Điểm bất động của ánh xạ co t kannan trong không gian metric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2



PHẠM VĂN LÂM



ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO T-KANNAN
TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN


Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG






HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Hà Đức Vượng,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả
hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,
người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Phạm Văn Lâm
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, luận
văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động
của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón” do tôi tự làm.
Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Phạm Văn Lâm
Mục lục
Bảng kí hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Không gian metric . . . . . . . . 5
1.2. Không gian Banach. . . . . . . . . 17

1.3. Điểm bất động của ánh xạ Kannan trong không gian metric
suy rộng . . . . . . . . . . . 22
Chương 2. Không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . 30
2.2. Sự hội tụ trong không gian metric nón . . . . 33
Chương 3. Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan
trong không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . 40
3.2. Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không gian
metric nón . . . . . . . . . . 42
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1
Bảng kí hiệu
N Tập số tự nhiên
R Tập số thực
C Tập số phức
∅ Tập rỗng
int(P ) Phần trong của P

p
Quan hệ thứ tự theo nón P
 Kết thúc chứng minh
2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Cho một tập hợp M tùy ý khác rỗng và ánh xạ T : M → M.
Nếu tồn tại x
0
∈ M mà T x

0
= x
0
thì x
0
được gọi là điểm bất động
của ánh xạ T trên tập hợp M. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực
này đã hình thành nên lí thuyết điểm bất động (fixed point theory).
Lý thuyết điểm bất động phát triển gắn liền với tên tuổi nhiều nhà
toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov,
Sadovski, Ky Fan, . . .
Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giới thiệu khái
niệm metric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa metric
bởi một nón định hướng trong không gian Banach thực. Các tác giả
đã giới thiệu khái niệm về sự hội tụ và tính đầy đủ của không gian.
Đồng thời các tác giả đã giới thiệu kết quả về điểm bất động cho lớp
ánh xạ co trong không gian này.
Sau đó nhiều nhà toán học đã quan tâm và kết quả về điểm bất
động trong không gian metric nón đã lần lượt được công bố.
Năm 2010 Jose R.Morales và Edixon Rojas đã công bố kết quả về
điểm bất động cho lớp ánh xạ co T-Kannan trong không gian này
qua bài báo “cone metric spaces and fixed point theorems
of T-Kannan contractive mappings”.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động của ánh xạ co
T-Kannan trong không gian metric nón, được sự giúp đỡ, hướng dẫn
tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu:
3
"Điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không
gian metric nón".
2. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan trong không
gian metric nón.
3. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan
trong không metric nón.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về “không gian metric nón và điểm bất động của ánh
xạ co T-Kannan trong không gian metric nón” nội dung chính dựa
vào hai bài báo:
1. H. Long-Guang and Z. Xian (2007), cone metric spaces and
fixed piont theorems of contractive mappings.
2. R. Morales and Edixon Rojas (2010), Cone metric spaces and
fixed point Theorems of T-Kannan contractive mappings.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu.
4
6. Dự kiến đóng góp
Đây là bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ co T-Kannan
trong không gian metric nón.
Luận văn được trình bày gồm ba chương nội dung và một danh
mục tài liệu tham khảo.
Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về
không gian metric, không gian metric đầy đủ, nguyên lý ánh xạ co
Banach, không gian Banach và cuối cùng là điểm bất động của ánh
xạ Kannan trong không gian metric suy rộng.
Trong chương 2 chúng tôi trình bày các khái niệm về nón, nón
chuẩn tắc và xây dựng quan hệ thứ tự xác định bởi nón trong không
gian Banach thực. Sau đó chúng tôi trình bày về khái niệm metric
nón, không gian metric nón và sự hội tụ trong không gian metric nón.

Trong chương 3 chúng tôi trình bày các kết quả về điểm bất động
của ánh xạ co T-Kannan trong không gian metric nón.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về
không gian metric, không gian metric đầy đủ, nguyên lý ánh xạ co
Banach, không gian Banach và cuối cùng là định lý điểm bất động
của ánh xạ Kannan trong không gian metric suy rộng.
1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một tập hợp X = ∅
cùng với một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện sau:
1. d(x, y)  0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X, (tiên đề đồng
nhất);
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, (tiên đề đối xứng );
3. d(x, y)  d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X, (tiên đề tam giác).
Ánh xạ d gọi là metric trên X.
Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y.
Các phần tử của X gọi là các điểm.
6
Không gian metric được kí hiệu là (X, d).
Ví dụ 1.1.1. Cho C
[a,b]
là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn
[a, b], ta đặt
d(x(t), y(t)) = max
atb
|x(t) − y(t)|, ∀x(t), y(t) ∈ C
[a,b]
.

