tài liệu Toán cao cấp

1 CHƯƠNG 1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1.1 Ma trận
1.1.1 Định nghĩa.
Ma trận A cấp
m n

trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được
biểu diễn như sau:
11 12 1
21 22 2
1 2



n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a

 
 
 
 
 
 
  
=



ij
m n
a

,
1, , 1,
i m j n
  

Trong đó:
ij
a R

: là phần tử thuộc dòng
i
và cột
j
của ma trận A.
m : số dòng của ma trận A.
n : số cột của ma trận A.


1 2

i i in
a a a
: dòng thứ i của ma trận A.
1
2

j
j
mj
a
a
a
 
 
 
 
 
 
 
: cột thứ j của ma trận A.
Ký hiệu
( )
m n
M R

là tập hợp các ma trận cấp
m n

trên
R
.
Ví dụ. Xét ma trận
1 0 2
1 2 0
B 


 
 
 
. Ma trận B là ma trận cấp
2 3

.
1.1.2 Các dạng đặc biệt của ma trận.
1) Ma trận dòng
Ma trận dòng là ma trận có một dòng và n cột, ký hiệu là A =


1 2

n
a a a

Ví dụ.


2 8 3
A  
2) Ma trận cột
Ma trận cột là ma trận có
m
dòng và một cột, ký hiệu là :
1
2
m

a
a
A
a
 
 
 

 
 
 


Ví dụ.
1
2
4
0
A 

 
 
 
 
 
 

3) Ma trận không:
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu
0 0

m n



Ví dụ.
3 2
0 0
0 0
0 0 0 0 ; 0
0 0
0 0

 
 
 
  
 
 
 
 
 


4) Ma trận vuông cấp n:
Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng n, ký hiệu là
 
11 12 1
21 22 2
ij
1 2

n
n
n
n n nn
a a a
a a a
A a
a a a
 
 
 
 
 
 
 
  

Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu :
( )
n
A M R

.
Đường thẳng đi qua các phần tử
11 22 33
, , , ,
nn

a a a a
được gọi là đường chéo chính của
ma trận A. Đường thẳng đi qua các phần tử
1 2( 1) 3( 2) 1
, , , ,
n n n n
a a a a
 
được gọi là đường
chéo phụ của ma trận A.
Ví dụ.
Ma trận
1 1 4
1 2 0
4 0 3
A

 
 

 
 
 
 
là một ma trận vuông. Đường thẳng đi qua các phần tử 1,2,-3 là
đường chéo chính.
5) Ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính
đều bằng 0.

Ví dụ.
1 2 3
0 2 4
0 0 1
A
 
 

 
 

 

Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính
đều bằng 0.

Ví dụ.
1 0 0
0 2 0
5 4 1
A
 
 

 
 
 
 

6) Ma trận chéo

Ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử không nằm trên đường chéo chính bằng 0
Ví dụ.
1 0 0
0 2 0
0 0 3
A
 
 

 
 

 

7) Ma trận đơn vị cấp n
Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1.
Ký hiệu là
n
I I

.
Ví dụ.
2 3
1 0 0
1 0
; 0 1 0
0 1
0 0 1
I I
 

 
 
 
 
 
 
 
 
;
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
 
 
 

 
 
 
.
8) Ma trận chuyển vị
Chuyển vị của ma trận A

là ma trận có được từ A bằng cách viết các hàng của ma trận A
theo thứ tự thành cột, ký hiệu là A
t
.

Ví dụ. Cho
1 1 4
1 2 1
5 2 3
A

 
 

 
 
 
 
. Khi đó
1 1 5
1 2 2
4 1 3
t
A

 
 

 
 
 
 

9) Ma trận đối xứng
Ma trận vuông



ij
n
A
a
 gọi là ma trận đối xứng nếu
ij ji
, , 1,
a a i j n
  
, tức là
t
A
A


Ví dụ. Ma trận
1 1 4
1 2 0
4 0 3
A

 
 

 
 
 
 

là một ma trận đối xứng.
1.1.3 Các phép toán về ma trận
1) Hai ma trận bằng nhau.
Hai ma trận cùng cấp
( )
n m
A M R

 và
( )
n m
B M R

 gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương
ứng của chúng bằng nhau, tức là:
( , )
ij ij
A B a b i j
    .
Ví dụ. Cho
1 2 1 2
,
2 1
A B
a a b
   
 
   

   

. Tìm
,
a b
sao cho
A B


Theo định nghĩa trên giải được
2, 1
a b
  
.
2) Phép nhân một số với ma trận.
Cho
0
c

và ma trận


ij
( )
m n
m n
A M R
a


 
. Khi đó :

( )
ij m n
cA ca


Ví dụ. Cho
1 2 3
2 1 0
A
 

 
 
. Khi đó
1 2 3 2 4 6
2 2
2 1 0 4 2 0
A
  
   
   
   
 
   
.
1 2 3
2 1 0
A
  
 

 
 
 
 
và
3 6 9
3
6 3 0
A
 

 
 

3) Phép cộng hai ma trận.
Cho


ij
m n
A a


và


ij
m n
B b



. Tổng của A và B là ma trận


ij
m n
C c


được xác định như
sau:


, 1, , 1,
ij ij ij
c a b i m j n
    

Ví dụ. Với
1 2 3
2 3 1
A
 

 
 
và
1 1 1
0 1 0
B


 

 
 
,
1 3 1
0 4 0
C

 

 
 
. Khi đó
0 3 4 2 3 2
; 2
2 4 1 2 4 1
A B A B C

   
    
   

   

Nhận xét. Phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi hai ma trận đó cùng cấp.
4) Phép nhân một dòng với một cột
Cho
1

( )
n
A M R


và
1
( )
n
B M R





1 2

n
A a a a

;
1
2
n
b
b
B
b
 
 

 

 
 
 


Khi đó AB gọi là tích (vô hướng) của một dòng với một cột:
1 1 2 2

n n
AB a b a b a b
   

Ví dụ.


