Bài toán trị riêng trong phương pháp phân tử hữu hạn giải cho hệ dầm liên tục

Bộ giáo dục và đào tạo bộ quốc phòng
Học viện kỹ thuật quân sự
..........................................





Trần Bá Thnh





đề ti luận văn
Bài toán trị riêng trong phơng pháp phần tử hữu hạn
giải cho hệ dầm liên tục

luận văn thạc sỹ kỹ thuật









Hà Nội, Năm 2008

Bộ giáo dục và đào tạo bộ quốc phòng
Học viện kỹ thuật quân sự
..........................................




Trần Bá Thnh




đề ti luận văn
Bài toán trị riêng trong phơng pháp phần tử hữu hạn
Giải cho hệ dầm liên tục


Chuyên nghành: Xây dựng công trình ngầm, mỏ và các công trình dặc biệt

Mã số: 60 58 50





luận văn thạc sỹ kỹ thuật





Ngời hớng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Quốc Bảo




Hà Nội, Năm 2008





Bộ giáo dục và đào tạo bộ quốc phòng
Học viện kỹ thuật quân sự
..........................................


luận văn thạc sỹ kỹ thuật

bài toán trị riêng trong phơng pháp phần tử hữu hạn
giải cho hệ dầm liên tục


Tên đề tài:
Bài toán trị riêng trong phơng pháp phần tử hữu hạn
giải cho hệ dầm liên tục


Chuyên ngành: Xây dựng công trình ngầm, mỏ và các CT đặc biệt
Mã số: 60 58 50
Ngày giao đề tài luận văn: Tháng 6/2007
Ngày hoàn thành luận văn: Tháng 5/2008


Ngời thực hiện:
Họ và tên : Trần Bá Thành
Lớp: Xây dựng côngtrình Khoá: 17
Hệ đào tạo không tập trung


Cán bộ hớng dẫn:
Họ và tên : Nguyễn Quốc Bảo Cấp bậc: Đại tá
Học hàm, học vị : PGS.TS Đơn vị: Khoa C.T.Q.P



Hà Nội, Năm 2008

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác./.

Tác giả luận văn



Trần Bá Thành

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................... 1

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN................................................................................. 3

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG HỆ DẦM LIÊN
TỤC THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH ........................................... 4

2.1.

Xây dựng tính chất phần tử....................................................................... 4

2.1.1

Ma trận độ cứng phần tử................................................................... 4

2.1.2

Ma trận khối lượng ........................................................................... 9

2.1.3

Ma trận chuyển toạ độ .................................................................... 10

2.1.4

Thuật toán xây dựng và lưu trữ các ma trận. Ví dụ minh họa........ 13

2.2.

Phương trình trị riêng.............................................................................. 24

2.2.1

Tổng quan ....................................................................................... 24

2.2.2

Bài toán trị riêng trong phương pháp PTHH .................................. 26

CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRỊ RIÊNG .............. 31

3.1.

Các dạng của bài toán trị riêng ............................................................... 31

3.2.

Những tính chất chủ yếu của trị riêng, vectơ riêng ................................ 32

3.2.1

Tính chất của véctơ riêng................................................................ 32

3.2.2

Đa thức đặc trưng của bài toán trị riêng ......................................... 34

3.2.3

Trượt trị riêng.................................................................................. 35

3.3.

Chuyển từ bài toán trị riêng tổng quát sang bài toán trị riêng chuẩn ..... 36

3.3.1

Sự cần thiết ..................................................................................... 36

3.3.2

Các bước chuyển từ bài toán tổng quát sang bài toán chuẩn.......... 36

3.4.

Các kỹ thuật giải áp dụng trong giải bài toán trị riêng ........................... 38

3.4.1

Quy rút tĩnh học .............................................................................. 39

3.4.2

Phân tích Rayleigh-Ritz.................................................................. 40

3.5.

Các nhóm phương pháp chủ yếu giải bài toán trị riêng.......................... 43

3.5.1

Phương trình cơ bản và các nhóm phương pháp giải ..................... 43

3.5.2

Một số lưu ý cơ bản ........................................................................ 44

3.6.

Phương pháp lặp vectơ............................................................................ 45

3.6.1

Lặp ngược vectơ ............................................................................. 46

3.6.2

Lặp xuôi vectơ ................................................................................ 49

3.6.3

Trượt trị riêng trong lặp vectơ ........................................................ 52

3.6.4

Lặp thương số Rayleigh.................................................................. 52

3.6.5

Tốc độ hội tụ trong phương pháp lặp ............................................. 54

3.7.

