Ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm môi trường nước (LV01180)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2




TRẦN THỊ THƢƠNG



ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
TRONG BÀI TOÁN Ô NHIỄM KHÔNG KHÍ
VÀ Ô NHIỄM MÔI TRƢỜNG NƢỚC


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng




HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo, đặc
biệt là Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng người đã định hướng chọn đề tài và tận tình
hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban lãnh đạo, các thầy cô
giáo, cán bộ, nhân viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả


Trần Thị Thương






Lời cam đoan

Qua một thời gian học tập và nghiên cứu luận văn này là kết quả của tôi đã
đạt được dưới sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình của Tiến sỹ Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn này tôi có tham khảo một số tài liệu
đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.

Tôi xin cam đoan nội dung đề tài “Ứng dụng của phương trình vi phân
và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm không khí và ô nhiễm
môi trường nước” không có sự trùng lặp với các đề tài khác.


Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả

Trần Thị Thương









MỤC LỤC

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu 1
Chƣơng1. Kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Phương trình vi phân thường 3
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 3
1.1.2. Phương trình Becnuli 4
1.1.3. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất
cấp n với hệ số là hằng số 5
1.2. Phương trình vi phân đạo hàm riêng 7

1.2.1. Các định nghĩa 7
1.2.2. Phương trình truyền nhiệt 8
1.3. Một số khái niệm cơ bản của mô hình hóa môi trường 10
Chƣơng 2. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo
hàm riêng trong giải bài toán ô nhiễm không khí 12
2.1. Mô hình hóa không khí theo phương pháp Gauss 12
2.1.1. Phương trình cơ bản để tính nồng độ chất ô nhiễm trong không khí 12
2.1.2. Mô hình Gauss tính toán lan truyền chất ô nhiễm không khí 18
2.1.3. Môt số bài toán về mô hình Gauss 26
2.2. Mô hình hóa không khí theo phương pháp Berliand 43
2.2.1. Sự phân bố chất ô nhiễm và phương trình toán học cơ bản 43
2.2.2. Công thức Berliand trong trường hợp chất khí và bụi nặng 45
2.2.3. Công thức Berliand trong trường hợp lặng gió 47


2.2.4. Một số bài toán về mô hình Berliand 48
Chƣơng 3. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình đạo
hàm riêng trong giải bài toán ô nhiễm nƣớc 63
3.1. Các định nghĩa 63
3.2. Mô hình Streeter – Phelps 64
3.2.1. Cách tiếp cận cân bằng vật chất 64
3.2.2. Độ thiếu hụt Oxy 65
3.2.3. Phương trình diễn tiến DO 67
3.3. Bài toán ứng dụng mô hình Streeter – Phelps 70
Kết luận 86
Tài liệu tham khảo 87

1



Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Ô nhiễm môi trường sống là vấn đề rất quan trọng mang tính chất toàn
cầu. Đặc biệt là ô nhiễm không khí. Những hậu quả của sự ô nhiễm mang lại cho
con người là rất nghiêm trọng.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu về phương trình vi phân và phương
trình đạo hàm riêng, qua quá trình tìm hiểu các bài toán thực tế tôi đã rằng đây là
một ngành có nhiều ứng dụng.
Đặc biệt là ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm
riêng để giải quyết bài toán ô nhiễm không khí và nước.
Với mong muốn đó, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của Tiến sỹ
Nguyễn Văn Hùng tôi đã mạnh dạn chọn và nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng của
phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng trong bài toán ô nhiễm
không khí và ô nhiễm môi trường nước”.
Luận văn tìm hiểu về:
Mô hình ô nhiễm không khí theo phương pháp Gauss và phương pháp Berliand.
Mô hình ô nhiễm nước theo Streeter – Phelps.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm
riêng trong vấn đề ô nhiễm không khí và ô nhiễm nước.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Mô hình ô nhiễm không khí theo phương pháp Gauss và phương pháp
Berliand.Mô hình chất lượng nước.
2

4. Đối tƣơng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phương trình vi phân vào các bài toán
về ô nhiễm không khí và chất lượng nước.
Phạm vi nghiên cứu: Phương trình vi phân, và ứng dụng của phương trình vi
phân vào các bài toán về ô nhiễm môi trường.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của phương trình vi phân.
Phương pháp nghiên cứu của khoa học môi trường.
6. Những đóng góp mới của luận văn
Trình bày một cách có hệ thống một số ứng dụng của phương trình vi
phân thông qua các mô hình toán học trong việc giải quyết các bài toán ô nhiễm
không khí và nước.












