Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trường Đại học Công Nghệ




BÀI TẬP LỚN
Môn: Lý thuyết điều khiển tự động
Đề bài: Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ
thống điều khiển liên tục












Hà Nội, 04/2014
GVHD: ThS Nguyễn Thị Cẩm Lai
Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 3
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 1


Lời mở đầu

Ngày nay, tự động hóa đã trở thành một vẫn đề thiết yếu trong ngành công nghiệp. Những
ứng dụng từ lĩnh vực này đã và đang len lỏi vào cuộc sống của con người, giúp cho con người có
một cuộc sống được tiện nghi và thoải mãi hơn. Chúng ta có thể tìm thấy rất nhiều thứ có ứng
dụng của lĩnh vực điều khiển tự động cả trong đời sống hàng ngày cũng như là trong sản xuất
công nghiệp như những cơ cấu điều khiển quạt điện tự quay, hay những dây chuyền công nghiệp
hiện đại, phức tạp. Ngành điều khiển tự động có cơ sở từ cuối thế kỳ XIX tới đầu thế kỷ XX và
thực sự phát triển mạnh vào nửa cuối thế kỷ XX và có xu thế ngày càng phát triển hơn nữa với
những kỹ thuật mới, những thuật toán điều khiển mới. Ngày nay, hệ thống điều khiển tự động đã
phổ biến trong hầu hết các lĩnh vực công nghệ và phát triển song song với các kỹ thuật tiên tiến
như điện tử và máy tính. Với nhiều công nghệ mới ra đời, nhiều hệ thống tự động phức tạp đã
được thiết kế và đưa vào sử dụng như kỹ thuật mạng không dây, kỹ thuật vô tuyến, …
Kỹ thuật điều khiển tự động đã được ứng dụng vào nhiều ngành khác nhau và nhiều hệ
thống điều khiển chuyên nghiệp khác nhau đã được ra đời. Có thể liệt kê một số những ứng dụng
chính như: các hệ thống điều khiển của các nhà máy nhiệt điện, thuỷ điện; hệ thống tự động
trong các nhà máy sản xuất thực phẩm như cocacola, sữa, đường,… các nhà máy lắp ráp ôtô,
robot; các nhà máy sản xuất vật liệu xây dựng như xi măng, sản xuất kính, gạch men; các hệ
thống điều khiển trong ngành hàng không và vũ trụ, hệ thống điều khiển điện tử nhúng dùng
trong công nghiệp chế tạo và trong đời sống hàng ngày, hệ thống điều khiển phương tiện giao
thông trên mặt đất, ứng dụng trong y học, điều khiển tên lửa, điều khiển phương tiện trên biển,
điều khiển các quá trình sản xuất trong công nghiệp, rô bốt và cơ điện tử, hệ thống sản xuất trong
lĩnh vực công nghệ cao như sản xuất, lắp ráp các hệ thống vi mạch v v
Một hệ thống điều khiển tự động có một số đặc tính cần phát phân tích như tính điều khiển
được, tính quan sát được, tính ổn đinh, … những đặc tính này đóng vai trò quyết định hành vi
của hệ thống. Trong đó tính ổn định của hệ thống đóng vai trò rất quan trọng. Có thể thấy khi hệ
thống không ổn định sẽ gây ra những bất lợi nhất định làm sai lệch trong quá trình vận hành,
thậm chí gây hỏng hóc, hoặc tai nạn, … Một ví dụ về hệ thống mất ổn định là khi biên độ trạng
thái của hệ tăng lên đến vô cùng mặc dù đầu vào đã được khống chế, điều này rất nguy hiểm bới
có thể gây ra cháy, nổ, hỏng hóc thiết bị, … Do đó công việc đầu tiên cần làm của người kỹ sư
thiết kế hệ thống điều khiển là xem xét sự ổn định của hệ thống. Khi ổn định hệ thống được đảm

bảo thì mới xét đến các yếu tố khác của hệ thống như thời gian đáp ứng, tốc độ đáp ứng, …
Với một hệ thống điều khiển tự động vòng kín, tính ổn định của hệ thống cũng như chất
lượng của quá trình quá độ đều có thể được khảo sát thông qua sự thay đổi của đại lượng cần
điều chỉnh y hoặc giá trị sai lệch e khi có tác động của nhiễu đặt trước u hoặc nhiễu D.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 2


Với đề tài được giao: “Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự
động liên tục” bài làm của nhóm 3 gồm có các phần sau:

I. Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động.
II. Sơ lược về tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc.
III. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.
IV. Kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.
V. Ứng dụng Matlab trong kiểm tra tính ổn định của hệ thống.
VI. Một số bài tập áp dụng.


Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 3

Danh sách nhóm:
STT
Họ và Tên
MSSV
Lớp
1

Nguyễn Văn Việt
12020441
K57M
2
Phạm Trần Hoàng
12020162
K57M
3
Đỗ Văn Lực
12020244
K57M
4
Trần Bá Vương
12020449
K57M
5
Nguyễn Sỹ Trung
12020396
K57M
6
Nguyễn Viết Bình
12020525
K57M
7
Nguyễn Thị Phương
12020296
K57M
8
Mai Trọng Linh
12020222

K57M
9
Vũ Đình Ngọc
12020271
K57M
10
Nguyễn Minh Lý
12020246
K57M




Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 4

Phần I. Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động.
I. Khái niệm về hệ thống điều khiển tự động liên tục.
1. Giới thiệu mở đầu.
Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác động lên hệ thống để
đáp ứng của thệ thống gần với mục đích định trước.
Điều khiển tự động là ứng dụng của lý thuyết điều khiển tự động vào việc điều khiển các
quá trình khác nhau mà không cần tới sự can thiệp của con người.
Ổn định là điều kiện cần thiết đầu tiên của một hệ thống điều khiển tự động. Hệ thống
điều khiển tự động được được gọi là ổn định nếu sau khi có nhiễu tác động làm thay đổi trạng
thái cân bằng của nó thì nó tự hiệu chỉnh để trở lại trạng thái cân bằng. Hoặc nếu tín hiệu vào bị
chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn thì hệ thống đó được gọi là ở trạng thái ổn định.
Nếu hệ thống không trở lại trạng thái cân bằng mà tín hiệu ra tiến tới vô cùng thì hệ thống
sẽ không ổn định. Trạng thái trung gian giữa ổn định và không ổn định được gọi là biên giới ổn

định. Trong trường hợp này tín hiệu ra của hệ thống là một dao động có biên độ không đổi.

2. Phân loại hệ thống tự động
2.1.1. Hệ thống điều khiển tuyến tính
Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng.
Nguyên lý xếp chồng phát biểu rằng đáp ứng tạo ra bởi những kích thích đồng thời là
tổng của các đáp ứng riêng lẻ. Vì thế với hệ thống tuyến tính, đáp ứng với nhiều cửa vào có thể
được xác định bằng cách xét đáp ứng của từng cửa vào sau đó cộng các đáp ứng lại với nhau.
Nguyên lý này cho phép tìm nghiệm phức của phương trinh vi phân tuyến tính từ các nghiệm
đơn giản. Trong nghiên cứu thực nghiệm một hệ thống động lực, nếu quan hệ giữa nguyên nhân
và kết quả là tỷ lệ thì nguyên lý xếp chồng là hiệu lực, lúc đó hệ thống được xem là tuyến tính.
Hệ tuyến tính còn là những hệ thống đảm bảo tính đồng nhất (homogeneity) và tính cộng
thêm (additive) thì được gọi là hệ thống tuyến tính.
Tính đồng nhất hay còn gọi là quy tắc vô hướng, luật co giãn (scalar rule) có nghĩa là khi
độ lớn đầu vào của hệ thống tăng lên (scaled) thì độ lớn đầu ra từ hệ thống cũng sẽ tăng lên
tương ứng.
Tính cộng (Additive) là tính chất mà output của hệ thống có thể được tính như là tổng của
kết quả phản hồi từ mỗi tín hiệu vào input đơn lẻ.
Nếu dữ liệu vào có thể được phân rã như là tổng của các dữ liệu, tín hiệu đơn vị đã được
trong số hóa thì đầu ra của một hệ thống tuyến tính sẽ như sau:
( ) ( )
i i i i
tt
c x t HTLT c y t

 



Ví dụ: Kiểm tra phương trình sau xem có phải là phương trình mô tả hệ thống liên tục hay

không?
1
( ) ( )
2
y t x t

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 5

Giải
1 2 1 2 1 2
12
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
( ) ( )
y t ax t bx t ax t bx t a x t b x t
ay t by t

     



Vậy hàm trên mô tả hệ thống liên tục.

2.1.2. Hệ thống điều khiển phi tuyến
Các quá trình trong công nghiệp như robotic và công nghiệp không gian thường có động
lực phi tuyến lớn. Trong lý thuyết điều khiển đôi khi có thể tuyến tính hóa thành các lớp trong hệ
thống và áp dụng các kỹ thuật tuyến tính, nhưng trong nhiều trường hợp cần phải nghĩ ra từ các

lý thuyết cho phép điều khiển cho hệ thống phi tuyến. Ví dụ phản hồi tuyến tính hóa,
backstepping, điều khiển chế độ trượt, quỹ đạo điều khiển tuyến tính hóa thường sử dụng sự tiện
lợi của kết quả dựa trên thuyết Lyapunov. Hình học vi phân đã được sử dụng rộng rãi như là một
công cụ điều khiển tuyến tính phổ biến nổi tiếng sử dụng trong điều khiển phi tuyến, cũng như
chỉ ra những tinh tế, càng làm cho vấn đề thêm thách thức.

Ví dụ: Kiểm tra hàm sau có mô tả hệ thống phi tuyến hay không:
()
()
xt
y t e


Giải
12
12
( ) ( )
( ) ( )
12
( ) . ( ) ( )
ax t bx t
ax t bx t
y t e e e ay t by t



   

Vậy hàm trên thỏa mãn là hàm mô tả hệ thống phi tuyến.

