Điểm bất động của ánh xạ lipschitz đều trong không gian mêtric cat(0) và không gian mêtric siêu lồi

LƯƠNG THỊ THU
ĐIẺM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐEU TRONG
KHÔNG GIAN METRIC CAT(O) VÀ KHÔNG GIAN
METRIC SIÊU Lồi
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2014
LƯƠNG THỊ THU
ĐIẺM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ LIPSCHITZ ĐEU TRONG
KHÔNG GIAN MÊTRIC CAT(O) VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC
SIÊU Lồi
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN KHIÊM HÀ NỘI, 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Khiêm, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy
cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 201Ậ Tác
giả
Lương Thị Thu
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khiêm, luận văn Thạc sĩ

chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong
không gian mêtric CAT(O) và không gian mêtric siêu lồi” được hoàn thành bởi nhận
thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác
giả
Lương Thị Thu
Mục lục
Lời nói đầu
Ánh xạ Lipschitz
đều trong không gian
CAT(O) và
Chương
1.
1
.
1
.
4
4
6
6
7

9
1.1.
1.
1.
1.

2.
1.2
.
Một số khái niệm về hình học của không gian Banach
Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach
Cấu trúc chuẩn tắc và cấu trúc chuẩn tắc đều
Đặc trưng Lifschitz và hệ số Lifschitz
Kiến thức chuẩn bị
✓
v
Anh xạ
Lipschitz đều
Đường kính và bán kính Chebyshev
s
Anh xạ không giãn
Chương 2.
1
3
1
3
1
3
1
4
13 2
0
2
1
2
1

2
2
.
1.
2.
1.
1.
2.2
2.2.
1.
✓
v
v
Anh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu
lồi
Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O)
Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric siêu lồi
Ánh xạ Lipschitz đều trong không gian CAT(O)
không gian mêtric siêu lồi
Tính chất hình học của không gian CAT(O)
Không gian mêtric trắc địa
Không gian mêtric siêu lồi
Không gian CAT(O)
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các định lý điểm bất động là một trong những công cụ nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm của nhiều bài toán trong phương trình vi phân, phương trình tích
phân, phương trình đạo hàm riêng, sự tồn tại điểm cân bằng và tồn tại nghiệm

của bài toán tối ưu trong lý thuyết tối ưu
Lý thuyết điểm bất động đã ra đời cách đây khoảng một thế kỷ. Sự ra đời
của Nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912 và Nguyên lý ánh xạ co
Banach năm 1922 đã hình thành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất động
là: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục và sự tồn tại điểm bất động cho
các ánh xạ dạng co.
Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyết điểm
bất động dạng co. Hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ vào những năm
60 của thế kỷ 20 và đã thu được những kết quả quan trọng cho lớp ánh xạ
không giãn.
Các kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitz đều trong
không gian Banach đã được xây dựng khá hoàn chỉnh vào những năm 70 và 80
của thế kỷ 20. Trong những năm gần đây người ta tìm cách mở rộng các kết
quả về tồn tại điểm bất động cho ánh xạ Lipschitz đều trong không gian
Banach sang lớp không gian metric với cấu trúc lồi sinh bởi các hình cầu
đóng, hoặc không gian metric với cấu trúc lồi trắc địa (xem [4], [7], [8]).
Bởi tầm quan trọng của các định lý điểm bất động, cùng với mong muốn
tìm hiểu về một số kết quả gần đây về điểm bất động cho lớp ánh xạ Lipschitz
đều chúng tôi đã chọn đề tài "Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong
không gian mêtric CAT(O) và không gian mêtric siêu lồi".
6
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
văn gồm hai chương.
Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm về hình học của không
gian Banach, về ánh xạ không giãn và ánh xạ Lipschitz đều và một số kết quả
chính về điểm bất động của lớp ánh xạ Lipschitz đều trong không gian
Banach.
Chương 2 của luận văn gồm hai phần. Phần thứ nhất của chương 2 trình
bày về lớp không gian CAT(O) cùng với những tính chất hình học của nó.
Phần thứ của chương 2 trình bày về không gian mêtric siêu lồi và chứng minh