Phương pháp biến đổi ma trận hay chéo hóa ma trận............................. 59

3.7.1

Phương pháp xoay Jacobi dùng cho bài toán chuẩn....................... 61

3.7.2

Phương pháp Jacobi dùng cho bài toán tổng quát.......................... 63

3.7.3

Phương pháp lặp ngược Householder – QR................................... 70

3.8.

Phương pháp lặp đa thức và phương pháp lặp với dãy Sturm................ 74

3.8.1

Lặp đa thức rõ ................................................................................. 74

3.8.2

Lặp đa thức ẩn................................................................................. 75

3.8.3

Lặp dựa trên tính chất dãy Sturm ................................................... 75

3.9.

Phương pháp lặp không gian con............................................................ 76

3.9.1

Sơ bộ về phương pháp lặp không gian con..................................... 76

3.9.2

Nội dung phương pháp lặp không gian con................................... 76

3.9.3

Một số chú ý khi chọn vectơ lặp ban đầu ....................................... 79

3.9.4

Sự hội tụ.......................................................................................... 80

CHƯƠNG 4: THỬ NGHIỆM LẬP TRÌNH TRÊN MATLAB ......................... 82

4.1.

Tổ chức số liệu trong chương trình......................................................... 82

4.1.1

Số liệu vào SLV.............................................................................. 83

4.1.2

Số liệu trung gian SLTG................................................................. 83

4.1.3

Số liệu kết quả tính SLR................................................................. 84

4.2.

Tổ chức chương trình và một số hàm cơ bản ......................................... 84

4.2.1

Phát sinh kết cấu ............................................................................. 84

4.2.2

Xây dựng phương trình trị riêng..................................................... 84

4.2.3

Giải bài toán trị riêng...................................................................... 88

4.3.

Tính toán minh họa ................................................................................. 88

KẾT LUẬN ...................................................................................................... 94

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................ 95

PHỤ LỤC ...................................................................................................... 97

Trang 1
PHẦN MỞ ĐẦU
Tên đề tài
“Bài toán trị riêng trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) giải
cho hệ dầm liên tục”
Lý do chọn đề tài
Trong việc tính toán kết cấu các công trình, đặc biệt là các công trình
cầu việc phân tích động lực học có vai trò rất quan trọng. Bởi hầu hết
các cây cầu nếu bị hư hỏng, gãy đổ phần lớn đều do ứng xử động học
của nó. Mà đ

iển hình là các ứng xử liên quan đến tác động động đất,
tác động gió, va xô tàu thuyền...Ví dụ như cầu đường sắt Kevda (Nga)
bị phá hủy năm 1875, cầu Menkhienxtein (Thụy Sỹ) bị phá hủy năm
1891, cầu dàn Quebec (Canada) bị phá hủy năm 1907, cầu dàn Mojur
(Nga) bị phá hủy năm 1925.
Điều 4.7.1.5 của tiêu chuẩn thiết kế cầu 22 TCN 272-05 có ghi: “trừ
khi được chỉ rõ, phải sử dụng các dạng và tần số c
ủa dao động riêng
không giảm rung để đáp ứng yêu cầu thiết kế về ứng xử động học đàn
hồi”. Như vậy, có thể thấy mọi tính toán liên quan đến ứng xử động
lực học đều có liên quan đến tần số và dạng dao động riêng.
Nhằm tìm hiểu và đóng góp một phần vào lĩnh vực này, học viên đã
chọn hướng nghiên cứu là cách tính tần số dao độ
ng riêng của kết cấu,
đặc biệt là các kết cấu có số lượng phần tử lớn và lấy dầm liên tục là
một ví dụ để khảo sát.
Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tìm hiểu phương pháp được sử dụng phổ biến và hiệu quả trong việc
tính toán bài toán trị riêng, vectơ riêng của các hệ kết cấu lớn (trong
trường hợp này là kết cấu dầm liên tụ
c), giúp cho người dùng cũng
Trang 2
như các nhà nghiên cứu có được một công cụ dễ hiểu, trực quan khi
cần phân tích dao động của kết cấu là phương pháp phần tử hữu hạn
(PTHH).
Đi sâu vào việc nghiên cứu thuật toán của một trong phương pháp tính
tần số dao động riêng tương đối hiện đại và phổ biến hiện nay khi tính
tần số và dạng dao động riêng của hệ kết cấu có số lượng phần tử lớ
n
là phương pháp lặp không gian con. Trên cơ sở đó phát triển và giải

