- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
Thống kê của dao động biến dạng g
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (399.24 KB, 39 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
ĐÀO THỊ GIANG
THỐNG KÊ
CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG G
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
ĐÀO THỊ GIANG
THỐNG KÊ
CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG G
Chun ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí tốn
Mã ngành : 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN
HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn: PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan,
người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và
truyền thụ cho tơi những kiến thức mang tính khoa học và hơn nữa là phương
pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng của cô đã giúp tôi tự tin
và giúp tơi vượt qua những khó khăn trong q trình hồn thành luận văn
cũng như trong q trình học tập và nghiên cứu của tôi. Đối với tôi cô luôn là
tấm gương sáng về tinh thần làm việc khơng mệt mỏi, lịng hăng say với khoa
học, lịng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế hệ trẻ.
Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý Trường Đại
Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo mọi
điều kiện giúp tơi hồn thành khóa học
Hà Nội, tháng 8 năm 2014
Học Viên
Đào Thị Giang
LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: Thống kê của dao động
biến dạng g, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hồn thành
khóa luận. Tơi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành là do sự nỗ lực
cuả bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình và hiệu quả của PGS.TS
Nguyễn Thị Hà Loan. Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác và kết quả
đạt được không trùng với kết quả cuả các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 8 năm 2014
Học Viên
Đào Thị Giang
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1: Thống kê của dao động tử ........................................................... 3
1.1. Dao động tử Boson.................................................................................... 3
1.2. Thống kê của dao động tử Boson.............................................................. 7
1.3. Dao động tử Fermion ............................................................................... 9
1.4. Thống kê của dao động tử Fermion ....................................................... 10
1.5. Dao động tử Paraboson .......................................................................... 11
1.6. Thống kê của dao động tử Paraboson .................................................... 13
Chương 2: Thống kê của dao động biến dạng khi thông số biến dạng
là c – số............................................................................................................ 14
2.1 Dao động tử Boson biến dạng c số.......................................................... .14
2.2 Thống kê của dao động tử Boson biến dạng c số .................................... 16
2.3 Dao động tử Fermion biến dạng c số ...................................................... 17
2.4 Thống kê của dao động tử Fermion biến dạng c số ................................ 18
2.5 Dao động tử Paraboson biến dạng c số ................................................... 19
2.6 Thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng c số ............................. 19
Chương 3: Thống kê của dao động biến dạng g ......................................... 21
3.1 Ưu thế của g biến dạng ............................................................................ 21
3.2 Dao động biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử ........................... 23
3.3 Thống kê của dao động biến dạng khi thơng số biến dạng là tốn tử ..... 27
3.4 Dao động tử Paraboson biến dạng khi thông số biến dạng là toán tử ...... 28
3.5 Thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng khi thông số biến
dạng là toán tử ................................................................................................ 31
KẾT LUẬN .................................................................................................... 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 33
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong vài chục năm gần đây có nhiều nhà vật lý quan tâm đến đại số
lượng tử và biểu diễn của chúng bởi chúng liên quan đến những vấn đề đa
dạng của vật lí lí thuyết như tán xạ ngược lượng tử, mẫu hịa tan chính xác
trong cơ học thống kê, lý thuyết trường conformal hữu tỉ, lí thuyết trường hai
chiều với thống kê phân số…
Cấu trúc đại số của nhóm lượng tử có thể được mơ tả một cách hình
thức như là sự biến dạng phụ thuộc vào một hay nhiều thông số của đại số Lie
cổ điển [3], [6], [10]. Trong trường hợp giới hạn đặc biệt của thơng số biến
dạng thì đại số lượng tử được đưa về đại số Lie thông thường.
Đặc biệt khi thông số biến dạng trở thành tốn tử[8], [9] thì lí thuyết
biến dạng lượng tử có nhiều ưu thế hơn so với lí thuyết biến dạng khi thơng
số biến dạng là c – số, ví dụ có sự thống nhất cao của lí thuyết trường biến
dạng khi thơng số biến dạng là tốn tử với lí thuyết trường khơng biến dạng
và điều này khơng có được trong lí thuyết trường biến dạng khi thơng số biến
dạng là c – số.
Chính vì sự ưu thế của đại số biến dạng khi thơng số biến dạng trở
thành tốn tử nên ở đề tài này em chọn nghiên cứu về thống kê của dao động
biến dạng khi thông số biến dạng trở thành tốn tử.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu thống kê của các dao động tử biến dạng tổng quát.
