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur
r
⇔
OA OB OC OG3+ + =
uuur uuur uuur uuur
(O tuỳ ý).
3.2. Bài tập mẫu.
Bài tập 1. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính
AB AC AD+ +
uuur uuur uuur
.

Giải:
Ta có:
+ + = + + = +AB AC AD AB AD AC AC AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

= = = =2 2 2 2 2AC AC AC a
uuur uuur
Bài tập 2. Cho
∆
ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
a. Chứng minh:
IA IB IC2 0+ + =
uur uur uur r
.
b. Với điểm O bất kỳ, chứng minh:
OA OB OC OI2 4+ + =
uuur uuur uuur uur
Giải:
Ta có:
a.
+ + = + = + = =2 2 2 2( ) 2.0 0IA IB IC IA IM IA IM
uur uur uur uur uuur uur uuur ur r
b.
+ + = + = +2 2 2 2( )OA OB OC OA OM OA OM
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

= =2.2 4OI OI
uur uur

Bài tập 3. Cho tứ giác ABCD bất kì, G là trọng tâm tam giác ABC, O là

điểm tuỳ ý. Chứng minh:
+ + + = +OA OB OC OD OG GD4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur
Giải:
Ta có:
+ + +OA OB OC OD
uuur uuur uuur uuur
= + + + + + + + +OG GA OG GB OG GC OG GD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= +4OG GD
uuur uuur
uuur
Bài tâp 4. Cho ∆ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các
Trường THPT Pleime Trang 9
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
điểm M, N, P sao cho
= =3 , 3 ,MB MC NA CN
uuur uuur uuur uuur
+ = 0PA PB
uur uuur
r
a. Tính
PM PN,
uuur uuur
theo
AB AC,
uuur uuur
b. Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Giải:

a. Ta có:
•
PM PA AC CM= + +
uuur uuur uuur uuuur

1 1 1 1
AB AC BC AB AC (AC AB)
2 2 2 2
= − + + = − + + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

3
AB AC
2
= − +
uuur uuur
•
1 3
PN PA AN AB AC
2 4
= + = − +
uuur uuur uuur uuur uuur
b. Từ kết quả câu a ta thấy
PM 2PN=
uuur uuur
, vậy P, N, M thẳng hàng
Bài tập 5. Cho tứ giác ABCD bất kì. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB, CD, O là trung điểm MN. Chứng minh:
OA OB OC OD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur r

Giải:
Ta có:
OA OB 2OM; OC OD 2ON+ = + =
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuuur
Nên
OA OB OC OD 2OM 2ON+ + + = +
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur

2(OM ON)
2.0 0
= +
= =
uuuur uuur
r r

3.3. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh:
a. Nếu
AB CD=
uuur uuur
thì
AC BD=
uuur uuur
b.
AC BD AD BC IJ2+ = + =
uuur uuur uuur uuur uur
.
c. Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
GA GB GC GD 0

+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
.
d. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung
điểm của AD và BC . Chứng minh IJ, PQ, MN có chung trung điểm.
Hướng dẫn:
a. Quy tắc ba điểm
b. Quy tắc ba điểm, trung điểm
c. Tương tự bài 5, mục 3.2
d. Đã có
GI GJ 0+ =
uur uur r
, cần chứng minh:
GP GQ 0, GM GN 0+ = + =
uuur uuur r uuuur uuur r
Trường THPT Pleime Trang 10
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
Bài tập 2. Cho
∆
ABC và
∆
A′B′C′ lần lượt có các trọng tâm là G và G′.
a. Chứng minh
AA BB CC GG3
′ ′ ′ ′
+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
.
b. Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn: Quy tắc ba điểm và tọng tâm
Bài tập 3. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB =
2MC. Chứng minh:
AM AB AC
1 2
3 3
= +
uuur uuur uuur
.
Hướng dẫn: Tương tự bài 4, mục 3.2
Bài tập 4. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC.
Hãy phân tích vectơ
AM
uuur
theo các vectơ
OA OB OC, ,
uuur uuur uuur
.
Hướng dẫn: Tương tự bài 4, mục 3.2
3.4. Bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung
điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho
CN NA2=
uuur uuur
. K là trung điểm của
MN. Chứng minh: a.
AK AB AC
1 1
4 6
= +

uuur uuur uuur
b.
KD AB AC
1 1
4 3
= +
uuur uuur uuur
.
Bài tập 2. Cho ∆ABC có trọng tâm G. H là điểm đối xứng của B qua G.
a. Chứng minh:
AH AC AB
2 1
3 3
= −
uuur uuur uuur
và
( )
CH AB AC
1
3
= − +
uuur uuur uuur
.
b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
MH AC AB
1 5
6 6
= −
uuuur uuur uuur
.

