Điểm bất động của ánh xạ lipschitz đều trong không gian mêtric cat(0) và không gian mêtric siêu lồi (LV1233)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
LƯƠNG THỊ THU
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT(0)
VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC SIÊU LỒI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
LƯƠNG THỊ THU
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐỀU
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT(0)
VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC SIÊU LỒI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN KHIÊM
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Khiêm, người
đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014

Tác giả
Lương Thị Thu
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khiêm,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Điểm bất động
của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0) và
không gian mêtric siêu lồi” được hoàn thành bởi nhận thức của bản
thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Lương Thị Thu
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Một số khái niệm về hình học của không gian Banach. . . . 4
1.1.1. Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Đường kính và bán kính Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Cấu trúc chuẩn tắc và cấu trúc chuẩn tắc đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Đặc trưng Lifschitz và hệ số Lifschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Ánh xạ Lipschitz đều . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) và
không gian mêtric siêu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0). . . . 13
2.1.1. Không gian mêtric trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2. Không gian CAT(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3. Tính chất hình học của không gian CAT(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi . . 21
2.2.1. Không gian mêtric siêu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các định lý điểm bất động là một trong những công cụ nghiên cứu sự
tồn tại nghiệm của nhiều bài toán trong phương trình vi phân, phương
trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, sự tồn tại điểm cân bằng
và tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu trong lý thuyết tối ưu
Lý thuyết điểm bất động đã ra đời cách đây khoảng một thế kỷ. Sự ra
đời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912 và Nguyên lý ánh
xạ co Banach năm 1922 đã hình thành hai hướng chính của lý thuyết
điểm bất động là: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục và sự
tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ dạng co.
Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyết
điểm bất động dạng co. Hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ vào
những năm 60 của thế kỷ 20 và đã thu được những kết quả quan trọng
cho lớp ánh xạ không giãn.
Các kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitz đều
trong không gian Banach đã được xây dựng khá hoàn chỉnh vào những
năm 70 và 80 của thế kỷ 20. Trong những năm gần đây người ta tìm
cách mở rộng các kết quả về tồn tại điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz
đều trong không gian Banach sang lớp không gian mêtric với cấu trúc
lồi sinh bởi các hình cầu đóng, hoặc không gian mêtric với cấu trúc lồi
trắc địa (xem [4], [7], [8]).
Bởi tầm quan trọng của các định lý điểm bất động, cùng với mong
1
2

muốn tìm hiểu về một số kết quả gần đây về điểm bất động cho lớp ánh
xạ Lipschitz đều chúng tôi đã chọn đề tài "Điểm bất động của ánh xạ
Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0) và không gian
mêtric siêu lồi".
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính
của luận văn gồm hai chương.
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm về hình học của
không gian Banach, về ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều và
một số kết quả chính về điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều
trong không gian Banach.
Chương 2 của luận văn gồm hai phần. Phần thứ nhất của chương
2 trình bày về lớp không gian CAT(0) cùng với những tính chất hình
học của nó. Phần thứ của chương 2 trình bày về không gian mêtric siêu
lồi và chứng minh Định lý Casini-Maluta về điểm bất động của ánh xạ
Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết điểm bất động
của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(0) và không gian
mêtric siêu lồi.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.
Áp dụng một số phương pháp Giải tích, Giải tích hàm, Giải tích lồi, lý
thuyết tô pô.
3
4. Đóng góp của đề tài
Trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều
trong không gian mêtric CAT(0)và không gian mêtric siêu lồi.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1. Một số khái niệm về hình học của không gian
Banach
1.1.1. Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach
Cho X là một không gian Banach với chuẩn  · .
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi
chặt nếu
(∀ x, y ∈ X)













x ≤ 1
y ≤ 1
x −y > 0
⇒



x + y
2




< 1.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi
đều nếu với mọi số ε ∈ (0, 2] đều tồn tại một số δ = δ(ε) > 0 sao cho
(∀ x, y ∈ X)













x ≤ 1
y ≤ 1
x −y > ε
⇒



x + y
2




< 1 − δ(ε).
Ví dụ 1.1.3. Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều.
Thật vậy, giả sử ||x|| ≤ 1, ||y|| ≤ 1 và ||x − y|| ≥ ε. Từ đẳng thức
hình bình hành ta có:
||x + y||
2
= 2||x||
2
+ 2||y||
2
− ||x −y||
2
≤ 4 − ε
2
.
4
5
Từ đây suy ra




x + y
2




≤ 1 −


1 −

1 −
ε
2
4

= 1 − δ(ε)
với δ (ε) = 1 −

1 −
ε
2
4
> 0.
Ví dụ 1.1.4. Các không gian 
p
và L
p
với 1 < p < ∞ là các không gian
lồi đều.
Để đo mức độ lồi của hình cầu đơn vị B
X
= {x ∈ X : x ≤ 1} của
không gian Banach X người ta đưa ra khái niệm môđun lồi của không
gian Banach X.
Định nghĩa 1.1.5. Môđun lồi của không gian Banach X là hàm số
δ
X