2.1.3. Hệ thống điều khiển phân tán
Khi một hệ thống được điều khiển bởi nhiều bộ điều khiển, vấn đề là một trong các điều
khiển phân tán. Sự phân tán hóa thì hữu ích trên nhiều phương diện, chẳng hạn như nó giúp điều
khiển hệ thống vận hành trong một khu vực địa lý rộng lớn. Các nhánh trong các hệ thống điều
khiển phân tán có thể tương tác với nhau bằng cách sử dụng các kênh liên lạc và phối hợp các
hoạt động của chúng với nhau.

2.1.4. Hệ thống bất biến theo thời gian
Một hệ thống là bất biến theo thời gian khi một khoảng dịch thời gian trong tín hiệu đầu
vào cũng gây ta một độ dịch tương ứng trong tín hiệu đầu ra.

2.1.5. Hệ thống biến đổi theo thời gian
Hệ thống gọi là biến đổi theo thời gian nếu tín hiệu đầu ra tại bất kỳ thời điểm nào đều
phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào.

3. Điều kiện ổn định của hệ thống điều khiển tự động.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 6

Một hệ thống điều khiển tự động được gọi là ổn định nếu nó thỏa mãn điều kiện ràng
buộc sau:
0
lim (t) 0
(1.1)
lim ( ) 0
t
t
e
et











4. Các yêu cầu với hệ thống tự động
Hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh
hưởng của nhiễu lên hệ thống.
Hệ phi tuyến có thể ổn định trong phạm vi hẹp khi độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định
trong phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn.
Đối với hệ tuyến tính, đặc thù của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động
kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu
vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng nhất định.

II. Các trạng thái cân bằng của hệ thống tự động.
Có 3 dạng trạng thái cân bằng:
- Cân bằng ổn định
- Cân bằng ở biên giới ổn định
- Cân bằng không ổn định.
Xét phương trình (1.1):
- Nếu
lim ( ) 0e t khi t  
thì hệ thống ổn định.
- Nếu
lim ( )e t khi t   

thì hệ thống không ổn định.
- Nếu
lim ( )et 
dao động có biên độ không đổi khi
t 
thì hệ thống sẽ ở biên giới
ổn định.

Ví dụ 1: Các trạng thái cân bằng của một viên bi ở các vị trí được mô tả như trong hình:


Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳng hạn cho nó
một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới (vị trí a), hoặc
sẽ dao động quanh vị trí cân bằng (vị trí b) và (vị trí d), hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu (vị
trí c). Trong ba trường hợp thì khi quả cầu ở vị trí a là vị trí quả cầu có cân bằng ở biên giới ổn
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 7

định; quả cầu ở vị trí b và d là vị trí quả cầu có cân bằng ổn định; quả cầu ở vị trí c là vị trí quả
cầu có cân bằng không ổn định.
Ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở về trạng
thái ban đầu được – hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định trong
phạm vi rộng. Trong trường hợp này, việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến
tính bất biến theo thời gian. Đó là những hệ thông mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ
số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng.

Ví dụ 2: Đồ thị các trạng thái cân bằng của hệ thống tự động:

Ví dụ 3: Mô tả trạng các trạng thái cân bằng của hệ thống:



Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 8

Phần II. Sơ lược về tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc.

Hệ thống rời rạc là hệ thống có phương trình trạng thái được mô tả bằng phương trình sai
phân. Nếu một hệ thống liên tục được coi là ổn định khi các cực nằm bên trái mặt phẳng p thì thì
một hệ thống rời rạc được coi là ổn định nếu các cực nằm bên trong đường tròn đơn vị.

I. Giới thiệu chung
Điều kiện để một hệ thống điều khiển liên tục ổn định là tất cả các nghiệm của phương
trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do quan hệ giữa biến z và biến s là
Ts
ze
nên
s nằm bên trái mặt phẳng phức tương đương với z nằm bên trong vòng tròn đơn vị. Do đó hệ
thống điều khiển rời rạc ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều nằm bên
trong vòng tròn đơn vị.



Chú ý:
- Nếu một hệ thống rời rạc cho bởi sơ đồ khối:

Thì hệ thống đó có phương trình đặc tính là
1 ( ) 0GH z

- Hệ thống rời rạc cho hệ phương trình biến trạng thái:
( 1) ( ) ( )
(2.1)
( ) ( )
dd
d
x k A x k B r k
c k C x k

  






Thì phương trình đặc tính là:
det( ) 0
d
zI A



Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 9

II. Khảo sát tính ổn định của hệ thống rời rạc.
1. Ổn định của hệ thống rời rạc
Hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc có hai nguồn kích thích là trạng thái ban đầu
0
x
và
tín hiệu vào
()uk
.
0
( 1) ( ) ( )
(2.2)
( ) ( ) ( ), (0)
x k Fx k gu k
y k cx k du k x x

  


  



Hệ thống gọi là ở trạng thái cân bằng
0
x
= 0 khi cả hai trạng thái ban đầu và tín hiệu vào
bằng 0.

