Các bài hình tổng hợp rất hay ôn thi vào lớp 10 có đáp án chi tiết

CÁC BÀI HÌNH TỔNG HỢP RẤT HAY DÙNG ÔN THI LỚP 10
Bài 1:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm
O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông
góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.
1. C/m AEDB nội tiếp.
2. C/m DB.A’A=AD.A’C
3. C/m:DE
⊥
AC.
4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF.
4)
•Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là
trung điểm BC và AB ⇒MN//AC(Tính chất đường trung bình)
Do DE⊥AC ⇒MN⊥DE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)⇒MN là đường trung trực của
DE ⇒ME=MD.
• Gọi I là trung điểm AC⇒MI//AB(tính chất đường trung bình)
⇒
·
·
A'BC A 'AC=
(Cùng chắn cung A’C).
Do ADFC nội tiếp ⇒
·
·
FAC FDC=
(Cùng chắn cung FC) ⇒
·
·
A'BC FDC=
hay DF//BA’ Mà

·
ABA ' 1v=
⇒MI⊥DF.Đường kính MI⊥dây cung DF⇒MI là đường trung trực của DF⇒MD=MF.
Vậy MD=ME=MF.
Bài 2:
Cho
∆
ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm
bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M
đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE.
1/C/m MFEC nội tiếp.
2/C/m BM.EF=BA.EM
3/C/M
∆
AMP∽
∆
FMQ.
4/C/m góc PQM=90
o
.
4/C/m góc:PQM=90
o
.
Do góc AMP=FMQ ⇒PMQ=AMF ⇒∆PQM∽∆AFM ⇒góc MQP=AFM Mà góc
AFM=1v⇒MQP=1v(đcm).
Bài 3:
Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao
cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B
cắt đường thẳng DE tại G.
1. C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này.

2. C/m
∆
BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
BCD.
3. C/m GEFB nội tiếp.
4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp
∆
BCD.Có nhận xét gì về I và F
4/ C/m• C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp ⇒Góc BFG=BEG mà BEG=1v⇒BFG=1v.Do ∆BFG
vuông cân ở F⇒Góc BFC=1v.⇒Góc BFG+CFB=2v⇒G;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm
trên… :Do GBC=GDC=1v⇒tâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là F⇒G nằn trên đường tròn ngoại
tiếp ∆BCD. •Dễ dàng c/m được I≡ F.
Bài 4:
Cho
∆
ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt
nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và
F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC).
1. C/m BDCO nội tiếp.
2. C/m: DC
2
=DE.DF.
3. C/m:DOIC nội tiếp.
4. Chứng tỏ I là trung điểm FE.
3) Ta có: sđgóc BAC=
2
1
sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)
Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);

OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chung
⇒∆BOD=∆COD⇒Góc BOD=COD
⇒2sđ gócDOC=sđ cung BC ⇒sđgóc DOC=
2
1
sđcungBC (2)
Từ (1)và (2)⇒Góc DOC=BAC.
Do DF//AB⇒góc BAC=DIC(Đồng vị) ⇒Góc DOC=DIC⇒ Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu
đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau…⇒đpcm
4/Chứng tỏ I là trung điểm EF:
Do DOIC nội tiếp ⇒ góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)
Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒Góc OID=1v hay OI⊥ID ⇒OI⊥FE.Bán kính OI vuông
góc với dây cung EF⇒I là trung điểmEF.
Bài 5:
Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một
đường thẳng qua A cắt OB tại M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc
với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I.
1.C/m OMHI nội tiếp.
2.Tính góc OMI.
3.Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K.C/m OK=KH
4.Khi M thay đổi trên OB thì K di chuyển trên đường nào? Tìm giới hạn hình
mà K di chuyển?.
Bài 6:
Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính
bất kỳ.Gọi giao điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N.
1. Cmr:Bốn điểm M, D, C, N cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm
MN.Cmr:AOIH là hình bình hành.
4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường

nào?
3/C/m AOIH là hình bình hành.
Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN
⇒I là giao điểm dường trung trực của CD và MN
⇒IH⊥MN là IO⊥CD.Do AB⊥MN;IH⊥MN⇒AO//IH.
Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD.
Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc với MN.
Hai đường này cắt nhau ở I.
•Do H là trung điểm MN⇒AH là trung tuyến của ∆vuông AMN
⇒ANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)⇒DAH=ACD.
Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1v⇒DAK+ADK=1v
hay ∆AKD vuông ở K⇒AH⊥CD mà OI⊥CD⇒OI//AH vậy AHIO là hình bình hành.
4/Quỹ tích điểm I:
Do AOIH là hình bình hành ⇒IH=AO=R không đổi
⇒CD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R
Bài 7:
Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ
IK
⊥
BC(K nằm trên AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK.
1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O.
2. C/m góc BMC=2ACB
3. Chứng tỏ BC
2
=2AC.KC
4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN
5. C/m: NMIC nội tiếp.
4/C/m AC=BN
Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài ∆IAC) và ∆IAC Cân ở I
⇒IAC=ICA ⇒AIB=2IAC(1). Ta lại có BKM=BMK