Nghiên cứu thống kê của dao động tử biến dạng g.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các dao động tử biến dạng đưa ra biểu diễn của các dao
động tử biến dạng và tính thống kê của chúng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tính thống kê dao động tử g – biến dạng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu nhóm đối xứng lượng tử và phương pháp
thống kê lượng tử.
Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý tốn.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Nghiên cứu dao động biến dạng và tính thống kê của các dao động
biến dạng đặc biệt là khi thơng số biến dạng trở thành tốn tử thì cho kết quả
đảm bảo được tính nhân quả trong lý thuyết trường lượng tử.
7. Cấu trúc luận văn
Chương 1: Thống kê của dao động tử
Nghiên cứu về dao động tử và tính thống kê của chúng.
Chương 2: Thống kê của dao động biến dạng khi thông số biến
dạng là c số
Nghiên cứu về dao động biến dạng c số và tính thống kê của chúng.
Chương 3: Thống kê của dao động biến dạng khi thơng số biến
dạng trở thành tốn tử
Nghiên cứu về dao động biến dạng khi thông số biến dạng là tốn tử và
tính thống kê của chúng.
3
CHƯƠNG 1
THỐNG KÊ CỦA DAO ĐỘNG TỬ
1.1.Dao động tử Boson [4]
Những hạt có spin nguyên gọi là những hạt Boson. Toán tử sinh a+ và
toán tử hủy a của dao động tử Boson sẽ tuân theo hệ thức giao hoán:
éa, a+ ù =1
ë
û
(1.1.1)
Gọi N là toán tử số dao động thì ta có thể định nghĩa tốn tử số dao
động N qua toán tử sinh, hủy a+, a như sau:
N = a+a
(1.1.2)
Từ định nghĩa toán tử số dao động N và các toán tử sinh hủy a + , a ta
chứng minh được các hệ thức giao hoán sau:
[N , a] = -a
éN , a+ ù = a+
ë
û
(1.1.3)
Thật vậy:
[ N , a ] = Na - aN
= a + aa - aa + a
= -a éa, a + ù
ë
û
= -a
é N , a + ù = Na + - a + N
ë
û
= a + aa + - a + a + a
= a + é a, a + ù
ë
û
= a+
Xét không gian Fock với trạng thái chân không 0 thỏa mãn điều kiện:
a 0 = 0
0 0
=1
(1.1.4)
4
Trong không gian Hilbert gọi n là vectơ riêng của tốn tử N ứng với
trị riêng n, ta có:
N n =n n
(1.1.5)
Để trạng thái n thỏa mãn (1.1.5) thì n phải có dạng
(a + )n
n =
0
n!
(1.1.6)
Sử dụng hệ thức (1.1.1) và (1.1.6) ta chứng minh được:
a n = n n -1
(1.1.7)
a+ n = n + 1 n + 1
Thật vậy:
Tác động toán tử a lên trạng thái n ta được:
(a )
=a
+
a n
n
(1.1.8)
0
n!
Từ (1.1.1) ta có:
aa + = 1 + a + a
( )
a (a )
a a+
2
+
3
( )a
= 3( a ) + ( a )
= 2a + a +
+
2
2
+
3
a
...........
( )
a a+
n
( )
= n a+
n -1
( )
+ a+
n
a
suy ra:
a n =
=
{(
1
n a+
n!
( )
n -1
(a )
n -1
n
a+
n!
+
= n
(n - 1)!
= n n -1
)
0 +
0
n -1
( )
+ a+
( )
1
a+
n!
n
n
}
a 0
a0
5
và:
(a )
+ n
a+ n = a+
(a )
=
n!
0
+ n +1
n!
0
(a )
+ n +1
= n
( n + 1) !
