Rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số luận văn ths giáo dục học

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC




VŨ THỊ THÙY HƯƠNG



RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ





LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN







HÀ NỘI – 2015

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



VŨ THỊ THÙY HƯƠNG



RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ


LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học (bộ môn Toán)
Mã số: 60 14 01 11



Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. VŨ ĐÌNH HÒA



HÀ NỘI – 2015

3
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo
trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình, tận tâm
giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Hoàn thành luận văn tại trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia
Hà Nội dưới sự tận tình hướng dẫn khoa học của PGS. TSKH. Vũ Đình Hòa.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã giúp đỡ ,
chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi nghiên cứu và hoàn chỉnh luận
văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và
các em học sinh trường THPT Hồng Quang, THPT Thành Đông – Hải Dương
đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Lời cảm ơn chân thành của tôi cũng xin được dành cho người thân, gia
đình và bạn bè, đặc biệt là lớp Cao học Toán K7, K8 trường Đại học Giáo
dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã động viên tác tôi trong suốt thời gian qua.

Xin chân thành cảm ơn!
Hải Dương, ngày 25 tháng 11 năm 2014
Tác giả



Vũ Thị Thùy Hương

4
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

CĐ Cao đẳng
ĐH Đại học
ĐK Điều kiện
ĐC Đối chứng
HS Học sinh
HSG Học sinh giỏi
TN Thực nghiệm
TB Trung bình
THPT Trung học phổ thông
















5
MỤC LỤC

Lời cảm ơn……. i

Danh mục chữ viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục bảng vi

Danh mục biểu đồ vii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán 7

1.1.1. Khái niệm kĩ năng 7

1.1.2. Kĩ năng giải toán 8

1.1.3. Phân loại kĩ năng trong môn Toán 8

1.1.4. Sự hình thành của kĩ năng giải toán 9

1.1.5. Điều kiện để có kĩ năng 10

1.1.6. Các mức độ của kĩ năng giải toán 10

1.1.7. Vai trò của kĩ năng giải toán 11

1.1.8. Mối quan hệ giữa kĩ năng và năng lực 12

1.2. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 13

1.2.1. Mục tiêu dạy môn Toán

13

1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT

14

1.3. Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập toán

14

1.3.1. Vị trí và vai trò của bài tập toán 14

1.3.2. Ý nghĩa của bài tập toán 15

1.3.3. Chức năngcủa bài tập toán 15

1.4. Thực tiễn dạy học giải các bài toán phương trình và bất phương trình
bằng phương pháp hàm số

16

1.4.1. Thực trạng việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương

trình bằng phương pháp hàm số ở trường THPT Thành Đông và trường
THPT Hồng Quang – Thành phố Hải Dương


16

1.4.2. Những khó khăn và sai lầm của học sinh trong giải phương trình và




6
bất phương trình 17

Chương 2. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RÈN LUYỆN KĨ
NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ………………………………… ………….


21

2.1. Nội dung phần giải phương trình và bất phương trình bằng phương
pháp hàm số ở THPT

21

2.1.1. Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải phương trình và bất phương
trình bằng phương pháp hàm số ở THPT

21

2.1.2. Nội dung học sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và
hệ phương trình ở THPT


22

2.2. Phân tích cơ sở lí thuyết giải phương trình và bất phương trình bằng
phương pháp hàm số

22

2.2.1. Dấu hiệu của đạo hàm về tính đơn điệu của hàm số 22

2.2.2. Dấu hiệu của đạo hàm về sự tồn tại nghiệm của phương trình 23

2.2.3. Các kết quả giải toán

23

2.3. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương
trình sử dụng phương pháp hàm số

24

2.3.1. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình đại số và
phương trình vô tỉ

24

2.3.2. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình lượng giác

38

2.3.3. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình mũ và
lôgarit


51

2.3.4. Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình

69

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 87

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 87

3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm

87

3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 87

3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm 87

3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm 88

3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm

88

3.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm 89




7
3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm 89

3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm 90

3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

90

3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm

96

3.6. Tổng kết 106

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 107

1. Kết luận 107

2. Khuyến nghị 107

TÀI LIỆU THAM KHẢO 108

PHỤ LỤC 110





8
DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1. Thống kê kết quả của bài kiểm tra số1

97
Bảng 3.2. Kết quả xử lý để tính các tham số của bài kiểm tra số 1

97
Bảng 3.3. Các tham số đặc trưng của bài khiểm tra số 1

98
Bảng 3.4. Tần suất và tần suất tích lũy bài của bài kiểm tra số 1

98
Bảng 3.5. Thống kê kết quả bài kiểm tra của bài kiểm tra số 2

101
Bảng 3.6. Kết quả xử lý để tính các tham số của bài kiểm tra số 2

101
Bảng 3.7. Các tham số đặc trưng của bài kiểm tra số 2

101

Bảng 3.8. Tần suất và tần suất tích lũy của bài kiểm tra số 2

102






















9

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ tần suất của bài kiểm tra số 1 99