và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)
⇒AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN
(góc ngoài tam giác MNA) Do ∆MNA cân ở M(gt)
⇒MAN=MNA⇒BMK=2MNA(3)
Từ (1);(2);(3)⇒IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)⇒…
Bài 8:
Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và
CD cắt nhau ở E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K.
1. Cm: CB là phân giác của góc ACE.
2. c/m:AQEC nội tiếp.
3. C/m:KA.KC=KB.KD
4. C/m:QE//AD.
Sử dụng cặp góc so le trong bằng nhau QEA bằng EAD
Bài 9:
Cho (O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát
tuyến BEF với đường tròn.CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình hành
AECD.
1.C/m:D nằm trên đường thẳng BF.
2.C/m ADCF nội tiếp.
3.C/m: CF.CN=CE.CM
4.C/m:MN//AC.
5.Gọi giao điểm của AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung điểm của NI.
4. Chứng minh cặp góc so le trong bằng nhau(
· ·
ACM CMN=
)
5. Sử dụng hệ quả talet
Bài 10:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường
tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F.Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài

cắt tiếp tuyến Cy tại E.
1. C/m BD là phân giác của góc ABC và OD//AB.
2. C/m ADEF nội tiếp.
3. Gọi I là giao điểm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB.
3) Chứng minh tam giác ICE có đường cao CD vừa là phân giác
Bài 11:
Cho nửa đtròn (O);đường kính AD.Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao
cho cung AB<AC.AC cắt BD ở E.Kẻ EF
⊥
AD tại F.
1. C/m:ABEF nt.
2. Chứng tỏ DE.DB=DF.DA.
3. C/m: E là tâm đường tròn nội tiếp
∆
BCF.
4. Gọi M là trung điểm của ED. C/m tứ giác BCMF nội tiếp
Ta chứng minh góc BCF bằng BMF(Bằng 2 lần hai góc bằng nhau BCA và góc BDA)
Bài 12:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên
AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn.
Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và
vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm
của CQ với BM.
1/cm: ACMP nội tiếp.
2/Chứng tỏ AB//DE
3/C/m: M; P; Q thẳng hàng.
3/C/m M;P;Q thẳng hàng:
Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn của tam giác vuông PMC) và PCM+MCQ=1v
⇒MPC=MCQ.
Ta lại có ∆PCQ vuông ở C⇒MPC+PQC=1v⇒MCQ+CQP=1v hay

CMQ=1v⇒PMC+CMQ=2v⇒P;M;Q thẳng hàng.
Bài 13:
Cho
∆
ABC có A=1v;Kẻ AH
⊥
BC.Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở
E và cắt đường thẳng AC tại G.Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ
nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D.
1. C/m:AEHF nội tiếp.
2. Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC
3. Chứng minh EF
⊥
DG và FHC=AFE.
4. Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất
2/Cm: Ta đi chứng minh ∆HCA~∆HGD⇒đpcm.
3/•C/m:EF⊥DG:Sử dụng E là trực tâm tam giác GFD
• C/m:FHC=AFE:
Do AEHF nội tiếp ⇒AFE=AHE(cùng chắn cung AE).
Mà AHE+AHF=1v và AHF+FHC=1v⇒AFE=FHC.
4/ Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF
để EF ngắn nhất:
Do AEHF nội tiếp trong đường tròn có tâm
là trung điểm EF .Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiêp
tứ giác AEHF⇒IA=IH⇒Để EF ngắn nhất thì
I;H;A thẳng hàng hay AEHF là hình chữ nhật
⇒HE//AC và HF//AB.
x
y
E

F
D
C
M
O
A
B
N
x
K
I
D
F
E
M
O
B
A
C
Bài 14:
Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường
tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO.
Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C.
1. C/m AMN=BMC.
2. C/m
∆
ANM=
∆
BMC.
3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F.C/m FE

⊥
Ax.
4. Chứng tỏ M cũng là trung điểm DC.
Bài 15:
Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên
cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CD
⊥
AB; CE
⊥
MA; CF
⊥
MB. Gọi I và K là giao điểm
của AC với DE và của BC với DF.
1. C/m AECD nt.
2. C/m:CD
2
=CE.CF
3. Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE.
4. C/m IK//AB.
5. Tìm vị trí của C trên cung AB để AC
2
+ BC
2
đạt nhỏ nhất
4/C/m: IK//AB.
Ta có CBF=FDC=DAC(cmt)
Do ADCE nt⇒CDE=CAE(cùng chắn cung CE)
ABC+CAE(góc nt và góc giữa tt… cùng chắn 1 cung)
⇒CBA=CDI.trong ∆CBA có BCA+CBA+CAD=2v
hay KCI+KDI=2v⇒DKCI nội tiếp⇒ KDC=KIC (cùng chắn cung CK)

⇒KIC=BAC⇒KI//AB.
5. Gọi N là trung điểm của AB khi đó tính được
2
2 2 2
AB
AC BC CN
2
+ = +
. Vì AB không đổi nên AC
2
+BC
2
nhỏ nhất khi CN nhỏ nhất nên C là
điểm chính giữa cung AB
Bài 16:
Cho tam giác ABC (
·
0
45BAC <
) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường
kính AB. Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó. AH cắt đường tròn (O) tại M ( M
≠
A) . Đường vuông
góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và AB tại P.
a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp .
b) Chứng minh
∆
MAP cân .
c) Tìm điều kiện của