: [0, 2] −→ [0, 1] xác định bởi
δ
X
(ε) = inf

1 −



x + y
2



: x, y ∈ X, x ≤ 1, y ≤ 1, x −y ≥ ε

.
Nhận xét. Từ định nghĩa của môđun lồi ta suy ra:
(i) Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi δ(ε) > 0 với mọi
ε ∈ (0, 2].
(ii) Nếu x ≤ 1, y ≤ 1 và x −y ≥ ε thì


x + y
2


≤

1 −δ

X
(ε)

.
Tương tự, nếu x, y, a ∈ X và R, ε > 0 sao cho x − a ≤ R,
y −a ≤ R, x −y ≥ ε thì


x + y
2
− a


≤ R

1 −δ
X

ε
R


.
(iii) Nếu X là không gian Hilbert thì δ
X
(ε) = 1 −

1 −
ε
2

4
.
Định nghĩa 1.1.6. Đặc trưng lồi của không gian Banach X là số ε
0
(X)
xác định bởi
ε
0
(X) = sup

ε ∈ [0, 2] : δ(ε) = 0

.
6
Nhận xét. Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi ε
0
(X) = 0.
Mệnh đề 1.1.7 (xem [5]). Môđun lồi δ
X
là hàm liên tục, không giảm
trên khoảng [0, 2) và tăng ngặt trên đoạn [ε
0
(X), 2].
Nhận xét.
(i) Từ Mệnh đề 1.1.7, nếu đặc trưng lồi ε
0
(X) < 1 thì phương trình
γ

1 −δ

X

1
γ

= 1
có nghiệm duy nhất γ = γ
0
(X) > 1.
(ii) Nếu X là không gian Hilbert thì γ
0
(X) =
√
5
2
.
1.1.2. Đường kính và bán kính Chebyshev
Cho (X, d) là một không gian mêtric, C là một tập con bị chặn khác
rỗng của X và điểm a ∈ X. Ta kí hiệu:
• d(C) := sup

d(x, y) : x, y ∈ C

là đường kính của tập C;
• r
a
(C) := sup

d(x, a) : x ∈ C


là bán kính của tập C đối với điểm
a;
• r(C) = inf

r
a
(C) : a ∈ C

là bán kính Chebyshev của tập C;
• Điểm z ∈ C được gọi là một tâm Chebyshev của C nếu r
z
(C) =
r(C).
1.1.3. Cấu trúc chuẩn tắc và cấu trúc chuẩn tắc đều
Định nghĩa 1.1.8. Tập hợp K trong không gian định chuẩn X được
gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập hợp con lồi, đóng, bị chặn
7
H ⊂ K với đường kính d(H) > 0 đều tồn tại một điểm a ∈ H sao cho
r
a
(H) < d(H).
Định nghĩa 1.1.9. Hệ số cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach X
được xác định bởi :
N(X) = sup

r(C)
d(C)
: C là tập con lồi bị chặn của X với d(C) > 0

.

Nếu N(X) < 1 thì ta nói X có cấu trúc chuẩn tắc đều.
Mệnh đề 1.1.10 (Xem [5]). Nếu không gian Banach X có cấu trúc
chuẩn tắc đều thì X là không gian phản xạ.
Giữa môđun lồi đều và cấu trúc chuẩn tắc có mối liên hệ sau đây.
Mệnh đề 1.1.11 (Xem [5]). Với mọi không gian Banach X ta có bất
đẳng thức
N(X) ≤ 1 − δ
X
(1).
Từ đó, nếu X có đặc trưng lồi ε
0
(X) < 1 thì X có cấu trúc chuẩn tắc
đều. Nói riêng, các không gian Banach lồi đều là các không gian có cấu
trúc chuẩn tắc đều và phản xạ.
1.1.4. Đặc trưng Lifschitz và hệ số Lifschitz
Định nghĩa 1.1.12. Đặc trưng Lifschitz của một không gian mêtric
(X, d) được định nghĩa như sau:
κ(X) = sup