 Ổn định BIBO (Bounded Inputs – Bounded Outputs)

Khi cho
0
x
= 0 với
()uk
bị chặn thì
()yk
cũng bị chặn,
0k 
.
Điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung
()gk
với
( ) ( )u k k


thỏa mãn:
0
( ) (2.3)
k
gk





Chứng minh:
Tín hiệu vào
()uk
có thể viết là:

0
( ) (0) (k) (1) (k 1) (2) (k 2) ( ) ( )
n
u k u u u u n k n
   


       


Trong đó:
10
()
00
khi k
k
khi k







,
()gk
là đáp ứng
()yk
đối với tín hiệu vào
()k


, đối với tín hiệu vào bất kỳ
()uk
.
000
( ) (0) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2)
( ) ( ) ( ) ( ) (k ) ( ), 0
kk
nnn
y k u g k u g k u g k
u n g k n u n g k n u n g n k


     
      


Áp dụng điều kiện (2.3) ta được:
00
0
( ) ( ) ( ) (k ) ( )
( ) ( ) ( )
nn
n
y k u n g k n u n g n
u k M y k M g n





   
  



Nếu điều kiện (2.3) thỏa mãn thì
()yk
hữu hạn. Mặt khác, điều kiện (2.3) cũng là điều
kiện cần.
Thí dụ khi xét tín hiệu vào bị chặn
( ) ( )u k j sign g j



thì:
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 10

00
( ) ( ) ( ) ( )
nn
y k u k n g n g n


  


Nếu điều kiện (2.3) không được thỏa mãn thì
()yk

không bị chặn.

 Đáp ứng xung
Là biến đổi
Z
đảo của
()Yz
phụ thuộc các cực của
()Yz
.
+ Giả sử
()Yz
có cực thật
za
, bậc bội
m
:
   
 
1( ) 1( 1)
11
1
zz
z
( ) (2.4)
mm
mm
AA
A
Yz

za
z a z a


   



Trong đó:
 
   
1
!
1 ! 1 !
km
m
z k a
k m m
za


  


Như vậy: Nếu
1a 
thì mỗi thành phần của biến đổi
Z
đảo của (2.4) tiến về 0 khi
k 

.
+ Trường hợp có nghiệm phức bậc bội
m
ở
j
re


biến đổi
Z
đảo là tổng các thành phần
   
!cos( )
1 ! 1 !
k
m
m
kk
Ar
k m m


  

Các thành phần tiến về 0 nếu
1r 
.

Kết luận: Hệ thống ổn định BIBO nếu các cực của hệ thống nằm trong vòng tròn đơn vị
mặt phẳng

z
.

 Ổn định với tín hiệu vào zero
( 1) ( )x k Fx k

Ta tính được
( ) (0) ( ) (0)
()
z
X z x z x
zI F
  


với
 
()
zI F z
z
zI F



,
1
( ) [ (z)] (0)x k Z x



Đa thức đặc trưng
zI F
có bậc
n
,
()z
có thể phân tích thành các tổng phân số
riêng, do đó
( ) 0xk 
khi mọi nghiệm của đa thức đặc trưng (trị riêng của
F
) nằm bên trong
đường tròn đơn vị.
Hệ thống ổn định nếu mọi nghiệm của đa thức đặc trưng nằm bên trong đường tròn đơn
vị.
Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có nghiệm đơn trên đường tròn đơn vị, các nghiệm còn
lại bên trong đường tròn đơn vị.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 11

Hệ thống không ổn định nếu có nghiệm ngoài đường tròn đơn vị hay có nghiệm bội trên
đường tròn đơn vị.

 Ổn định tiệm cận Lyapunov
Nếu hệ thống bị rời khỏi trạng thái cân bằng do tác động nhiễn thì sau đó hệ thống có khả
năng quay trở lại trạng thái cân bằng.
Đa thức bậc
n
theo

z
có các nghiệm bên trong đường tròn đơn vị gọi là đa thức đường
tròn đơn vị.
Hệ tuyến tính rời rạc
( 1) ( )x k Fx k
ổn định toàn cục tiệm cận ở gốc nếu và chỉ nếu
cho ma trận đối xứng xác định dương
Q
có ma trận đối xứng xác định dương
P
thỏa mãn
phương trình Lyapunov rời rạc:
T
F PT P Q  


Tính ổn định của hệ thống theo Lyapunov:
Cho hệ tự trị với điểm cân bằng ở gốc:
+ Hệ thống là ổn định ở gốc nếu cho trước
0R 
thì tìm được r > 0 sao cho nếu
(0)xr
thì
( ) , 0x t R t  
.
Trong đó:
2 2 2
12

n

x x x x   

Nói cách khác là hệ thống ổn định ở gốc nếu
()xt
không ra khỏi hình cầu bán kính
R
.