Biểu đồ 3.2. Biểu đồ tần suất tích lũy của bài kiểm tra số 1 99
Biểu đồ 3.3. Biểu đồ tần suất của bài kiểm tra số 2 103
Biểu đồ 3.4. Biểu đồ tần suất tích lũy của bài kiểm tra số 2 103























MỞ ĐẦU

10
1. Lí do chọn đề tài
Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rất quan
trọng vì Toán học là công cụ ở nhiều môn học khác. Môn Toán có khả năng to lớn
giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh óc tư
duy trừu tượng, tư duy chính xác, và tư duy lôgic. Qua đó có tác dụng lớn trong
việc rèn luyện cho học sinh tính tư duy lôgic. Trong những năm gần đây, đổi mới
giáo dục là một đề tài được cả xã hội quan tâm và theo dõi sự chuyển biến của nó,
Đảng và Nhà nước đã đề ra nhiều chủ trương, chính sách nhằm phát triển giáo dục
với mục tiêu là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩm
chất tốt, có trình độ thẩm mĩ và lòng yêu nghề nghiệp, đáp ứng yêu cầu của sự
nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc trong thời kì mới.
Điều 28 khoản 2 của Luật Giáo dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc
theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản
Việt Nam khóa VII đã chỉ rõ nhiệm vụ quan trọng của ngành Giáo dục và Đào tạo
là “Phải khuyến khích học sinh tự học, phải áp dụng những phương pháp dạy học
hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải
quyết vấn đề.”
Với mục tiêu đó thì đổi mới phương pháp dạy và học giáo dục diễn ra sâu
rộng ở tất cả các bậc học và cấp học. Từ đó đặt ra nhiệm vụ cho người giáo viên là
phải rèn kĩ năng giải toán cho học sinh. Nếu học sinh không có kĩ năng giải toán thì
bản thân họ sẽ không có năng lực thực hành. Trong dạy học ở trường THPT, môn
Toán được coi là một trong những môn học giúp phát triển trí tuệ và tư duy lôgic
cho học sinh. Hoạt động giải toán là cơ hội tốt để học sinh được bộc lộ và phát triển
khả năng sáng tạo qua quá trình đem những tri thức Toán học đã được trang bị vào
giải các bài toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn liên quan tới Toán

học.



11
Việc học tập môn Toán được diễn ra trong nhà trường phổ thông chủ yếu là
hoạt động giải toán. Trong quá trình đi tìm tòi lời giải cho bài toán và trình bày lời
giải đó, học sinh thường mắc một số sai lầm và lúng túng không biết sai lầm từ đâu
khi giáo viên chưa nhấn mạnh đến việc khắc phục sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải
toán cho học sinh. Trên thực tế số lượng các bài tập của từng chương, từng chuyên
đề cũng rất nhiều. Trong quá trình học tập học sinh không thể giải từng bài một mà
phải học các dạng bài tập lớn, mỗi dạng bài tập lớn đó đều có phương pháp và kĩ
năng giải khác nhau, đặc biệt là các dạng bài toán về phương trình và bất phương
trình. Qua thực tế dạy học ở THPT tôi nhận thấy học sinh thường mắc một số sai
lầm trong lập luận trình bày và đa số các em học sinh đều chưa có kĩ năng thành
thạo để giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số. Hơn nữa
trong những năm gần đây các đề thi Cao đẳng, Đại học, thi học sinh giỏi các cấp
luôn luôn có dạng bài tập về phương trình và bất phương trình, trong đó có rất
nhiều bài tập được giải bằng phương pháp hàm số. Từ những kinh nghiệm qua
giảng dạy nghiên cứu các mảng chuyên đề toán học của THPT, tôi đã đề xuất
phương pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình bằng
phương pháp hàm số.
Chính vì những lí do trên nên chúng tôi chọn tên đề tài là: “Rèn luyện kĩ năng
giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Ở nước ta có nhiều nhà tài liệu sách tham khảo viết về sử dụng phương pháp
hàm số để giải phương trình, bất phương trình như:
+ Ôn luyện thi cấp tốc môn Toán theo chuyên đề của nhóm tác giả Phạm Hồng
Danh, Nguyễn Phú Khánh, Trần Văn Toàn và Nguyễn Tất Thu [7].
+ Tạp chí toán học tuổi trẻ có các bài viết của tác giả Lê Hồ Quý [23].