β > 0 : ∃α > 1 sao cho ∀x, y ∈ X và r > 0, nếu d(x, y) > r
thì ∃z ∈ X sao cho B(x, βr) ∩ B(y, αr) ⊂ B(z, r)

.
(Ở đây ký hiệu B(z, r) là hình cầu đóng tâm z bán kính r).
Từ định nghĩa của κ(X) ta luôn có κ(X) ≥ 1, bởi vì với β = 1 ta chỉ
cần chọn z = x.
8
Định nghĩa 1.1.13. Hệ số Lifschitz của một không gian Banach X được
xác định bởi:
κ

0
(X) = inf

κ(C) : C là tập hợp con lồi, đóng, bị chặn không rỗng của X

.
Nhận xét. Nếu X là không gian Hilbert thì κ
0
(X) =
√
2 (xem [5]).
1.2. Ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.2.1. Cho (X, d) là một không gian mêtric và C là một
tập con khác rỗng của X. Một ánh xạ T : C −→ X được gọi là một ánh
xạ không giãn nếu
d(T x, T y) ≤ d(x, y) ∀x, y ∈ C.
Lớp ánh xạ không giãn là sự mở rộng tự nhiên của lớp ánh xạ co. Tuy
nhiên khác với ánh xạ co, ánh xạ không giãn có thể không có điểm bất
động, hoặc điểm bất động có thể không duy nhất.
Ví dụ 1.2.2. Kí hiệu c
0
là không gian của các dãy số hội tụ đến 0
với chuẩn sup và B là hình cầu đơn vị đóng trong c
0
. Với mỗi x =
(x
1
, x
2
, ) ∈ B ta đặt T x = (1, x

1
, x
2
, ). Khi đó T : B −→ B là ánh xạ
không giãn nhưng không có điểm bất động.
Thật vậy, giả sử tồn tại x
∗
= (x
∗
1
, x
∗
2
, x
∗
3
, ) ∈ B sao cho x
∗
= T x
∗
.
Khi đó (x
∗
1
, x
∗
2
, x
∗
3

, ) = (1, x
∗
1
, x
∗
2
, ) nên x
∗
i
= 1 với mọi i. Do đó x
∗
không thuộc c
0
. Vậy T không có điểm bất động.
Để đảm bảo cho lớp ánh xạ không giãn có điểm bất động ta cần thêm
những điều kiện chặt chẽ hơn về cấu trúc hình học của không gian. Năm
1965, ba nhà toán học F. Browder, D. Gohde, W. A. Kirk đã tìm ra điều
9
kiện đảm bảo cho sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ không giãn.
Các điều kiện bao gồm: tính compact yếu, tính lồi và cấu trúc chuẩn tắc.
Định lí 1.2.3 (Browder-Gohde-Kirk, 1965). Cho C là một tập con lồi,
compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach X. Khi đó
mọi ánh xạ không giãn từ C vào C đều có điểm bất động.
1.3. Ánh xạ Lipschitz đều
Sau khi thu được kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ
không giãn, một cách rất tự nhiên người ta nghiên cứu bài toán đó cho
lớp ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz lớn hơn 1. Tuy nhiên, S.
Kakutani đã xây dựng được một phản ví dụ về một ánh xạ (1 + ε) -
Lipschitz từ hình cầu đóng đơn vị của không gian Hilbert vào chính nó
mà không có điểm bất động.

Ví dụ 1.3.1 (S. Kakutani). Ký hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong
không gian Hilbert 
2
. Với mỗi ε ∈ (0, 1), xét ánh xạ T : B −→ B xác
định bởi
T x =

ε(1 −x), x
1
, x
2
,

, x = (x
1
, x
2
, x
3
, ) ∈ B.
Khi đó T là ánh xạ (1 + ε) - Lipschitz nhưng không có điểm bất động
trong B.
Thật vậy, với x = (x
1
, x
2
, x
3
, ) ∈ B ta có:
T x

2
= ε
2
(1 −x)
2
+ x
2
≤ (1 − x)
2
+ x
2
= 1 − 2 x+ 2 x
2
= 1 − 2 x(1 −x) ≤ 1.
10
Vậy T là ánh xạ từ B vào B.
Tiếp theo ta chứng minh T là ánh xạ (1 + ε)- Lipschitz.
Với x = (x
1
, x
2
, x
3
, ) ∈ B, y = (y
1
, y
2
, y
3
, ) ∈ B ta có:

T x − T y
2
= ε
2
(x −y)
2
+ x −y
2
≤ ε
2
x −y
2
+ x −y
2
= (ε
2
+ 1) x −y
2
< (ε + 1)
2
x −y
2
.
Vậy T là ánh xạ (1 + ε)- Lipschitz.
Cuối cùng ta kiểm tra rằng T không có điểm bất động trong B.
Giả sử tồn tại x
∗
= (x
∗
1

, x
∗
2
, x
∗
3
, ) ∈ B mà T x
∗
= x
∗
. Khi đó ta có
(ε(1 −x
∗
), x
∗
1
, x
∗
2
, ) = (x
∗
1
, x
∗
2
, x
∗
3
, ).
Từ đây suy ra x

∗
i
= ε(1 − x
∗
) với mọi i = 1, 2, 3,
- Nếu x
∗
 < 1 thì x
∗
i
= const = 0 với mọi i = 1, 2, 3, Điều này kéo
theo x
∗
∈ 
2
.
- Nếu x
∗
 = 1 thì x
∗
i
= 0 với mọi i. Điều này vô lý vì x
∗
 = 0 = 1.
Vậy T không có điểm bất động trong B.
Từ ví dụ của S. Kakutani ta cần phải đặt thêm điều kiện lên các ánh
xạ Lipschitz để đảm bảo cho nó có điểm bất động. K. Goebel và W. A.
Kirk đã đề xuất một lớp ánh xạ mới là lớp trung gian giữa lớp ánh xạ
không giãn và lớp ánh xạ Lipschitz, gọi là lớp ánh xạ Lipschitz đều.
Định nghĩa 1.3.2. Cho (X, d) là một không gian mêtric, C là tập con

khác rỗng của X. Một ánh xạ T : C −→ C được gọi là một ánh xạ
Lipschitz đều (hay k - Lipschitz đều) nếu tồn tại một số k ≥ 1 sao cho
d(T
n
x, T
n
y) ≤ kd(x, y) ∀x, y ∈ C, ∀n ∈ N.
11
Nhận xét. Ánh xạ T là ánh xạ k-Lipschitz đều nếu và chỉ nếu tất cả
các ánh xạ T
n
(n = 0, 1, 2, ) đều là ánh xạ Lipschitz với cùng một hằng
số Lipschitz k.
Rõ ràng mọi ánh xạ không giãn từ C vào C cũng là ánh xạ Lipschitz
đều với k = 1.
K.Goebel và W. A. Kirk là những người đầu tiên chứng minh được
sự tồn tại điểm bất động cho các ánh xạ Lipschitz đều.
Định lí 1.3.3 (Goebel - Kirk [6]). Cho C là một tập con lồi, đóng, bị
chặn, khác rỗng của không gian Banach X có đặc trưng lồi ε
0
(X) < 1.
Giả sử T : C −→ C là một ánh xạ k-Lipschitz đều với k ∈ (1, γ
0
), trong
đó γ
0
là nghiệm duy nhất của phương trình γ(1 −δ
X
(
1

γ
)) = 1. Khi đó T
có điểm bất động trong C.
Năm 1975, E. A. Lifschitz đã đưa ra một cách tiếp cận mới dựa trên
đặc trưng Lifschitz của không gian mêtric để chứng minh sự tồn tại điểm
bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric. Kết quả của
Lifschitz khi quy về trường hợp không gian Hilbert mạnh hơn hẳn kết
quả trên đây của Goebel và Kirk .
Định lí 1.3.4 (Lifschitz [10]). Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy
đủ, bị chặn và có đặc trưng Lifschitz κ(X) > 1. Khi đó, nếu T : X −→ X
là ánh xạ k-Lipschitz đều với k < κ(X) thì T có điểm bất động trong X.
Áp dụng kết quả của Lifschitz cho không gian Banach ta thu được hệ
quả sau.
Hệ quả 1.3.5. Cho C là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn của không gian
Banach X với hệ số Lifschitz κ
0
(X) > 1. Giả sử T : C −→ C là một
12
ánh xạ k-Lipschitz đều với k < κ
0
(X). Khi đó T có điểm bất động trong
C.
Trong trường hợp không gian Hilbert H ta biết rằng γ
0
(H) =
√
5
2
<
√