∆
ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng.
O
P
K
M
H
A
C
B
N
O
K
I
M
H
C
B
A
A
B
O
O'
M
D
E
P
Q
c) Ta có M; K; P thẳng hàng. Do đó M; K; O thẳng hàng
nếu P

≡
O hay AP = PM
Kết hợp với câu b tam giác MAP cân ở A
suy ra tam giác MAP đều. Do đó
·
0
30CAB =
.
Đảo lại:
·
0
30CAB =
ta chứng minh P
≡
O :
Khi
·
0
30CAB =
⇒

·
0
60MAB =
(do AC là phân giác của
·
MAB
)
Tam giác MAO cân tại O có
·

0
60MAO =
nên
∆
MAO đều.
Do đó: AO = AM. Mà AM = AP(do
∆
MAP cân ở A) nên AO = AP.
Vậy P
≡
O .
Trả lời: Tam giác ABC cho trước có
·
0
30CAB =
thì ba điểm M; K; O thẳng hàng.
Bài 17: Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. M là một điểm bất kì trên cạnh BC.
Vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Gọi O là trung điểm của AM.
a) Chứng minh 5 điểm A, I, M, H, K cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác OIHK là hình thoi.
c) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để IK có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị đó,
biết AB = a.
c) + Gọi N là giao điểm của OH và IK
=> OH
⊥
IK tại N và IK = 2IN
Do đó IK min
⇔
IN min.
+ Mà IN = OI.sinION = OI.

3
2
=
AM 3
4
=> IN min
⇔
AM min
⇔
M trùng H
+ Khi đó IK = 2.
AM 3
4
=
a 3. 3 3a
2.
4.2 4
=
(Vì AH =
AB 3
2
)
Bài 18:
Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp
tuyến chung DE của hai đường tròn với D
∈
(O) và E
∈
(O’) sao cho điểm B gần
tiếp tuyến đó hơn so với điểm A.

a) Chứng minh rằng
·
·
DAB BDE=
.
b) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh
2
.MD MA MB
=
và M là trung điểm của DE.
c) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng minh
rằng PQ song song với DE.
c) Ta có
·
·
DAB BDM=
,
·
·
EAB BEM=
(chứng minh trên)
⇒
· ·
PAQ PBQ
+
=
·
·
·
·

·
·
0
180DAB EAB PBQ BDM BEM DBE
+ + = + + =
(tổng 3 góc)
⇒ tứ giác APBQ nội tiếp ⇒
·
·
PQB PAB
=
Bài 19:
H
N
E
K
B
O
C
D
M
Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn
thẳng OC (D khác O và C). Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt
nửa đường tròn (O) tại điểm A. Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia
BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường
thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B).
a. Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp.
b.Chứng minh ba điểm C, K và N thẳng hàng.
c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE.
Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định

khi điểm M thay đổi.
c) Lấy H đối xứng với C qua D, Do C,D cố định nên H cố định.
tam giác HKC cân tại K nên
¼
¼
KHC KCH
=
Mà
¼
¼
BED KCH
=
(cùng phụ góc EBC)
Vậy
¼
¼
KHC BED
=
nên tứ giác BEKH nội tiếp suy ra đường tròn ngoại tiếp tức giác BKE đi
qua B và H cố định nên I thuộc đường trung trực của BH.
Bài 20. Cho tam giác ABC có góc A tù. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và (O’)
đường kính AC. Đường thẳng AB cắt (O’) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AC cắt
(O) tại điểm thứ hai là E.
a) Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp.
b) Gọi F là giao điểm của (O) và (O’) (F khác A). Chứng minh B, F, C thẳng hàng và
FA là phân giác của góc EFD.
c) Gọi H là giao điểm của EF và AB. Chứng minh: BH.AD = AH.BD
c) ta có FA là phân giác của góc HFD
AH HF
AD FD

⇒ =
.(t/c đường phân giác)
lại có BF vuông góc với AF nên BF là phân giác góc ngoài tam giác HFD
BH HF
BD FD
⇒ =
(Tính chất
phân giác ngoài tại F) do đó
AH BH
AH.BD BH.AD
AD BD
= ⇒ =
Câu 21:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm trên đường tròn (M khác A,
B), kẻ MH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm M bán kính MH cắt (O) tại C và
D. Đoạn thẳng CD cắt MH tại I. Vẽ đường kính MN của (O), MN cắt CD tại K.
1) Chứng minh tứ giác OKIH nội tiếp
2) Chứng minh: MC
2
= MK.AB
3) Chứng minh: I là trung điểm của MH.
Chứng minh MC
2
= MK.MN = 2MK.MO = 2MI.MH = MH
2
=> MH = 2MI => đpcm
Câu 22. Cho tam giác ABC vuông tại A, Trên cạnh AC lấy điểm D. Vẽ đường tròn
tâm D tiếp xúc với BC tại F. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BE tới (D) (E là tiếp điểm).
Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BE tại I. Chứng minh:
a) 5 điểm A, E, D, F, B cùng thuộc 1 đường tròn

b)
·
·
·
AEI ACB CBD= +
c)
AEI∆
cân.
c) Theo câu b) ta có
·
·
·
AEB DCB CBD= +
(3)
Lại có
· ·
EAD EBD=
(hai góc nội tiếp cùng chắn
»
ED
)
·
·
DAI DCB=
(AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông)
·
·
DBC EBD=
t/c tiếp tuyến cắt nhau)
·