Khi đó (C
[a,b]
, d) là không gian metric.
Chứng minh.
∀x(t), y(t) ∈ C
[a,b]
thì x(t) − y(t) là hàm liên tục ∀t ∈ [a, b], khi
đó tồn tại max
atb
|x(t) − y(t)| hay d(x(t), y(t)) xác định trên C
[a,b]
.
Ta kiểm tra các điều kiện về metric.
1. ∀x(t), y(t) ∈ C
[a,b]
, ta có
|x(t) − y(t)|  0, ∀t ∈ [a, b].
Ta suy ra
max
atb
|x(t) − y(t)|  0, ∀t ∈ [a, b].
Do đó
d(x(t), y(t))  0, ∀x(t), y(t) ∈ C
[a,b]
.
d(x(t), y(t)) = 0 khi max
atb
|x(t) − y(t)| = 0.
Hay
|x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b].

Do đó x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b].
2. ∀x(t), y(t) ∈ C
[a,b]
, ta có
d(x(t), y(t)) = max
atb
|x(t) − y(t)|
= max
atb
|y(t) − x(t)|
= d(y(t), x(t)).
7
Do đó d(x(t), y(t)) = d(y(t), x(t)), ∀x(t), y(t) ∈ C
[a,b]
.
3. ∀x(t), y(t), z(t) ∈ C
[a,b]
, ta có
d(x(t), y(t)) = max
atb
|x(t) − y(t)|
= max
atb
|x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|
 max
atb
|x(t) − z(t)| + max
atb
|z(t) − y(t)|
= d(x(t), z(t)) + d(z(t), y(t)).

Do đó d(x(t), y(t))  d(x(t), z(t)) + d(z(t), y(t)),
∀x(t), y(t) , z(t) ∈ C
[a,b]
.
Vậy (C
[a,b]
, d) là một không gian metric.

Định nghĩa 1.1.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy điểm
{x
n
} ⊂ X, điểm x
0
∈ X. Dãy điểm {x
n
} được gọi là hội tụ
đến điểm x
0
trong không gian X, nếu với ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, với
∀n  n
0
thì d(x
n
, x
0
) < ε.

Kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x
0
hay x
n
→ x
0
khi n → ∞.
Điểm x
0
được gọi là giới hạn của dãy {x
n
} trong không gian X.
Ví dụ 1.1.2. Sự hội tụ của một dãy hàm trong không gian C
[a,b]
tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn
[a, b].
Chứng minh.
Thật vậy, giả sử dãy hàm {x
n
(t)} ⊂ C
[a,b]
hội tụ tới hàm x (t) trong
không gian C
[a,b]
. Theo định nghĩa, ∀ε > 0, ∃ n
0

∈ N
∗
, ∀n  n
0
thì
d (x
n,
x) = max
atb
|x
n
(t) − x (t)| < ε.
8
Suy ra
|x
n
(t) − x (t)| < ε, ∀n > n
0
, ∀t ∈ [a, b] . (1.1)
Các bất đẳng thức (1.1) chứng tỏ dãy hàm số liên tục {x
n
(t)} hội
tụ đều tới hàm số x (t) trên đoạn [a, b].
Ngược lại, giả sử dãy hàm số {x
n
(t)} ⊂ C
[a,b]
hội tụ đều tới hàm số
x (t) trên đoạn [a, b].
Khi đó x (t) liên tục trên đoạn [a, b], nghĩa là x (t) ∈ C

[a,b]
. Theo
định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm thì
∀ε > 0, ∃ n
0
∈ N
∗
, ∀n  n
0
và ∀t ∈ [a, b] ta có
|x
n
(t) − x (t)| < ε.
Suy ra
max
atb
|x
n
(t) − x (t)| < ε, ∀n  n
0
,
hay
d (x
n
, x) < ε, ∀n  n
0
.
Do đó dãy hàm số {x
n
(t)} hội tụ tới hàm số x (t) theo metric của

không gian C
[a,b]
.

