Về sự hội tụ của phương pháp kiểu newton và ứng dụng trong giải phương trình vi phân (LV1247)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.14 MB, 85 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ NGỌC BÍCH
VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ
ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ NGỌC BÍCH
VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƢƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ
ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Khuất Văn Ninh, thầy đã tận
tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau đại
học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị, bạn bè và
các đồng nghiệp tại trường Trung học phổ thông Thành Đông đã luôn động viên,
cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới gia đình và những người thân
đã luôn quan tâm, khích lệ và tạo điều kiện cho tác giả học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
Vũ Ngọc Bích
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Về
sự hội tụ của phƣơng pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phƣơng
trình vi phân” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn
Ninh và bản thân tác giả. Mọi số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát triển
các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các thông tin trích
dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 07 năm 2014
Tác giả
Vũ Ngọc Bích
Mục lục
Mở đầu 1
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị 5
1.1. Không gian metric………………………………… ………………… 5
1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach………… ……………… 7
1.3. Toán tử tuyến tính 9
1.4. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân 11
1.4.1. Phương trình vi phân cấp một 11
1.4.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 14
1.4.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 15
1.4.4. Nghiệm bài toán Cauchy 17
1.4.5. Phương trình vi phân cấp 18
1.4.6. Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số là các hàm số 20
1.4.7. Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 25
1.4.8. Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 27
1.5. Đạo hàm và vi phân Fréchet 28
1.6. Phương pháp sai phân 30
Chƣơng 2. Sự hội tụ của phƣơng pháp kiểu Newton và ứng dụng
trong giải phƣơng trình vi phân 34
2.1. Phương pháp Newton 34
2.2. Phương pháp Newton–Kantorovich 35
2.2.1. Phương pháp Newton–Kantorovich 35
2.2.2. Một số định lý cơ bản của phương pháp Newton–Kantorovich 37
2.3. Phương pháp Newton–Raphson 45
2.4. Ứng dụng hai phương pháp Newton–Kantorovich, Newton–Kantorovich
cải biên vào giải phương trình vi phân cấp một 48
2.4.1. Ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich vào giải phương trình
vi phân cấp một 48
2.4.2. Ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich cải biên vào giải
phương trình vi phân cấp một 51
2.5. Các ví dụ 52
2.6. Giải gần đúng phương trình vi phân thường cấp một theo phương pháp
Newton–Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên bằng lập trình trên
Maple 18 59
2.7. Ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich vào giải phương trình
vi phân cấp hai 71
2.8. Ứng dụng phương pháp Newton–Raphson vào giải phương trình
vi phân cấp hai 73
Kết luận 78
Tài liệu tham khảo 79
1
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật có nhiều bài toán
dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình toán tử có dạng tổng quát:
trong đó là một toán tử từ tập đến tập với . Toán tử có
thể là tuyến tính hoặc phi tuyến. Phương trình (0.1) có thể là phương trình vi
phân thường, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng,…
Phương trình vi phân đã được các nhà toán học quan tâm và nghiên cứu từ
thế kỷ 17. Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân thường, trong đó
việc giải đúng phương trình vi phân nói chung là việc làm khó khăn. Người ta
chỉ giải đúng được một số phương trình đặc biệt, còn đa số là phải giải xấp xỉ.
Có hai nhóm phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân thường là nhóm
các phương pháp giải tích và nhóm các phương pháp số. Các phương pháp
giải tích là các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích, chẳng
hạn như phương pháp hệ số bất định. Các phương pháp số như: phương pháp
Euler, phương pháp Runge–Kutta,…tìm nghiệm dưới dạng bảng. Với sự phát
triển công nghệ thông tin và các công trình nghiên cứu giải gần đúng phương
trình vi phân thì phương pháp sai phân và phương pháp lặp thường được sử
dụng và có nhiều cải tiến.
Phương pháp Newton hay phương pháp tiếp tuyến được Newton đề xuất
để giải gần đúng phương trình
, trong đó là hàm khả vi liên tục
trên không gian một chiều . Sau đó Raphson mở rộng phương pháp Newton
giải hệ phương trình n biến trong không gian hữu hạn chiều
. Dựa trên ý
tưởng của phương pháp tiếp tuyến Kantorovich đã xây dựng phương pháp
2
Newton–Kantorovich để giải phương trình (0.1) khi là toán tử phi tuyến,
khả vi trong không gian vô hạn chiều. Bản chất của phương pháp Newton–
Kantorovich là thay thế phương trình (0.1) bởi một phương trình toán tử tuyến
tính, từ đó xây dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao đến nghiệm
của phương trình (0.1). Phương pháp Newton–Kantorovich được ứng dụng
rộng rãi trong giải phương trình toán tử phi tuyến. Với sự hỗ trợ của phần
mềm Maple 18 ta có thể lập trình đối với thuật toán của phương pháp
Newton–Kantorovich và Newton–Raphson để giải phương trình vi phân
thường trên máy tính điện tử.