quyết một số các bài toán phức tạp hơn trong xây dựng.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Tìm hiểu lý thuyết giải bài toán trị riêng của hệ dao động với số lượng
phần tử lớn (cụ thể là dầm liên tục).
Đi sâu nghiên cứu thuật toán của phương pháp PTHH và phương pháp
lặp không gian con, ứng dụng chúng trong việc xác
định tần số và
dạng dao động riêng đối với kết cấu dầm liên tục dựa trên ngôn ngữ
lập trình matlab.
Làm cơ sở để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
Trang 3
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN
Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển kinh tế không
ngừng của đất nước, cơ sở hạ tầng cũng ngày một được cải thiện, ngày
càng có nhiều những cây cầu, những con đường được xây dựng mới,
nâng cấp hoặc cải tạo từ những nguồn vốn khác nhau: vốn ngân sách,
vốn trái phiếu, vốn tín dụng hoặc vốn vay,
đặc biệt là những nguồn
vốn vay từ quỹ hỗ trợ phát triển chính thức ODA.
Những cây cầu, đặc biệt là dạng cầu liên tục, do những ưu điểm của
nó về mặt kinh tế, mỹ quan... được sử dụng như những phương án tối
ưu trong trường hợp phải vượt qua những khoảng cách lớn trên sông
hay thung lũng. Để đảm bảo an toàn cho những cây cầu này, mộ
t
trong số những điểm khống chế thiết kế là tần số dao động riêng phải
không được nằm trong giới hạn cho phép.
Hiện nay, cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, phần tử hữu hạn
(PTHH) là một trong số các phương pháp mạnh và được dùng khá phổ
biến trong việc phân tích, tính toán kết cấu. Rất nhiều các chương
trình tính toán được các công ty xây dựng dựa trên phương pháp này,

như SAP, STAD....Tuy nhiên, mộ
t chương trình chuyên sâu vào việc
phân tích tính toán dao động và tần số dao động riêng để từ đó có thể
nghiên cứu các biện pháp giảm thiểu hoặc loại trừ các tác động gây
hại của Việt Nam hiện vẫn đang trong quá trình hình thành.
Đề tài này đề cập đến những cơ sở lý thuyết dùng trong phương pháp
PTHH để tính toán bài toán trị riêng của các kết cấu có số lượng phần
tử lớn và ứng dụng nó trong ngôn ngữ lập trình Matlab
để tính toán
các trị riêng cho dầm liên tục.
Trang 4
CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG HỆ DẦM
LIÊN TỤC THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH
2.1. Xây dựng tính chất phần tử
Tính chất phần tử của dầm liên tục trong bài toán trị riêng bao gồm:
− Ma trận độ cứng phần tử [EK] hay [K]
e

− Ma trận khối lượng phần tử [EM] hay [M]
e

− Ma trận chuyển toạ độ [ET] hay [T]
e

Ngoài ra, nhằm phục vụ cho việc lập trình sau này, ở phần này sẽ trình
bày thêm cách xây dựng thuật toán xếp các ma trận phần tử vào ma
trận tổng quát.
2.1.1 Ma trận độ cứng phần tử
2.1.1.1 Công thức tổng quát xây dựng ma trận độ cứng phần tử
Ma trận [EK] hay [K] chứa các thành phần biểu thị độ cứng được gọi

là ma trận độ cứng của phần tử. Nó là mộ
t ma trận vuông có số hàng
và số cột bằng số thành phần của vectơ lực nút, cũng là số thành phần
của vectơ chuyển vị nút.
Có nhiều phương pháp xác định ma trận độ cứng nhưng trong đó
phương pháp sử dụng các nguyên lý năng lượng có tính tổng quát,
thích hợp với các phần tử của vật thể liên tục, do đó nó thường được
sử dụng trong thực tế tính toán.
Phươ
ng pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng trên cơ
sở kết hợp của phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp xấp xỉ
hàm. Theo tư tưởng của phương pháp sai phân hữu hạn ta chia kết cấu
thành các phần tử, các chuyển vị nút của phần tử là các thông số cần
tìm ban đầu. Trọng tâm của phương pháp phần tử hữu hạn là thuyết
Trang 5
hàm dáng nhằm xây dựng ma trận hàm dáng [N] để biểu diễn chuyển
vị tại một điểm bất kỳ trong phần tử theo các chuyển vị nút {d}
{u} = [N]{d}
Áp dụng phương trình Cauchy tính biến dạng ta có:
{ε} = [S]{u} = [S][N]{d} = [B]{d}
Trong đó: Ma trận [B] = [S][N] được gọi là ma trận chuyển vị nút -
biến dạng. Khi biết chuyển vị nút {d} của phần tử, ta tính được biến
dạng tại điểm bất kỳ bên trong ph
ần tử {ε}.
Áp dụng phương trình vật liệu ta có:
[σ] = [C]{ε} = [C][B]{d} = [CB]{d}
Ma trận [CB] = [C][B] được gọi là ma trận chuyển vị nút - ứng suất,
cho phép tính ứng suất - nội lực tại điểm bất kỳ thuộc phần tử.
Áp dụng nguyên lý chuyển vị khả dĩ ta có:
{}{ } {}{ } {}{ }