Định nghĩa 1.1.3. [1]. Cho không gian metric (X, d). Dãy điểm
{x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) trong X, nếu
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n, m  n
0
thì d(x
n
, x
m
) < ε, hay
lim
n,m→∞
d(x
n
, x
m
) = 0.
Ví dụ 1.1.3. Cho không gian metric (C
[0,1]
, d) với metric d được
định nghĩa như sau:

d(x, y) =

1
0
|x(t) − y(t)|dt.
9
Xét dãy {x
n
} ⊂ C
[0,1]
với
x
n
(t) =













0 khi 0  t <
1
4

nt −
n
3
khi
1
4
 t 
1
4
+
1
n
1 khi
1
4
+
1
n
< t  1.
Khi đó {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian (C
[0,1]
, d).
Chứng minh.
∀n, m ∈ N
∗
, m > n, ∀t ∈ [0, 1] ta có
d(x
n

, x
m
) =

1
0
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
=

1
4
0
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt +

1
4
+
1
n
1
4
|x

n
(t) − x
m
(t)|dt
+

1
1
4
+
1
n
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
=

1
4
0
|0 − 0|dt +

1
4
+
1
n
1

4
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
+

1
1
4
+
1
n
|1 − 1|dt
=

1
4
+
1
n
1
4
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt.
Vì

|x
n
(t) − x
m
(t)|  1, ∀m, n ∈ N
∗
, ∀t ∈ [0, 1] .
Nên ta có

1
4
+
1
n
1
4
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt 

1
4
+
1
n
1
4
dt =

1
n
.
10
Suy ra
0  d(x
n
, x
m
) 
1
n
.
Mà
lim
n→∞
1
n
= 0.
Theo nguyên lý giới hạn kẹp ta có
lim
n,m→∞
d (x
n
, x
m
) = 0.
Hay {x
n
} là một dãy Cauchy trong (C

[0,1]
, d).

Định nghĩa 1.1.4. [1]. Không gian metric (X, d) được gọi là không
gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong không gian này đều
hội tụ tới một điểm thuộc X.
Ví dụ 1.1.4. Cho không gian R
k
với metric xác định bởi:
d(x
(n)
, x
(m)
) =




k

j=1

x
(n)
j
− x
(m)
j

2

,
∀ x
(n)
=

x
(n)
1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k

, x
(m)
=

x
(m)
1
, x
(m)
2
, , x
(m)
k

∈ R

k
.
Khi đó không gian R
k
là không gian metric đầy đủ.
Chứng minh.
Giả sử x
(n)
=

x
(n)
1
, x
(n)
2
, , x
(n)
k

, (n=1, 2, ) là dãy Cauchy tùy
ý trong không gian Euclide R
k
. Theo định nghĩa dãy Cauchy với
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n, m  n
0

, thì
d(x
(n)
, x
(m)
) < ε,
11
hay




k

j=1

x
(n)
j
− x
(m)
j

2
< ε.
Suy ra



x

(n)
j
− x
(m)
j



< ε, ∀m, n  n
0
, ∀j = 1, 2, , k. (1.2)
Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ, với mỗi j = 1, 2, ,k, dãy

x
(n)
j

là dãy số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn
lim
n→∞
x
(n)
j
= x
j
, (j = 1, 2, , k) .
Đặt x = (x
1
, x
2

, , x
k
), ta nhận được dãy

x
(n)

⊂ R
k
đã cho hội
tụ theo tọa độ tới x. Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclide R
k
tương đương với sự hội tụ theo tọa độ, nên dãy Cauchy

x
(n)

đã
cho hội tụ tới x trong không gian R
k
.
Vậy không gian Euclide R
k
là không gian metric đầy đủ.

Ví dụ 1.1.5. Cho X là tập hợp tất cả các hàm số x (t) liên tục
trên R sao cho x (t) = 0 ngoài một đoạn nào đó (đoạn này phụ
thuộc từng hàm số x (t)). Với hai hàm số bất kỳ x (t) , y (t) ∈ X
ta đặt
d (x, y) = max

t∈R
|x (t) − y (t)| .
Khi đó (X, d) là một không gian metric không đầy đủ.
Chứng minh.
Thật vậy, ta xét dãy hàm {x
n
(t)
} ⊂ X xác định như sau:
x
n
(t) =