1 2 0 7
A  
và
3
2
6
2
B
 
 

 


 
 
 
thì : AB  (–1).3 + 2.(–2) + 0.6 + 7.2  7.
5) Phép nhân hai ma trận
Cho
( )
m k
A M R


và
( )
k n
B M R


. Gọi A
1
, A
2
, , A
m
là m dòng của A;
(1) (2) ( )
, , ,
n
B B B
là
n cột của B.

Ta viết:
1
2
m
A
A
A
A
 
 
 

 
 
 

và


(1) (2) ( )

n
B B B B
Với


1 2

i i i ik
A a a a


và
1
2
( )
j
j
j
kj
b
b
B
b
 
 
 

 
 
 
 

.
Khi đó C = AB gọi là ma trận tích của A với B và phần tử
ij
c
của C được xác định như
sau
( )
1 1 2 2

j
ij i i j i j ik kj
c A B a b a b a b
    

Nhận xét
Phép nhân hai ma trận AB chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng của ma
trận B. Với
( )
m k
A M R

 và
( )
k n
B M R

 thì
( )
m n
C M R


Nói chung
AB BA

. Trường hợp
AB BA


thì ta nói A và B là hai ma trận giao hoán.
Ví dụ. Cho
1 0
1 1
A
 

 
 
và
1 2
0 1
B
 

 
 
. Khi đó
1 2 3 2
1 3 1 1
AB BA  
   
   
   
.
Ví dụ. Cho
1 2
3 0
2 4
A

 
 
 
 
 
 
,
1 2 3 4
2 1 0 3
B
 

 

 
.
Ta có:






1 2 3
1 2 , 3 0 , 2 4
A A A   
và
(1) (2) (3) (4)
1 2 3 4
, , ,

2 1 0 3
B B B B
       
   
       

       
. Khi đó ma trận AB xác định bởi :
 
(1)
11 1
1
1 2 1.1 2( 2) 3
2
c A B
 
      
 

 
, tương tự
12 13 14 21 22 23 24
31 32 33 34
4, 3, 10, 3, 6, 9, 12
6, 8, 6, 20
c c c c c c c
c c c c
          
    
.

Vậy
3 4 3 10
3 6 9 12
6 8 6 20
AB

 
 
    
 
 

 

Ví dụ.
1 5 2
1 2 3
, 0 1 0
3 1 0
3 2 4
A B

 
 
 
 
 
 

 

 

 
. Khi đó
8 1 14
;
3 14 6
AB BA
 

 
 
 
không thực
hiện được.
1.1.4 Các tính chất của các phép toán trên ma trận
Phép cộng hai ma trận có các tính chất sau:
Cho
, ( )
m n
A B M R

 và
, \{0}
R
 

. Ta có :
1)
A B B A

  

2)( ) ( )
A B C A B C
    

3)
m n m n
O A A O A
 
   

4) ( )
m n
A A O

  
5)( ) ( )
A A
  


6) ( )
A B A B
  
  

7)( )
A A A
   

  

8)1 , 0. 0
A A A
 

Phép nhân hai ma trận có các tính chất sau:
1) ( )
A B C AB AC
  
,
2) ( ) ( )
A BC AB C

,
3) ( )
t t t
AB B A
 ,
4) ( ) ( ) ( )
c AB cA B A cB
 

1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Các phép biến đổi biến ma trận A thành ma trận A’ sau được gọi là các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng.
Loại 1 : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu :
'
i j
d d

A A


Loại 2 : Biến dòng i thành c lần dòng i
( 0)
c

, ký hiệu :
'
i i
d cd
A A


Loại 3 : Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j
( 0, )
c i j
 
, ký hiệu :
'
i i j
d d cd
A A
 


Ví dụ. Cho ma trận
1 2 3
4 5 6
7 8 9

A
 
 

 
 
 
. Ta có
2 2
2
1 2 3 1 2 3
4 5 6 ' 8 10 12
7 8 9 7 8 9
d d
A A

   
   
  
   
   
   

2 2 1
2
1 2 3 1 2 3
4 5 6 ' 6 9 12
7 8 9 7 8 9
d d d
A A

 
   
   
  
   
   
   

2 1
1 2 3 4 5 6
4 5 6 ' 1 2 3
7 8 9 7 8 9
d d
A A

   
   
  
   
   
   

1.1.6 Ma trận bậc thang
1) Ma trận khác không
( ),( , 2)
m n
A M R m n

 
được gọi là ma trận bậc thang dòng, nếu có

một số nguyên


(0 min , )
r r m n
  , và một dãy các chỉ số cột
1 2
1 , , ,
r
j j j n
 
, sao
cho :
) 0
ij
i a

nếu
r i m
 
hoặc
1
1
i
i r
j j
 


 



1 2
1 2
) 0
r
j j rj
ii a a a


Các phần tử
1 2
1 2
, ,
r
j j rj
a a a
gọi là các phần tử được đánh dấu của A. Nếu ngoài i) và ii)
còn có thêm:
1 2
1 2
) 1
r
j j rj
iii a a a
   