0
= n +1 n +1
suy ra:
N n = a+ a n
= a+ n n -1
= na + n - 1
= n n n
=n n
Toán tử tọa độ q và toán tử xung lượng p được biểu diễn qua toán tử
sinh hủy a+, a như sau:
q=
h
a+ + a
2mw
(
)
mhw +
p=i
a -a
2
(
)
(1.1.9)
Khi đó hệ thức giao hốn giữa toán tử tọa độ q và xung lượng p là:
ih
ih
[ q, p ] = ( a + + a )( a + - a ) - ( a + - a )( a + + a )
2
2
(
= ih aa + - a + a
)
(1.1.10)
= ih é a, a + ù
ë
û
Thế (1.1.1) vào (1.1.10) suy ra:
[ q, p ] = i h
(1.1.11)
6
Đối với một hệ dao động tử thì tốn tử năng lượng của nó bằng tổng
của tốn tử động năng cộng với toán tử thế năng. Vậy toán tử Hamiltonian
của dao động tử có dạng:
p 2 mw 2 q 2
H=
+
2m
2
(1.1.12)
Thay p, q ở (1.1.9) vào (1.1.12) ta được
H =-
hw +
hw +
a - a a+ - a +
a + a a+ + a
4
4
(
)(
hw
aa + + a + a
2
hw
=
2a + a + é a , a + ù
ë
û
2
(
=
)
(
)(
)
)
(
)
suy ra:
H=
hw
( 2 N + 1)
2
(1.1.13)
Để tìm phổ năng lượng của hệ dao động tử ta đi giải phương trình hàm
riêng và trị riêng của tốn tử H:
H n = En n
Ta có:
H n =
hw
aa + + a + a n
2
(
)
hw
aa + n + a + a n
2
hw
=
a n + 1 n + 1 + a+ n n
2
hw
=
n +1 n +1 n + n n n
2
=
(
)
(
(
)
hw
( n +1 n + n n
2
hw
= ( 2n +1) n
2
=
suy ra :
En =
)
)
hw
( 2n + 1)
2
(1.1.14)
7
Nhận xét: Vậy các trạng thái dừng của dao động tử có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau ln ln có cùng một lượng tử năng lượng hw .
1.2.Thống kê của dao động tử Boson
Thống kê của toán tử F
Hàm Green của đại lượng vật lý F tương ứng với tốn tử F được định
nghĩa qua cơng thức:
F =
(
1
Tr e - b H F
Z
)
(1.2.1)
với:
Tr (G ) = å n | G | n
(1.2.2)
Trong đó Z là tổng trạng thái, xác định tính chất nhiệt động của hệ. Z
còn gọi là hàm trạng thái (hay hàm phân bố) và có dạng:
(
Z = Tr e- b H
với b =
1
kT
)
, k là hằng số Bolzmann, T là nhiệt độ của hệ. H là Hamiltonian
của hệ
H = wN
vậy ta có:
(
Z = Tr e- bw N
¥
)
= å n e- bw N n
n =0
¥
= å e - bw N n
n =0
(1.2.4)
8
¥
= å e - bw n
n=0
= 1 + e - bw + e-2 bw + ..... + e- nbw
1
1 - e- bw
e bw
= bw
e -1
=
Thống kê của dao động tử Boson là thống kê của a+a:
a+ a =
(
1
Tr e- bw N a + a
Z
=
1 ¥
å n e- bw N a + a n
Z n =0
=
1 ¥
å n e- bwn n n
Z n =0
=
1 ¥ - bwn
åe n n | n
Z n =0
=
)
1 ¥ - bwn
åe n
Z n =0
===
=
1 d ¥ - bwn
åe
b Z dw n =0
1 d ỉ 1 ư
b Z dw ỗ 1 - e- bw ữ
ố
ứ
- bw
be
b Z (1 - e- bw )
2
e- bw
(
Z 1 - e- bw
)
2
Thay Z ở (1.2.5) vào ta được:
(1 - e ) e
=
(1 - e )
- bw
+
a a
- bw
- bw 2
e - bw
=
1 - e - bw
1
= bw
e -1
(1.2.6)
9
Vậy đối với các hạt Boson có spin ngun thì nó tuân theo thống kê Bose –
Einstein:
a+a =
1
e
bw
-1
1.3 Dao động tử Fermion [4]
Những hạt có spin bán nguyên gọi là hạt Fermion, toán tử sinh b+ và
toán tử hủy b của dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức phản giao hoán:
{b, b } = 1
b = (b ) = 0
+
+ 2
2
(1.3.1)
Gọi N là tốn tử số dao động thì toán tử số dao động được định nghĩa
qua toán tử sinh, hủy b+, b như sau:
N = b +b
(1.3.2)
1 - N = bb +
Tương tự: Toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán:
[ N , b] = Nb - bN
= b + bb - bb + b
= -bb + b
(
= -b 1 - bb +
)
(1.3.3)
= -b + bbb +
= -b
é N , b + ù = Nb + - b + N
ë
û
+
= b bb + - b + b + b
= b + bb +
+
(
+
= b 1- b b
)
= b+ - b+b+b
= b+
Gọi n là vector riêng của toán tử N ứng với trị riêng n, ta có:
(1.3.4)
10
N n =n n
(1.3.5)
Để n thỏa mãn (1.3.5) thì n phải có dạng:
( )
n = b+
n
0
(1.3.6)
với n=0,1
Sử dụng (1.3.1) và (1.3.6) ta tính được:
bn =
1 - ( -1)
n
n -1
2
b + n = (b + )n +1 0 = n + 1
1.4 Thống kê cho dao động tử Fermion
Ta có thống kê của dao động tử Fermion là thống kê của b+b:
b +b =
=
1
Z
1
=
Z
1
=
Z
=
(
1
Tr e - bw N b + b
Z
¥
å
)
n e - bw nb +b n
n=0
¥
åe
- bw n
1 - ( -1)
åe
- bw n
1 - ( -1)
n
2
n=0
1
2Z
n|n
2
n=0
¥
n
å ( e bw - ( -1)
Ơ
-
n
n =0
n
e - bw n
)
=
ổ
1 ổ 1
1
-ỗ
ỗ
- bw
ỗ 1 - ( -1) e- bw
2Z ỗ 1 - e
ố
ố
=
ửử
ữữ
ữữ
ứứ
1 ổ 2e - bw ử
ỗ
ữ
2 Z ố 1 - e -2 bw ø
Thay Z vào ta được:
e bw - 1 1
1
bw
bw
e
e 1- 1
e 2 bw
e bw - 1
= 2 bw
e -1
1
= bw
e +1
b+ b =
(1.4.1)
11
Kết luận: với các hạt Fermion có spin bán nguyên thì thống kê của nó tn
theo thống kê Fermi – Đirac.
1.5.Dao động tử Paraboson
Ta có tốn tử sinh a+, và toán tử hủy a của dao động tử paraboson thỏa
mãn các hệ thức giao hoán tổng quát sau:
{
}
(
)
(
é a + , a , a ù = a + a + aa + a - a a + a + aa +
ë
û
+
= a aa + aa + a - aa + a + aaa +
(
= a + aa - a 1 + a + a
(
)
)
= - a + a a + a - aa +
)
= -2a
é{a, a} a ù = ( aa + aa ) a - a ( aa + aa )
ë
û
= aaa + aaa - aaa - aaa
=0
é{a, a} a + ù = ( aa + aa ) a + - a + ( aa + aa )
ë
û
(
= 2 aaa + - a + aa
)
)
((
)
= 2 ( a + ( aa - a a ) a )
= 2 a 1 + a + a - a + aa
+
+
= 4a
Từ các hệ thức giao hoán tổng quát Green đã đưa ra kết luận: Tất cả các
biểu diễn bất khả quy của các hệ thức giao hốn trên trong khơng gian Fock
được phân loại bởi một số nguyên dương p, gọi là bậc thống kê Para và đi đến
kết luận: Thống kê của hệ hạt đồng nhất có thể bao gồm cả thống kê
Paraboson và thống kê Parafermi với bậc nguyên dương p. Đối với trường
hợp thống kê Paraboson bậc p có thể có nhiều nhất p hạt ở trạng thái phản đối
xứng trên bảng Young chúng được biểu diễn với nhiều nhất p hàng. Còn đối
với thống kê Para Fermi bậc p có thể có nhiều nhất p hạt ở trạng thái đối
xứng, chúng được biểu diễn nhiều nhất p cột trên bảng Young.
12
Khi bậc của thống kê p ® 1 thì thống kê Para trở về thống kê Boson –
Einstein và thống kê Fermi – Dirac tương ứng.