·
·
·
EAD DAI DBC DCB⇒ + = +
Hay
·
·
·
EAI DBC DCB= +
(4)
Từ (3) và (4)
·
·
EAI AEI⇒ =
nên tam giác AIE cân tại I
Câu 23:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường
tròn sao cho CA > CB. Gọi I là trung điểm của OA. Vẽ đường thẳng d vuông góc với
AB tại I, cắt tia BC tại M và cắt đoạn AC tại P; AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ
hai K.
1) Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn.
2) Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng.
3) Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q. Tính diện tích của
tứ giác QAIM theo R khi BC = R.
3)
2 2 2 2
4 3AC AB BC R R R
= − = − =
Khi BC = R dễ thấy tam giác OBC
là tam giác đều suy ra

·
0
60CBA =
Mà
·
·
QAC CBA
=
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và góc nội tiếp cùng chắn
»
AC
)do đó
·
0
60QAC
=
.
Dễ thấy tam giác QAC cân tại Q (QA = QC)
có
·
0
60QAC
=
nên là tam giác đều
3AQ AC R
⇒ = =
.
Dễ thấy
3

;
2 2
R R
AI IB
= =
Trong tam giác vuông
( )
0
90IBM I =
$
ta có
0
3 3 3
.tan .tan 60 3
2 2
R R
IM IB B IB
= = = × =
.
Ta chứng minh được tứ giác QAIM là hình thang vuông
( )
0
/ / ; 90AQ IM I
=
$
.
Do đó
( )
2
1 1 3 3 5 3 5 3

3 .
2 2 2 2 4 2 8
QAIM
R R R R R
S AQ IM AI R
 
= + = + = × =
 ÷
 ÷
 
(đvdt).
Bài 24. Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy điểm M, đường tròn đường kính AM cắt
AB tại điểm thứ hai là Q và cắt đường tròn đường kính CD tại điểm thứ hai là N. Tia
DN cắt BC tại P.
a) Chứng minh Q, N, C thẳng hàng.
b) Chứng minh CP.CB = CN. CQ
c) Chứng minh AC và MP cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn đường kính
AM
Hd câu c) Gọi giao điểm của AC và MP ta phải chứng I thuộc đường tròn đường kính AM, thật vậy
ta đi chứng minh góc AIM là góc vuông.
Dễ thấy AQ = DM, tam giác BQC = tam giác CPD (g.c.g )
Suy ra BQ = CP suy ra BP = AQ nên BP = DM do đó MC = PC nên tam giác CMP cân tại C suy ra
CI là phân giác đồng thời là đường cao.
Bài 25: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC (AB = BC) nội tiếp trong đường tròn (O). Các
đường cao BG, AE, CF gặp nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BEHF nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm
I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
b) Chứng minh BF.BC = BH.BG
c) Chứng minh GE là tiếp tuyến của đường tròn (I).
d) Cho bán kính đường tròn (I) là 2cm, góc ABC = 50

0
. Tính độ dài cung FHE
của đường tròn tâm (I) và diện tích hình quạt tròn IFHE. (Làm tròn đến chữ số thập
phân thứ hai).
Bài 26. (Thi thử Chí Tân 2014 – 2015)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác
A, B). Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C). Vẽ đường thẳng d vuông góc với
AB tại B. Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp.
b) Gọi I là trung điểm của BF. Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn
tâm O.
c) Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của góc CKE cắt AE và À tại M và
N. Chứng minh tam giác AMN cân.
HD câu c) ta có góc E bằng góc NDK (do tứ giác CDFE nội tiếp), góc DKN = góc NKF (gt) suy ra
tam giác KME đồng dạng với tam giác KND (g – g) suy ra góc DNK bằng góc KME do đó góc
ANM = góc AMN (kề bù với hai góc bằng nhau) suy ra tam giác AMN cân tại A
Bài 27.
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên BC lấy điểm
M(M khác B, C và H). Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với AC tại F.
a) C/m các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) c/m BE. CF = ME.MF
c) Giả sử góc MAC bằng 45
0
. C/m
BE HB
CF HC
=

Hd: a) c/m tứ giác AEMF nội tiếp và tứ giác AHMF nội tiếp
b) c/m tam giác BEM đồng dạng với tam giác MFC

c) c/m tam giác BHE đồng dạng với BAM
BH AB
BE BM
⇒ =

c/m tam giác CFM đồng dạng với CHA
CH CA
CF CM
⇒ =
vì góc CAM = 45
0
nên AM là phân giác CAB
AC AB
CM BM
⇒ =

do đó
BH CH BE BH
BE CF CF CH
= ⇒ =
Bài 28. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ
một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB, vẽ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O
(D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O’). Hai đường thẳng AD và AE cắt
đường tròn tâm O’ lần lượt tại M và N (M và N khác A). Đường thẳng DE cắt MN tại I.
Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, D, M, I cùng thuộc một đường tròn.
b) MI.BE = BI.AE
c) Khi điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB thì đường thẳng DE luôn đi qua một
điểm cố định.
c) Gọi K là giao của đường thằng DE với tia OO’.