Bài tập 3. Cho hình bình hành ABCD.
a. Chứng minh rằng:
AB AC AD AC2+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
b. Xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
AM AB AC AD3 = + +
uuur uuur uuur uuur
.
Bài tập 4. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
AB, CD, O là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta
có:
SA SB SC SD SO4+ + + =
uur uur uur uuur uuur
.
Bài tập 5. Cho tứ giác ABCD.
a. Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho:
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
(G đgl
Trường THPT Pleime Trang 11
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
trọng tâm của tứ giác ABCD).
b.Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có:
( )
OG OA OB OC OD
1
4
= + + +

uuur uuur uuur uuur uuur
.
Bài tập 6. Cho ∆ABC.
a. Xác định điểm I sao cho:
IA IB IC3 2 0+ − =
uur uur uur
r
.
b. Xác định điểm D sao cho:
DB DC3 2 0− =
uuur uuur
r
.
c. Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
4. Bài 4. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
4.1. Kiến thức cơ bản cần nắm
Hệ trục toạ độ
• Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên
Ox, Oy lần lượt là
i j,
r r
. O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:
u x y u x i y j( ; ) . .= ⇔ = +
r r
r r
.
• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
M x y OM x i y j( ; ) . .⇔ = +
uuur

r r
.
•Tính chất: Cho
a x y b x y k R( ; ), ( ; ),
′ ′
= = ∈
r
r
,
A A B B C C
A x y B x y C x y( ; ), ( ; ), ( ; )
:
+
x x
a b
y y

′

=
= ⇔

′
=


r
r
+
a b x x y y( ; )

′ ′
± = ± ±
r
r
+
ka kx ky( ; )=
r
+
b
r
cùng phương với
a 0≠
r
r
⇔ ∃k
∈
R:
x kx vaø y ky
′ ′
= =
.
⇔
x y
x y
′ ′
=
(nếu x
≠
0, y
≠

0).
+
B A B A
AB x x y y( ; )= − −
uuur
.
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:
A B A B
I I
x x y y
x y;
2 2
+ +
= =
.
+Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y;
3 3
+ + + +
= =
.
+Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
≠
1:
A B A B
M M
x kx y ky

x y
k k
;
1 1
− −
= =
− −
.
( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔
MA k MB=
uuur uuur
).
Trường THPT Pleime Trang 12
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
4.2. Bài tập mẫu.
Bài tập 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:
1
2 3 ; 5 ; 3 ;
3
= + = − =
a i j b i j c i
r
r r r r r
r r
2= −d j
r
r
Giải:
= + ⇔ =2 3 (2;3)a i j a
r

r r
r
Tương tự ta có:
= − = = −
1
( ; 5); (3;0); (0; 2)
3
b c d
r r
r
Bài tập 2. Viết dưới dạng
u xi yj= +
r r
r
khi biết toạ độ của vectơ
u
r
là:
u u u u(2; 3); ( 1;4); (2;0); (0; 1)= − = − = = −
r r r r
Giải:

(2; 3) 2 3 ; ( 1;4) 4 ;
(2;0) 2 ; (0; 1)
= − ⇔ = − = − ⇔ = − +
= ⇔ = = − ⇔ = −
u u i j u u i j
u u i u u j
r r r r
r r r r

r r
r r r r
Bài tập 3. Cho
a b(1; 2 ), (0;3)= − =
r
r
. Tìm toạ độ của các vectơ sau:
x a b y a b z a b; ; 2 3= + = − = −
r r r
r r r r r r
Giải:

= + = + − + =
= − = − − − = −
= − = − −
= − −
= − − − = −
(1 0; 2 3) (1;1)
(1 0; 2 3) (1; 5)
2 3 2(1; 2) 3(0;3)
(2; 4) (0;9)
(2 0; 4 9) (2; 13)
x a b
y a b
z a b
r
r r
r
r r
r

r r
Bài tập 4. Cho tam giác ABC có A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a. Tìm toạ độ các véctơ:
AB AC BC, ,
uuur uuur uuur
.
b. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c. Tìm toạ độ trung điểm I của AB, trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải:
a.
AB (1;5), AC ( 2;0), BC ( 3; 5)= = − = − −
uuur uuur uuur
b. ABCD là hình bình hành
AD BC⇔ =
uuur uuur

D A C B
D D
D A C B D D
x x x x
x 1 3 x 2
y y y y y 2 5 y 7
− = −
− = − = −

 
⇔ ⇔ ⇔
  
− = − + = − = −
 



Vậy D(-2;-7)
Trường THPT Pleime Trang 13
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
c. I là trung điểm AB nên
A B
I I
A B
I
I
x x
1 2 3
x x
3 1
2 2 2
I( ; )
y y 2 3 1
2 2
yy
2 2
2
+
+
 
= = =
 
 
⇔ ⇒
 

+ − +
 
= ==


G là trọng tâm tam giác ABC nên
A B C
G G
A B C
G
G
x x x
1 2 1 2
x x
2 1
3 3 3
G( ; )
y y y 2 3 2 1
3 3
y
y
3 3
3
+ +
+ −