3

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Phƣơng trình vi phân thƣờng
1.1.1 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1
Định nghĩa.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng:

( ). ( )
dy
p x y q x
dx

(
   
,p x q x
là các hàm liên tục) (1.1)
Phương pháp giải.
Bước 1: Xét phương trình trình tuyến tính thuần nhất:

( ). 0
dy
p x y
dx

(1.2)
Trường hợp 1: y = 0 là nghiệm của (1.2)
Trường hợp 2: Xét y ≠ 0,(1.2)
()
( ).



    
p x dx
dy
p x y y e C
dx

Nghiệm
()p x dx
y e C



được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2)
Bước 2: Ta coi C = C(x) khi đó ta có:

( ) ( )
()
p x dx p x dx
y e C y e C x


  
(1.3)

 
( ) ( )
( ( ))
( ) ( )
p x dx p x dx
dy d C x

p x dx e C x e
dx dx



   

(1.4)

( ) ( )
( ( ))
( ) ( )
p x dx p x dx
dy d C x
p x e C x e
dx dx


   

Thay (1.3) và (1.4) vào (1.1) ta được:
4



( ) ( ) ( )
( ( ))
( ) ( ) ( ). ( ) ( )
  
  

   
p x dx p x dx p x dx
d C x
p x e C x e p x C x e q x
dx
( ) ( )
1
( ( ))
( ) ( ) ( )

    

p x dx p x dx
d C x
e q x C x e q x C
dx

Thay vào (1.4) ta được
( ) ( )
1
( ( ) ).
p x dx p x dx
y q x e C e




là nghiệm tổng
quát của phương trình (1.1).
1.1.2 Phƣơng trình Becnuli.

Định nghĩa. Phương trình Becnuli là phương trình có dạng:

( ). ( ).
dy
p x y q x y
dx


(1.5)
Phương pháp giải.
Trường hợp 1:
0


phương trình (1.5) là phương trình tuyến tính cấp 1.
Trường hợp 2:
1


phương trình (1.5) trở thành:

   
( ) ( ) ( ) ( )
dy dy
q x p x y q x p x dx
dx y
    

Đây là phương trình tuyến tính thuần nhất
Trường hợp 3:

0; 1



Giả sử y ≠ 0. Ta chia cả 2 vế cho
y

ta được
1
( ) ( )
dy y
p x q x
y dx y



Đặt

1
1
(1 ) (1 )
  



  


      
dz dy dy

z y y y y
dx dx y dx

Phương trình (1.5) trở thành :

1
( ). ( )
1






dz
p x z q x
dx
(1.6)
Phương trình (1.6) là phương trình tuyến tính cấp một.
5



1.1.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất cấp
n với hệ số là hằng số
* Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng số
Định nghĩa. Là phương trình có dạng:

 
( ) ( 1)

10
0,
nn
ni
y a y a y a const


    
(1.7)
Phương pháp giải.
Xét phương trình
1
10
0
nn
n
k a k a


   
(1.8)
Phương trình (1.8) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.7). Ta
đi giải (1.8) trên trường số phức. Giả sử trên trường này phương trình (1.8) có n
nghiệm
1 2 n
, , ,k k k

Trường hợp 1:
1 2 n i j
, , , , k k i j   k k k R

Các nghiệm riêng của phương trình (1.7) là:
12
12
, , ,  
n
kx
k x k x
n
y e y e y e


1


j
n
kx
j
j
y c e
là nghiệm tổng quát của phương trình (1.7).
Trường hợp 2: Phương trình (1.8) có một nghiệm k
j
nào đó là nghiệm thực
bội s (s

1). Ứng với các k
j
ta có các nghiệm riêng của (1.7) như sau:

1
11
, , ,
j j j
k x k x k x
s
j j j s
y e y xe y x e

  
  

Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.7).
Trường hợp 3: Phương trình (1.8) có một nghiệm k
j
nào đó là nghiệm
phức
j j j
ki


. Khi đó ứng với các k
j
ta có các nghiệm riêng của phương
trình (1.7) như sau:
1
cos , sin
jj
xx
j j j j

y e x y e x




.
6



Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.7).
Trường hợp 4: Phương trình (1.8) có một
j j j
ki


nào đó là nghiệm
phức bội s (
1s 
).
Ứng với các k
j
ta có các nghiệm riêng của phương trình (1.7) như sau:
1
11
1
11
cos , cos , , cos
sin , sin , , sin
j j j

j j j
x x x
s
j j j j j s j
x x x
s
j j j j j s j
y e x y xe x y x e x
y e x y xe x y x e x
  
  
  
  

  

  
  
  

Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1.7)
* Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n với hệ số hằng số
Định nghĩa. Là phương trình có dạng:

   
 
1
1 1 0
 , s
nn

ni
y a y a y a y f x a con t



     
(1.9)
Phương pháp giải.
Xét phương trình đặc trưng của (1.7) là
1
10
0
nn
n
k a k a


   

Để tìm nghiệm tổng quát của (1.9) ta tìm một nghiệm riêng y* của phương trình
(1.9) như sau:
Trường hợp 1: Nếu f(x) có dạng
( ) ( )
x
n
f x e P x



Nếu


không là nghiệm đặc trưng của phương trình (1.8) thì y* có dạng:
*
()
x
n
y e P x


; trong đó
()
n
Px
là đa thức bậc n.
Nếu

là nghiệm bội s (
1s 
) của phương trình đặc trưng (1.8) thì y* có
dạng:
*
()
sx
n
y x e P x



Trường hợp 2: Nếu f(x) có dạng:
( ) ( ( )cos ( )sin )

x
nn
f x e P x x Q x x




7



Nếu
i


không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.8) thì y* có
dạng:
*
( ( )cos ( ) sin )
x
nn
y e P x x Q x x




Nếu
i



là nghiệm bội (s

1) của phương trình đặc trưng (1.8) thì y
*
có
dạng:
 
* ( )cos ( ) ( )sin ( )
sx
nn
y x e P x x Q x x




1.2 Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng
1.2.1 Các định nghĩa
Phương trình đạo hàm riêng cấp k đối với hàm phải tìm có dạng:
22
2
12
1 2 1 1 2 1
, , , , , , , , , , , , 0
kk
kk
n
nn
u u u u u u u
F x x x
x x x x x x x x


      


       


Trong đó:
 
12
, , ,
n
u u x x x
là nghiệm của hàm cần tìm.
F là hàm nhiều biến,
 
1 2 n
, x , ,
n
x x x  
;
Cấp của phương trình đạo hàm riêng là bậc cao nhất của các đạo hàm riêng
có trong phương trình.
Phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng:

     
12
12
12
, , ,

0
, , ,
1


n
n
n
n
k
m
k k k
k
k
k k k
n
k k k m
u
Lu a x u a x b x
xx
   

  



Phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính thuần nhất nếu Lu = 0
Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng là hàm mà khi thay nó
cho giá trị của ẩn hàm trong phương trình ta nhận được đồng nhất thức.

8



1.2.2 Phƣơng trình truyền nhiệt
Phương trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hướng không thuần nhất có
dạng:
 
, , , 0
u u u u
k k k F x y z t
t x x y y z z

     
      
    
     
      
     
(1.10)
Trong đó:
Hàm
 
, , ,u u x y z t
là nhiệt độ của vật thể rắn tại
 
,,x y z
và thời điểm t.
V là thể tích vật thể giới hạn bởi mặt kín trơn S.
 

,,x y z

là nhiệt dung.
 
,,x y z

là tỷ khối của thế vật thể tại
 
,,x y z
.
 