Trong không gian Fock tồn tại một trạng thái chân không thỏa mãn các hệ
a 0 =0
thức:
(1.5 .4)
aa + 0 = p 0
Gọi N là tốn tử số dao động thì có thể định nghĩa N thơng qua tốn tử
sinh, tốn tử hủy và bậc của thống kê Para như sau:
N=
{
}
1 +
1
a ,a - p
2
2
(1.5.5)
và thỏa mãn các hệ thức giao hoán:
[ N , a ] = -a
é N , a+ ù = a+
ë
û
(1.5.6)
Gọi n : ( a + ) 0 là trạng riêng của tốn tử số dao động N thì khi ta tác
n
dụng các toán tử a, a+ lên trạng thái riêng n sẽ được:
an =
+
a n =
f ( n ) n -1
f ( n + 1) n + 1
(1.5.7)
với:
1é
n
1 - - 1 ù p - 1)
ë ( ) û(
2
n = f ( n - 1) n
f (n ) = n +
aa +
1
n
ì
ü
aa + n = í ( n + 1) + é1 - ( - 1 ) ù ( p - 1 ) ý n
ở
ỷ
2
ợ
ỵ
+
a a n = f (n ) n
(1.5.8)
1
n
ỡ
ỹ
a + a n = í n + é1 - ( - 1 ) ù ( p - 1 ) ý n
ở
ỷ
2
ợ
ỵ
Vy trong khụng gian Fock vi c s l vecto trạng thái riêng của tốn
tử số dao động N có các hệ thức sau:
13
1
N
aa + = f ( N + 1) = N + 1 + é1 - ( -1) ù ( p - 1)
û
2ë
1
N
a + a = f ( N ) = N + é1 - ( -1) ù ( p - 1)
ë
û
2
(1.5.9)
Ta có:
aa + - aa + = 1 + ( -1)
( p -1)
N
(1.5.10)
Đại số (1.5.10) được thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là
vecto trạng thái riêng n đã được chuẩn hóa của tốn tử số dao động N.
(a )
=
+
n
n
0
n( q) !
(1.5.11)
1.6 Thống kê của dao động tử Paraboson
Ta có thống kê của dao động tử Paraboson chính là thống kê của toán
tử a+a:
a+ a =
(
1
Tr e- bw N a + a
Z
)
(1.6.1)
Từ các phương trình:
f ( n ) n -1
an =
f ( n + 1) n + 1
a+ n =
và thay Z vào ta được:
+
a a =
(
)
2 + p e bw - 1
e
2 bw
-1
(1.6.2)
Trong trường hợp giới hạn p ® 1 thì thống kê của dao đơng tử paraboson sẽ
cho lại công thức Bose – Einstein thông thường:
a+a =
1
e
bw
-1
14
CHƯƠNG 2
THỐNG KÊ CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG KHI THÔNG SỐ
BIẾN DẠNG LÀ C SỐ
2.1.Dao động Boson biến dạng c – số [5],[10], [12]
Hệ các dao động tử Boson biến dạng c số được mơ tả bởi các tốn tử
sinh a+ và toán tử hủy a thỏa mãn hệ thức giao hoán:
aa + - qa + a = qCN
(2.1.1)
với q và c là những tham số biến dạng.
Khi c=-1 thì (2.1.1) trở về hệ thức giao hoán của các dao động tử biến
dạng q thông thường:
Khi cᆈ 0, qᆈ 0 thì (2.1.2) là hệ thức giao hốn của các dao động tử có
aa + - qa + a = q - N
thống kê vô hạn:
aa + = 1
Từ (2.1.1) sẽ dẫn đến hệ thức:
( )
a a+
n
( )
= qn a+
Ở đây ta sử dụng :
n
(c)
a + [ n ]q
[ n ](q ) =
c
(a )
+ n -1
qCN
(2.1.2)
q n - q cn
q - qc
(2.1.3)
Nếu gọi N là tốn tử số dao động thì N sẽ được biểu diễn qua các toán
tử sinh, hủy a+, a như sau :
[ N ](q ) = a + a
c
(2.1.4)
[ N + 1](q ) = aa +
c
Gọi n
(c)
q
là vector riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì ta có:
N n
Để n
(c)
q
(c)
q
=n n
(c)
(2.1.5)
q
thỏa mãn phương trình hàm riêng trị riêng (2.1.5) thì n
(c)
q
có dạng:
15
n
(c)
q
(a )
+
=
n
(c)
[ n ]q
(2.1.6)
0
!