SXX
Sb
dudVudV
T
S
T
V
T
V
∫∫∫
+=
σε

Thay: {u} = [N]{d}; {e} = [B]{d}; {s} = [C][B]{d} vào công thức
trên ta có phương trình cân bằng phần tử
[K]{d}= {Q}
Với:
[]
∫
=
V
T
CBBK
- là ma trận độ cứng phần tử (2.1)
Công thức (2.1) cũng là công thức tổng quát tính ma trận độ cứng
phần tử.
Ma trận [K] là ma trận thưa có 2 tính chất quan trọng là tính đối xứng
và tính chất băng.
Với các bài toán động lực học khi xấp xỉ gia tốc chuyển vị bằng cùng
hàm dáng [N] với chính chuyển vị người ta thu được công thức

Trang 6

[] [][]
dVNNM
T
V
∫
=
ρ
(1.2)
Công thức (2.2) cũng là công thức tổng quát tính ma trận khối lượng
phần tử.
2.1.1.2 Ma trận độ cứng phần tử thanh uốn thuần tuý
Xét phần tử thanh chịu uốn trong hệ trục cục bộ như trên hình vẽ
(Trong đó, trục x trùng với trục thanh)



Để tiện cho việc xây dựng tính chất phần tử, thường sử dụng thêm hệ
tọa độ tự nhiên vớ
i 2 thông số: L
1
= 1 – x/l; và L
2
= x/l;
Tải trọng thuộc mặt phẳng Oxy và tác dụng vuông góc với trục thanh.
Kết cấu hệ thanh thường được đơn giản hóa về kết cấu 1 chiều nhờ giả
thiết tiết diện thẳng (Một tiết diện thẳng vuông góc với trục thanh
trước và sau khi biến dạng vẫn vuông góc với trục thanh. Sau biến
dạng, tiết diện thanh vẫn giữ nguyên hình dạng, kích thước giữ

nguyên là thẳ
ng và vuông góc với trục thanh).
y
z
x
O
l
Trang 7
Theo giả thiết trên, về chuyển vị các điểm trên trục thanh chỉ chuyển
vị theo trục y, vectơ chuyển vị {u} = v(x). Nhưng càng xa trục thanh
theo giả thiết tiết diện phẳng xuất hiện chuyển vị dọc trục u. Để tính
chuyển vị này cần đưa thêm thành phần chuyển vị góc xoay
dx
dv
x
z
=)(
θ

Cũng theo giả thiết trên trong thanh chỉ xuất hiện một thành phần biến
dạng
dx
du
x
=
ε
và một thành phần vectơ ứng suất
xx
E
εσ

=

Ma trận hàm dáng [N]
Để xây dựng ma trận độ cứng cho dầm coi chuyển vị tại mỗi điểm
gồm 2 thành phần là v và θ
z
. Véc tơ chuyển vị nút có 4 thành phần:
{d}
T
= {d
1
d
2
d
3
d
4
} = {v
1
θ
z1
v
1
θ
z2
}
Vì
dx
dv
x

z
=
)(
θ
nên chỉ cần chọn hàm xấp xỉ cho v. Với thanh dầm ta sử
dụng phương trình bậc 3 để xấp xỉ.
v = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
= α
1
L
1
3
+ α
2
L
2
3
+ α
3

L
1
2
L
2
+ α
4
L
1
L
2
2
(2.3)
Để tính góc xoay θ
z
, áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp ta có:
)2323(
1
214
2
13
2
22
2
24213
2
11
2
2
1