, , ,F x y z t
là mật độ nguồn nhiệt trong vật thể tại
 
,,x y z
và tại thời điểm t
( Nhiệt lượng tỏa ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích và đơn vị thời gian).
k >0 là hệ số truyền nhiệt phụ thuộc vào
 
,,x y z
.
Với vật thể thuần nhất thì γ, ρ, k là hằng số và phương trình trên trở thành:

 
2 2 2
2
2 2 2
, , ,
u u u u
a f x y z t

t x y z

   
   

   

(1.11)

 
 
, , ,
; , , ,
F x y z t
k
a f x y z t
 


9



Nếu trong vật thể không có nguồn nhiệt nghĩa là
 
, , , 0F x y z t 
, phương
trình (1.11) trở thành:
2 2 2
2

2 2 2
u u u u
a
t x y z

   
  

   

(1.12)
Nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc x, y, t chẳng hạn xét sự truyền nhiệt trong bản
phẳng mỏng thì (1.12) sẽ là:
22
2
22
u u u
a
t x y

  


  

(1.13)
Nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc x, t chẳng hạn xét sự truyền nhiệt trong thanh
thẳng, mỏng thì (1.13) sẽ là:
2
2

2
uu
a
tx




Điều kiện đầu của phương trình truyền nhiệt chỉ rõ sự phân bố nhiệt độ tại
thời điểm đầu t = 0:
   
, , ,0 , ,u x y z x y z



Điều kiện biên của phương trình truyền nhiệt chỉ rõ chế độ trên biên:

 
 
 
, , S
, , , , , ,
x y z
u x y z t x y z t




Điều kiện hỗn hợp là bao gồm cả điều kiện đầu lẫn điều kiện biên
Phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng và không có

nguồn nhiệt có dạng:
2 2 2
2
2 2 2
u u u u
a
t x y z

   
  

   


Giả sử sau một thời gian nào đấy, nhiệt độ trong môi trường ổn định,
nghĩa là
 
, , ,u x y z t
không phụ thuộc thời gian, tức ta có
0
u
t




Khi đó ta có phương trình Laplace sau:
2 2 2
2 2 2
0

u u u
x y z
  
  
  

10



1.3 Một số khái niệm cơ bản của mô hình hóa môi trƣờng
Các thành phần trong quá trình mô hình hóa môi trường bao gồm.
* Biến trạng thái
Là biến mô tả tình trạng của hệ sinh thái. Việc lựa chọn biến trạng thái cho
cấu trúc của mô hình là rất quan trọng và phụ thuộc vào mục tiêu. Thí dụ, nếu
chúng ta muốn mô hình hóa sự tích lũy sinh học của độc chất, khi đó cần lấy các
biến trạng thái là các sinh vật trong các chuỗi thức ăn quan trọng và nồng độ các
chất độc trong cơ thể sinh vật.
* Hàm điều khiển
Là hàm số của các biến đặc tính bên ngoài có ảnh hưởng đến tình trạng
của hệ sinh thái. Nếu hàm điều khiển nằm trong tầm kiểm soát thì được gọi là
hàm kiểm soát.
Ví dụ, trong các mô hình độc học sinh thái, các hàm kiểm soát là các chất
độc đầu vào hệ sinh thái. Trong mô hình phú dưỡng thì hàm kiểm soát là các
chất dinh dưỡng đầu vào. Những hàm điều khiển khác cần chú ý là các biến khí
hậu có ảnh hưởng đến thành phần hữu sinh và vô sinh cũng như đến tỷ lệ các quá
trình xảy ra trong một hệ sinh thái. Đây là hàm điều khiển nhưng không phải là
các hàm kiểm soát.
* Phương trình toán học
Phương trình toán được sử dụng để biểu diễn các quá trình sinh học, hóa

học và vật lý. Chúng mô tả mối quan hệ giữa hàm điều khiển và biến trạng thái.
Cùng một quá trình có thể có tìm thấy trong nhiều ngữ cảnh môi trường khác
nhau, điều này có nghĩa là cùng một phương trình có thể được sử dụng trong
nhiều mô hình khác nhau. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là cùng một quá
11