) 0,1
i
kj

iv a k i r
   

thì A được gọi là ma trận bậc thang dòng rút gọn.
Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang:
1 2 3 4
1 2 3
0 1 4 5
0 5 6 ;
0 0 1 0
0 0 0
0 0 0 1
A B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2) Ma trận khác không
( ),( , 2)
m n
B M R m n


 
được gọi là ma trận bậc thang cột (bậc
thang cột rút gọn) nếu chuyển vị
t
B
của
B
là một ma trận bậc thang dòng (bậc thang dòng
rút gọn).
1.1.7 Hạng của ma trận
Cho
( )
m n
A M R

 và B là ma trận bậc thang nhận được từ A bằng một số hữu hạn
các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng (số cột) khác không của B được gọi là hạng của
A, kí hiệu là rank(A) hoặc r(A).
Ví dụ .Tìm hạng của ma trận
1 2 3
4 5 6
3 3 9
A
 
 

 
 


 
.
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang:
3 3 2
2 2 1
3 3 1
3
4
'
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 0 3 6 0 3 6
3 3 9 0 9 18 0 0 0
d d d
d d d
d d d
A A
 
 
 
     
     
       
     
     

     

Ma trận bậc thang A’ có hai dòng khác 0 nên
( ) 2

rank A


Nhận xét.
Ma trận bậc thang có các đặc điểm sau:
1) Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của
dòng dưới.
2) Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với dòng khác 0.
Ta có thể dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa một ma trận bất kỳ về dạng bậc thang.
Ví dụ. Hãy đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng và bậc thang dòng rút gọn
1 2 3 4
2 4 1 10
3 6 1 15
A

 
 

 
 

 

Dùng phép biến đổi dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng như sau:
3 3 2
2 2 1
3 3 1
8
2
7

3
1 2 3 4 1 2 3 4
0 0 7 2 0 0 7 2
0 0 8 3 5
0 0 0
7
d d d
d d d
d d d
A B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 

2 2 2 2 3
1 1 2

1 1 3
3 3
1 2
3
7 7
7
4
5
1 2 3 4
1 2 3 0 1 2 0 0
2
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
7
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1
d d d d d
d d d
d d d
d d
B C
  
 
 


 

   
 
   

 
   
   
 
   
 
   
 

B là ma trận bậc thang của A, C là ma trận bậc thang rút gọn của A.
1.2 Định thức
1.2.1 Định thức cấp 2.
Cho


2ij
2
( )
A M R
a 
, định thức cấp 2 của ma trận A được xác định và ký hiệu như
sau
11 12
11 22 21 12
21 22
det
a a
A A a a a a
a a
   

Ví dụ. Cho
1 2
3 1
A
 

 

 
ta có :
1 2
det 1 1 2 ( 3) 7
3 1
A
      

.
1.2.2 Định thức cấp 3.
Cho


3ij
3
( )
A M R
a 
. định thức cấp 3 của ma trận A được xác định và ký hiệu
như sau :
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32

11
31 32 33
det
a a a
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
      

1.2.3 Định thức cấp n
Cho
( )
n
A M R
 , ta ký hiệu A(i,j) là ma trận có được từ A bằng cách bỏ dòng i và
cột j .
Ví dụ. Cho
1 3 4
4 5 6
3 2 3
A
 
 

 
 
 
thì
1 4
(2,2)
3 3

A
 

 
 

Phần phụ đại số của phần tử a
ij
là một số được xác định và kí hiệu như sau:
( 1) det ( , )
i j
ij
A A i j

 

Cho


ij
( )
n
n
A M R
a 
. Định thức cấp n của ma trận A được định nghĩa là:
11 12 1
21 22 2
1
1 2

det

n
n
n
pj pj
j
n n nn
a a a
a a a
A a A
a a a

 

  
(khai triển theo dòng p) hoặc
1
det
n
iq iq
i
A a A



(khai triển theo cột q).
Ví dụ. Cho

1 1 2 2
1 2 1 2
2 1 2 1
2 2 2 1
A
 
 
 

 
 
 
. Tính
det
A
.
Ta khai triển theo dòng 1 ta có :
1 1
11
2 1 2
( 1) 1 2 1 3
2 2 1
A

   
;
1 2
12
1 1 2
( 1) 2 2 1 0

2 2 1
A

  
;
1 3
13
1 2 2
( 1) 2 1 1 3
2 2 1
A

  
;
1 4
14
1 2 1
( 1) 2 1 2 0
2 2 2
A

  

Do đó
4
1 1
1
det 1.( 3) 1.0 2.3 2.0 3
j j
j

A a A

      


1.2.4 Các tính chất của định thức
Dựa vào định nghĩa của định thức ta suy ra được các tính chất sau:
1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi , tức là
det det
t
A A


2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là:
' det( ) det( ')
i j
d d
A A A A

   
3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một số
0
c


thì định thức không đổi
'
i i j
d d cd
A A

 

khi đó
det( ') det( )
A A

.
4) Ta có thể đưa thừa số chung
0
c

ra ngoài định thức, tức là:
'
i i
d cd
A A


khi đó
det( ') det( )
A c A

.
5) Cho
( )
n
A M R
 , nếu mỗi phần tử trên dòng (cột) của A là tổng của hai phần tử thì định
thức của A tách ra được thành tổng của hai định thức.
Ví dụ.