ở đây ta sử dụng: [ n ](q ) ! = [ n ](q ) [ n - 1](q ) .......[1](q )
c
c
c
c
Toán tử tọa độ x và toán tử xung lượng p được biểu diễn qua các tốn tử a+, a
như sau:
h
a+ + a
2mw
(
x=
)
mhw +
p=i
a -a
2
(
(2.1.7)
)
Khi đó hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ x và toán tử xung lương p là
ih
ih
[ p, x ] = ( a + - a )( a + + a ) - ( a + + a )( a + - a )
2
2
ih
2aa + - 2a + a
2
= -ih aa + - a + a
=-
(
(
)
)
{
}
= -ih {[ N + 1] - q [ N ] + q [ N ]
= -ih {q - ( q - 1) [ N ] }
(c)
(2.1.8)
( c)
= -ih [ N + 1]q - [ N ]q
(c)
(c)
(c)
q
q
q
(c)
- [ N ]q
}
( c)
CN
q
Đối với hệ dao động Boson biến dạng c số , toán tử Hamiltonian sẽ bằng tổng
toán tử động năng cộng với toán tử thế năng:
H=
p 2 mw 2 x 2
+
2m
2
(2.1.9)
Thay (2.1.7) vào (2.1.9) ta được
H =-
hw +
hw +
a - a a+ - a +
a + a a+ + a
4
4
(
)(
hw +
a a + aa +
2
hw
c
c
=
[ N ](q ) + [ N + 1](q )
2
=
(
{
)
)
(
)(
)
(2.1.10)
}
16
Để tìm phổ năng lượng của dao động Boson biến dạng c số ta đi giải phương
trình hàm riêng và trị riêng của toán tử H:
H n
(c)
q
= En n
(c)
q
{
{
}
}
{
}
hw
c
c
c
[ N ](q ) + [ N + 1](q ) = En n (q )
2
hw
c
c
c
Û
[ n](q ) + [ n + 1](q ) = En n (q )
2
Û
suy ra :
En =
hw
c
c
[ n](q ) + [ n + 1](q )
2
(2.1.11)
Khi q = 1, c = 1 thì phổ năng lượng của dao động Boson biến dạng c số sẽ trở
về phổ năng lượng của dao động tử một chiều :
En =
hw
( 2n + 1)
2
2.2. Thống kê của dao động tử Boson biến dạng c –số [11], [13]
Thống kê của dao động Boson biến dạng c –số là thống kê của toán tử a+a:
a+ a =
1
=
Z
=
=
=
=
1
Z
1
Z
1
Z
1
Z
¥
å
(
)
1
Tr e - bw N a + a
Z
n e- bwn a + a n
n =0
¥
å
n =0
¥
(c)
n e- bwn [ N ]q n
( )
å e bw [ n]
-
n
n =0
¥
c
q
n
( )
å e bw [ n]
-
n
c
q
n =0
¥
å e- bwn
n =0
q n - q cn
q - qc
=
=
thay Z vào ta được:
1
ì ¥ - bw n ¥ - bwn c ü
q ý
íå e q - ồ e
Z q - q c ợ n=0
n =0
ỵ
ổ
ử
1
1
1
ỗ
- bw
c - bw ÷
1- q e ø
Z q - q c è 1 - qe
(
(
)
)
(
)
(2.2.1)
17
+
a a =
e 2 bw
e bw - 1
- q + q c e bw + q c +1
(
)
Khi q = 1, c = -1 thì (2.2.1) trở về thống kê của dao động biến dạng q thông
thường:
e bw - 1
- q + q -1 e bw + 1
+
a a =
(
e 2 bw
)
Khi q ® 0, c ® 0 thì ta thu được thống kê vô hạn:
a + a = e- bw
2.3 Dao động Fermion biến dạng c số
Hệ các dao động tử Fermion biến dạng c số biểu diễn qua toán tử b+, b
như sau:
bb + + qb+b = qCN
(2.3.1)
Với q, c là thơng số biến dạng.
Gọi N là tốn tử số dao động thì có thể định nghĩa tốn tử N qua toán tử
b+, b như sau:
[ N , b] = -b
(2.3.2)
é N , b+ ù = b+
ë
û
Từ (2.3.1) ta chứng minh được:
( ) = ( -1)
b b+
n
(c)
n
{n}q =
Ta sử dụng:
( )
q n b+
n
( c)
b + {n}q
q cn + ( -1)
n +1
(b )
+ n -1
q CN
qn
qc + q
(2.3.3)
(2.3.4)
Như vậy đại số (2.3.1) có thể được thực hiện trong khơng gian Fock với
cơ sở là các vecto riêng đã chuẩn hóa của tốn tử số dao động.
Gọi n
(c)
q
là vector riêng của tốn tử N ứng với trị riêng n thì ta có:
N n
(c)
q
=n n
(c)
q
(2.3.5)
18
Để n
(c)
q
thỏa mãn (2.3.5) thì n
n
(c)
q
(c)
(b )
+
=
phải có dạng:
q
n
(c)
{n}q
(2.3.6)
0
!
