Một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng phép chứng minh phân tích và tổng hợp

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA SINH VIÊN KHI
SỬ DỤNG PHÉP CHỨNG MINH PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP
Đào Thị Hoa
1

hân tích và tổng hợp là hai phép chứng minh thường được sử dụng khi
giải các bài toán ở nhà trường phổ thông. Tuy nhiên, khi sử dụng hai
phép chứng minh này trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán, sinh viên
thường mắc phải một số sai lầm. Báo cáo trình bày một số sai lầm thường
gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh phân tích và tổng hợp,
nguyên nhân dẫn đến sai lầm và biện pháp khắc phục những sai lầm đó.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông, việc hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải của
bài toán và trình bày lời giải đó là một công việc rất thường xuyên và hết sức cần thiết. Trong
quá trình đó, thầy và trò thường xuyên sử dụng phép phân tích và tổng hợp. Như vậy, phép
chứng minh phân tích và phép chứng minh tổng hợp là một trong những phép chứng minh mà
mỗi giáo viên toán tương lai cần phải biết và sử dụng thành thạo. Tuy nhiên, một số sinh viên
vẫn thường mắc sai lầm khi sử dụng các phép này.
2. NỘI DUNG
Chúng ta biết rằng, phép chứng minh tổng hợp là phép chứng minh có xuất phát điểm là
mệnh đề đúng đã biết. Nghĩa là nếu gọi A là mệnh đề đúng đã biết, B là mệnh đề cần chứng
minh thì phép chứng minh tổng hợp được diễn tả bằng sơ đồ như sau:
A = B
1
 B
2
 B
3
  B
n

= B.
Phép phân tích là quá trình suy diễn xuất phát từ điều cần chứng minh đến điều đã cho,
đã biết. Trong phép phân tích, ta phân biệt phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống.
Giả sử B là mệnh đề cần chứng minh, phép phân tích xuất phát từ B theo sơ đồ sau gọi là
phép phân tích đi lên: B  B
1
 B
2
 B
3
  B
n
= A, A là mệnh đề đã cho, đã biết.
Nếu A là mệnh đề đúng đã biết thì suy ra được B đúng. Khi đó phép phân tích đi lên gọi
là phép chứng minh phân tích đi lên.
Nếu A là mệnh đề sai thì chưa có kết luận gì về B.
Giả sử B là mệnh đề cần chứng minh, phép phân tích xuất phát từ B theo sơ đồ sau gọi là
phép phân tích đi xuống: B  B
1
 B
2
 B
3
  B
n
= A, A là mệnh đề đã cho, đã biết.
Nếu A là mệnh đề đúng đã biết thì chưa kết luận gì về B.

1
ThS, Trường ĐHSP Hà Nội 2

P
Nếu A là mệnh đề sai thì suy ra B cũng sai. Khi đó phép phân tích đi xuống là phép
chứng minh bác bỏ B.
Trong đề thi kết thúc học phần môn Phương pháp dạy học toán 2 năm học 20112012 có
câu:
a) Cho lời giải bài toán sau: Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thoả mãn hệ
thức sinA = 2sinBsinC thì tam giác ABC cân.
b) Trình bày những hiểu biết của mình về phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán
trên.
Trong bài toán trên, ở phần a của đề bài trên ta có: Mệnh đề đã cho là "ba góc của tam
giác ABC thoả mãn hệ thức sinA = 2sinBcosC", mệnh đề cần chứng minh là "tam giác ABC
cân". Để trình bày phần a sinh viên có nhiều cách khác nhau, còn phần b lại phụ thuộc vào
phần a.
Với đề bài này, sinh viên thường mắc phải những sai lầm điển hình trong lời giải như
sau:
Sai lầm 1:
a) Vì tam giác ABC cân 
B C A 2B

   
 sinA = sin(

– 2B) 
sinA = sin2B  sinA = 2sinBcosB  sinA = 2sinBcosC (
BC
theo trên). Mà
sinA = 2sinBcosC là mệnh đề đã cho nên ta có điều phải chứng minh.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi
xuống.
Ở sai lầm này, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích đi xuống, tuy nhiên trong

trường hợp này mệnh đề đã cho "sinA = 2sinBcosC" là mệnh đề đúng nên chưa thể kết luận
gì về mệnh đề cần chứng minh. Lúc này phép phân tích đi xuống không phải là phép chứng
minh, nên đấy không phải là lời giải của bài toán. Như vậy, ở sai lầm 1 cả phần a và phần b
đều sai.
Sai lầm 2:
a) Tam giác ABC cân 
B C A 2B

   
 sinA = sin(

– 2B) 
sinA = sin2B  sinA = 2sinBcosB  sinA = 2sinBcosC (
BC
theo trên). Mà
sinA = 2sinBcosC là mệnh đề đã biết nên ta có điều phải chứng minh.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi
lên.
Ở sai lầm này, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích đi lên, tuy nhiên trong trường
hợp này mệnh đề "sinA = 2sinBcosC" kéo theo mệnh đề "sinA = 2sinBcosB" được giải thích
là do "
BC
theo trên" là không có cơ sở, vì nếu đã có
BC
thì hiển nhiên tam giác ABC là
cân. Như vậy, ở sai lầm 2 cả phần a và phần b đều sai.
Sai lầm 3:
a) Tam giác ABC cân 
BC
 sin(B – C) = 0  sinCcosB – cosCsinB = 0 

sinCcosB = cosCsinB  sinCcosB + sinBcosC = cosCsinB + sinBcosC  sin(B + C) =
2sinBcosC  sin[