2 = κ
0
(H) nên kết quả của Lifschitz là tốt hơn thực sự kết quả của
Goebel - Kirk ở trên.
Năm 1985, E. Casini và E. Maluta cũng thu được một kết quả quan
trọng nữa về tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong
không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc đều.
Định lí 1.3.6 (Casini-Maluta [3]). Cho X là một không gian Banach
có cấu trúc chuẩn tắc đều N(X) < 1 và C là một tập hợp lồi, đóng, bị
chặn trong X. Khi đó, nếu T : C −→ C là một ánh xạ k-Lipschitz đều
với k <

N(X)
−1
thì T có điểm bất động trong C.
Chương 2
Ánh xạ Lipschitz đều trong không
gian CAT(0) và không gian mêtric
siêu lồi
2.1. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0)
2.1.1. Không gian mêtric trắc địa
Cho (X, d) là một không gian mêtric và x, y là hai điểm thuộc X,
d(x, y) = l. Một cung trắc địa nối hai điểm x, y trong X là một ánh xạ
c : [0, l] −→ X sao cho
c(0) = x, c(l) = y và d

c(t), c(t

)


= |t − t

| ∀t, t

∈ [0, l].
Khi đó ảnh của đoạn [0, l] qua ánh xạ c là tập c

[0, l]

, được gọi là
một đoạn thẳng trắc địa nối x và y. Nếu đoạn thẳng trắc địa đó là duy
nhất thì nó được kí hiệu là [x, y].
Định nghĩa 2.1.1. Không gian mêtric (X, d) được gọi là một không
gian trắc địa nếu hai điểm bất kỳ thuộc X đều được nối với nhau bằng
một đoạn thẳng trắc địa trong X.
Không gian mêtric (X, d) được gọi là một không gian trắc địa duy
nhất nếu hai điểm bất kỳ thuộc X đều có duy nhất một đoạn thẳng trắc
địa trong X nối chúng.
Nhận xét. Nếu (X, d) là một không gian mêtric trắc địa duy nhất và
x, y là hai điểm thuộc X thì với bất kì số thực t ∈ [0, 1], tồn tại duy nhất
13
14
điểm z
t
∈ [x, y] sao cho d(z
t
, x) = (1 −t)d(x, y) và d(z
t
, y) = td(x, y). Ta
kí hiệu điểm z

t
như trên là điểm tx ⊕ (1 −t)y.
Định nghĩa 2.1.2. Cho (X, d) là một không gian mêtric trắc địa. Một
tập con C của X được gọi là một tập lồi trắc địa nếu với hai điểm bất
kì x, y ∈ C thì đoạn thẳng trắc địa nối x với y cũng chứa trong C.
Bao lồi trắc địa của một tập con A ⊂ X, kí hiệu là conv(A), là giao
của tất cả các tập lồi trắc địa trong X chứa A.
2.1.2. Không gian CAT(0)
Cho (X, d) là một không gian mêtric trắc địa. Một tam giác trắc địa
trong X là tam giác có ba đỉnh x
1
, x
2
, x
3
∈ X và ba cạnh là ba đoạn
thẳng trắc địa nối các đỉnh của tam giác. Kí hiệu tam giác trắc địa này
là ∆(x
1
, x
2
, x
3
).
Với mỗi tam giác trắc địa ∆(x
1
, x
2
, x
3

) trong X luôn tồn tại một tam
giác ∆(x
1
, x
2
, x
3
) trong mặt phẳng Euclid R
2
sao cho:
d
R
2
(x
i
, x
j
) = d(x
i
, x
j
) ∀i, j ∈ {1, 2, 3}.
Ở đây ta kí hiệu d
R
2
(x
i
, x
j
) là khoảng cách Euclid giữa hai điểm x

i
và
x
j
trong R
2
. Tam giác ∆(x
1
, x
2
, x
3
) gọi là tam giác so sánh của tam giác
∆(x
1
, x
2
, x
3
).
Với mỗi điểm x ∈ ∆(x
1
, x
2
, x
3
), nếu x thuộc cạnh [x
i
, x
j