1
LLLLLLLL
lx
L
L
v
x
L
L
v
dx
dv
z
ααααααθ
+++−−−=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
==
(2.4)
Sử dụng các điều kiện biên:
Tại nút 1: v = v
1
θ

z
= θ
z1

L
1
= 1 L
2
= 0
ta có: v
1
= α
1

)3(
1
311
ααθ
+−=
l
z

Suy ra: α
3
= lθ
z1
+ 3v
1

Tại nút 2: v = v

2
θ
z
= θ
z2

L
1
= 0 L
2
= 1
Trang 8
ta có: v
2
= α
2

)3(
1
242
ααθ
+−=
l
z

Suy ra: α
4
= -(lθ
z1
+ 3v

2
)
Thay các giá trị α
1
, α
2
, α
3
, α
4
vào biểu thức (1.8) ta có:
[]
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−−=
2
2
1

1
2
212
2
22
2
11
2
1
)23()23(
z
v
z
v
LlLLLLlLLLv
θ
θ
(2.5)
So sánh với biểu thức tổng quát {u} = [N]{d} ta có ma trận hàm dáng
cho thanh uốn:
[]
[ ]
2
212
2
22
2
11
2
1

)23()23(
LlLLLLlLLLN −−−=
(2.6)
Xác định ma trận biến dạng [B]
Ta có:
2
2
x
v
y
dx
du
x
∂
∂
−==
ε

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp ta có:
[]
{}
dLLlLLLlL
l
y
x
)42(126)42(126
1
212121
2
−−−−−−=

ε

So sánh với biểu thức tổng quát {ε} = [B]{d} ta có ma trận biến dạng
cho thanh chịu uốn:
[]
)42(126)42(126
1
212121
2
LLlLLLlL
l
yB −−−−−−=
(2.7)
Ma trận vật liệu chỉ chứa một hằng số là moduyn đàn hồi [C]= E
Tính ma trận độ cứng
[] [][][]
∫
=
V
T
dxBCBk

Áp dụng công thức tính tích phân một chiều trong hệ toạ độ tự nhiên.
)!1(
!!
21
++
=
∫
qp

lqp
dlLL
qp

Trang 9
Ta có:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−

=
l
EI
DX
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
4
612
264
612612
33
2
2323

(2.8a)

Ma trận độ cứng thanh dầm kết hợp với ma trận độ cứng thanh kéo
nén tạo thành ma trận độ cứng thanh phẳng dưới đây
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
==
l
EI
DX
l
EI
l
EI
l
EF
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI

l
EI
l
EI
l
EF
EKK
e
4
612
00
2604
6120612
0000
][][
23
2
2323
(2.8b)

2.1.2 Ma trận khối lượng
2.1.2.1 Công thức tổng quát
Áp dụng công thức tích phân tổng quát (1.2)
[ ] [][] [][] [][]
dlNNdlNNdSdVNNM
T
lS
m
T
l

T
V
∫∫∫∫
===
ρρρ

Trong đó:

∫
=
S
m
dS
ρρ
- là khối lượng trên một đơn vị chiều dài thanh
Trang 10
Như vậy ta còn phải tính thành phần thứ 2 trong biểu thức tổng quát là
tích phân
[][]
dlNN
T
l
∫
.
Tích phân này phụ thuộc vào hàm dáng [N]
2.1.2.2 Ma trận khối lượng của thanh uốn thuần tuý
Ma trận hàm dáng của thanh dầm có dạng:
[]
[ ]
2

212
2
22
2
11
2
1
)23()23( LlLLLLlLLLN −−−=
(2.9)
Ta có:
[][]
[]
2
212
2
22
2
11
2
1
2
21
2
2
2
2
2
1
1
2

1
)23()23(
)23(
)23(
LlLLLLlLLL
LlL
LL
LlL
LL
NN
T
−−−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=

(2.10)
[][]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−−−−−
−−−
−−−−−−
=
4
2
2
1
2
2
4
21
3

2
3
1
2
1
2
2
3
1
2
4
21
2
2
4
22
3
2
2
121
2
2
2
1
3
2
3
1
2
2

3
2
2
1
2
2
4
1
2
12
4
1
1
2
2
3
121
2
2
2
112
4
1
2
1
4
1
)23()23(
)23()23()23()23)(23(
)23()23(