Với mong muốn tìm hiểu ứng dụng của phương pháp kiểu Newton trong
giải phương trình toán tử phi tuyến và được sự định hướng của thầy hướng
dẫn chúng tôi chọn đề tài “Về sự hội tụ của phƣơng pháp kiểu Newton và
ứng dụng trong giải phƣơng trình vi phân” để thực hiện luận văn tốt
nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.
Luận văn gồm hai chương, trong chương 1, trước tiên chúng tôi trình bày
các kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian định chuẩn, không
gian Banach, toán tử tuyến tính, một số kiến thức về phương trình vi phân,
đạo hàm Fréchet và phương pháp sai phân. Trong chương 2, phần đầu chúng
tôi trình bày các kiến thức về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton bao
gồm phương pháp Newton (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến), phương pháp
Newton–Kantorovich, phương pháp Newton–Kantorovich cải biên, phương
pháp Newton–Raphson, tiếp theo chúng tôi ứng dụng phương pháp Newton–
Kantorovich, phương pháp Newton–Kantorovich cải biên vào giải phương
trình vi phân phi tuyến cấp một bằng lập trình trên Maple 18. Ở cuối chương
2, chúng tôi ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich, phương pháp
Newton–Raphson vào giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai.
3
2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong
giải phương trình vi phân.
• Nghiên cứu giải phương trình vi phân phi tuyến trên máy tính điện tử
bằng lập trình trên Maple 18.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và cách giải một số
phương trình vi phân phi tuyến bằng phương pháp sai phân và phương pháp
lặp.
4. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
• Phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
• Phương pháp sai phân.
• Phương pháp Newton–Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên,
Newton–Raphson.
• Một số ứng dụng của các phương pháp nói trên vào giải phương trình vi
phân phi tuyến và giải số trên máy tính.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
• Chúng tôi phân tích, tổng hợp, hệ thống các khái niệm và tính chất.
• Chúng tôi sử dụng các phương pháp của giải tích cổ điển, giải tích hàm,
giải tích số, lí thuyết phương trình vi phân và lập trình trên máy tính điện tử.
• Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
4
6. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn nghiên cứu ứng dụng lập trình trên Maple 18 để tìm nghiệm gần
đúng của phương trình vi phân phi tuyến theo các phương pháp Newton–
Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên và Newton–Raphson.
5
Chƣơng 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về không gian metric, không
gian định chuẩn, không gian Banach, toán tử tuyến tính, một số kiến thức về
phương trình vi phân, đạo hàm Fréchet và phương pháp sai phân. Các kết quả
này chủ yếu dựa vào các tài liệu [1], [5], [6], [7].
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1. (Không gian metric) Một không gian metric là một tập hợp
X
cùng với một ánh xạ thỏa mãn các tiên đề sau:
(tiên đề đồng nhất);
(tiên đề đối xứng);
(tiên đề tam giác).
Ánh xạ gọi là metric trên , số
gọi là khoảng cách giữa hai phần
tử và . Các phần tử của gọi là các điểm. Các tiên đề (i), (ii), (iii) gọi là
hệ tiên đề metric. Tập hợp với metric được gọi là một không gian metric
và được ký hiệu là
Ví dụ 1.1. Không gian vectơ
các hàm số có giá trị thực xác định và liên
tục trên đoạn
với là một không gian metric với
metric
6
Ví dụ 1.2. Kí hiệu
là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và có
đạo hàm liên tục đến cấp
trên đoạn
. Đối với hai hàm
số bất kỳ
ta đặt
Dễ thấy là một metric trên
.
Định nghĩa 1.2. (Sự hội tụ trong không gian metric) Cho không gian metric
Dãy điểm
được gọi là hội tụ tới điểm
trong
không gian khi nếu
và ký hiệu là
Điểm
còn gọi là giới hạn của dãy điểm
trong không gian
Định nghĩa 1.3. (Dãy cơ bản) Cho không gian metric
. Một dãy
điểm
được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong nếu
hay
Dễ thấy mọi dãy điểm
hội tụ trong đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.4. (Không gian metric đầy) Không gian metric
gọi là không gian đầy nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ tới
một phần tử của .