] thì tồn tại
(duy nhất) điểm x thuộc cạnh [x
i
, x
j
] của tam giác ∆(x
1
, x
2
, x
3
) sao cho
d(x, x
i
) = d
R
2
(x, x
i
) và d(x, x
j
) = d
R
2
(x, x
j
).
Điểm x được gọi là điểm so sánh của x .
15
Định nghĩa 2.1.3. Không gian mêtric trắc địa (X, d) được gọi là một

không gian CAT(0) nếu mọi tam giác trắc địa ∆(x
1
, x
2
, x
3
) trong X đều
thỏa mãn bất đẳng thức sau:
Với mọi u, v ∈ ∆(x
1
, x
2
, x
3
) ta có d(u, v) ≤ d
R
2
(u, v), trong đó u
và v tương ứng là các điểm so sánh của u và v trong tam giác so sánh
∆(x
1
, x
2
, x
3
).
Các không gian CAT(0) được đặc trưng bởi bất đẳng thức trung tuyến
như sau.
Mệnh đề 2.1.4 (xem [2], [4], [7], [8]). Không gian mêtric (X, d) là không
gian CAT(0) khi và chỉ khi (X, d) là không gian mêtric trắc địa duy nhất

và thỏa mãn bất đẳng thức trung tuyến sau đây:
d
2

x,
1
2
y
1
⊕
1
2
y
2


1
2
d
2
(x, y
1
) +
1
2
d
2
(x, y
2
) −

1
4
d
2
(y
1
, y
2
)
với mọi x, y
1
, y
2
∈ X và
1
2
y
1
⊕
1
2
y
2
là trung điểm của đoạn thẳng trắc
địa [y
1
, y
2
].
Nhờ bất đẳng thức trung tuyến, các không gian CAT(0) có nhiều tính

chất hình học khá gần với không gian Hilbert như các tính chất lồi đều,
phản xạ, cấu trúc chuẩn tắc,
2.1.3. Tính chất hình học của không gian CAT(0)
Mệnh đề 2.1.5. Trong không gian CAT(0), mỗi hình cầu đóng là một
tập lồi trắc địa.
Chứng minh. Giả sử (X, d) là một không gian CAT(0) và B(c, r) là hình
cầu đóng tâm c bán kính r trong X. Với x, y ∈ B(c, r), áp dụng bất
16
đẳng thức trung tuyến ta có
d
2
(c,
1
2
x ⊕
1
2
y) ≤
1
2
d
2
(c, x) +
1
2
d
2
(c, y) −
1
4

d
2
(x, y) ≤
1
2
r
2
+
1
2
r
2
= r
2
.
Từ đây suy ra
1
2
x⊕
1
2
y ∈ B(c, r). Vậy B(c, r) là một tập lồi trắc địa.
Định nghĩa 2.1.6. Không gian mêtric trắc địa (X, d) được gọi là không
gian lồi đều nếu với mọi r > 0 và mọi ε > 0 ta có
δ
X
(r, ε) := inf

1 −
1

r
d

a,
1
2
x ⊕
1
2
y

:
x, y, a ∈ X, d(x, a) ≤ r, d(y, a) ≤ r, d(x, y) ≥ rε

> 0.
Mệnh đề 2.1.7. Mọi không gian CAT(0) đều là không gian lồi đều.
Chứng minh. Giả sử (X, d) là một không gian CAT(0). Với r > 0 và ε >
0. Giả sử x, y, a ∈ X thỏa mãn d(x, a) ≤ r, d(y, a) ≤ r, d(x, y) ≥ rε.
Từ bất đẳng thức trung tuyến ta suy ra
d
2

a,
1
2
x ⊕
1
2
y


≤
1
2
r
2
+
1
2
r
2
−
r
2
ε
2
4
= r
2

1 −
ε
2
4

.
Từ đây suy ra 1 −
1
r
d


a,
1
2
x ⊕
1
2
y

≥ 1 −

1 −
ε
2
4
.
Vậy δ
X
(r, ε) ≥ 1 −

1 −
ε
2
4
> 0.
Cho (X, d) là một không gian mêtric và C là một tập con khác rỗng
của X. Với mỗi a ∈ X ta kí hiệu
d(a, C) := inf

d(a, x) : x ∈ C


là khoảng cách từ điểm a đến tập hợp C.
Mệnh đề 2.1.8. Giả sử (X, d) là một không gian CAT(0) đầy đủ và
{C
n
} là một dãy giảm các tập con lồi trắc địa, đóng và khác rỗng trong
17
X. Giả sử x là điểm thuộc X sao cho lim
n→∞
d(x, C
n
) := d ∈ (0, +∞). Khi
đó, nếu dãy {x
n
} với x
n
∈ C
n
(∀n ≥ 1) thỏa mãn lim
n→∞
d(x, x
n
) = d thì
dãy {x
n
} hội tụ.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh dãy {x
n
} là dãy Cauchy. Giả sử
phản chứng rằng dãy {x
n