1
t
2
+ 1
−
1
n
2
+ 1
nếu |t|  n
0 nếu |t| > n.
12
Ta thấy {x
n
} là dãy các hàm liên tục và bằng 0 ngoài đoạn [−n, n].
Với mọi n, p ∈ N, ta có

d (x
n+p
, x
n
) = max
t∈R
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|
= max
|t|<n+p
|x
n+p
(t) − x
n
(t)| .
Mặt khác
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|
=














1
n
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1
với |t|  n
1
t
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1
với n < |t|  n + p
0 với |t| > n + p.
Do đó,

d (x
n+p
, x
n
) = max
t∈R
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|
= max
|t|<n+p
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|

1
n
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1
<
1

n
2
+ 1
.
Suy ra
lim
n→∞
d (x
n+p
, x
n
) = 0.
Vậy {x
n
} là một dãy Cauchy trong X.
Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằng
phản chứng.
Giả sử X là không gian metric đầy đủ. Dãy {x
n
} hội tụ đến x ∈ X
hay tồn tại x ∈ X sao cho lim
n→∞
d (x
n
, x) = 0.
13
Xét hàm

x
(t) =

1
t
2
+ 1
, t ∈ R.
Ta có

x (t) liên tục trên R và 0 <

x (t)  1, ∀t ∈ R.
Do

x (t) = 0, ∀t ∈ R nên

x (t) /∈ X.
Mặt khác, ta có với ∀t ∈ R,
0  |

x (t) − x (t)|
 |

x (t) − x
n
(t)| + |x
n
(t) − x (t)|

1
n
2

+ 1
+ max
t∈R
|x
n
(
t) − x (t)|
=
1
n
2
+ 1
+ d (x
n
, x) .
Suy ra,
0  |

x (t) − x (t)| 
1
n
2
+ 1
+ d (x
n
, x) . (1.3)
Từ (1.3) cho n → ∞ ta được |

x (t) − x (t)| = 0, ∀t ∈ R.
Suy ra x (t) =


x (t) /∈ X, mâu thuẫn với giả thiết x (t) ∈ X.
Mâu thuẫn trên chứng tỏ tồn tại một dãy Cauchy trong không gian
(X, d) nhưng không hội tụ đến phần tử trong (X, d).
Do đó (X, d) là không gian metric không đầy đủ.

Định nghĩa 1.1.5. [1]. Cho hai không gian metric (X, d
1
) và
(Y, d
2
) . Ánh xạ T : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại
số k ∈ [0, 1) sao cho
d
2
(T x, T y)  kd
1
(x, y), ∀x, y ∈ X.
Định lý 1.1.1. [1]. Nguyên lý ánh xạ co Banach
Mọi ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ đều có điểm bất
động duy nhất.
14
Chứng minh.
Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ, T : X → X là ánh
xạ co. Ta lấy điểm x
0
bất kỳ, x
0
∈ X và lập dãy lặp
x

1
= T x
0
, x
2
= T x
1
, . . . , x
n
= T x
n−1
, . . .
Vì T là ánh xạ co nên tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) thỏa mãn
d(T x
1
, T x
0
)  kd(x
1
, x
0
).
d(x
2
, x
1
) = d(T x
1
, T x
0

)  kd(x
1
, x
0
) = kd(T x
0
, x
0
).
d(x
3
, x
2
) = d(T x
2
, T x
1
)  kd(x
2
, x
1
)  k
2
d(T x
0
, x
0
).
· · ·
d(x

n+1
, x
n
) = d(T x
n
, T x
n−1
)  kd(x
n
, x
n−1
)
= kd(T x
n−1
, T x
n−2
)  k
2
d(x
n−1
, x
n−2
)
= k
2
d(T x
n−2
, T x
n−3
)  k

3
d(x
n−2
, x
n−3
).
· · ·
= k
n−1
d(T x
1
, T x
0
)  k
n
d(x
1
, x
0
) = k
n
d(T x
0
, x
0
).
∀n = 1, 2, . . .
Từ đó suy ra với ∀m, n ∈ N
∗
ta có

d(x
n+m
, x
n
) 
m

k=1
d(x
n+k
, x
n+k−1
)
 d(T x
0
, x
0
)
m

k=1
k
n+k−1
=
k
n
− k
n+m
1 − k
d(T x

0
, x
0
)

k
n
1 − k
d(T x
0
, x
0
).
Vì k ∈ [0, 1) nên lim
n→∞
k
n
= 0, do đó
lim
n→∞
d(x
n+m
, x
n
) = 0, ∀m ∈ N
∗
15
nghĩa là dãy {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ

(X, d).
Do đó {x
n
} hội tụ tới x
∗
∈ X.
Ta chứng minh x
∗
là điểm bất động của ánh xạ T trong X.
Ta có
d(T x
∗
, x
∗
)  d(T x
∗
, x
n
) + d(x
n
, x
∗
)
= d(T x
∗
, T x
n−1
) + d(x
n
, x

∗
)
 kd(x
∗
, x
n−1
) + d(x
n
, x
∗
). ∀n = 1, 2, . . .
Do
lim
n→∞
d(x
n
, x
∗
) = lim
n→∞
d(x
n−1
, x
∗
) = 0,
nên ta suy ra
d(T x
∗
, x
∗

) = 0 hay T x
∗
= x
∗
.
Vậy x
∗
là điểm bất động của ánh xạ T .
Bây giờ ta chứng minh x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ
T trên X.
Giả sử tồn tại điểm y
∗
∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ T.
Thế thì
d(x
∗
, y
∗
) = d(T x
∗
, T y
∗
)  kd(x
∗
, y
∗
).
Suy ra

d(x
∗
, y
∗
) − kd(x
∗
, y
∗
)  0,
hay
(1 − k)d(x
∗
, y
∗
)  0.
Do k < 1 nên ta có
d(x
∗
, y
∗
) = 0.
Suy ra x
∗
= y
∗
.
Vì vậy x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T.
Định lý được chứng minh.


16
Ví dụ 1.1.6. Chứng minh phương trình x + b sin x − π = 0 (b là
hằng số, b ∈
(0, 1)) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh.
Ta viết lại phương trình dưới dạng
x = π − b sin x.
Đặt Tx = π − b sin x, ta nhận được ánh xạ T từ không gian đầy
đủ R vào chính nó. Ta chứng minh sin t < t, ∀t > 0.
Xét hàm số
f(t) = sin t − t, ∀t ∈ R.
Ta có
f

(t) = cos t − 1  0, ∀t ∈ R.
Do đó hàm số f(t) là hàm nghịch biến với mọi t ∈ R.
Suy ra
f(t) < f(0), ∀t > 0,
hay
sin t − t < 0, ∀t > 0.
Vậy
sin t < t, ∀t > 0.
Giả sử x > x

, khi đó ta có
|T x − T x

| = |b sin x − b sin x


|
= 2|b|| cos
x + x

2
| · | sin
x − x

2
|
 2b|
x − x

2
|
= b|x − x

|.
Vì b ∈ (0, 1) nên T là ánh xạ co. Hơn nữa R là không gian metric
đầy đủ nên theo nguyên lý ánh xạ co Banach thì ánh xạ T có điểm
bất động duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

17
1.2 Không gian Banach
Định nghĩa 1.2.1. [1]. Cho X là không gian tuyến tính trên trường
K (thực hoặc phức). Một ánh xạ  ·  : X → R được gọi là một
chuẩn nếu thỏa mãn các tiên đề sau:
1. x  0, ∀x ∈ X,
x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ);
2. λx = |λ||x, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;

3. x + y  x + y, ∀x, y ∈ X.
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta kí hiệu không gian định
chuẩn là (X,  · ).
Ví dụ 1.2.1. Cho không gian tuyến tính thực
R
n
= {x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) : x
i
∈ R} và ánh xạ  ·  : R
n
→ R,
xác định bởi
x = max
1in
|x
i
| .
Khi đó (R
n
,  · ) là một không gian định chuẩn.
Chứng minh.
∀x = (x
1
, x

2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
suy ra |x
1
| , |x
2
| , , |x
n
| ∈ R.
Do đó ∃ max { |x
1
| , |x
2
| , , |x
n
| }.
Vậy x = max
1in
|x
i
| hoàn toàn xác định.
Ta kiểm tra các điều kiện của Định nghĩa 1.2.1.
1. Hiển nhiên
x = max
1in
|x
i

|  0, ∀x ∈ R
n
.
18
Ta có
x = 0 ⇔ max
1in
|x
i
| = 0.
Suy ra
x
i
= 0, ∀i = 1, 2, . . . , n.
Vậy x = θ ∈ R
n
.
2. ∀x ∈ R
n
, ∀λ ∈ R, ta có
λx = max
1in
|λx
i
|
= λ max
1in
|x
i
|