Ví dụ 1.3. Trong không gian metric đầy
, hình cầu đóng
là không gian metric đầy.
Ví dụ 1.4. Không gian
là không gian đầy.
7
Định nghĩa 1.5. (Ánh xạ co) Cho hai không gian metric
và
Ánh xạ được gọi là ánh xạ co nếu
.
Số gọi là hệ số co của ánh xạ co .
Định lý 1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co ánh xạ
không gian metric đầy
vào chính nó đều có điểm bất động
duy
nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm
thỏa mãn hệ thức
,
trong đó
là giới hạn của dãy
,
tùy ý.
1.2. Không gian định chuẩn, không gian Banach
Mục này trình bày các định nghĩa về không gian định chuẩn, sự hội tụ
trong không gian định chuẩn, dãy cơ bản và không gian Banach. Các khái
niệm này được trích dẫn từ tài liệu [7].
Định nghĩa 1.6. (Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay
không gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính trên trường
là trường số thực hay trường số phức
cùng với một ánh xạ từ
vào tập hợp số thực , ký hiệu là
và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề
sau:
( là phần tử không của );
;
(bất đẳng thức tam giác).
Số
gọi là chuẩn của vectơ . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là
.
Các tiên đề (i), (ii), (iii) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
8
Định lý 1.2. Cho không gian định chuẩn . Đối với hai vectơ bất kì
ta đặt
Khi đó là một metric trên . Vì vậy mọi không gian định chuẩn đều là
không gian metric.
Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ tiên
đề tuyến tính. Nhờ định lý 1.2, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở
thành không gian metric với metric (1.2). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã
đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.7. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm
của không gian định chuẩn được gọi là hội tụ tới điểm nếu
Ta ký hiệu
hay
Định nghĩa 1.8. (Dãy cơ bản) Dãy điểm
trong không gian định chuẩn
được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
Định nghĩa 1.9. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn gọi là
không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong đều hội tụ.
Ví dụ 1.5. Cho không gian vectơ
. Đối với hàm số bất kỳ
ta
đặt
Nhờ công thức
và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.3) cho
một chuẩn trên
. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là
. Dễ
thấy
là không gian Banach.
9
Ví dụ 1.6. Cho không gian tuyến tính
gồm các hàm số xác
định và có đạo hàm liên tục đến cấp trên đoạn
. Chuẩn của mỗi hàm
số
cho bằng công thức
Ta chứng minh được
là không gian Banach.
1.3. Toán tử tuyến tính
Ta nhớ lại một số kiến thức cơ bản về toán tử tuyến tính, toán tử liên tục,
toán tử nghịch đảo, toán tử tuyến tính bị chặn, chuẩn của toán tử và định lý
tính chuẩn của toán tử trong [7].
Định nghĩa 1.10. (Toán tử tuyến tính) Cho hai không gian tuyến tính và
trên trường là trường số thực hoặc trường số phức . Ánh xạ từ
không gian vào không gian gọi là tuyến tính nếu ánh xạ thỏa mãn các
điều kiện sau:
Ở đây để cho gọn ta viết thay cho
để chỉ phần tử ứng với trong ánh
xạ Hai điều kiện và tương đương với
với mọi
và mọi số
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử chỉ
thỏa mãn điều kiện thì gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử chỉ
thỏa mãn điều kiện thì gọi là toán tử thuần nhất.
Khi thì toán tử tuyến tính thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
10
Khi ta cũng nói là một toán tử trong .
Ta ký hiệu:
là miền trị (hay phạm vi của toán tử ),
là hạch (hạt nhân) của toán tử .
Ví dụ 1.7. Nếu
(
là không gian các hàm số có đạo hàm
liên tục đến cấp m liên tục trên đoạn
) thì
trong đó
là những hằng số (hoặc những hàm số cho trước
của ) thuộc
. Toán tử gọi là một toán tử vi phân.
Định nghĩa 1.11. (Toán tử liên tục) Cho hai không gian định chuẩn và .
Toán tử gọi là liên tục tại
nếu
Toán tử gọi là liên tục trên nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
Định nghĩa 1.12. (Toán tử nghịch đảo) Toán tử tuyến tính có
nghịch đảo khi và chỉ khi
, tức là phương trình chỉ có một
nghiệm duy nhất
Ký hiệu toán tử nghịch đảo của là
.