+ Nếu hệ thống ổn định ở gốc và
( ) 0xt 
thì ổn định tiệm cận.
+ Nếu hệ thống ổn định tiệm cận và
( ) (0) , , 0
bt
x t a x e a b


thì ta nói là hệ thống
ổn định theo hàm mũ với vận tốc
b
.
+ Nếu hệ thống ổn định với bất kỳ giá trị đầu
(0)x
thì gọi là hệ thống ổn định toàn cục.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 12

- Định lý tuyến tính hóa Lyapunov (xét cho hệ phi tuyến):
+ Nếu hệ tuyến tính hóa có mọi nghiệm riêng ở bên trái mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến

là ổn định tiệm cận.
+ Nếu hệ tuyến tính hóa có nghiệm riêng ở bên phải mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến là
không ổn định.
+ Trường hợp hệ tuyến tính hóa ở biên giới ổn định thì không có kết luận về hệ phi tuyến.

2. Tiêu chuẩn ổn định Routh – Hurwitz
Không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh – Hurwitz để đánh giá tính ổn định của hệ
rời rạc vì miền ổn định của hệ rời rạc nằm bên trong đường tròn đơn vị.
Ổn định của một hệ thống dữ liệu lẫy mẫu có thể được phân tích bằng cách biến đổi
phương trình đặc tính của hệ thống sang mặt phẳng
p
rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz.
Khi đó, sử dụng phương pháp Tustin và
z
được thay thế như sau:
2
2
1
1
2
(2.5)
1
1
2
pT
pT
pT
pT
ew
ze

pT
w
e



   


với
2
pT
w 

Khi đó phương trình đặc tính của hệ thống ở dạng
w
như sau:
12
1 2 1 0
( ) (2.6)
n n n
n n n
F w b w b w b w b w b


     


Bảng Routh - Hurwitz được thiết lập như sau:

n
w

n
b

2n
b


4n
b


…
1n
w


1n
b


3n
b


5n
b


…
2n
w


1
c

2
c

3
c

…
…
…
…
…
…
1
w

1
j

0
w

1
k






- Hai hàng đầu của dãy Routh - Hurwitz được xác định trực tiếp từ phương trình (2.6) còn
các hàng khác được tính như sau:
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 13

1 2 3 1 3 1 2
11
11
1 4 5
1
1
1 6 7
1
1
n n n n n n n
n
n n n n
n

n n n n
n
b b b b c b b b
cd
bc
b b b b
c
b
b b b b
c
b
     

  

  








Tiêu chuẩn Routh - Hurwitz có nghĩa là số gốc của phương trình đặc tính ở bên phải mặt
phẳng
p
bằng số lần đổi dấu của các hệ số của cột đầu của dãy. Do đó, hệ được xem là ổn định
nếu tất cả các hệ số trong cột đầu phải cùng dấu.

 Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình đặc tính của một hệ thống điều khiển có dạng:
2
0,7 0zz  

Sử dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz để xét tính ổn định của hệ thống.

Giải:
Phương trình đặc tính trong mặt phẳng
z
có thể được chuyển thành phương trình đặc
tính trong mặt phẳng
w
có dạng như sau:
2
2
11
0,7 0 2,7 0,6 0,7 0
11
ww
ww
ww
   

      
   

   

Thành lập bảng Routh – Hurwitz:
2
w

2,7
0,7
1
w

0,6
0
0
w

0,7

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 14

Nhận thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định.

Ví dụ 2: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối như trên hình. Sử dụng tiêu chuẩn
Routh – Hurwitz để xác định giá trị của
k
để hệ ổn định. Giả thiết
0k 
và
1Ts

.

Giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống:
1 ( ) 0Gp
với
1
()
( 1)
Tp
ek
Gp
p p p





Biến đổi
z
của
()Gp
có dạng như sau:
 
1
2
( ) 1
( 1)
k
G z z Z

pp






hay
(0,368 0,264)
( ) 0
(z 1)(z 0,368)
kz
Gz




Do vậy, phương trình đặc tính sẽ có dạng:
2
(0,368 0,264)
1 0 (1,368 0,368 ) 0,368 0,264 0
(z 1)(z 0,368)
kz
z k z

       


Biến đổi phương trình đặc tính sang mặt phẳng
w

ta được:
2
2
11
(1,368 0,368 ) 0,632 0
11
(2,736 0,104 ) (1,264 0,528 ) 0,632 0
ww
k
ww
w k w k k
   

   
   

   
     


Thành lập bảng Routh – Hurwitz:
2
w

2,736 – 0,104k

0,632k

1
w

1,264 – 0,528k

0
0
w

0,632k



Để hệ thống ổn định thì các hệ số của cột thứ nhất phải cùng dấu
1,264 0,528 0 2,4kk   


3. Tiêu chuẩn ổn định Jury
Biểu diễn phương trình đặc tính bậc n của hệ thống như dạng sau:
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 15

1
1 1 0
( ) , 0 (2.7)
nn
n n n
F z a z a z a z a a


     

Thiết lập bảng Jury với các phần tử được định nghĩa như sau:
+ Các phần tử của mỗi hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng trước viết theo thứ tự
ngược lại.
+ Các phần tử hàng lẻ được định nghĩa như sau:

0 0 1 0 2
12
, , ,
n k n k n k
k k k
n k n k n k
a a b b c c
b c d
a a b b c c
    

  


Như vậy bảng Jury có dạng như sau:

0
z

1
z

2
z

…
nk
z


…
1n
z


n
z

0
a

1
a

2
a

…
nk
a


…
1n

a


n
a

n
a

1n
a


2n
a


…
k
a

…
1
a

0
a

0
b

1
b

2
b

…
nk
b


…
1n
b



1n
b


2n
b


3n
b


…
1k
b


…
0
b


0
c

1
c

2
c

…
nk
c


…


2n
c


3n
c


4n
c


…
2k
c


…


…
…
…
…
…



…
…
…
…
…

0
l

1
l

2
l

3
l





3
l

2
l

1
l

0
l

0
m

1
m

2
m







Điều kiện cần và đủ để gốc của phương trình đặc tính nằm trong đường tròn đơn vị là:
0
(1) 0, ( 1) ( 1) 0, (2.8)
n
n
F F a a    

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 16

01
01
01
01
(2.9)
n
n
n
n
bb
cc
dd
mm





















Tiêu chuẩn Jury sẽ trở lên phức tạp nếu bậc của hệ thống tăng lên. Đối với các hệ thống
bậc 2 và bậc 3 thì tiêu chuẩn Jury sẽ trở lên đơn giản hơn rất nhiều.
 Đối với hệ bậc 2, ta có phương trình đặc tính như sau:
2
0 1 2
()F z a a z a a  

Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài đường tròn đơn vị nếu:
02
(1) 0, ( 1) 0,F F a a   

 Đối với hệ bậc 3 ta có phương trình đặc tính như sau:
23
0 1 2 3 3
( ) , 0F z a a z a a a z a    

Gốc của phương trình đặc tính sẽ không nằm trên hoặc bên ngoài đường tròn đơn vị nếu :
03
0 3 0 1
3 0 3 2
(1) 0, ( 1) 0,
det det
F F a a
a a a a
a a a a


   


   


   

   




 Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm truyền của một hệ thống có dạng như sau:
( ) ( )
( ) 1 ( )
y z G z
r z G z


trong đó
2
0,2 0,5
()
1,2 0,2
z
Gz
zz




.
Sử dụng tiêu chuẩn ổn định Jury để kiểm tra xem hệ thống có ổn định hay không.

Giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống có dạng:
2
2
0,2 0,5
1 ( ) 1 0 0,7 0
1,2 0,2
z
G z z z
zz

       


Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có:
02
(1) 0,7 0, ( 1) 2,7 0, 0,7 1F F a a       


Hệ thống không ổn định.

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 17

Ví dụ 2: Cho phương trình đặc tính của một hệ thống có dạng như sau:
2
(0,2 0,5)
1 ( ) 1 0
1,2 0,2
kz
Gz
zz

   


Xác định
k
để hệ thống ổn định.

Giải:
Phương trình đặc tính của hệ thống:
2
(0,2 1,2) 0,5 0,2z k z k   

Áp dụng tiêu chuẩn Jury ta có:
02
(1) 0,3 0, ( 1) 4,5 0, 0,1 1F F a a        

Vậy điều kiện thứ nhất của tiêu chuẩn Jury được thỏa mãn.
Mặt khác ta có:

03
30

0 3 0 1
3 0 3 2
01
32
0,1 1
det det 0,99 0,99
1 0,1
det det
0,1 1,4
det det 1,2 1,2
12
aa
aa
a a a a
a a a a
aa
aa




   




   






   



   

   








Điều này có nghĩa là điều kiện thứ hai của tiêu chuẩn Jury không được thỏa mãn, nên hệ
này không ổn định.

Ví dụ 3: Cho hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính:
32
5 2 3 1 0z z z   

Xét tính ổn định của hệ thống được mô tả bởi phương trình trên.

Giải:

Thành lập bảng Jury:
Hàng 1

5
2
3
1
Hàng 2
1
3
2
5
Hàng 3
51
1
4,8
5
15


53
1
1,4
5
12


52
1
2,6
5
13


Hàng 4
2,6
1,4
4,8

Hàng 5
4,8 2,6
1
3,39
4,8
2,6 4,8


4,8 1,4
1
0,61
4,8
2,6 1,4




Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 18

Hàng 6
0,61

3,39


Hàng 7
3,39 0,61
1
3,28
3,39
0,61 3,39






Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 của bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định.

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 19

Phần III. Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.

I. Ổn định của hệ thống tuyến tính
1. Điều kiện ổn định của hệ thống.
Hệ thống ổn định khi
lim ( ) 0
t
et



hoặc một giá trị cố định.
Hệ thống không ổn định nếu
lim ( )
t
et



Hệ thống ở biên giới ổn định nếu
lim ( )
t
et


dao động có biên độ không đổi.
Khảo sát tính ổn định của hệ thống chính là khảo sát hệ thống ở hai quá trình: quá trình
quá độ và quá trình xác lập. Xét sự ổn định của hệ thống chủ yếu là khảo sát hệ thống ở quá trình
quá độ.