= = =



 
⇔ ⇒ −
 
+ + − + −
 
= = −
=




Bài tập 5. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). Chứng minh ba điểm
A, B, C thẳng hàng.
Giải:
AB (2;2), AC ( 1; 1) AB 2AC= = − − ⇒ = −
uuur uuur uuur uuur
nên A, B, C thẳng hàng
4.3. Bài tập áp dụng
Bài tập 1. Viết tọa độ của các vectơ sau:
1 3
3 ; ; ;
2 2
= − = + = − +a i j b i j c i j
r
r r r r r r
r r
.
4 ; 3= − =d j e i
r
r r

r
Hướng dẫn: Tương tự bài 1, mục 4.2
Bài tập 2. Viết dưới dạng
u xi yj= +
r r
r
khi biết toạ độ của vectơ
u
r
là:
u u u u(1;3); (4; 1); (1;0); (0;0)= = − = =
r r r r
.
Hướng dẫn: Tương tự bài 2, mục 4.2
Bài tập 3. Cho
a b(1; 2 ), (0;3)= − =
r
r
. Tìm toạ độ của các vectơ sau:

u a b v b w a b
1
3 2 ; 2 ; 4
2
= − = + = −
r r r
r r r r r
.
Hướng dẫn: Tương tự bài 3, mục 4.2
Bài tập 4. Cho

a b c
1
(2;0), 1; , (4; 6)
2
 
= = − = −
 ÷
 
r
r r
.
a. Tìm toạ độ của vectơ
d a b c2 3 5= − +
r r
r r
.
b. Tìm 2 số m, n sao cho:
ma b nc 0+ − =
r r
r r
.
c. Biểu diễn vectơ
c a btheo ,
r
r r
.
Hướng dẫn:
a. Tương tự bài 3, mục 4.2
Trường THPT Pleime Trang 14
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh

b. Áp dụng hai véctơ bằng nhau thì toạ độ tương ứng bằng nhau
c. Giả sử
c ka hb= +
r r r
. Áp dụng hai véctơ bằng nhau thì toạ độ tương
ứng bằng nhau để tìm 2 số k và h
Bài tập 5. Cho ba điểm A(1; −2), B(0; 4), C(3; 2).
a. Tìm toạ độ các vectơ
AB AC BC, ,
uuur uuur uuur
.
b. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c. Tìm tọa độ điểm M sao cho:
CM AB AC2 3= −
uuur uuur uuur
.
d. Tìm tọa độ điểm N sao cho:
AN BN CN2 4 0+ − =
uuur uuur uuur
r
.
Hướng dẫn:
Câu a và b tương tự bài 4, mục 4.2
Câu c, d áp dung hai véctơ bằng nhau thì toạ độ tương ứng bằng nhau
4.4. Bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1. Cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a. Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
b. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài tập 2. Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0).
a. Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài tập 3. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P
sao cho:
a. Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
b. Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.
Bài tập 4. Cho tam giác ABC có A(-1;5), trung điểm của AB là M(2;3),
trung điểm của AC là N(0;-2), P là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam
giác ABC. Tìm tọa độ các điểm B, C, P, G
Trường THPT Pleime Trang 15
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
Bài tập 5. Cho tam giác ABC có A(0;3), M, N, P lần lượt là ttrung điểm
của AB, AC, BC, biết M(-2;2) và G(-1;1) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm
tọa độ các điểm B, C, P, N
II. Kết quả áp dụng trong thực tế tại trường THPT Pleime
Trong năm học 2014-2014, tôi đã sử dụng các bài tập trong nội dung
sáng kiến kinh nghiệm của tôi vào các buổi học ôn tậ phụ đạo, một số bài
trong các tiết bám sát. Đồng thời các em học sinh cũng có thêm nguồn tài
liệu để học tập. Qua đó tôi nhận thấy các em học sinh hứng thú hơn, tích
cực hơn, chủ động hơn trong học tập so với các chương khác.
III. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
Đối với dạy và học Toán, thời gian 45 phút trên lớp là quá ít để học sinh
nắm bắt được các kiến thức cơ bản của tiết học, nên việc học bài và làm bài
tập ở nhà rất quan trọng, quá trình tự học đó cần sự nỗ lực của học sinh, sự
hướng dẫn của thầy, cô giáo, và không thể thiếu các tài liệu tham khảo. Vì
vậy các tài liệu mà các thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy biên soạn ra là phù
hợp và cần thiết đối với học sinh.
Trường THPT Pleime Trang 16
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hình học 10, NXB Giáo Dục, 2007
2. Bài tập hình học 10, NXB Giáo Dục, 2007
3. Hướng dẫn thực hiện điều chỉnh nội dung dạy học môn Toán, cấp THPT.
Trường THPT Pleime Trang 17
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
2. Giới hạn của đề tài
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận
II. Nội dung cụ thể về “Tài liệu giúp học sinh rèn luyện giải bài
tập chương véctơ – Hình học 10”
1. Bài 1. Các Định Nghĩa
2. Bài 2. Tôngt Và Hiệu Của Hai Véctơ
3. Bài 3. Tích Véctơ Với Một Số
4. Bài 4. HỆ TrỤC Toạ Độ
III. Kết quả áp dụng trong thực tế tại trường THPT Pleime
C. KẾT THÚC VẤN ĐỀ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang
1
1
2
2
2
2
5
9

13
16
17
18
Trường THPT Pleime Trang 18
Sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Mai Văn Khánh
Người viết sáng kiến kinh nghiệm
Mai Văn Khánh
Trường THPT Pleime Trang 19