trình sẽ luôn luôn được biểu diễn bằng cùng một phương trình. Quá trình đang
xét có thể được mô tả tốt hơn khi sử dụng phương trình toán có lưu ý tới ảnh
hưởng của các nhân tố cụ thể. Thứ hai, mức độ chi tiết cần phải có trong mô hình
có thể là khác nhau trong các trường hợp khác nhau, điều này phụ thuộc vào sự
khác biệt về tính phức tạp của hệ thống hay của bài toán.
* Các tham số
Là các hệ số trong các phương trình toán biểu diễn quá trình. Chúng có thể
được xem là hằng số đối với một hệ sinh thái đặc biệt hoặc một phần của hệ sinh
thái. Tuy nhiên kiến thức về các tham số còn hạn chế, là một trong những điểm
yếu nhất trong quá trình mô hình hóa. Hơn nữa, việc áp dụng các tham số là
hằng số trong các mô hình môi trường là không thực tế do có rất nhiều phản ứng
trong một hệ sinh thái thực. Tính thường xuyên thay đổi của một hệ sinh thái
mâu thuẫn với việc áp dụng các thông số là hằng số cho các mô hình.
* Các hằng số
Thí dụ như hằng số khí và trọng lượng nguyên tử, cũng được sử dụng
trong hầu hết các mô hình.

12



CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN Ô
NHIỄM KHÔNG KHÍ
2.1 Mô hình hóa không khí theo phƣơng pháp Gauss
2.1.1 Phƣơng trình cơ bản để tính nồng độ chất ô nhiễm trong không khí
Khi mô tả quá trình khuyếch tán chất ô nhiễm trong không khí bằng mô
hình toán học thì mức độ ô nhiễm không khí thường được đặc trưng bằng trị số
nồng độ chất ô nhiễm phân bố trong không gian và biến đổi theo thời gian.
Trong trường hợp tổng quát, trị số trung bình của nồng độ ô nhiễm trong
không khí phân bố theo thời gian và không gian được mô tả từ phương trình
chuyển tải vật chất (hay là phương trình truyền nhiệt) có biến đổi hoá học đầy đủ
như sau:



         
   
      
   

         
   


  


x y z
c
C C C C C C C
u v w k k k
t x y z x x y y z z
C
C C w
z

(2.1)
Trong đó:
 
,,C x y z
: Nồng độ chất ô nhiễm trong không khí,
 
3
,,x y z 

t: Thời gian.
,,
x y z
k k k
: Các thành phần của hệ số khuyếch tán rối theo các trục Ox, Oy, Oz.
, ,wuv
: Các thành phần vận tốc gió theo trục Ox, Oy, Oz.
w
c
: Vận tốc lắng đọng của các chất ô nhiễm
13


: Hệ số liên kết của chất ô nhiễm với các phần tử khác của môi trường không
khí.

: Hệ số biến đổi chất ô nhiễm thành các chất khác do những quá trình phản
ứng hoá học xảy ra trên đường lan truyền.
Tuy nhiên phương trình (2.1) rất phức tạp nó là hình thức mô phỏng sự lan
truyền ô nhiễm. Thực tế để giải phương trình này người ta phải tiến hành đơn
giản hoá trên cơ sở thừa nhận 1 số điều kiện gần đúng bằng cách đưa ra các giả
thuyết phù hợp với điều kiện cụ thể sau:
Nếu hướng gió trùng với trục Ox thì thành phần tốc độ gió chiếu lên trục
Oy sẽ bằng 0, có nghĩa là v = 0.
Tốc độ gió thẳng đứng thường nhỏ hơn rất nhiều so với tốc độ gió nên có
thể bỏ qua, có nghĩa là w = 0. Trong nhiều trường hợp, nếu xét bụi nhẹ thì Ws =
0 (trong trường hợp bụi nặng thì lúc đó ta sẽ cho w
s
 0).
Nếu bỏ qua hiện tượng biến đổi hoá học (chuyển pha) của chất ô nhiễm
cũng như không xét đến chất ô nhiễm được bổ sung trong quá trình khuyếch tán
thì
0


.
Như vậy sau các giả thiết và chấp nhận 1 số điều kiện gần đúng thì
phương trình (2.1) được viết dưới dạng là:


     

  


     


yz
C C C C
u k k
t x y y z z
(2.2)
Nếu giả sử rằng các hệ số
,
yz
kk
là không đổi thì phương trình (2.2) được
viết lại là :
22
22
   
  
   
yz
C C C C
u k k
t x y z
(2.3)