2. Sự ổn định của hệ thống liên tục trong quá trình quá độ.
Một hệ thống tuyến tính liên tục được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ của nó tắt dần
theo thời gian, không ổn định nếu quá trình quá độ của nó tăng dần theo thời gian và ở biên giới
ổn định nếu quá trình quá độ của nó dao động với biên độ không đổi hoặc bằng hằng số.


(1): Hệ thống ổn định và không dao động.
(2): Hệ thống ổn định và dao động
(3): Hệ thống không ổn định và không dao động
(4): Hệ thống không ổn định và dao động

(5): Hệ thống dao động với biên độ không đổi (biên giới ổn định).

Để biết hệ thống điều khiển tự động có ổn định hay không ta phải giải phương trình vi phân
mô tả quá trình động học của nó. Dạng tổng quát:
Mô tả các trạng thái quá
độ của hệ thống điều
khiển tự động.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 20

11
0 1 1 0 1 1
11
(3.1)
n n m m
n n m m
n n m m
d y d y dy d u d u du
a a a a y b b b b u
dt dt
dt dt dt dt



        

Nghiệm của phương trình (3.1) gồm hai thành phần:
0
( ) ( ) ( )

qd
y t y t y t

Trong đó:
()
qd
yt
là nghiệm tổng quát của (3.1), đặc trưng cho quá trình quá độ,
()
qd
yt

có được bằng cách giải phương trình vi phân đồng nhất:

1
0 1 1
1
0 (3.2)
nn
nn
nn
d y d y dy
a a a a y
dt
dt dt



    

0
()yt
là nghiệm riêng của (3.1) đặc trưng cho quá trình xác lập. Nghiệm riêng này phụ
thuộc vào tác động đầu vào, nếu tác động đầu vào cố định thì
0
()yt
cũng cố định, như vậy nó
không ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ thống.
Tính ổn định của hệ thống được phản ánh qua nghiệm tổng quát, nghiệm này hoàn toàn
không chịu ảnh hưởng của tác động bên ngoài, vì vậy tính ổn định là tính chất bên trong của hệ
thống, là bản chất của hệ thống.
Để xác định
()
qd
yt
ta phải tính nghiệm của phương trình đặc tính:
1
0 1 1
0 (3.3)
nn
nn
a p a p a p a


    

Nghiệm tổng quát của
()
qd

yt
là:
1
( ) (3.4)
i
n
pt
qd i
i
y t c e




Trong đó
i
c
là các hằng số, nghiệm
i
p
có thể tồn tại một trong các dạng như sau:
+ Nghiệm thực:
ii
p



+ Nghiệm phức:
i i i
pj




+ Nghiệm thuần ảo:
ii
pj




 Ảnh hưởng của các loại nghiệm đến tính chất của hệ thống:
Khi nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm thực (hệ không dao động):
00
lim
0
i
t
i
t
i
khi
e
khi









  



Khi nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm phức:
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 21

()
00
lim
0
ii
jt
i
t
i
khi
e
khi










  



Nếu nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm thuần ảo:
lim
i
jt
t
e



dao động với biên độ không đổi.


Kết luận:
- Hệ thống điều khiển tự động ổn định (
lim ( ) 0
t
et


) nếu tất cả các nghiệm của
phương trình đặc tính có phần thực âm (các nghiệm nằm ở nửa bên trái mặt phẳng phức).
- Hệ thống điều khiển tự động không ổn định (
lim ( )
t
et



) nếu phương trình đặc tính
chỉ cần có một nghiệm có phần thực dương (nghiệm nằm ở nửa bên phải mặt phẳng phức).
- Hệ thống điều khiển tự động sẽ nằm ở biên giới ổn định nếu phương trình đặc tính chỉ
cần có một nghiệm có phần thực bằng 0 và các nghiệm còn lại có phần thực bé hớn 0 (có một
nghiệm nằm trên trục ảo, các nghiệm còn lại nằm bên trái mặt phẳng phức).

Phân
vùng
nghiệm
trên mặt
phẳng
phân bố
nghiệm
số.
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 22

Phần IV. Kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

I. Tiêu chuẩn ổn định đại số
1. Điều kiện cần
Điều kiện đầu tiên (mà có nó hệ thống mới được xét ổn định hay không, khi nó không tồn
tại thì kết luận ngay là hệ thống không ổn định) được gọi là điều kiện cần thiết. Khi không tồn tại
điều kiện ổn định cần thiết thì hệ thống được liệt vào loại có cấu trúc không ổn định và lúc đó
phải thay đổi cấu trúc của nó.
Giả sử hệ thống điều chỉnh tự động ổn định và có phương trình đặc tính:
1

0 1 1
0
nn
nn
a p a p a p a


    

Như vậy phương trình đặc tính có hai loại nghiệm:
+ Nghiệm thực:
ii
p


(giả sử có m nghiệm).
+ Nghiệm phức:
k k k
pj

  
có
2
nm
nghiệm. với
,,
i k k
  
đều dương.
Phương trình đặc tính được chuyển sang dạng:

    
( )/2
0
11
.0
nm
m
i k k k k
ik
a p p j p j
    


     


Suy ra:
   
( )/2
2
2
0
11
. 0 (4.1)
nm
m
i k k
ik
a p p
  




   




Khai triển vế trái của phương trình (4.1) ta sẽ được một đa thức gồm các hệ số dương.
Đây chính là điều kiện cần thiết của hệ thống ổn điều khiển tự động.
Như vậy điều kiện cần thiết để hệ thống ổn định là tất cả các hệ sổ của phương trình đặc
tính phải dương (mở rộng ra là các hệ số phải cùng dấu).
Ví dụ: Một hệ thống tự động có phương trình đặc tính:
32
0,2 3 0,1 5 0p p p   
.
Ta thấy các hệ số
0, 1,3
i
ai
nên hệ có thể ổn định. (Để biết hệ có ổn định hay
không thì cần phải xét đến các điều kiện đủ)

2. Tiêu chuẩn Routh
a. Phát biểu tiêu chuẩn Routh
Điều kiện cần và đủ để hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các số hàng trong cột thứ
nhất của bảng Routh dương.

b. Thành lập bảng Routh.
Giả sử hệ thống có phương trình đặc tính bậc n:

1
0 1 1
0 (4.2)
nn
nn
a p a p a p a


    

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 23

Dạng bảng Routh
0
a

2
a

4
a

6
a


1
a

3
a

5
a

7
a


0
b

2
b

4
b

6
b


1
b

3
b

5
b

7
b







0
z





1
z






Cách tính các hệ số của bảng Routh
0 2 0 4
02

1 3 1 5
1 3 1 5
00
0 2 0 4
a a a a
bb
a a a a
a a a a
bb
b b b b
   
   

Cách thành lập bảng
- Dòng đầu tiên của bảng Routh ghi các số hạng có chỉ số chẵn, dòng thứ hai ghi các số
hạng có chỉ số lẻ.
- Mỗi số hạng trong một hàng của bàng Routh là một số âm có giá trị là một định thức
bậc hai với cột thứ nhật là cột thứ nhất của hai hàng ngay sát trên hàng có số hạng đang tính; cột
thứ hai là hai hàng ngay sát trên và nằm bên phải hàng có số hàng đang tính.
- Bảng Routh sẽ kết thúc khi nào dòng cuối cùng chỉ còn một số hạng.

Tính chất của bảng Routh
- Có thể nhân hoặc chia các số hạng trên cùng một hàng của bảng Routh với một số
dương thì kết quả tính toán vẫn không thay đổi.
- Số lần đổi dấu của các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Routh bằng số nghiệm của
phương trình đặc tính có phần thực dương.
- Nếu trị số gần cuối ở cột một bằng 0
 
1
0

n
C 
có nghĩa là nghiệm kép thuần ảo. Trị số
cuối cùng sẽ không được tính vì
1n
r


. Nếu trị số cuồi cùng bằng 0
 
11
0
n
C


thì phương
trình đặc tính có một nghiệm bằng 0 vì
0
n
a 
.
- Nếu cột đầu tiên của bảng có một số hạng bằng 0 thì hệ cũng không ổn định.
- Nếu các hệ số của một hàng bằng 0, hệ có nghiệm phải hoặc cặp nghiệm nằm trên trục
ảo.
- Trường hợp hệ thống có khâu chậm trễn, có thể khai triển Fourier hàm mũ như sau:
Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục.

Nhóm 3 Page 24

2
( ) ( )
1
1! 2!
p
pp
e




   

- Tiêu chuẩn Routh có thể áp dụng cho cả hệ hở và hệ kín.

c. Một số ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc tính:
5 4 3 2
12 6 18 6 6 1 0p p p p p      


Giải:
 Điều kiện cần
Ta nhận thấy
0, ( 0:5)
i
ai
nên hệ thỏa mãn điều kiện cần để hệ thống ổn định.
 Điều kiện đủ
- Lập bảng Routh:

12
8
6
hay
2
3
1
6
6
1
6
6
1
0
b

2
b


0
b

2
b


1
b

3
b


1
b

3
b


0
c



0
c



1
c



1
c

(Vì các số hạng thuộc hàng 1 của bảng Routh đều chia hết cho 6).

- Ta có:
0 2 1 3
01
2 3 2 1 6 6 6 1
6, 4, 12, 6
6 6 6 1 6 4 6 0
6 4 12 6
12, 72
12 6 12 0
b b b b
cc
           
     


- Nhận thấy các số hạng thuộc cột đầu tiên của bảng Routh đều dương nên thỏa mãn điều
kiện ổn định. Vậy hệ thống được mô tả bằng phương trình cho là ổn định.

Ví dụ 2: Cho hệ thống có đối tượng điều khiển:
0
32
1
()
5 8 4
Wp
p p p


  

Bộ điều khiển có hàm truyền đạt:
()
C P D
W p K K p
(Bộ PD).