' ' ' '
a a b b a b a b
c d c d c d
 
  hoặc
' '
' '
a a b a b a b
c c d c d c d

 


6) Cho
, ( )
n
A B M R

khi đó
det det det
AB A B

.
Nhận xét.
1) Dựa vào các tính chất trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để tính định
thức cấp n.
Ví dụ. Cho
1 2 5
1 1 2
1 2 1

A
 
 

 
 

 
. Khi đó :
2 2 1
3 3 1
1 2 5 1 2 5
1 3
det( ) 1 1 2 0 1 3 1 6
4 6
1 2 1 0 4 6
h h h
h h h
A
 
 
 
      


2) Cho


ij
m n

A a


. Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0.
3) Cho


ij
n
A a

là ma trận vuông cấp n. Khi đó
( ) det 0
rank A n A
  

Ví dụ. Cho ma trận
1 2 3
4 5 6
3 3
A
m
 
 

 
 

 
. Tìm hạng của ma trận A theo m.

Ta có
det 9.
A m
 
Nếu
9
m

thì
( ) 2
rank A

; nếu
9
m

thì
( ) 3
rank A

.
1.3 Ma trận nghịch đảo
1.3.1 Định nghĩa
Cho ma trận
( )
n
A M R

. Ta nói ma trận A khả nghịch nếu
( )

n
B M R
 
thoả mãn:
n
BA AB I
 

Ta nói B (tồn tại duy nhất) là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu
1
B A



1.3.2 Định lí
Cho
( )
n
A M R
 . Khi đó A khả nghịch nếu và chỉ nếu
det 0
A


1.3.3 Tính chất
Nếu
, ( )
n
A B M R
 là hai ma trận khả nghịch thì :

1)
1 1
( )
A A
 


2)
1 1 1
( )
AB B A
  

3)
1 1
( ) ( )
t t
A A
 

4)
1 1
1
( )
cA A
c
 


5) Nếu A khả nghịch thì

 
1
1
det det
A A



1.3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
Người ta chứng minh được kết quả sau: Cho
( )
n
A M R
 là ma trận khả nghịch.
Khi đó những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành I
n
thì chúng cũng biến I
n

(theo thứ tự đó) thành
1
A

.
Từ đó ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo như sau:
Để tìm ma trận
1
A

với

11 12 1
21 22 2
1 2



n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 

 
 
 
  

Ta lập ma trận


n
A I
11 12 1
21 22 2
1 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
 
 
 

 
 
 
 
  
  

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với


n
A I
để biến A thành I
n

khi đó I
n
biến thành
1
A

.
Ví dụ. Tìm
1
A

với
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
 
 

 
 
 
.
Ta có :
 
3
1 3 2 1 0 0
1 4 2 0 1 0
1 3 3 0 0 1
A I

 
 

 
 
 
2 2 1
2 2 1
d d d
d d d
 
 

1 3 2 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
 
 

 
 

 

1 1 3
1 1 2
2
3
d d d
d d d

 
 

 
1
3
1 0 0 6 3 2
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
I A

   
 
 
 
 

 
.
Vậy
1
6 3 2
1 1 0
1 0 1
A

 
 
 
 

 
 

 

1.3.5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức
Ta gọi ma trận phụ hợp
A
P
của ma trận A là ma trận được xác định như sau:


ij
; , 1,
A ji
P A i j n
  

Để tìm
1
A

ta thực hiện hai bước
Bước 1. Tính
det
D A


Nếu
det 0

A

thì A không khả nghịch
Nếu
det 0
A

thì A khả nghịch, chuyển sang bước 2.
Bước 2. Lập ma trận phụ hợp
A
P
. Khi đó:
1
1
A
A P
D

 .
Ví dụ. Dùng phương pháp định thức tìm
1
A

của
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
 
 


 
 
 

Ta có:
det 1
D A
 

1 3
2 1
1 1 1 2
11 12 13
2 2 2 3
21 22 23
3 1 3 2 3 3
31 32 33
4 2 1 2 1 4
( 1) 6; ( 1) 1; ( 1) 1;
3 3 1 3 1 3
3 2 1 2 1 3
( 1) 3; ( 1) 1; ( 1) 0;
3 3 1 3 1 3
3 2 1 2 1 3
( 1) 2; ( 1) 0; ( 1) 1
4 2 1 2 1 4
A A A
A A A
A A A



 
 
  
          
         
         

Khi đó:
1
6 3 2
1
1 1 0
1 0 1
A
A P
D

 
 
 
  
 
 

 
.
Trong chương này chúng ta đã làm quen một đối tượng mới là ma trận, và các vấn đề
xoay quanh ma trận. Trong Toán học có những vấn đề dẫn đến việc giải hệ phương trình,

và để giải hệ phương trình đó đã nảy sinh ra khái niệm mới là ma trận. Để thấy rõ điều đó
ta sẽ nghiên cứu chương tiếp theo là Hệ phương trình tuyến tính.