Định lý Casini-Maluta về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều trong không
gian mêtric siêu lồi.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết điểm bất động của
ánh xạ Lipschitz đều trong không gian mêtric CAT(O) và không gian mêtric
siêu lồi.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích
nghiên cứu.
Áp dụng một số phương pháp Giải tích, Giải tích hàm, Giải
tích lồi, lý thuyết tô pô.
4. Đóng góp của đề tài
Trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều
trong không gian metric CAT(0)và không gian metric siêu lồi.
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm về hình học của không gian
Banach
1.1.1. Môđun lồi và đặc trưng lồi của không gian Banach
Cho X

là một không gian Banach với chuẩn II • II.
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi
chặt nếu
MI — 1 {V x,y e X) \\y\\ < 1
\X

— 2/11 > 0
Định nghĩa 1.1.2. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi

đều nếu với mọi số £ G (0, 2] đều tồn tại một số ỗ = ỗ(e) > 0 sao
cho
Ví dụ 1.1.3. Mọi không gian Hilbert đều là không gian lồi đều.
Thật vậy, giả sử ||x|| < 1, \\Y\\ <

1 và ||x — Y\\ > £.

Từ đẳng thức hình
bình hành ta có:
x +
<
x +
(V x,y £ X) *
< 1 - S(e).
INI <
1
IMI
< 1
ỊỊz - y\\ >
Từ đây suy ra
với Ỏ

(e) = 1 — >
0-
Ví dụ 1.1.4. Các
không gian ữ
và L
p
với 1 < p
< oo là các

không gian lồi
đều.
Để đo mức độ lồi
của hình cầu đơn
vị BX = {X £ X :
||x|| < 1} của
không gian
Banach X

người
ta đưa ra khái
niệm môđun lồi
của không gian
Banach X.
Định nghĩa 1.1.5.
Môđun lồi của
không gian
Banach X là
hàm số ỗỵ ■ [0,
x +
<

1 -
1 -
1
-ĩ
=
1
- <S(e)
2] —» [0,1] xác

định bởi
<Jjr (e) = inf 11 -
°

C

-^~ :

X, Y E X,
\\X\\ < 1, \\Y\\ <
1, \\X-Y\\ > E}.
Nhận xét. Từ định
nghĩa của môđun
lồi ta suy ra:
(i) Không gian
Banach X

là
lồi đều khi
và chỉ khi
Ỗ(E) >

0
với mọi
es(0,2].
(ii)Nếu Ị|x|| < 1, ||y|| <
1 và ỊỊíc — y\\ >
£ thì
11
^ ^

Tương tự,
nếu X,Y, A

e
X

và R, £ >
0 sao cho ||x
— A\\ <
R, \\Y-
A\\<R,

||z
-
y||
>
e
thì
-
A\\
<
R(I
-
ỎX
(-^)).
I
(iii) Nếu X

là
không gian Hilbert

thì s
x
{ e ) = L-
DL-

—.
Định nghĩa 1.1.6.
Đặc trưng lồi
của không gian
Banach X là số
£o(^) xác định
bởi
E

Ữ

(X) —

sup {e E
[0, 2] : ổ(e) = o}.
Nhận xét. Không
gian Banach X

là
lồi đều khi và chỉ
khi £o(^) = 0-
Mệnh đề 1.1.7
(xem |5ị|).
Môđun lồi ỏx
là hàm liên

tục, không
giảm trên
khoảng [0,2) và
tăng ngặt trên
đoạn
[EQ{X),2\.
Nhận xét.
(i) Từ Mệnh đề 1.1.7,
nếu đặc trưng lồi
£Q(X)

< 1 thì
phương trình
7
(
1

-Ỏ
X

(
ì
)
)

=

1

c

ó

n
g
h
i
ệ
m

d
u
y

n
h
ấ
t

7

=

7
o
(
X
)

>

1
.
A/5
(ii)Nếu X là không
gian Hilbert thì
7o(-*0 = —— •
1.1.2. Đường kính
và bán kính
Chebyshev
Cho (X, D

) là
một không gian
metric, C

là một
tập con bị chặn
khác rỗng của X


và điểm A

€ X.