)23()23)(23()23()23(
LLlLLlLLLlLLlL
LLlLLLLLlLLLLL
LLlLLlLLLlLLlL
LLlLLLLLLLlLL
L
NN
T
Áp dụng công thức:
)!1(
!!
21
++
=
∫
qp
lqp
dlLL
qp
(2.11)
Ta có:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−
−
−
=
22
22
422313
221561354
3134221
135422156
420
llll
ll
lll
ll
l
M
m
ρ
(2.12a)
2.1.3 Ma trận chuyển toạ độ
Trên đây, khi xác lập các véc tơ chuyển vị nút và lực nút, cũng như
khi thiết lập ma trận độ cứng của phần tử hữu hạn, ta đều chọn hệ tọa
độ như sau: Coi trục x là trục thanh, các trục y và z các là trục quán
Trang 11

tính chính trung tâm của mặt cắt ngang của thanh và chiều dương của
các trục x, y, z xác định theo quy tắc tam diện thuận.
Trong một kết cấu hệ thanh (dàn, khung ...) thường các phần tử thanh
có phương khác nhau, nên nói chung hệ tọa độ của từng phần tử
không giống nhau. Hệ toạ độ riêng đó đối với từng phần tử ta gọi là hệ
toạ độ phần tử hay hệ toạ độ địa ph
ương.
Khi tính toán kết cấu gồm nhiều phần tử, để thuận tiện khi thành lập
các phương trình cân bằng, người ta cần sử dụng một hệ tọa độ chung
cho toàn bộ kết cấu, thường gọi là hệ toạ độ kết cấu hoặc hệ toạ độ
chung.
Vì vậy trước khi bắt tay vào việc lập phương trình cân bằng ở các nút
cần phải biến đổi quan hệ
giữa các lực nút và chuyển vị nút trong hệ
tọa độ phần tử thành quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút trong hệ
tọa độ kết cấu, sự biến đổi đó được gọi là biến đổi tọa độ.
Trước hết, ta xét một hệ thanh phẳng như hình dưới. Các hệ tọa độ địa
phương là xyz, hệ tọa độ chung là x'y'z', trục z và z' hướng ra ngoài.









x'
y'
y

x
y
x
y'
x
v
u'
x'
y'
v'
u
ϕ
Trang 12
Khi xây dựng tính chất phần tử thanh, ta luôn lấy trục x cục bộ trùng
với trục thanh. Vì vậy, nói chung, trục x cục bộ không trùng với trục
x’ tổng quát.
Ký hiệu ϕ là góc giữa Ox và Ox’. Để xoay hệ trục tổng quát Ox’y’z’
về trục cục bộ Oxyz ta chỉ cần xoay hệ tổng quát Ox’y’z’ quanh trục
Oz ≡ Oz’ một góc ϕ.
Ma trận chuyển tọa độ có dạng
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

−=
100
0cossin
0sincos
3
ϕϕ
ϕϕ
T

Sắp xếp các bậc tự do phần tử theo trật tự
{dz}={u
1
v
1
θ
z1
u
2
v
2
θ
z2
}
Ta có ma trận chuyển cho phần tử thanh phẳng
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

=
30
03
6
T
T
T

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−

=
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
hay

Nếu chỉ xét riêng thanh dầm hay hệ dầm liên tục, ta có ma trận chuyển
suy ra từ ma trận chuyển thanh phẳng trên bằng cách bỏ đi các thành
phần ứng với bậc tự do u
1
và u
2
, nghĩa là bỏ đi hàng 1 và 4, cột 1 và 4.
Nếu chọn trục x’ trùng với trục dầm x thì ϕ=0.
Ta có ma trận chuyển thanh dầm là ma trận đơn vị, ký hiệu T4.
Trang 13
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
0100
0010
0001
4T

Trong hệ trục tổng quát, ta có:
Ma trận độ cứng phần tử:
[k’]=[T6]
T
[k][T6]
Vectơ bậc tự do nút:
[d’]=[T6]
T
{d}
Vectơ tải trọng nút:
[F’]=[T6]
T
{F}
2.1.4 Thuật toán xây dựng và lưu trữ các ma trận. Ví dụ minh họa
2.1.4.1 Xây dựng cấu trúc ma trận độ cứng tổng quát
Ma trận độ cứng của phương pháp phần tử hữu hạn bao giờ cũng có
hai tính chất là tính đối xứng và tính chất băng.
+ Tính đối xứng cho quan hệ k

ij
= k
ji
.
+ Tính chất băng có thể hiểu là các phần tử có nghĩa của [K] chỉ nằm
xung quanh đường chéo chính. Để xác định chính xác hơn khái niệm
băng của ma trận, ta xét ma trận [K] cấp n, ma trận có n hàng và n cột.
Xét cột i bất kì, đi từ phần tử trên đường chéo chính k
ii
dọc theo cột i
lên trên ta thấy có những phần tử khác 0 và có những phần tử bằng 0
cho tới khi đến một phần tử khác 0 cuối cùng, trên đó chỉ còn các
phần tử bằng 0. Ký hiệu chỉ số hàng của phần tử này là m
i
. Vì đi từ
đường chéo chính nên 1 ≤ m
i
≤ i.