BÀI TẬP CHƯƠNG I
1.1 Thực hiện các phép toán trên ma trận
 
   
4
2 2 1
1 1 3 2
) 1 2 3 4 ) 4 2 3
0 5 1 0
2 0 1
5
1 0
2 4 2 1 2
) 3 1 3 2 ) 4 1 2
3 1 3 4 1
4 3
a b
c d
 

 
 

 
 
 


 
 
 
 
 

 
 

 
   

   
   
 
   
   
 
   
   
   

e) Cho
2 2 1 2 1
1 1 2
, 4 2 3 , 7 2
5 1 3
2 0 1 1 6
A B C
 

   

 
   
  
 
   
 
   

   
.
Tính
T
3
3A+2B ,AB,AB-BA, BC, ABC, BA-3C+I

f) Cho
2 2
1 2
3
( ) 2 3 1, ( ) 2 ,
2 5
f x x x g x x x A
x
 
      
 
 
. Tính

( ), ( ).
f A g A

g) Cho
1 2 1 1
, , .
0 1 1 3 0
a a
A B C
a
     
  
     
     
Tính
10 2011
, ,
n
A B C
1.2 Cho
1 0 3 2 2 1
2 1 1 , 4 2 3
3 2 2 2 0 1
A B

   
   
 
   
   


   
. Tìm ma trận nghịch đảo
1 1
,
A B
 
(nếu có)
bằng 2 phương pháp đã học.
1.3 Tính các định thức sau:
2 3 1 1 0 3 2 2 1
2 3
) ) 0 2 2 ) 2 1 1 , ) 4 2 3
1 2
1 3 3 2 2 2 0 1
1 1 1 1 1
1 2 3 4 0
1 0 1 1 1
2 3 4 1 0
) ) )
1 1 0 1 1
3 4 1 2 0
1 1 1 0 1
4 1 2 3 0
1 1 1 1 0
a b c d B
m
a b c
a c b
e f g

b b a
c c a
 



1.4 Giải các phương trình sau:

1 3 2 1 0 3
) 3 7 5 0 ) 2 1 1 0
2 5 8 3 2 2
1 0 1 1
1 1 0
0 1 0 0
) 0 1 1 0 ) 0
1 0 2 1
1 2 1
1 0 1 2
a b
c d
 
 
 








  
     
  



  




1.5 Tìm hạng của các ma trận sau:
1 0 3 1 2 1
) 2 1 2 , ) 4 5 3
3 2 2 2 0 1
1 1 1 1 1
1 2 1 2
1 1 1 1 1
2 3 7 1
) )
1 1 1 1 1
1 1 3 5
1 1 1 1 1
10 2 4 15
1 1 1 1 1
a A b B
c C d D

   
   

  
   
   

   
 

 
 

 
 

 
 
 

 
  
 

 
 
 
 

 

2 CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1 Hệ phương trình tuyến tính

2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
Hệ phương trình gồm m phương trình n ẩn có dạng:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2




n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   


   




   

(3.1)
được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.Trong đó ,
ij i
a b R


,
1 2
, , ,
n
x x x
là các ẩn
số. Ta đặt
11 12 1
21 22 2
1 2



n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 

 
 
 
  

gọi là ma trận hệ số của (3.1)

1
2
m
b
b
B
b
 
 
 

 
 
 

: cột hệ số tự do,
1
2
n
x
x
X
x
 
 
 

 
 
 


: cột ẩn số.
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2



n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A B
a a a b
 
 
 

 
 
 
 
   
gọi là ma trận bổ sung (mở rộng) của hệ (3.1).
Với cách đặt như trên hệ (3.1) được viết lại :
AX B


Khi B=0 hệ (3.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Ngược lại ta gọi là hệ
không thuần nhất .
2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình
Nghiệm của hệ (3.1) là bộ số
1
2
n
c
c
C
c
 
 
 

 
 
 

sao cho
AC B

. Quá trình đi tìm tập
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gọi là giải hệ phương trình tuyến tính.
Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số ẩn (số phương trình có thể khác nhau) gọi là
tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3

3 2 1
4 2 2
3 3 3
x x x
x x x
x x x
  


  


  

(1)
Ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính là:
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
 
 

 
 
 

Ma trận nghịch đảo của A (đã có được từ ví dụ trước) là
1
6 3 2

1 1 0
1 0 1
A

 
 
 
 
 
 

 

Hệ
1
6 3 2 1 6
(1) 1 1 0 2 1
1 0 1 3 2
AX B X A B

  
    
    
      
    
    

    

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

1
2
3
6
1
2
x
x
x
 







.
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
3 4 3 3
2 2 3
x x x
x x x
x x x m
  



  


  


Hệ phương trình tương đương


1
t t
A X C X A C

  
 
1
6 1 1 1 3
3 1 0 3 0
2 0 1 2
t
m
X A C
m m

  
    
    
    
    

    
  
    

2.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2.2.1 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính (3.1) được gọi là hệ Cramer nếu
m n

và
det 0
A


11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2




n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   



   




   

(3.2)
Đặt
det( )
D A

và
( 1, )
j
D j n
 là định thức có được bằng cách thay cột j của D bởi cột tự
do. Khi đó hệ phương trình Cramer có nghiệm duy nhất xác định theo công thức:
1 2
1 2
, , ,
n
n
D
D D
x x x
D D D
   .
Ví dụ. Giải hệ phương trình :
1 2 3

1 2 3
1 2 3
1
2 6 0
3 4 2 0
x x x
x x x
x x x
  


  


  

.
Ta có :
1 1 1
2 6 1
3 4 2
A
 
 
  
 
 