Chứng minh góc OAK = 90
0
=> K cố định
Cụ thể các bước :
-cminh OE
2
=OA
2
= OG.OC
=>OA/OG = OC/OA
=>∆OAG đ/dạng ∆OCA(cgc)
=>gA1= gC1
Mà C1 = K1(cùng phụ gCOH)
=> gA1= gK1
=>OGAK là tứ giác nội tiếp
x
Hình 01
O
K
H
M
E
D
C
B
A
=>gOGK = gOAK = 90
0
Mà O, A, OO’ cố định
=> K cố định.

Vậy Khi điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm K cố
định
Bài 29 :
Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ
các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD.
1. Chứng minh tứ giác AEDO nội tiếp được trong một đường tròn
2. Chứng minh AB // EM.
3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K.
Chứng minh
2 1 1
HK AB CD
= +

Chứng minh M là trung điểm HK.
DAB∆
có HM // AB
HM DH
AB DA
⇒ =
CAB∆
có MK // AB
MK CK
AB CB
⇒ =

Mà
DH CK
DA CB
=

(định lí Ta let ) Nên
HM MK
AB AB
=
.
Do đó MH = MK. Vậy M là trung điểm HK.
Chứng minh
2 1 1
HK AB CD
= +
.
Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được:

HM DM
AB DB
=
(1)
Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta được:

KM BM
CD BD
=
(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
1
HM KM DM BM DM BM BD
AB CD DB BD BD BD
+
+ = + = = =
Suy ra:

2 2
2
HM KM
AB CD
+ =
, mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK
Do đó:
2
HK HK
AB CD
+ =
. Suy ra:
2 1 1
HK AB CD
= +
(đpcm)
Bài 30:
Cho đường tròn ( O ; R ) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. M là
một điểm di chuyển trên cung nhỏ AD, đường thẳng CM cắt AB tại E .
a. Chứng minh tứ giác EMDO nội tiếp .
b. Chứng minh AE . MB = AM . EB
c. Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ AD để tích EM . EC đạt giá trị lớn
nhất.
E
O
D
C
A
B
M

Ta có
MEBAEC
∆∆
~
( g.g) vì
·
·
CEA BEM=
( đối đỉnh )

·
·
ACE MBE=
( cùng chắn
¼
AM
)
Do đó
AE EC
ME EB
=
⇒
AE . EB = EC . ME
Mà AE . EB
2
2
AE EB+
 
≤
 ÷

 

⇒
EC . ME
≤
R
2
Dấu “ = “ xảy ra
⇔
AE = EB
⇔
M
≡
D .
Bài 31.
H
C
K
O
I
B
M
A
Vì tam giác IAK đồng dạng với tam giác IBA nên
IM
IK
IB
IM
IA
IK

IB
IA
=⇒=
( vì IA=IM)
Góc MIB=góc MIK ( chung ) suy ra tam giác IMK đồng dạng với tam giác IBM ( c.g.c) suy ra góc
IMK=góc IBM mà góc IBM=góc KCB nên góc KCB=gocIMK ở vị trí so le nên MA//BC
b)Ta có AH//OB ( cùng vuông góc với MB); BH//OA ( cùng vuông góc với MA) nên AHBO là
hình bình hành có OA=OB nên là hình thoi suy ra AH=AO=R ( không đổi) A cố định nên H thuộc
đường tròn (A;R) cố định
Bài 32.
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH .Dựng đường tròn tâm O đường
kính AH cắt AB tại E , cắt AC tại F.Các tiếp tuyến với đường tròn ( O) tại E , F lần
lượt cắt cạnh BC tại M và N
1. Chứng minh rằng tứ giác MEOH nội tiếp
2. Chứng minh rằng AB.HE.=AH.HB.
3. Chứng minh 3 điểm E ,O ,F thẳng hàng.
4. Cho AB =
102
cm ; AC = 2
15
cm .Tính diện tích
∆
OMN
2. Tam giác AHB đồng dạng với HEB (g – g) suy ra AH/HE = AB/BH suy ra AB.HE = AH.HB
3. góc EAF = 90
0
suy ra EF là đường kính nên E,O,F thẳng hàng.
4. Ta có MO là phân giác góc EOH (t/c tiếp tuyến cắt nhau); ON là phân giác của góc HOF (tc tiếp
tuyến cắt nhau) mà góc EOH và góc HOF kề bù suy ra OM vuông góc ON nên tam giác MON
vuông tại O. Lại có OM vuông góc với EH, AB vuông góc với EH suy ra OM // AB, mà OE = OF