= |λ|x.
3. ∀x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), y = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
) ∈ R
n
ta có
∀i = 1, 2, n, |x
i
+ y
i
|  |x
i
| + |y
i
|  max
1in
|x
i
| + max
1in

|y
i
| .
Suy ra
max
1in
|x
i
+ y
i
|  max
1in
|x
i
| + max
1in
|y
i
| .
Vậy
x + y  x + y.
Suy ra  ·  là một chuẩn trên R
n
.
Vậy (R
n
,  · ) là không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.2.2. [1]. Cho không gian định chuẩn X, dãy điểm
{x

n
} ⊂ X gọi là hội tụ tới x ∈ X, nếu
lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x, hay x
n
→ x khi n → ∞.
19
Định nghĩa 1.2.3. [1]. Cho không gian định chuẩn X, dãy điểm
{x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản), nếu
lim
n,m→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Hay với ∀ε > 0, ∃ n
0
∈ N
∗

sao cho ∀n, m  n
0
, ta có
x
n
− x
m
 < ε.
Định nghĩa 1.2.4. [1]. Không gian định chuẩn X được gọi là không
gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm
thuộc X.
Ví dụ 1.2.2. Cho không gian véctơ l
2
. Đối với véctơ bất kỳ x =
(x
n
) ∈ l
2
ta đặt
x =




∞

n=1
|x
n
|

2
.
Khi đó l
2
là không gian Banach.
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh l
2
là không gian định chuẩn.
x =




∞

n=1
|x
n
|
2
 0, ∀x ∈ l
2
.
x = 0 ⇔




∞


n=1
|x
n
|
2
= 0.
Suy ra
x
n
= 0, ∀n = 1, 2, 3
20
vậy
x = θ.
2. ∀λ ∈ R ta có
λx =




∞

n=1
|λx
n
|
2
= |λ|





∞

n=1
|x
n
|
2
= |λ| x .
Vậy
λx = |λ| x , ∀λ ∈ R.
3. ∀x, y ∈ l
2
ta có
x + y =




∞

n=1
|x
n
+ y
n
|
2






∞

n=1
|x
n
|
2
+




∞

n=1
|y
n
|
2
.
Vậy
x + y  x + y , ∀x, y ∈ l
2
.
Do đó l
2

là không gian định chuẩn.
Bây giờ ta chứng minh l
2
là không gian định chuẩn đầy đủ.
Thật vậy, giả sử x
(n)
=

x
1
(n)
, x
2
(n)
, , x
(n)
k
,

, n = 1, 2, 3,
là dãy Cauchy tùy ý trong l
2
. Theo định nghĩa dãy Cauchy
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
sao cho ∀m, n  n
0
ta có




x
(n)
− x
(m)



=




∞

k=1



x
(n)
k
− x
(m)
k




2
< ε.
21
Ta suy ra




p

k=1



x
(n)
k
− x
(m)
k



2
< ε, ∀m, n  n
0
, p ∈ N
∗
, (1.4)
hay




x
(n)
k
− x
(m)
k



< ε, ∀m, n  n
0
, ∀k = 1, 2, 3, (1.5)
Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ rằng với mỗi k cố định ta có

x
(k)
n

là dãy Cauchy nên nó tồn tại giới hạn, giả sử
lim
n→∞
x
(n)
k
= x
k
, ∀k = 1, 2, 3

Đặt
x = (x
1
, x
2
, , x
k
, ) = (x
k
) .
Vì các bất đẳng thức (1.4) không phụ thuộc vào p nên chuyển qua
giới hạn khi m → ∞ ta được.




p

k=1



x
(n)
k
− x
k




2
< ε, ∀n  n
0
, p ∈ N
∗
. (1.6)
Tiếp tục chuyển qua giới hạn các bất đẳng thức (1.6) khi p → ∞ ta
được.




∞

k=1



x
(n)
k
− x
k



2
< ε, ∀n  n
0
. (1.7)

Hơn nữa ta có
|x
k
|
2
=



x
k
− x
(n)
k
+ x
(n)
k



2





x
(n)
k
− x

k



+



x
(n)
k




2
.
Do đó
|x
k
|
2
 2



x
(n)
k




2
+ 2



x
(n)
k
− x
k



2
, ∀k, n = 1, 2, 3 (1.8)