14



Trong trường hợp không tính đến thành phần phi tuyến


C
u
x
thì phương
trình (2.3) được viết là:
22
22
  

  
yz
C C C
kk
t y z
(2.4)
Phương trình (2.4) là phương trình truyền nhiệt 2 chiều. Tuỳ theo điều
kiện ban đầu và điều kiện biên mà ta có các nghiệm giải tích khác nhau.
Để tìm nghiệm giải tích phương trình (2.4), ta xét bài toán truyền nhiệt 1
chiều sau:

2
2
2




uu
a
tx

  x
, t = 0 (2.5)
Điều kiện ban đầu:
   
,u x t x


,
 

x
: là một hàm liên tục
Đặt
     
, t X tu x x T


   


  

u

X t T t XT
t


   

  
   

2
2
uu
T x X t TX TX
xx

Thay vào phương trình (2.5) ta được:
2
 
XT a X T

Hay
2
2

 
   
XT
const
X a T
(2.6) (6)

Suy ra
2
0XX



(2.7)

22
0


T a T
(2.8) (7
(2.8)

Giải phương trình (2.7)

15



Phương trình đặc trưng:


    
22
0k k i

(8)

Nghiệm của phương trình (2.7) là
1 1 2 2
,



i x i x
X Ce X C e

Giải phương trình (2.8)

22
2 2 2 2
2 2 2 2
3
0
ln





    
       

at
dT
T a T a
T

dT
a T a t T C e
T

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.5) là:

   
22
,,





a t i x
u x t A e
Nghiệm của phương trình (8)
22
3



at
T C e

Do
  x
nên ta được hàm số:
   
22

,







a t i x
u x t A e d
(2.9) (9)
Nếu các đạo hàm của phương trình (2.5) có thể tính được bằng cách vi
phân hàm dưới dấu tích phân (2.9) thì có nghĩa phương trình (2.9) sẽ thoả mãn
phương trình (2.5) hay phương trình (2.9) sẽ là nghiệm của phương trình (2.5).
Điều kiện ban đầu t = 0 :
   
,0
ix
u x A e d







Đặt:
   
ix
x A e d


  





Tính tích phân Fourier ngược ứng với hàm số
 
x

ta được:
   
1
2
i
A e d

   






( tức là
 
1
FA




) (2.10)
16



Thay (2.10) vào (2.9) ta được:
   
22
1
,
2
  
   

 
  
 





i a t i x
u x t e d e d


 
 

 
22
1
2
  
   

 
  
 


a t i x
e d d

Tích phân
 
 
2
22
2
4
2
11
2
2

  






  



x
a t i x
at
I e d e
at


 
 
 
2
2
4
2
1
,
2

  







x
at
u x t e d
at
(2.11) (13)
Đặt
 
 
     
2
2
4
2
1
, , , , ,
2

    




  

x
at
G x t e u x t G x t d
at

(2.12)
Hàm số
( , , )

G x t
được gọi là nghiệm cơ sở của phương trình truyền nhiệt.
Hàm số này thoả mãn phương trình truyền nhiệt 1 chiều (2.5) theo các biến (x, t):
Thật vậy.
Xét hàm
( , , )

G x t

 
 
 
22
22
44
32
22
2
1

2
4
2





   

   
xx
a t a t
x
xx
G e e
a t a t
at

 
 
 
 
 
 
22
22
22
44
3 2 5 2
2
22
22
1 1 1
1
2
42

24
xx
a t a t
xx
xx
G e e
at
a t a t
a t a t



   
   



     



   

 
 
 
 
2
2
2

2
2
4
3 2 5 2
22
1
2
24






  



x
at
t
ax
a
Ge
a t a t

Vậy
2

t xx

G a G

17



Trở lại với phương trình lan truyền ô nhiễm 1 chiều (2.5) được viết lại với
nguồn thải Q tại x = 0 :
2
2



x
CC
k
tx
(2.13) (15)
Đặt
2

x
ak
thì nghiệm của phương trình (2.13) được viết lại là:

 
22
44
12
,

22



xx
xx
tk tk
xx
QQ
C x t e e
k t tk
(16)
Đây là nghiệm của bài toán lan truyền ô nhiễm một chiều với nguồn thải Q.
Khi
x
thì
0C
( Nồng độ ô nhiễm tại một điểm càng giảm khi điểm càng
tiến xa khỏi chân nguồn thải).
Đối với bài toán 2 chiều ta có phương trình tương tự:

 
 
 
22
1
4
12
,,
4





  





xy
xy
t k k
xy
Q
C x y t e
t k k

(2.14)
Đối với bài toán 3 chiều ta có:

 
 
 
2 2 2
1
4
12
32
, , ,

8



  
  





x y z
x y z
t k k k
x y z
Q
C x y z t e
t k k k
(2.15)

Q – lượng phát thải chất ô nhiễm tại nguồn điểm tức thời có đơn vị là g hoặc kg.






18

2.1.2 Mô hình Gauss tính toán lan truyền chất ô nhiễm trong không khí










Hình 2.1. Hệ trục tọa độ trong mô hình Gauss
* Công thức cơ sở
Lượng chất ô nhiễm trong luồng khói có thể được xem như tổng hợp của
vô số khói phụt tức thời, những khối phụt đó được gió mang đi và dần dần nở
rộng ra.
Khí ra xa ống khói giống như một ổ bánh mì được cắt ra thành nhiều lát mỏng và
xếp chồng kề mép lên nhau (hình 2.2).
Lượng chất ô nhiễm trong từng lát mỏng trong luồng khói có thể được
xem như nhau, tức là bỏ qua sự trao đổi chất từ lát này sang lát nọ kế bên trên
trục x. Từ cách lập luận đó, bài toán lan truyền chất ô nhiễm ở đây là bài toán hai
chiều và do đó ta chọn công thức (2.14) để áp dụng cho trường hợp này.
x
x+x
O
z
y
x
h

h

19



Nếu ta thiết lập sự cân bằng vật chất trong từng “lát” khói có bề dày 1m
theo chiều x và các chiều y, z là vô cực khi các lát khói chuyển động cùng với
vận tốc gió u thì thời gian để từng lát đi qua khỏi ống khói là
1m
u












Hình 2.2. Biểu đồ luồng khói bằng các khối phụt tức thời và liên tục
Suy ra lượng chất ô nhiễm chứa trong “lát” khói sẽ là :
/Q M u


Bài toán hai chiều 2 chiều y và z trong công thức (2.14) là:

 
 
   
2 2 2 2
11
44
1 2 1 2
,,
44

   
   
   
     
   
   
   
   

y z y z
y z y z
t k k t k k
y z y z
QM
C y z t e e
t k k ut k k
(2.16)
Đặt :
22
0,5 , 0,5 ,


  
y y z z
u u x
k k t
x x u
(2.17) (20 (21) (22)
c)
d)
a
a)
b
b)
c)
d)
a
a)
b
b)
20



Trong đó
,

yz
- được gọi là hệ số khuyếch tán theo phương ngang và phương
đứng.
Thay (2.17) vào (2.16) ta được:

22
2
2
22
2
2
22
2
2
22



     




  











     

yz
y
z
yz
y
z
y z y z
MM
C e e e
uu
(2.18)
Công thức (2.18) được gọi là “mô hình Gauss” cơ sở
Công thức (2.18) còn có thể diễn giải bằng phương pháp phân tích thứ
nguyên như sau:
Từ miệng ống khói chất ô nhiễm được gió mang đi theo trục x trùng với
hướng gió với vận tốc bằng vận tốc gió u (m/s) (hình 2.1). Nếu lượng phát thải
chất ô nhiễm M (g/s) là không đổi theo thời gian thì mật độ của chất ô nhiễm
trên tất cả các mặt cắt trực giao với trục gió (cũng là trục luồng khói) sẽ bằng
 
/
M
gm
u

Cường độ phát thải M = 4 đơn vị/s
u = 1 m/s u = 4 m/s u = 4 m/s

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
Hình 2.3. Khoảng cách dọc theo trục gió (x (m))
Nếu giả thiết chất ô nhiễm không có phản ứng hoá học với không khí
xung quanh tức là không sản sinh ra cũng như không phân huỷ đi, thì mật độ