Nếu m
i
luôn luôn bằng 1 với mọi cột
thì ma trận là ma trận đủ (ma trận đầy) và tính chất băng không còn
nữa. Khi có nhiều cột có m
i
>1, gọi h
i
= i - m
i
là chiều cao cột i, kí

Trang 14
hiệu b = max(h
i
) là bề rộng nửa dải của băng ma trận. Nếu b < n thì
ma trận được gọi là ma trận băng.
Các nhà toán học đã chứng minh được trong quá trình nghịch đảo ma
trận, các phần tử bằng 0 ngoài chiều cao cột vẫn giữ giá trị 0 sau
nghịch đảo. Tuy nhiên các giá trị 0 trong chiều cao cột lại hoàn toàn
có thể khác 0 sau nghịch đảo. Để tăng tốc độ tính và giảm kích thước
lưu trữ ma trận độ c
ứng, tư duy tự nhiên là thứ nhất chỉ lưu các phần
tử trong chiều cao mỗi cột của ma trận, thứ hai là làm sao để chiều cao
cột của ma trận là nhỏ nhất.
Do ma trận độ cứng là đối xứng nên ta ở cách lưu thứ nhất ta chỉ cần
lưu một nửa ma trận, trong cách lưu này, người lập trình có thể dùng
mảng 1 chiều, lưu lần lượt từng cột c
ủa ma trận, bắt đầu từ phần tử
trên đường chéo chính cho đến phần tử trên cùng có chỉ số hàng bằng
đơn vị̣, số phần tử theo cách lưu này là 1 + 2 + ...+ n = n (n+1)/2.
Do nửa cần lưu của [K] lại có tính chất băng nên để tiết kiệm bộ nhớ
có thể sử dụng hai cách lưu là lưu theo băng (cách lưu thứ 2) và lưu
theo chiều cao cột (cách lưu thứ 3).
Ở cách lưu thứ 2, lư
u theo băng, người lập trình có thể dùng mảng chữ
nhật SK[n,b+1] với b = max(h
i
); h
i
= i - m
i

, một chiều của mảng có
kích thước bằng hạng của ma trận, chiều thứ hai bằng b+1 với b là bề
rộng băng của ma trận [K]. Cột một của mảng lưu trữ các phần tử nằm
trên đường chéo chính, các cột tiếp theo lưu b giá trị cho mỗi cột. Khi
đó số phần từ cần lưu là n (b+1). Phương pháp này tiết kiệm bộ nhớ
hơn phương pháp đầu khi b+1 < (n+1)/2.
Điều kiện này dễ được thoả
mãn bằng cách đánh số nút hợp lý. Bề rộng nửa dải b càng bé càng tiết
kiệm bộ nhớ. Tuy nhiên cách lưu theo băng là chưa hoàn toàn tiết
Trang 15
kiệm, ngay cả khi bề rộng nửa dải hẹp đến mức tối ưu. Số giá trị
không vô nghĩa buộc phải lưu theo băng là Σ(b-h
i
) i=1÷n.
Ở cách lưu thứ ba, lưu theo chiều cao cột. Theo cách lưu này, người
lập trình sử dụng mảng động một chiều, ký hiệu {SK}, các phần tử
của ma trận độ cứng [K] được xếp lần lượt vào {SK} theo từng cột.
Trong mỗi cột bắt đầu xếp từ phần tử nằm trên đường chéo chính k
ii

lên trên cho đến hết chiều cao cột. Như vậy trật tự các phần tử của [K]
trong mảng một chiều {SK} sẽ là:
{SK} = {k
11
k
22
k
12
k
33

k
23
... k
ii
k
i-1,i
... k
mi,i
..... k
nn
k
n-1,n
... k
mn,n
}
Phương pháp lưu theo chiều cao cột là phương pháp lưu chặt nhất,
phương pháp này đã loại toàn bộ các giá trị không vô nghĩa của ma
trận [K] ra khỏi {SK}. Phương pháp này vừa có ý nghĩa tiết kiệm bộ
nhớ máy tính vừa có ý nghĩa tăng tốc độ tính do các vòng lặp trong
quá trình nghịch đảo ma trận chỉ duyệt trên số lượng ít nhất các phần
tử̉. Muốn quản lý được ma trận [k] trong mảng {SK} một chiều,
người lập trình cần biết các phần tử nằm trên đường chéo chính k
ii