+ Tài liệu tự chọn môn Toán lớp 12 THPT (Tài liệu thí điểm) của nhóm tác giả
Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Duy Điển, Nguyễn Doãn Tuấn, Phan Thị Luyến [6].
+ Phương pháp khảo sát hàm số của nhóm tác giả Nguyễn Đức Đồng, Lê Hoàn
Hóa, Võ Khắc Thường, Lê Quang Tuấn và Nguyễn Văn Vĩnh [9].
+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích lớp 12 của nhóm tác giả Nguyễn Huy
Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng và Đoàn Quỳnh [8].



12
+ Bài giảng luyện thi môn Toán tập 2 của nhóm tác giả Phan Đức Chính, Vũ Dương
Thụy, Đào Tam và Lê Thống Nhất [4] .
+ Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán tập 1, tập 2 của tác giả Trần Phương [20,
21].
Ngoài ra, theo các tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim, Bùi Văn
Nghị [15, 16, 17, 18, 24], … cũng đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kĩ năng giải
toán cho học sinh trong dạy học môn Toán. Tuy những nghiên cứu đó về vấn đề rèn
luyện kĩ năng giải toán cho học sinh mới chỉ là lí luận nhưng đã có những gợi mở
quan trọng cho tôi trong quá trình thực hiện đề tài.
Bên cạnh đó cũng có một số Luận văn, Khóa luận nghiên cứu về vấn đề rèn
luyện kĩ năng giải toán cho học sinh nhưng chủ yếu là thông qua các nội dung Toán
học như đạo hàm, tích phân, phép biến hình, phương pháp vectơ, … Và cũng có
một số Luận văn nghiên cứu về việc rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua nội dung
phương trình và bất phương trình, nhưng chưa có luận văn nào nghiên cứu về việc
rèn luyện kĩ năng sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và bất phương
trình.
Trên cơ sở lí thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực trạng
dạy học “Phương trình và bất phương trình” ở một số trường trung học phổ thông
trong giai đoạn hiện nay thì với Luận văn này, xin được trình bày một vấn đề rất
hẹp và cụ thể là: vận dụng lí luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kĩ năng

giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số nhằm nâng cao
chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
3.1 Mục đích nghiên cứu
- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực tạo điều kiện thuận lợi
cho công tác dạy học.
- Giúp cho học sinh rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp dạng toán về phương
trình và bất phương trình. Từ đó phát triển tư duy lôgic, khái quát hoá vấn đề.
- Tìm kiếm biện pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình.
- Rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động trí tuệ và tính sáng tạo của người lao
động nhằm phát triển toàn diện trong tương lai.



13
3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống đầy đủ và phân loại các dạng bài tập hay gặp trong các đề thi ĐH, HSG
liên quan đến chủ đề phương trình và bất phương trình khó phù hợp với từng trình
độ phát triển tư duy của học sinh.
- Thông qua các bài tập cụ thể chỉ ra cách thức tổng quát để áp dụng cho các bài
toán tương tự.
- Qua việc phân lớp các dạng bài tập có đưa ra hệ thống các bài tập tự luyện và mở
rộng chúng để học sinh rèn luyện kĩ năng giải.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi về thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 8/2014 đến nay,
cùng với 12 năm kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Thành Đông và trường
THPT Hồng Quang – Thành phố Hải Dương – Tỉnh Hải Dương.
- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kĩ năng giải các bài tập về phương
trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số cho học sinh THPT.
5. Mẫu khảo sát

Giáo viên tổ Toán, các em học sinh lớp 12A, 12B trường THPT Thành Đông
và 12B, 12C trường THPT Hồng Quang, tỉnh Hải Dương năm học năm học 2014-
2015.
6. Vấn đề nghiên cứu
Rèn luyện kĩ năng, nâng cao tư duy giải phương trình và bất phương trình
bằng phương pháp hàm số.
7. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sơ lí luận của phương pháp dạy học môn Toán và thực tiễn dạy học
về phương trình, bất phương trình, nếu khai thác và vận dụng thành thạo phương
pháp hàm số để giải phương trình và bất phương trình thì sẽ phát huy được khả
năng phát hiện tìm lời giải, phân tích bài tập, hệ thống dạng toán, phát huy tính tích
cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc học tập.
8. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về
lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến
môn học.