 
,
det( ) 11 0

D A
  
,

1
1 1 1
0 6 1 8
0 4 2
D
    
,
2
1 1 1
2 0 1 7
3 0 2
D
   
,
3
1 1 1
2 6 0 26
3 4 0
D
  
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
1 2 3
8 7 26
, ,
11 11 11

x x x    
.
2.2.2 Định lý Kronecker – Capelli
Hệ (3.1) có nghiệm khi và chỉ khi
( ) ( )
r A r A B
 . Hơn nữa
i)
( ) ( )
r A r A B

 n : hệ (3.1) có nghiệm duy nhất.
ii)
( ) ( )
r A r A B
  n : hệ (3.1) có vô số nghiệm phụ thuộc
( )
n r

tham số.
iii)
( ) ( )
r A r A B

: hệ (3.1) vô nghiệm.
2.2.3 Định lý
Cho hai hệ phương trình tuyến tính có cùng m phương trình và n ẩn số với ma trận
mở rộng lần lượt là
' '
( );( ), ( 2)

A B A B m

. Khi đó nếu
' '
( )
A B
nhận được từ
( )
A B
bởi
một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng thì hai hệ phương trình tuyến tính đã cho
tương đương nhau.
Từ hai định lí trên ta đi đến phương pháp sau:
2.2.4 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính
Để giải hệ (3.1) ta thực hiện các bước:
Bước 1: Lập ma trận mở rộng của A:
 
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2



n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A B
a a a b

 
 
 

 
 
 
 
   

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận
( )
A B
về ma trận
' '
( )
A B
, trong
đó
'
A
là ma trận bậc thang (rút gọn). Dựa vào Định lý Kronecker – Capelli để kết luận
nghiệm.
Ví dụ. Giải hệ phương trình :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1
2 5 6
4 2 2

x x x
x x x
x x x
  


  


   

.
Ma trận hoá hệ phương trình trên ta thu được :
1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 3 7 1 0 0 40
2 5 1 6 0 1 1 4 0 1 1 4 0 1 0 15
1 4 2 2 0 2 3 3 0 0 1 11 0 0 1 11
         
       
    
       
       
  
       

Hệ có nghiệm duy nhất là :
1 2 3
40, 15, 11
x x x
   

Ví dụ . Giải hệ phương trình :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 5 3 1
4 3 8 4 0
x x x x
x x x x
x x x x
   


   


   

.
Ta có
 
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 1 5 3 1 0 7 4 0 4
4 3 8 4 0 0 0 0 0 2
A B
       
   
    
   
   

  
   
.
Suy ra :
( ) 3
r A B

. Mà
( ) 2 ( )
r A r A B
 
. Vậy hệ vô nghiệm.
Ví dụ . Giải hệ phương trình :
1 2 3
1 2 3
1
2 3 2
x x x
x x x
  


  

.
Ta có :
 
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 0 1 5 0
A B

     
 
   

   
1 0 4 1
0 1 5 0
 

 

 
.
Suy ra :
( ) ( ) 2 3
r A r A B n
   
, vậy hệ có vô số nghiệm.
Ta viết hệ thành
1 3 1 3
2 3 2 3
4 1 1 4
5 0 5
x x x x
x x x x
   
 

 
  

 
.
Vậy tập nghiệm của hệ có dạng
1
2
3
1 4
5 ( )
x t
x t t R
x t
 


 




.
Như vậy việc giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Crammer đòi hỏi hệ
phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau, ma trận hệ số phải là ma
trận khả nghịch trong khi đó phương pháp Gauss lại cho phép ta giải một hệ bất kỳ. Thực
chất phương pháp Gauss là phương pháp cộng mà trước đây ta đã học nhưng trong qúa
trình giải chỉ có hệ số thay đổi chứ các ẩn số vẫn giữ nguyên nên ta quan tâm đến những hệ
số và được viết thành ma trận.

BÀI TẬP CHƯƠNG II
2.1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3
1 3 1 2 3
2 3 2 2 1
) 1 ) 3 2 6 5
2 7 3
2 3 2 1
2 2 1
4 3 2 2
) 3 2 1 )
16 9 3 3
2 5 0
4 7 7 4
x x x x x x
a x x x b x x x
x x x x x
x y z t
x y z t
x y z t
c x y z t c
x y z t
x y z t
x y t z
     
 
 
      
 
 
      
 

   

   


   
 
    
 
    
 
    


   


2.2 Cho ma trận
1 0 1
1 1 1
1 2 2
A

 
 

 
 

 

. Tìm
1
A

, rồi giải các hệ phương trình sau:
1 1 1
) 2 ) 2 1 ) 2
2 2 5 2 2 2 2 5
x z x y z x z
a x y z b y z m c x y z
x y z x y z x y z
       
  
  
        
  
  
            
  

2.3 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau:
3 1 2 3 1 3 3
) 2 2 ) 1 ) 2 6 2
3 4 3 2 2 2 2 2 1
x y z x y z x y z
a x y mz b x y z m c x y z m
x my z x y z x y z m
         
  
  

         
  
  
           
  

2.4 Trong một ngày, khẩu phần ăn của mỗi người cần có 80g Protit, 50g Lipit, 450g
Gluxit. Hàm lượng các chất trên có trong 1g thức ăn A và B như sau:
Thức ăn Chất dinh dưỡng
A B
Protit (g) 0,1 0,2
Lipit (g) 0,2 0,3
Gluxit (g) 0,6 0,4

Hãy lập phương trình ma trận cho bài toán trên. Hãy cho biết các ẩn số trong phương trình
ma trận trên cho biết điều gì?