Nhận xét:
là toán tử tuyến tính từ lên và
Định nghĩa 1.13. (Toán tử tuyến tính bị chặn) Cho hai không gian định
chuẩn và . Toán tử tuyến tính từ không gian vào không gian gọi là
bị chặn nếu tồn tại hằng số sao cho
Định nghĩa 1.14. (Chuẩn của toán tử) Cho là toán tử tuyến tính bị chặn
từ không gian định chuẩn vào không gian định chuẩn . Hằng số
11
nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức
gọi là chuẩn của toán tử và ký hiệu là
.
Nhận xét: Từ định nghĩa 1.14 dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất sau:
Định lý 1.3. (Tính chuẩn của toán tử) Cho toán tử tuyến tính từ không
gian định chuẩn vào không gian định chuẩn . Nếu toán tử bị chặn thì
hay
1.4. Một số khái niệm cơ bản về phƣơng trình vi phân
Mục này trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình vi phân cấp một,
phương trình vi phân tuyến tính cấp một, phương trình vi phân cấp , phương
trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số là các hàm số, phương trình tuyến
tính thuần nhất với hệ số hằng, phương trình tuyến tính không thuần nhất với
hệ số hằng, bài toán Cauchy, nghiệm của bài toán Cauchy, sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài toán Cauchy. Ta có thể tham khảo cách chứng minh các
định lý từ 1.4 đến 1.8 trong [5].
1.4.1. Phƣơng trình vi phân cấp một
Định nghĩa 1.15. Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát:
trong đó
, là biến số độc lập, là hàm số phải tìm, hàm xác định
12
trong miền
.
Nếu trong miền , từ phương trình (1.9) ta có thể giải được
thì phương trình (1.10) được gọi là phương trình vi phân cấp một đã giải ra
đối với đạo hàm.
Giả sử
là một nghiệm nào đó của phương trình (1.10). Khi đó tập
hợp những điểm
sẽ tạo nên một đường cong mà ta gọi là đường
cong tích phân của phương trình (1.10)
Hàm
xác định và khả vi trên khoảng
được gọi là nghiệm
của phương trình (1.10) nếu:
Nghiệm của phương trình vi phân cấp một phụ thuộc hằng số tùy ý . Trong
thực tế người ta thường không quan tâm đến tất cả các nghiệm của phương
trình mà chỉ chú ý đến những nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó. Từ đó ta có
khái niệm bài toán Cauchy.
Định nghĩa 1.16. (Bài toán Cauchy) Tìm nghiệm của phương trình (1.9)
hoặc (1.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
trong đó
là những giá trị cho trước được gọi là bài toán Cauchy.
Về phương diện hình học, bài toán Cauchy tương đương với việc tìm
đường cong tích phân của phương trình (1.9) hoặc (1.10) đi qua điểm
cho trước.
Định nghĩa 1.17. (Nghiệm tổng quát) Giả sử trong miền của mặt phẳng
nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình (1.11) tồn tại duy
nhất. Hàm số
13
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) trong nếu trong miền
biến thiên của và nó có đạo hàm riêng liên tục theo và thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) Từ hệ thức (1.12) ta có thể giải được :
(ii) Hàm
thỏa mãn phương trình (1.10) với mọi giá trị của xác
định từ (1.13) khi
biến thiên trong .
Nếu nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) được cho dưới dạng ẩn
hay
thì nó được gọi là tích phân tổng quát.
Định nghĩa 1.18. (Nghiệm riêng) Nghiệm của phương trình (1.10) mà tại
mỗi điểm của nó, tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo
được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số là
nghiệm riêng.
Định nghĩa 1.19. (Nghiệm kì dị) Nghiệm của phương trình (1.9) mà tại mỗi
điểm của nó, tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là
nghiệm kì dị.
Như vậy, nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của
hằng số không thể cho ta nghiệm kì dị. Nghiệm kì dị có thể nhận được từ
nghiệm tổng quát chỉ khi
.
Ngoài ra chúng ta còn có nghiệm hỗn hợp, tức là nghiệm bao gồm một phần
nghiệm riêng và một phần nghiệm kì dị.
14
1.4.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Xét phương trình
với hàm xác định trong miền
. Ta
sẽ chỉ ra các điều kiện mà hàm thỏa mãn để bài toán Cauchy ứng với
phương trình
có nghiệm duy nhất.