14
- Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kĩ năng giải toán
cho học sinh khi dạy học về phương trình, bất phương trình và ứng dụng của hàm số
ở trung học phổ thông ; chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm.
- Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên
môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn
học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện
kĩ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy của các giáo viên. Ngoài ra
còn trao đổi trực tiếp với học sinh để nắm được trình độ khả năng tiếp thu và khả
năng vận dụng các phương pháp mới.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại

trường THPT Thành Đông và trường THPT Hồng Quang tỉnh Hải Dương; cung cấp
bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê toán học: Xử lí các số liệu thu được sau khi điều
tra.
9. Những đóng góp của Luận văn
- Hệ thống và phân loại các dạng phương trình và bất phương trình thường
gặp ở THPT.
- Cung cấp cho học sinh cơ sở lí thuyết về hàm số, nghiệm của phương trình,
nghiệm của bất phương trình và các kĩ thuật trình bày lời giải của phương trình và
bất phương trình được giải theo phương pháp hàm số.
- Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi ĐH – CĐ và thi HSG
những năm gần đây.
- Giúp cho các em học sinh rèn kĩ năng giải toán và giáo viên có thêm nhiều
kinh nghiệm trong dạy học .
- Nâng cao khả năng giải toán cho học sinh thông qua các phương pháp mới,
có chú trọng đến việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi.
10. Cấu trúc Luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo,
phụ lục, nội dung chính của luận văn gồm có ba chương.
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài.



15
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình
và bất phương trình bằng phương pháp hàm số.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

16
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [26, tr. 426].
Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các
dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
lí luận hay thực hành xác định” [2, tr. 149].
Theo giáo trình Tâm lí học lứa tuổi và Tâm lí học Sư phạm thì: “Kĩ năng là
khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết
một nhiệm vụ mới” [11, tr. 131].
Theo nghĩa từ điển [22]:“Kĩ năng là năng lực thực hiện có hiệu quả một
hành động hay một hoạt động nào đó, bằng cách lựa chọn, vận dụng những tri
thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những điều kiện thực tiễn
cho phép”.
Theo [25]: “ Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các
khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất
của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”.
Kĩ năng là mặt kĩ thuật của hành động. Con người nắm được cách thức hành động -
Tức là kĩ thuật hành động là có kĩ năng”.
Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói rằng
kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để

giải quyết một nhiệm vụ mới.
Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao
tác hành động để đạt tới mục đích đã định. Cơ sở của kĩ năng là kiến thức. Người
có kĩ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và
những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết
tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với mục tiêu của hành động.




17
1.1.2. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán
cần giải về dạng tương đương đơn giản.
Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán là môn học giữ một vai
trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho học
sinh. Khi học môn Toán, kĩ năng giữ một vai trò quan trọng và đặc biệt cần thiết,
bởi vì nếu không có kĩ năng học sinh sẽ không phát huy được tư duy và cũng không
đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề.
Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kĩ năng giải toán:
 Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có
cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra những quy tắc cho riêng mình.
Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và
không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh.
 Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về
những kĩ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ
nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết.
Như vậy: Kĩ năng giải toán là khả năng sử dụng và vận dụng linh hoạt các tri
thức về toán học, kết hợp với các kiến thức khoa học khác và những kiến thức thực
tế để giải quyết những bài toán.

1.1.3. Phân loại kĩ năng trong môn Toán
1.1.3.1. Kĩ năng nhận thức
Kĩ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả năng
nắm một khái niệm, định lí, kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc trong đó yêu
cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc.
1.1.3.2. Kĩ năng thực hành
Kĩ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào
hoạt động giải toán, kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong Toán học
hoặc trong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tiễn.