nằm ở địa chỉ nào của {SK}, vì vậy ngoài {SK} cần dùng thêm một
mảng nguyên phụ lưu địa chỉ của các k
ii
. Kích thước mảng này là n+1.
Tổng số giá trị cần lưu là n+1 giá trị nguyên và n+Σh
i

các giá trị thực.
Do đa số các h
i
đều

nhỏ hơn b nên tổng trên nhỏ hơn đáng kể so với
với n x (b+1) là số giá trị cần lưu theo sơ đồ băng.
Dưới đây là bảng so sánh bộ nhớ và thời gian giải cần thiết cho lời
giải trong phương pháp PTHH với ma trận độ cứng M thông thường
cho 2 dạng lưu dữ liệu
Trang 16
Với cách lưu mọi phần tử của ma trận
Hạng ma trận Bộ nhớ
Thời gian
Máy trạm/PC
Thời gian
Supercomputer
10
4
8MB 5giây 0.05giây
10
5
240MB 8phút 5giây
10
6
8GB 15giờ 8phút

Với cách lưu skyline
Hạng ma trận Bộ nhớ
Thời gian

Máy trạm/PC
Thời gian
Supercomputer
10
4
800MB 3giờ 2 phút
10
5
80GB 4tháng 30 giờ
10
6
8TB 300năm 3 năm

(số liệu này dựa trên cấu hình máy tính tại thời điểm năm 1998 do
nhóm kỹ sư phần mềm SEG thuộc hội đồng nghiên cứu khoa học và
công nghệ tại Rutherford Appleton Laboratory công bố)
Sau đây là trình tự các bước lưu theo Skyline trong trường hợp tổng
quát (với dầm liên tục, các ma trận tương ứng được trình bày cụ thể
hơn tại chương “thử nghiệm lập trình trên matlab”).
JF Æ NDF và LNC Æ ND Æ
CHT ÆNDS
Để hiểu rõ hơn trình tự này ta lấy 1 ví dụ cụ thể như hình dưới đây:
Trang 17

1
2
3
4
5
6

I
II
III
IV
V

+ Bước 1: Xây dựng mảng JF ( mảng bậc tự do nút )
Mỗi nút tổng quát có 6 bậc tự do là 3 chuyển vị theo 3 trục toạ độ và 3
góc xoay quanh 3 trục [ u
i
v
i
w
i
θ
xi
θ
yi
θ
zi
]
Bậc tự do của một nút được chia làm 2 loại:
•

Bậc tự do tích cực: là chuyển vị nút cần tìm
•

Bậc tự do tiêu cực là bậc tự do có sẵn các giá trị xác định do điều kiện
biên hoặc không dùng đến do hạn chế của bài toán
Quản lý các bậc tự do nút là xác định xem một bậc tự do là tích cực

hay tiêu cực. Để quản lý bậc tự do ta dùng mảng 2 chiều, ký hiệu là
JF(tổng số nút, 6). Ý nghĩa của mỗi phần tử trong mảng JF là chỉ ra
bậc tự do tích cực và tiêu cực của nút, và ch
ỉ nhận các giá trị trị 0 và 1
•

Giá trị là 0 nếu bậc tự do là tích cực (chưa biết)
•

Giá trị là 1 nếu bậc tự do là tiêu cực (đã biết)
Mảng JF ở ví dụ trên có giá trị như trong bảng sau
Trang 18
Bảng 1.1 - mảng JF

u
1
v
1
w
1
θ
xi
θ
yi
θ
zi

JF
1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1

2 1 0 1 1 1 0
3 0 0 1 1 1 0
4 0 0 1 1 1 0
5 1 1 1 1 1 1
TsNut 6 0 1 1 1 1 0

+ Bước 2: Xây dựng mảng NDF (Đánh số bậc tự do nút)
Để đánh số bậc tự do nút, ta dùng mảng 2 chiều ký hiệu NDF(tổng số
nút,6), mảng này được xây dựng từ mảng JF bằng cách đổi các giá trị
1 (bậc tự do tiêu cực) về 0 còn các giá trị 0 (bậc tự do tích cực) thì
được đếm lần lượt từ trái sang phải, từ trên xuống dưới. Nhìn vào
mảng NDF ta nhận thấy, nếu giá tr
ị của phần tử mảng nào bằng 0 thì
ta không cần tìm chuyển vị tương ứng tại nút đó, ngược lại nếu giá trị
của phần tử mảng khác 0 thì ta cần phải tìm chuyển vị tương úng tại
nút đó. Giá trị lớn nhất của phần tử mảng NDF cũng chính là số
chuyển vị phải tìm hay số phương trình cần giải, ký hiệu là NEQ.