suy ra MO là đường trung bình tam giác HAB suy ra OM = ½ AB =
1
.2 10 10
2
=
(cm).
Tương tự ON = ½ AC =
15
(cm) do đó
MON
1 1 5 6
S OM.ON 10. 15
2 2 2
= = =
(cm
2
).
Bài 33. Cho
∆
ABC nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O; R), kẻ phân giác AD của
·
BAC
cắt (O) tại D, tia DO cắt BC tại M và cắt (O) tại N (khác D). Kẻ NH vuông góc
với AC tại H,
a) Chứng minh: tứ giác CNHM nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh:
ABD
∆
đồng dạng với
HMC∆

c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD, Chứng minh:
∆
BIH cân
b) ta có tứ giác MCNH nội tiếp suy ra góc DNC = góc MHC, mà góc DNC = góc DAC = góc DAB
do đó góc DAB = góc MHC
Tam giác ABD và tam giác HMC có góc DAB = góc MHC, góc BDA = góc BCA suy ra tam giác
ABD đồng dạng với tam giác HMC.
c) Gọi J là trung điểm của HC ta có tam giác ABD đồng dạng với tam giác HMC suy ra
AB AD 2AI AI
HM HC 2HJ HJ
= = =
suy ra tam giác ABI đồng dạng với tam giác HMJ (c-g-c) suy ra góc
AIB = góc HJM. Lại có MJ là đường trung bình trong tam giác BHC suy ra MJ//BH suy ra góc
AHB = góc A=HJM (đồng vị) suy ra góc AIB = góc AHB suy ra tứ giác AHIB nội tiếp. Do góc
ABI = góc IAH suy ra cung BI = cung IH suy ra BI = IH suy ra tam giác BHI cân tại H.
Bài 34. Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần
lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BE và CD.
a. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng AH.
Chứng minh: tam giác
BHK∆
đồng dạng với
ACK∆
.
c. Chứng minh:
KD KE BC+ ≤
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
c) Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt đường tròn tại I suy ra BC là trung trung trực của
DI (tính chất đối xứng của đường tròn) suy ra DK = KI
Ta có tứ giác ABKE và tứ giác AEHK nội tiếp suy ra góc ABE = góc AKE = góc HKD suy

ra góc DKB = góc EKC (phụ với hai góc bằng nhau)
Mặt khác BC là trung trực của DI nên góc DKB = góc BKI suy ra góc BKI = góc EKC suy
ra 3 điểm I, K, E thẳng hàng suy ra DK + EK = KI + KE = IE
≤
BC (do IE là dây còn BC là
đường kính.
Dấu “=” xảy ra khi K trùng O, khi đó tam giác ABC cân tại A
Bài 35. Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A
và B. Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax và By tiếp
xúc với nửa đường tròn đã cho. Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng
vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt tia IK tại E.
1. Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.
2. Chứng minh AI
.
BK = AC.CB.
3. Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB.
4. Cho các điểm A; B; I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích
hình thang ABKI lớn nhất.
a) Tứ giác CEKB có hai góc đối là góc vuông suy ra tứ giác nội tiếp.
b) Tam giác AIC đồng dạng với tam giác BCK (g – g) suy ra AI/BC = AC/BK suy ra
AI.BK = AC.CB.
c) Ta có tứ giác AIEC và tứ giác BKEC nội tiếp suy ra góc EAB = góc CIK, góc
EBA = góc CKI mà tam giác ICK vuông nên góc CIK + góc CKI = 90
0
suy ra góc
EAB + góc EBA = 90
0
suy ra góc AEB vuông suy ra E thuộc đừng tròn tâm O đường
kính AB.
d) Ta có diện tích tứ giác ABKI = (AI + BK).AB/2 mà A, B, I cố định nên AI, AB

không đổi do đó để diện tích tứ giác ABKI lớn nhất thì BK lớn nhất.
Mà theo câu b ta có AI.BK = AC.BC suy ra BK = AC.BC/AI để BK lớn nhất thì
AC.BC
lớn nhất (do AI không đổi). Lại có AC.BC
2
2
AC BC
R
2
+
 
≤ =
 ÷
 
, dấu “=” khi AC =
BC
khi đó C trùng O. Do vậy BK lớn nhất khi C trùng O nên diện tích tứ giác ABKI lớn
nhất khi C trùng O.
Bài 36. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (
C khác A và O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại
K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K và B). Đường thẳng CK cắt các
đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D, đường thẳng BH cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai là N.
1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh CA.CB = CH.CD
3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường
tròn (O) đi qua trung điểm của DH.
4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1
điểm cố định.
2) CA.CB = CH.CD