18
1.1.3.3. Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức
Để có kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kế
hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân nhằm
phấn đấu đạt được mục đích.
1.1.3.4. Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá
Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra từ
phía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy mà chưa
quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá bản thân.
Các tác giả Nguyễn Bá Kim [15, 16], Vũ Dương Thụy [16], … đã xét kĩ
năng tự kiểm tra đánh giá trên các phương diện: kĩ năng vận dụng tri thức trong nội
bộ môn Toán, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kĩ năng
vận dụng toán học vào đời sống.
1.1.4. Sự hình thành kĩ năng
Theo từ điển Giáo dục học: Để hình thành kỹ năng trước hết cần có kiến thức

làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện
được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng
cho nên tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn
luyện kĩ năng tương ứng.
Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy giải quyết các nhiệm
vụ đặt ra. Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các yếu
tố như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn kĩ năng, mức độ chủ động tích cực
của học sinh, Có hai con đường hình thành kĩ năng cho học sinh đó là:
- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học
sinh những bài toán vận dụng tri thức đó. Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải,
bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó phát hiện ra các
mốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi.
- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được
đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào từng
bài toán cụ thể.



19
Thực chất sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin
chứa đựng trong bài toán.
Khi giúp học sinh hình thành kĩ năng cần tiến hành:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải
tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài toán
cùng dạng.
- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tồng quát và kiến thức tương
ứng.
- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng hóa

hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng tới sự hình
thành kĩ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng, vì vậy nên
tạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kĩ năng.
1.1.5. Điều kiện để có kĩ năng
Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần:
- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện,
cách thức để đạt được kết quả.
- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó.
- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
- Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải cần thời
gian đủ dài.
1.1.6. Các mức độ của kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán có thể chia thành ba mức độ:
- Biết làm: Vận dụng được lí thuyết để giải những bài toán cơ bản hình thành
các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác
công thức, kí hiệu, giải được các bài tập dạng mẫu.
- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán theo
cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp.



20
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra những cách giải ngắn gọn, chuyển
hóa vấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo.
1.1.7. Vai trò của kĩ năng giải toán
Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kĩ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực
hiện được phải dựa trên mục đích này. Việc rèn luyện kĩ năng hoạt động nói chung,

kĩ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học
với hành.
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm,
định nghĩa, định lí mà học sinh không thực sự nắm được bản chất của các phát biểu
đó nên không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập.
Có thể nói, bài tập toán chính là “chìa khóa” để rèn luyện kĩ năng giải toán. Do đó,
để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải
toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn thông qua hoạt
động giải toán, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng
những vấn đề sau:
- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,
yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho học sinh biết
cách phân tích đặc điểm bài toán.
- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Ngoài ra, một yêu cầu hết sức quan trọng là phải kích thích hứng thú cho học
sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lí bằng cách rèn luyện
các mặt sau:
- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải
với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lí kiến thức.
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán.
- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán.



21
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kĩ
năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh.

1.1.8. Mối quan hệ giữa kĩ năng và năng lực
Khái niệm năng lực được sử dụng nhiều trong đời sống nói chung và trong
môn toán nói riêng. Vậy năng lực là gì?
Theo Từ điển tiếng Việt [22]: “Năng lực như khả năng, điều kiện chủ quan
hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó hay là phẩm chất tâm sinh
lí và trình độ chuyên môn tạo cho con người khả năng hình thành một hoạt động
nào đó với chất lượng cao”.
Khi phân tích xu hướng toàn cầu hóa của đánh giá năng lực trong giáo dục,
Kouvenhowen (2010) và Yu (2010) đã phân biệt năm cách định nghĩa năng lực
khác nhau [12]: “Năng lực là khả năng thực hiện các nhiệm vụ học tập đạt tới một
chuẩn được yêu cầu nào đó” – cách định nghĩa này gắn với sản phầm đầu ra, năng
lực đồng nghĩa với khả năng thực hiện và không nêu rõ thành phần năng lực nên
không rõ ràng.
Năng lực là khả năng sử dụng và lựa chọn kiến thức, kĩ năng, thái độ, v.v.
trong việc thực hiện một nhiệm vụ học tập chính yếu tới một chuẩn được yêu cầu
nào đó – cách định nghĩa này liên quan tới năng lực cụ thể, nhưng cũng là cách định
nghĩa thông dụng nhất.
Năng lực là sở hữu một hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái độ, v.v nào đó –
cách định nghĩa này gắn với yếu tố đầu vào, không nhấn mạnh sự vận dụng các
thành phần năng lực.
Năng lực là một danh sách những gì học sinh có thể thực hiện – cách định
nghĩa này cũng gắn với sản phẩm đầu ra nhưng theo hướng hành vi và cụ thể hóa.
Điểm thống nhất trong các quan niệm ở trên là: Năng lực bao gồm cả kiến
thức, kĩ năng, thái độ và một số yếu tố cá nhân khác.
Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này có thể được phân biệt với việc thực
hiện một nhiệm vụ học tập, theo đó nó được thể hiện và đánh giá qua những thực
hành có thể nhìn thấy được. Năng lực còn có thể được định nghĩa rộng hơn: Năng
lực chung là khả năng vận dụng, chuyển biến các thành phần kiến thức, kĩ năng,