– (B + C)] = 2sinBcosC  sinA = 2sinBcosC.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi
xuống.
Ở sai lầm 3, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích đi lên, và trong trường hợp
này mệnh đề "sinA = 2sinBcosC" là mệnh đề đúng nên kết luận được mệnh đề "tam giác
ABC cân" là mệnh đề đúng. Lúc này phép phân tích đi lên là phép chứng minh phân tích đi
lên. Nhưng ở phần b lại trả lời là phép chứng minh phân tích đi xuống. Sai lầm ở đây là nhầm
lẫn giữa phép phân tích đi lên và phân tích đi xuống. Như vậy, ở sai lầm 3, phần a đúng và
phần b sai.
Sai lầm 4:
a) sinA = 2sinBcosC  sin[

– (B + C)] = 2sinBcosC  sin(B + C) = 2sinBcosC 
sinBcosC + cosBsinC = 2sinBcosC  cosBsinC = sinBcosC  sin(C – B) = 0 
BC

Tam giác ABC cân.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh tổng hợp.
Ở sai lầm 4, trong phần a, có sử dụng mệnh đề xuất phát là mệnh đề đúng đã biết, nhưng
lại sử dụng mũi tên "", đó không phải là sơ đồ của phép chứng minh tổng hợp. Như vậy, ở
sai lầm 4 cả phần a và phần b đều sai.
Sai lầm 5:
a) sinA = 2sinBcosC  sin[

– (B + C)] = 2sinBcosC  sin(B + C) = 2sinBcosC 
sinBcosC + cosBsinC = 2sinBcosC  cosBsinC = sinBcosC  sin(C – B) = 0 
BC


Tam giác ABC cân.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi
xuống.
Ở sai lầm 5, trong phần a, sinh viên sử dụng phép chứng minh tổng hợp, nhưng trong
phần b lại trả lời đó là phép chứng minh phân tích đi xuống do chỉ chỉ quan tâm đến ký hiệu
"" mà không quan tâm đến mệnh đề xuất phát là mệnh đề đã cho hay mệnh đề cần chứng
minh. Như vậy, ở sai lầm 5, phần a đúng và phần b sai.
Với đề bài trên có thể có một số lời giải đúng như sau:
Lời giải 1:
a) Vì sinA = 2sinBcosC  sin[

– (B + C)] = 2sinBcosC  sin(B + C) = 2sinBcosC 
sinBcosC + cosBsinC = 2sinBcosC  cosBsinC = sinBcosC 
sin(B – C) = 0 
BC
(do 0
B C )

  
 Tam giác ABC cân tại A.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh tổng hợp. (Sau
đó trình bày về phép chứng minh tổng hợp).
Lời giải 2:
a) Vì sinA = 2sinBcosC  sinA = sin(B + C) + sin(B – C)  sinA = sin(

– A) + sin(B
– C)  sin(B – C) = 0 
BC
(do 0

B C )

  
 Tam giác ABC cân tại A.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh tổng hợp. (Sau
đó trình bày về phép chứng minh tổng hợp).
Lời giải 3:
a) Tam giác ABC cân 
BC
 sin(B – C) = 0  sinBcosC – cosBsinC = 0 
sinCcosB = sinBcosC  sinCcosB + sinBcosC = sinBcosC + sinBcosC  sin(B + C) =
2sinBcosC  sin[

– (B + C)] = 2sinBcosC  sinA = 2sinBcosC. Mà
sinA = 2sinBcosC là mệnh đề đã cho nên ta có điều phải chứng minh.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi
lên. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phân tích đi lên).
Lời giải 4:
a) Tam giác ABC cân 
BC
 sin(B – C) = 0  sinA = sinA + sin(B – C)  sinA =
sin(

– A) + sin(B – C)  sinA = sin(B + C) + sin(B – C)  sinA = 2sinBcosC. Mà sinA =
2sinBcosC là mệnh đề đã cho nên ta có điều phải chứng minh.
b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tích đi
lên. (Sau đó trình bày về phép chứng minh phân tích đi lên).
3. KẾT LUẬN
Có thể thấy rằng, hai phép chứng minh phân tích và tổng hợp là hai phép chứng minh rất
cơ bản và đơn giản đối với tư duy của sinh viên khoa Toán. Tuy nhiên trong thực hành, sinh

viên vẫn mắc sai lầm. Nguyên nhân chủ yếu là do ý thức học chưa cao, do chủ quan.
Để hạn chế tối đa những sai lầm như trên, khi giảng dạy, giảng viên cần cho sinh viên
phân biệt hai phép chứng minh phân tích và tổng hợp. Cần nhấn mạnh khi nào thì phép phân
tích trở thành phép chứng minh phân tích. Yêu cầu sinh viên lấy ví dụ và những phản ví dụ
về các phép chứng minh này để phân biệt, cho những lời giải có sai lầm, yêu cầu phát hiện và
sửa chữa sai lầm, đồng thời, yêu cầu sinh viên dự kiến những sai lầm thường gặp khi giải các
bài toán cụ thể có sử dụng các phép chứng minh này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hoàng Chúng, Lôgic học phổ thông, Nxb Giáo dục, H., 1996.
2. Lê Duy Ninh, Dạy học suy luận và chứng minh, Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2001.
3. Nguyễn Đức Thuần, Suy suy luận và chứng minh, Trường ĐHSP Hà Nội, 1979.
SOME COMMON ERRORS STUDENTS OFTEN MAKE WHEN USING
ANALYTIS AND SYNTHETIS DEMONSTRATION
Dao Thi Hoa
Abstract
Analytis and synthetis are two proof methods that often used to solve problem at schools.
However, when studens use these methods in the process of directing their pupils how to solve the
problem, studens often make some common errors in this report. We are going to discuss some
common errors that students often make when using analytis and synthetis demonstration, the causes
and suggested solution.