C/m: tứ giác ANHC nội tiếp suy ra góc DAC = góc CHB(cùng bù góc NHC) suy ra tam
giác CAD đồng dạng với tam giác CHB
3) Ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm của DH
* tứ giác ACMD nội tiếp suy ra góc ADC = góc AMC, tứ giác CHMB nội tiếp suy ra góc
AMC = góc HBC = góc NMA suy ra góc ADC = góc NMA nên tứ giác DNHM nội tiếp do
đó góc DNH = 90
0
do góc ANB = 90
0
suy ra điều phải chứng minh.
* Vì NJ là tiếp tuyến (O) suy ra góc JND = góc ONB = góc OBN = góc NDH suy ra tam
giác NJD cân tại J suy ra JN = JD mà tam giác NDH vuông tại N suy ra góc JNH + góc JND
= góc JDN + góc JHN = 90
0
do đó góc JNH = góc JHN suy ra tam giác INH cân tại J suy ra
JN = JH do vậy JH = JD nên J là trung điểm của DH
4) MN đi qua điểm cố định khi M di chuyển trên cung KB
Gọi Q là giao điểm của MN và AB; OJ cắt MN tại L
Ta chứng minh được MJ là tiếp tuyến của (O) suy ra MN vuông góc OJ do đó tam giác
OLQ đồng dạng với tam giác OCJ (g – g) suy ra
OL OQ
OC OJ
=
suy ra OL.OJ = OQ.OC. Theo
hệ thức lượng trong tam giác vuông OMJ ta có OL.OJ = OM
2
= R
2
(R là bán kính (O)) suy
ra OQ.OC = R

2
suy ra
2
R
OQ
OC
=
do O, C cố định R không đổi suy ra OQ không đổi suy ra
Q cố định vậy MN đi qua Q
Bài 37. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường
cao BD và CE cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại P và Q (P
≠
B, Q
≠
C).
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh HB.HP = HC.HQ.
c) Chứng minh OA vuông góc với DE.
b) Xét
∆
BHQ và
∆
CHP có :
·
·
BHQ CHP=
(đối đỉnh)
·
·
BQH CPH=

(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của đường tròn (O))
Nên
∆
BHQ đồng dạng với
∆
CHP (g-g)
Suy ra:
BH HQ
CH HP
=
Hay BH.HP = HC . HQ
c) Cách 1. Kẻ tiếp tuyến Ax. Ta có góc
·
·
AxC ABC=
( cùng chắn cung AC)
Mà
·
·
ABC ADE=
( tứ giác BEDC nội tiếp)
nên.
·
·
AxC ADE=
.
Mà hai góc ở vị trí so le trong
Suy ra Ax // DE.
Mà OA vuông góc Ax nên OA vuông góc DE.
Cách 2 Vẽ đường kính AJ của (O) cắt DE tại K ta có góc AJC = góc ABC = góc ADE suy

ra tam giác AKD đồng dạng với tam giác ACJ suy ra góc AKD = ẠC = 90
0
.
Bài 38. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao
AA’ và BB’ cắt nhau tại H. AO cắt đường tròn tại D.
a) Chứng minh tứ giác ABA’B’ nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi điểm M đối xứng với D qua AB, điểm N đối xứng với D qua AC. Chứng
minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
b) Ta có góc ABD = góc ACD = 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
H là trực tâm tam giác ABC do đó BD// HC; BH // DC (từ vuông góc đến song song)
suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành
c) Ta có tứ giác BHCD là hình bình hành nên BH//DC và BH = DC, mà N đối xứng
với D qua AC nên N đối xứng D qua C (AC vuông góc với DC) do đó BH // CN và
BH = CN suy ra tứ giác BHNC là hình bình hành suy ra NH//BC, chứng minh tương
tự ta có tứ giác BCHM là hình bình hành nên MH // BC suy ra qua điểm H có 2
đường thẳng là NH và MH cùng song song với BC nên M, H, N thẳng hàng.
Bài 39.
c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADO có:
OI.OD = OA
2
= R
2
(R là bán kính (O))
Theo câu b) ta có OH.OC=OI.OD nên OH.OC = R
2
= OM
2

OH OM
OM OC
⇒ =
.
Xét tam giác OHM và tam giác OMC có góc HOM chung và
OH OM
OM OC
=
nên tam giác
OHM đồng dạng với tam giác OMC do đó ta có góc OHM = góc OMC nên góc OMC = 90
0

do đó CM là tiếp tuyến (O)
d) Ta có góc OIC = góc OMC = 90
0
suy ra tứ giác OIMC nội tiếp do đó đường tròn ngoại
tiếp tứ giác OIMC là đường tròn ngoại tiếp tam giác OIM
Có góc OFC = góc OFD = 90
0
nên 3 điểm D, F, C thẳng hàng.
Suy ra OF vuông góc với DC. Xét tam giác ODC có CI và DH là đường cao nên E là trực
tâm suy ra OE vuông góc DC. Do đó qua điểm O có hai đường thẳng OE và OF cùng vuông
góc với DC nên O, E, F thẳng hàng.
Bài 40. Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ đường
cao AH của tam giác ABC, đường kính AD của đường tròn (O). Gọi E, F lần lượt là chân
đường vuông góc kẻ từ C và B xuống đường thẳng AD. Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp.
b) Chứng minh HE // BD
c) Chứng minh S