3 CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ
3.1 Không gian Véc-tơ
3.1.1 Định nghĩa
Tập hợp V
 
được gọi là một không gian vectơ trên
R
nếu ta định nghĩa hai phép
toán cộng (+) và nhân vô hướng (.) trên
V
thỏa 10 tiên đề sau:

, , ; ,
u v w V R
 
   

1) , ,
u v V u v V
  

2)
u v v u
  

3)
( ) ( )
u v w u v w
    

4) 0 , 0 0
V u u u
     

5)
, ( ) : ( ) 0
u V u u u
      

1’) , ,
u V R u V
 

  

2’)
( ) ( ) ( )
u u u
    
 

3’) ( )
u u u
   
  

4’)


u v u v
  
   .
5’)
1
u u


3.1.2 Các Ví dụ về không gian Véc-tơ
1)
3
R
với phép cộng vectơ và phép nhân một số thực với một vectơ là không gian vectơ
trên

R

2) Tập hợp
( )
m n
M R

gồm tất cả các ma trận cấp
m n

trên
R
cùng với phép cộng các ma
trận và phép nhân một số với một ma trận tạo thành một không gian vectơ.
3) Tập hợp


2
P x
gồm các đa thức bậc không quá 2 cùng với phép cộng hai đa thức thông
thường và phép nhân một số với đa thức là một không gian véctơ trên
R
.
3.1.3 Tính chất.
Từ các tiên đề trên ta suy ra được vài tính chất sau của không gian Véc-tơ:
1)
0 0



2)
0 0
u


3) ( 1)
u u
  

4)
0 0 0
u u
 
    

, 0u u u
   
   

, 0
u v u v
  
   

5) Vectơ 0 và vectơ đối (-u) của u tồn tại duy nhất.
6) , , :
u v w V u w v w u v
      

3.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

3.2.1 Tổ hợp tuyến tính
Cho V là không gian vectơ trên R và các vectơ
1
, , ,
n
u u u V

. Ta nói u là tổ hợp
tuyến tính của hệ vectơ
1
{ , , }
n
u u
khi và chỉ khi tồn tại
1
, ,
n
R
 

sao cho

1 1

n n
u u u
 
   .
Ta cũng nói u biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ
1

{ , , }
n
u u

Ví dụ. Trong
3
R
, xét các vectơ
1 2 3
(2,3,1), (2,1,3), ( 2,0,0), (1,1, 1)
u u u u
     
. Khi
đó:
1 2 3
2
u u u u
   nên u là tổ hợp tuyến tính của các vectơ
1 2 3
, ,
u u u
.
Ví dụ. Trong
2
R
xét các vectơ
1 2 3
( 1,0), (0, 1), (1,1)
u u u     . Khi đó:
vec tơ



0 0,0

có ít nhất hai cách biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ
1 2 3
{ , , }
u u u

1 2 3 1 2 3
0 0 0 0 ; 0 1 1 1
u u u u u u
     
.
Tổ hợp tuyến tính
1 1

n n
u u
 
  của hệ
1
{ , , }
n
u u
gọi là tầm thường nếu
1
0
n
 

  
. Ngược lại, nếu tồn tại
0(1 )
i
i n

  
thì tổ hợp tuyến tính
1
n
i i
i
u



gọi
là không tầm thường.
3.2.2 Phụ thuộc tuyến tính
Hệ vectơ
1
{ , , }
n
u u
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại


1,
i
i n

R



thỏa
2
1
0
i
n
i




sao cho
1 1
0
n n
u u
 
  

Ví dụ.
Trong
3
R
xét các vectơ
1
(1,1,2)

u 
2
, ( 2,0,1)
u   ,
3
(1, 1, 3)
u
  
. Khi đó
1 2 3
0
u u u
  
nên hệ các vectơ {
1 2 3
, ,
u u u
} là phụ thuộc tuyến tính.
Tập hợp
S V
  
được gọi là tập phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại hệ các vectơ
1
{ , , }
n
u u S

sao cho hệ
1
{ , , }

n
u u
phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ. Trong
3
R
tập


1 2 3 4
(1,1,2), ( 2,0,1), (1, 1, 3), (1,5, 3)
S u u u u        
phụ
thuộc tuyến tính vì hệ vectơ


1 2 3
, ,
u u u S

và {
1 2 3
, ,
u u u
} là phụ thuộc tuyến tính.
3.2.3 Độc lập tuyến tính
Hệ vectơ
1
{ , , }
n

u u
được gọi là độc lập tuyến tính nếu
1 1
0
n n
u u
 
  
thì
1
0
n
 
  
.
Ví dụ. Hệ
1 2 3
(1,1,2), (1, 1, 1), (2,1,1)
u u u    
là độc lập tuyến tính vì từ
1 2 3
0
xu yu zu
  
ta suy ra
0
x y z
  
.
Tập hợp

S V
  
được gọi là tập độc lập tuyến tính nếu với mọi hệ các vectơ
1
{ , , }
n
u u S

thì
1
{ , , }
n
u u
là hệ các vectơ độc lập tuyến tính.
3.2.4 Các tính chất.
1) Mọi hệ chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
2) Mọi hệ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính.
3) Tập hợp
1
{ , , }
n
S u u

là phụ thuộc tuyến tính khi
i
u S
 
sao cho
i
u

là tổ hợp
tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.
4) Mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính.
5) Tập hợp
1
{ , , }
n
S u u

là độc lập tuyến tính nếu mọi
i
u
không là tổ hợp tuyến tính
của các vectơ còn lại trong S.
6) Tập hợp
S V
  
hoặc là tập độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ. Cho các vectơ
1 2
( 2,1, 1), (1, 1, 1)
u u
     