Điều kiện Lipsit: Ta nói rằng trong miền hàm
thỏa mãn điều
kiện Lipsit theo biến nếu tồn tại hằng số sao cho đối với hai điểm
bất kỳ ta có bất đẳng thức
Nhận xét: Điều kiện Lipsit sẽ được thỏa mãn nếu trong miền hàm có đạo
hàm riêng theo giới nội
Dãy xấp xỉ Picar
Bây giờ ta giả thiết hàm
liên tục trong miền
là điểm trong
của . Chọn các số dương sao cho hình chữ nhật
chứa trong . Đặt
Ký hiệu
Ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.10) như sau:
15
Dãy
xác định như trên được gọi là dãy xấp xỉ Picar. Ta chứng minh
rằng khi biến thiên trên
thì
với mọi
và do đó dãy
được xác định.
Thật vậy điều này rõ ràng đúng với . Giả sử ta có
khi
. Khi đó có thể xây dựng
Với
ta có
tức là
khi
Định lý 1.4. (Cauchy – Picar) Giả sử hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) liên tục trong miền
(2) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo trong
Khi đó ứng với mỗi điểm trong
tồn tại duy nhất một nghiệm
của phương trình (1.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu
Nghiệm này xác định trên đoạn
trong đó được xác định
như ở phần xây dựng dãy xấp xỉ Picar.
1.4.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một
Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng là:
16
Ta sẽ giả thiết rằng các hàm
liên tục trên khoảng
. Khi đó
trong miền
nghiệm của bài toán Cauchy đối với
phương trình (1.15) tồn tại duy nhất.
Thật vậy nếu viết (1.15) dưới dạng
thì hàm
liên tục và có đạo hàm riêng theo liên tục trong
. Do đó theo hệ quả của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ta suy ra nhận
xét trên.
Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.15), trước hết ta xét phương
trình
(1.16) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với (1.15).
Ta viết lại (1.16) dưới dạng:
Giả sử . Chia hai vế của (1.17) cho ta được
Tích phân phương trình (1.18) ta có
Nhận thấy cũng là nghiệm của (1.16). Nghiệm này có thể nhận được từ
(1.19) nếu trong biểu thức (1.19) ta lấy cả giá trị
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (1.16) có dạng:
Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1.16) ta áp
dụng phương pháp biến thiên hằng số như sau:
Trong biểu thức (1.20) ta coi không phải là hằng số mà là hàm số của
17
và tìm cách chọn
sao cho biểu thức
thỏa mãn phương trình (1.15). Thay (1.21) vào (1.15) ta có
hay
Từ đây suy ra
Thay biểu thức
từ (1.22) vào (1.21) ta được nghiệm tổng quát của
phương trình tuyến tính không thuần nhất (1.15):
Nhận xét: Khi
, biểu thức
cho ta nghiệm tổng quát dạng
(1.22) của phương trình tuyến tính thuần nhất.
1.4.4. Nghiệm bài toán Cauchy
Giả sử
. Ta tìm nghiệm
của phương trình (1.15) thỏa mãn
điều kiện ban đầu
Ký hiệu
Khi đó (1.23) được viết dưới dạng:
Đặt
và viết lại (1.24) dưới dạng
18
Theo điều kiện ban đầu ta có
Từ đây suy ra
Thay giá trị này của vào (1.25) ta được
Từ đây và từ công thức Newton–Leibnit ta thu được
hay
Biểu thức nghiệm bài toán Cauchy dạng (1.26) có nhiều ứng dụng khi nghiên
cứu một số tính chất của nghiệm phương trình tuyến tính cấp một.
1.4.5. Phƣơng trình vi phân cấp
Định nghĩa 1.20. Phương trình vi phân thường cấp là phương trình trong
đó có chứa hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm
của ẩn số đó:
Hàm xác định trong một miền nào đấy của không gian
. Cấp của
phương trình đã cho là cấp của đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương
19
trình. Xét phương trình vi phân cấp khi đạo hàm cấp cao nhất
biểu diễn
dưới dạng
Định nghĩa 1.21. Nghiệm của phương trình (1.27) là hàm
khả vi
lần trên khoảng
sao cho:
Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.28) là tìm hàm
thỏa mãn
phương trình (1.28) và điều kiện ban đầu:
trong đó
là những số đã biết.
Dưới đây ta sẽ đưa ra một điều kiện đủ để nghiệm bài toán Cauchy đối với
phương trình (1.28) tồn tại và duy nhất.
Định nghĩa 1.22. Hàm
xác định trong miền
được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipsit theo các biến
nếu tồn tại
hằng số (hằng số Lipsit) sao cho đối với hai điểm bất kỳ
,
ta có bất đẳng thức
Nhận xét: Điều kiện Lipsit sẽ được thỏa mãn, chẳng hạn nếu hàm trong
miền có các đạo hàm riêng theo
giới nội, tức là tồn tại số
dương sao cho