ABC
=
. .
4
AB AC BC
R
(S
ABC
là diện tích tam giác ABC)
b) Chứng minh được tứ giác AHEC nội tiếp
nên
·
·
=EHC EAC
(cùng chắn cung EC)
mà
· ·
=DBC DAC
(cùng chắn cung DC)
suy ra
· ·
=EHC DBC
vậy HE // BD
c) Ta có: S
ABC
=
1
.
2
AH BC

chứng minh được
∆
AHB
∆
ACD Do đó:
=
AH AB
AC AD
=> AH =
.AB AC
BD
vậy S
ABC
=
1 1 . 1 . . . .
. . . .
2 2 2 2 4
= = =
AB AC AB AC BC AB AC BC
AH BC BC
BD R R
M
O
A
B
C
D
F
E
H

Bài 41.
b)Cách 1. Kẻ đường cao BK, kẻ MI vuông góc với BK. Ta có tứ giác IMQK là hình chữ
nhật suy ra IK = MQ
Lại có IM//AC nên góc IMB = góc ACB = góc PBM suy ra tam giác BPM = tam giác IMB (
cạnh huyền – góc nhọn) suy ra BI = MP. Do đó MQ + MP = IK + BI = BK = AH (do tam
giác ABC đều)
Cách 2. Ta có
AMB AMC ABC
1 1 1
S S S AB.MP AC.MQ BC.AH
2 2 2
+ = ⇔ + =

Do AB = AC = BC suy ra
MP MQ AH+ =
c) Ta có tam giác APM và tam giác AHM là tam giác vuông nên PO và HO là đường trung
tuyến ứng cạnh huyền do đó PO = HO. Lại có góc POM = 2 góc MAB(góc ngoài tam giác),
góc HOM = 2 góc HAM nên góc POH = 2(góc MAB + góc HAM) = 2 gocsBAH = 60
0
. Suy
ra tam giác POH đều.
Tương tự tam giác OHQ đều suy ra OP = PH = OH = OQ = HQ do đó tứ giác OPHQ là hình
thoi suy ra OH vuông góc PQ.
Bài 42. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Hai đường tròn (B; BA) và (C;
CA) cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ đường thẳng a bất kì qua D cắt đường tròn
(B) tại M và cắt đường tròn (C) tại N ( D nằm giữa M và N). Tiếp tuyến tại M của
đường tròn (B) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (C) cắt nhau tại E.
1) Chứng minh BC là tia phân giác của
·
ABD

2) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: AD
2
= 4BI.CI
3) Chứng minh bốn điểm A, M, E, N cùng thuộc một đường tròn.
4) Chứng minh rằng số đo
·
MEN
không phụ thuộc vị trí của đường thẳng a.
A
B
C
D
a
M
N
E
I
b) Ta có: AB = BD (=bk(B))
CA = CD (=bk(C))
Suy ra: BC là trung trực của AD hay BC ⊥ AD ⇒AI⊥B
Ta lại có: BC ⊥ AD tại I ⇒ IA = ID (đlí)
Xét ∆ABC vuông tại A (gt) có: AI⊥BC, suy ra: AI
2
= BI.CI hay:
2
2
D
. D 4 .
4
A

BI CI A BI CI= ⇒ =
c) Ta có:
·
·
DME DAM
=
(hệ quả t/c góc tạo bởi tia tuyến và dây cung)
·
·
DNE DAN
=
(hệ quả t/c góc tạo bởi tia tuyến và dây cung)
Suy ra:
·
·
·
·
DME DNE DAM DAN+ = +
Trong ∆MNE có:
· ·
·
180
o
MEN EMN ENM+ + =
, suy ra:
·
·
·
180
o

MEN DAM DAN+ + =
Hay:
· ·
180
o
MEN MAN+ =
⇒ tứ giác AMEN nội tiếp.
d) Trong ∆AMN có:
·
·
·
180
o
MAN AMN ANM+ + =
, mà:
· ·
180
o
MEN MAN+ =
suy ra:
·
·
·
MEN AMN ANM= +
Ta lại có:
·
·
·
·
·

·
1 1
AC D, D
2 2
AND ACB AM ABC ABD
= = = =
(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn
một cung)
Mà: ∆ABC vuông tại A nên:
·
90
o
MEN
=
(không đổi)
Vậy số đo góc MEN không phụ thuộc vào đường thẳng a.
Bài 43. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Điểm M di chuyển trên nửa
đường tròn (M khác A và B). C là trung điểm của dây cung AM. Đường thẳng d là
tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B. Tia AM cắt d tại điểm N. Đường thẳng OC cắt d
tại E.
a) Chứng minh: tứ giác OCNB nội tiếp.
b) Chứng minh: AC.AN = AO.AB.
c) Chứng minh: NO vuông góc với AE.
Tìm vị trí điểm M sao cho (2.AM + AN) nhỏ nhất.
Bài 44. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C của (O)
cắt nhau tại D. Giải sử đường thẳng đi qua điểm D song song với AB cắt (O) tại E, F
và cắt AC tại I. Chứng minh rằng:
a) DC
2
=DE.DF

b) 4 điểm D, O, I, C cùng thuộc một đường tròn
c) I là trung điểm của EF.