22
thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó để thực hiện đạt chuẩn
những nhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học.
Năng lực được phân làm ba nhóm:
- Nhóm năng lực cơ bản.
- Nhóm năng lực chung.
- Nhóm năng lực cụ thể.
Năng lực được chia làm ba bậc (mức độ) sau đây:
Bậc 1 – bậc sơ cấp
Bậc 2 – bậc trung cấp
Bậc 3 – bậc cao cấp.
Năng lực giải toán của học sinh được thể hiện bởi khả năng vận dụng lí
thuyết toán học (khái niệm, định lí….) và những phương pháp đã biết, đã được cung
cấp ngay trong phần lí thuyết của bài học hoặc của chương để giải một số bài tập cụ
thể nào đó.
1.2. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.2.1. Mục tiêu dạy môn Toán
Theo [19]: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn
diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam
XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục
học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Từ mục tiêu giáo dục nói chung ta xây dựng mục tiêu dạy học môn toán:
- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ
thông, cơ bản, thiết thực.
- Phát triển trí tuệ cho học sinh.
- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực
tiễn cho học sinh.
- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh.

- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có
năng khiếu toán học.




23
1.2.2. Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT
Rèn kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:
- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong
chương trình.
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là phát triển:
+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác.
+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng, trí tưởng tượng trong không gian.
+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
1.3. Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập toán
G.Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn
rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra
cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên
nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan
trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững môn học. Vậy thế
nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán!” [19, tr. 82]. Trên cơ sở đó ta có
thể thấy rõ hơn vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT .
1.3.1. Vị trí và vai trò của bài tập toán
Trong dạy học toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùng quan
trọng, theo Nguyễn Bá Kim: “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán
học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học
toán. Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và
không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát

triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt
động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai
trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” [15, tr. 201].
Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn
toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò mang hoạt động của học sinh. Thông qua
giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, đinh lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động



24
toán học học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những
hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”. [15, tr. 388]
Như vậy bài tập toán ở trường phổ thông có vị trí, vai trò quan trọng trong
hoạt động dạy, học toán ở trường THPT. Vì thế, cần lựa chọn các bài tập sao cho
phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thế mới phát huy được năng
lực giải toán của học sinh.
1.3.2. Ý nghĩa của bài tập toán
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có
thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc giải toán
có nhiều ý nghĩa:
Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn
luyện kĩ năng. Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức tốt để dẫn dắt học
sinh tự mình tìm kiến thức mới.
Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ
thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới.
Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm
tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát triển

trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về nhiều mặt.
Việc giải bài toán cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào mà
thường bao hàm những ý nghĩa đã nêu.
1.3.3. Chức năngcủa bài tập toán
Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở
những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu những
vấn đề lí thuyết. Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lí thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ
thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lí thuyết. Đặc biệt hệ thống
bài tập còn mang tác dụng giáo dục kĩ thuật tổng hợp thể hiện qua việc giúp học
sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và phương
pháp tư duy; Rèn luyện kĩ năng tính toán, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên và cuối
cùng là rèn luyện kĩ năng thực hành toán học.



25
Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện
chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho học
sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bước nâng cao hứng
thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo.
Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc lập
suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp,
tương tự Thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải
quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo.
Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm tra,
đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học. Kiểm tra, đánh giá
nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy và học: Về
kiến thức, kĩ năng, năng lực giải toán và hiệu quả dạy học của giáo viên.
1.4. Thực tiễn dạy học giải các bài toán phương trình và bất phương trình
bằng phương pháp hàm số

1.4.1. Thực trạng việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình
bằng phương pháp hàm số ở trường THPT Thành Đông và trường THPT Hồng
Quang – Thành phố Hải Dương
Đối với giáo viên
 Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chuyên đề và ôn
luyện đan xen vào các tiết tự chọn trên lớp.
 Nội dung của đề tài chưa có một phần cụ thể nào trong sách giáo khoa
THPT.
 Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi cơ sở lí thuyết và xây dựng
hệ thống bài tập.
 Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các
ví dụ ứng dụng.
 Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề
phương trình và bất phương trình.
 Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành
một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của học sinh.