3
, ( 1,0, 2)
u
  
. Ta có
1 2 3
u u u

 

nên hệ các vectơ {
1 2 3
, ,
u u u
} phụ thuộc tuyến tính.
3.2.5 Định lý.
Trong không gian
n
R
cho hệ m vectơ








1 11 12 1 2 21 22 2 1 2
, , , , , , , , , , , ,
n n m m m mn
u a a a u a a a u a a a  

Đặt
11 12 1
21 22 2
1 2

n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 

 
 
 
,
Khi đó


1
, ,
m
u u
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi ( )
rank A m

.
Trong trường hợp

m n

thì


1
, ,
m
u u
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
( ) det 0
rank A n A
  
.
Ví dụ. Cho các vectơ
1 2
( 2,1, 1,1), (1, 1, 1,2)
u u     
,
3
( 1,0, 2,1)
u   
. Khi đó ta có
ma trận
2 1 1 1
1 1 1 2
1 0 2 1
A
 
 

 
  
 
 
 
 
có
( ) 3
r A

nên hệ các vectơ


1 2 3
, ,
u u u
là độc lập tuyến tính.
Ví dụ. Xét hệ vectơ
1 2
(2,1, 1), (1,1, 1)
u u
   
,
3
(3,2, 2)
u
 
. Khi đó ma trận
2 1 1
1 1 1

3 2 2
A

 
 
 
 
 

 
có
det 0
A

nên họ


1 2 3
, ,
u u u
là phụ thuộc tuyến tính.
3.3 Không gian Vectơ con
3.3.1 Định nghĩa.
Cho V là không gian vectơ trên R và
W V
  
. W được gọi là không gian con
của V nếu W cũng là không gian vectơ trên R với các phép toán cộng và nhân như trên V.
Ký hiệu
W V


.
Định lý sau cho ta điều kiện cần và đủ để tập W là không gian con của V
3.3.2 Định lý
Cho V là không gian vectơ trên R và
W V
  
. W là không gian con của V khi
và chỉ khi , ,
u v W R

  
:
u v W
 
và
u W


.
Ví dụ. Xét




3
1 2 3 1
, , / 0
W x x x x R
   . Khi đó W là không gian con của

3
R
.
Thật vậy




3
1 2 3 1 2 3
, , , , ,
x x x y y y R

sao cho
1 1
0
x y
 
. Ta có
1 1
0
x y
  


1 1 2 2 3 3
, , W
x y x y x y
   
,

1
0
x

 




3
1 2 3 1 2 3
, , , ,
x x x x x x R
   
 
.
3.3.3 Tập sinh – không gian vectơ sinh bởi một tập hợp.
Cho V là không gian vectơ trên R và


1
, ,
n
u u V

. Gọi S là tập tất cả các tổ hợp
tuyến tính của


1

, ,
n
u u
. Khi đó S là một không gian con của V, ta nói S là không gian
con của V sinh bởi


1
, ,
n
u u
. Ký hiệu là:
1
, ,
n
S u u

Quy ước
{0}
 
. Nếu
S V

thì ta nói S sinh ra V hay S là tập sinh của V.
3.3.4 Định lý
Cho


1
, ,

n
U u u

là một hệ hữu hạn các vectơ thuộc V và U’ là hệ vectơ nhận
được từ U sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó ta có
'
U U
 .
Ví dụ. Tìm
(1,1,1);(2,3,4)(4,5,6)

Ta lập ma trận dòng từ ba vectơ trên
1 1 1
2 3 4
4 5 6
A
 
 

 
 
 

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa A về ma trận bậc thang:
3 3 2
2 2 1
3 3 1
2
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 0 1 2 0 1 2
4 5 6 0 1 2 0 0 0
d d d
d d d
d d d
A
 
 
 
     
     
  
     
     
     

Vậy
(1,1,1);(2,3,4)(4,5,6) (1,1,1);(0,1,2)

3.4 Cơ sở- số chiều- tọa độ
3.4.1 Cơ sở, số chiều của không gian véctơ
Cho V là không gian vectơ V . Tập
B V
  
được gọi là cơ sở của V nếu B độc
lập tuyến tính và sinh ra V .
Khi đó số vectơ của B được gọi là số chiều của V . Ký hiệu là dimV.
Ví dụ. Trong không gian vectơ
3
R

, hệ vectơ


(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)
B 
độc lập tuyến
tính đồng thời B sinh ra V nên


(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)
B  là cơ sở của
3
R
và được gọi là
cơ sở chính tắc của
3
R
.
3.4.2 Định lý
Cho V là không gian vectơ trên R và


1
, ,
n
B u u
 là cơ sở của V, '
B V

. Khi

đó:
i) Nếu B’ có nhiều hơn n vectơ thì B’ phụ thuộc tuyến tính nên B’ không là cơ sở của V.
ii) Nếu B’ có ít hơn n vectơ thì B’ không sinh ra V nên B’ không là cơ sở của V.
iii) Nếu B’ có đúng n vectơ thì B’ là cơ sở của V

B’ sinh ra V

B’ độc lập tuyến
tính.
3.4.3 Định lý
Trong không gian vectơ hữu hạn chiều mọi họ vectơ độc lập tuyến tính đều có thể
bổ sung thành cơ sở
Ví dụ. Cho
(1,1,1);(2,3,4)(4,5,6)
S 
. Tìm dim S.