} không là dãy Cauchy. Khi đó tồn tại một
số ε
0
> 0 và hai dãy con {x
m
k
} và dãy {x
n
k
} của dãy {x
n
} sao cho
d(x
m
k
, x
n
k
) > ε
0
∀k ≥ 1. Khi đó từ bất đẳng thức trung tuyến của
không gian CAT(0) ta có
d
2
(x,
1
2
x
m
k

⊕
1
2
x
n
k
) ≤
1
2
d
2
(x, x
m
k
) +
1
2
d
2
(x, x
n
k
) −
1
4
ε
2
0
.
Do lim

n→∞
d(x, x
n
) = d nên từ bất đẳng thức trên suy ra
d(x,
1
2
x
m
k
⊕
1
2
x
n
k
) <

d
2
−
ε
2
0
8
∀k ≥ k
0
.
Ta có thể coi m
k

< n
k
. Khi đó C
n
k
⊂ C
m
k
và C
m
k
là tập lồi nên
1
2
x
m
k
⊕
1
2
x
n
k
∈ C
m
k
. Do đó
d(x, C
m
k

) ≤ d(x,
1
2
x
m
k
⊕
1
2
x
n
k
).
Cho k −→ ∞, kết hợp với đánh giá ở trên ta được d ≤

d
2
−
ε
2
0
8
(Vô
lý).
Vậy dãy {x
n
} phải là dãy Cauchy. Do (X, d) là không gian đầy đủ nên
dãy {x
n
} hội tụ.

Mệnh đề 2.1.9. Giả sử (X, d) là một không gian CAT(0) đầy đủ và C
là một tập con lồi trắc địa, đóng và khác rỗng của X. Khi đó, với mỗi
x ∈ X tồn tại duy nhất một điểm x
0
∈ C sao cho d(x, x
0
) = d(x, C) :=
inf{d(x, y) : y ∈ C}.
18
Chứng minh. Nếu d(x, C) = 0 thì do C đóng ta có x ∈ C. Chọn x
0
= x
ta có d(x, x
0
) = 0 = d(x, C).
Xét trường hợp d(x, C) = d > 0. Theo định nghĩa d(x, C) := inf{d(x, y) :
y ∈ C} ta chọn được một dãy {x
n
} ⊂ C sao cho lim
n→∞
d(x, x
n
) =
d(x, C) = d. Áp dụng Mệnh đề 2.1.8 cho các tập C
n
= C ∀n ≥ 1 ta
nhận được dãy {x
n
} hội tụ đến x
0

∈ C. Do đó
d(x, x
0
) = lim
n→∞
d(x, x
n
) = d(x, C).
Giả sử y
0
∈ C cũng thỏa mãn d(x, y
0
) = d(x, C). Do C lồi nên
1
2
x
0
⊕
1
2
y
0
∈
C. Từ bất đẳng thức trung tuyến ta có:
d
2
≤ d
2
(x,
1

2
x
0
⊕
1
2
y
0
) ≤
1
2
d
2
(x, x
0
)+
1
2
d
2
(x, y
0
)−
1
4
d
2
(x
0
, y

0
) = d
2
−
1
4
d
2
(x
0
, y
0
).
Vậy d(x
0
, y
0
) = 0, hay y
0
= x
0
.
Mệnh đề 2.1.10 (Tính phản xạ). Giả sử (X, d) là một không gian
CAT(0) đầy đủ. Khi đó nếu {C
n
} là một dãy giảm gồm các tập lồi trắc
địa, đóng, bị chặn và khác rỗng của X thì
∞
∩
n=1

C
n
= ∅.
Chứng minh. Cố định một điểm x ∈ X. Do {C
n
} là một dãy giảm nên
dãy

d(x, C
n
)

là dãy tăng và bị chặn (do tập C
1
bị chặn). Do đó tồn
tại lim
n→∞
d(x, C
n
) = d < ∞.
Nếu d = 0 thì d(x, C
n
) = 0 ∀n ≥ 1. Do C
n
đóng nên x ∈ C
n
∀n ≥ 1.
Xét trường hợp d > 0. Do mỗi tập C
n
là tập lồi, đóng, khác rỗng, theo