Trong khơng gian Fock toán tử N thỏa mãn:
(c)
b + b = { N }q
(2.3.7)
(c)
bb = { N + 1}q
+
2.4 Thống kê của dao động Fermion biến dạng c số [11], [12],[13]
Thống kê của dao động Fermion biến dạng c số là thống kê của b+b:
b+b =
=
=
=
¥
1
Z
å
1
Z
å
1
Z
(
1
Tr e - b H b +b
Z
)
n e- bw N b + b n
n=0
¥
n=0
¥
(c)
n e- bwn {n}q n
( )
å e bw {n}
-
c
n
q
n=0
=
1
ì ¥ - bw c
íå e q
Z q + q c ỵ n=0
=
ì
ü
1
1
1
c - bw
- bw ý
c ớ
1 + qe ỵ
Z q + q ợ1 - q e
(
(
)
(
)
n
Ơ
nỹ
- ồ -e - bw q ý
n=0
ỵ
(
)
)
Thay Z vào ta được:
b+b =
e 2 bw
e bw - 1
+ q + q c e bw - q c +1
(
)
(2.4.1)
Khi q = 1, c = -1 thì (2.4.1) trở về thống kê của dao động biến dạng q thông
thường:
b+b =
e 2 bw
e bw - 1
+ q + q -1 e bw - 1
(
)
Khi q ® 0, c ® 0 thì ta thu được thống kê vô hạn:
b + b = e- bw
19
2.5. Dao động tử Paraboson biến dạng c số
Dao động tử Paraboson biến dạng c số được mô tả bởi các toán tử sinh
a+ và toán tử hủy a, trong đó ta sử dụng q số [n]q(c) thay cho các số tự nhiên để
thu được các hệ thức:
n
(c) 1
(c) ü
ì
aa + n = í[ n + 1]q + é1 + ( -1) ự [ p - 1]q ý n
ở
ỷ
2
ợ
ỵ
n
(c) ỹ
ỡ (c) 1
a + a n = í[ n ]q + é1 + ( -1) ù [ p - 1]q ý n
ở
ỷ
2
ợ
ỵ
(2.5.1)
Vy trong khụng gian Fock vi c s l vecto trạng thái riêng của tốn tử số
dao động N có các hệ thức sau:
n
(c) 1
(c) ü
ì
aa + = í[ N + 1]q + é1 + ( -1) ù [ p - 1]q ý
ỷ
2ở
ợ
ỵ
n
(c) 1
(c) ỹ
ỡ
a + a = ớ[ N ]q + é1 + ( -1) ù [ p - 1]q ý
ở
ỷ
2
ợ
ỵ
(2.5.2)
v cỏc dao ng t Paraboson tuõn theo h thức giao hoán sau:
é a, a + ù = aa + - a + a
ë
û
(c)
(c)
= [ N + 1]q - [ N ]q + ( -1)
n
[ p - 1](q )
c
(2.5.3)
Đại số (2.5.3) được thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là vector trạng
thái riêng n đã được chuẩn hóa của tốn tử số dao động N.
(a )
+ n
n =
(c)
(2.5.4)
0
é N( p) ù !
ë
ûq
trong đó :
(c)
(c)
(c)
(c)
é n p ù ! = é1 p ù é 2 p ù ........ é n p ù
ë ( ) ûq
ë ( ) ûq ë ( ) ûq
ë ( ) ûq
2.6 Thống kê của dao động tử Paraboson biến dạng c số
Ta có thống kê của dao động tử Paraboson chính là thống kê của toán tử a+a
a+ a =
(
1
Tr e- bw N a + a
Z
Từ các phương trình:
)
(2.6.1)
20
N
N
(c) 1
(c) ü
ì1
aa + n = í é1 - ( -1) ù [ n + p ]q + é1 - ( -1) ự [ n + 1]q ý n
ở
ỷ
ở
ỷ
2
ợ2
ỵ
N
N
(c) 1
(c) ü
ì1
a a n = í é1 + ( -1) ù [ n ]q + é1 - ( -1) ù [ n + 1]q ý n
ỷ
ỷ
2ở
ợ2 ở
ỵ
(2.6.2)
+
ta thu c kt qu:
a+ a =
1 - e- bw ì 1 + q p e- bw 1 + q cp e- bw ü
í
ý
q - q c ỵ1 - q 2e-2 bw 1 - q 2c e-2 bw ỵ
(2.6.3)