Mệnh đề 2.1.9 ta chọn được x
n
∈ C
n
sao cho d(x, x
n
) = d(x, C
n
) −→ d.
Áp dụng Mệnh đề 2.1.8 ta nhận dãy {x
n
} hội tụ tới x
0
nào đó. Với mỗi
m cố định, do dãy {C
n
} là dãy giảm nên x
n
∈ C
m
∀n ≥ m. Do C
m
đóng
nên x
0
= lim
n→∞
x
n
∈ C

m
. Vậy x
0
∈ C
m
∀m ≥ 1.
19
Mệnh đề 2.1.11. Giả sử (X, d) là một không gian CAT(0) đầy đủ và
C là một tập lồi trắc địa, đóng, bị chặn, khác rỗng của X. Khi đó C có
duy nhất một tâm Chebyshev.
Chứng minh. Đặt r = r(C) = inf

r
x
(C) : x ∈ C

và
C
n
=

x ∈ C : r
x
(C) ≤ r +
1
n

, n = 1, 2, 3,
Rõ ràng C
n

= ∅ và C
n
⊃ C
n+1
∀n ≥ 1. Mặt khác do các hình cầu
đóng trong X là các tập lồi trắc địa và C
n
= ∩
x∈X
B(x, r +
1
n
) nên các tập
C
n
cũng là các tập lồi trắc địa. Áp dụng Mệnh đề 2.1.10 ta nhận được
∞
∩
n=1
C
n
= ∅. Với a ∈
∞
∩
n=1
C
n
ta có r
a
(C) = r = r(C) nên a chính là tâm

Chebyshev của C.
Giả sử tồn tại điểm b ∈ C, b = a sao cho b cũng là tâm Chebyshev
của C. Do C lồi nên điểm c =
1
2
a ⊕
1
2
b ∈ C. Với mọi x ∈ C, áp dụng bất
đẳng thức trung tuyến ta có
d
2
(x, c) ≤
1
2
d
2
(x, a) +
1
2
d
2
(x, b) −
1
4
d
2
(a, b) ≤ r
2
−

1
4
d
2
(a, b).
Từ đó suy ra r
c
(C) ≤

r
2
−
1
4
d
2
(a, b) < r = r(C). Điều này không thể
xảy ra.
Vậy C có duy nhất một tâm Chebyshev.
Định nghĩa 2.1.12. Cho (X, d) là một không gian mêtric trắc địa. Hệ
số cấu trúc chuẩn tắc của không gian (X, d) được xác định như sau:
N(X) = sup

r(A)
d(A)
: A là tập con lồi trắc địa, bị chặn của X, d(A) > 0

.
Mệnh đề 2.1.13. Giả sử (X, d) là một không gian CAT(0) đầy đủ. Khi
đó X có cấu trúc chuẩn tắc đều.

20
Chứng minh. Giả sử A là một tập con lồi trắc địa, đóng và bị chặn trong
X với đường kính d(A) = d > 0. Với ε ∈ (0, d) ta chọn được hai điểm
x, y ∈ A sao cho d(x, y) ≥ d −ε. Đặt z =
1
2
x ⊕
1
2
y ∈ A. Chọn u ∈ A sao
cho d(u, z) > r
z
(A) −ε. Ta có
d(x, u) ≤ d, d(y, u) ≤ d, d(x, y) ≥ d −ε = d.
(d −ε)
d
nên theo định nghĩa của không gian lồi đều ta có
d(u, z) ≤ d

1 −δ
X
(d,
d −ε
d
)

.
Từ đó kết hợp với đánh giá của δ
X
(d,

d −ε
d
) trong Mệnh đề 2.1.7 ta có
r(A) ≤ r
z
(A) ≤ d(u, z)+ε ≤ d

1−δ
X
(d,
d −ε
d
)

+ε < d.

1 −
(d −ε)
2
4d
2
+ε.
Do ε > 0 bất kì nên cho ε −→ 0 ta nhận được
r(A) ≤
√
3 .d
2
, hay
r(A)
d(A)

≤
√
3
2
.
Vậy N(X) ≤
√
3
2
< 1. Do đó X có cấu trúc chuẩn tắc đều.
2.1.4. Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(0)
Mệnh đề 2.1.14. Nếu X là không gian CAT(0) thì X có đặc trưng
Lifsic κ(X) ≥
√
2.
Chứng minh. Giả sử r > 0 và 1 ≤ k <
√
2. Ta sẽ chứng minh nếu
x, y ∈ X thỏa mãn d(x, y) = r thì tồn tại α ∈ (0, 1) và tồn tại z ∈ X
sao cho
B(x, r) ∩B(y, kr) ⊂ B(z, αr).