Ta
kí hiệu:
• D(C

) := sup
ỊD(X,Y)

: i , | / G ơ} là
đường kính
của tập ơ;
• R

A

(C

) := sup
{D(X,

A)

:

X
G ơ} là bán
kính của tập c
đối với điểm
a;
• R(C)

= inf
ỊR

A

(C) :

A

€
ơ} là bán kính
Chebyshev
của tập ơ;
• Điểm Z £

c
được gọi là
một tâm
Chebyshev
của c nếu
R

Z

(C)

=
R(C).
1.1.3. Cấu trúc
chuẩn tắc và cấu
trúc chuẩn tắc đều
Định nghĩa 1.1.8.
Tập hợp K
trong không
gian định
chuẩn X được
gọi là có cấu

trúc chuẩn tắc
nếu mọi tập
hợp con lồi,
đóng, bị chặn
H c K với
đường
kính
d(H) > 0
đều tồn
tại một
điểm a €
H sao
cho r
a
(H)
< d(H).
Định nghĩa
1.1.9. Hệ
số cấu
trúc
chuẩn
tắc của
không
gian
Danach
X được
xác định
bởi :
N(X) = sup
:

c
^
tập
co n
lồi
bị
chặn
của
X với d(C) > oị .
Nếu N(X) < 1 thì
ta nói X có cấu
trúc chuẩn tắc
đều.
Mệnh đề
1.1.10
(Xem [5J).
Nếu
không
gian
Danach
X có cấu
trúc
chuẩn
tắc đều
thì X là
không
gian
phản xạ.
Giữa môđun lồi
đều và cấu trúc

chuẩn tắc có mối
liên hệ sau đây.
Mệnh đề
1.1.11
(Xem [5]).
Với mọi
không
gian
Danach
X ta có
bất đẳng
thức
N(X) <l-
ỏx(l).
Từ đó,
nếu X có
đặc
trưng lồi
£o(-^) < 1
thì X có
cấu trúc
chuẩn
tắc đều.
Nói
riêng,
các
không
gian
Banach
lồi đều

là các
không
gian có
cấu trúc
chuẩn
tắc đều
và phản
xạ.
1.1.4. Đặc trưng
Lifschitz và hệ số
Lifschitz
Định nghĩa
1.1.12.
Dặc
trưng
Lifschitz
của một
không
gian
mêtric
(X, d)
được
định
nghĩa
như sau:
K(X) = sup |/3 >
0 : 3a > 1 sao
cho Vz, y e X và r
> 0, nếu d(x, y)
> r

thì 3z e X
sao cho B(x,
ßr) n B(y, ar)
c B(z, r)|.
(ở đây ký hiệu
B(Z, R

) là hình
cầu đóng tâm z
bán kính r).
Từ định
nghĩa của
K(X)

ta
luôn có
K(X) > 1,


bởi vì với
SS

= 1 ta
chỉ C Ầ N
chọn z =
X.
Định nghĩa 1.1.13. Hệ số Lifschitz của một không gian Danach X được
xác định bởi:
K

0

{X) =

inf {/í(C) : c ỈÀ TẬP HỢP CON LỒI, ĐÓNG, BỊ CHẶN KHÔNG
RỖNG CỦA

Nhận xét. Nếu X

là không gian Hilbert thì K

Ữ

(X

) = Y/2

(xem [5]).
1.2. Ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.2.1. Cho ( x , d ) l à một không gian metric và c l à một tập
con khác rỗng của X. Một ánh xạT : c —> X được gọi là một ánh xạ
không giãn nếu
d ( T x , Ty ) < d ( x , y ) Va;,y G c .
Lớp ánh xạ không giãn là sự mở rộng tự nhiên của lớp ánh xạ co. Tuy nhiên
khác với ánh xạ co, ánh xạ không giãn có thể không có điểm bất động, hoặc điểm
bất động có thể không duy nhất.
Ví dụ 1.2.2. Kí hiệu c
ữ
là không gian của các dãy số hội tụ đến 0 với
chuẩn sup và B ỉà hình cầu đơn vị đóng trong c

0
. Với mỗi X =
(xi,x
2
, ) € B ta đặt Tx = (1, Xị, x
2
, )• Khi đó T : B —> B là ánh xạ
không giãn nhưng không có điểm bất động.
Thật vậy, giả sử tồn tại X * = ( X Ị , X % , £3, ) € B sao cho X * = T X * . Khi đó
( X Ị , X 2,Xg, ) = (1, X \ , X *
2
, ) nên X * = 1 với mọi i. Do đó X * không thuộc
c
0
. Vậy T không có điểm bất động.
Để đảm bảo cho lớp ánh xạ không giãn có điểm bất động ta cần thêm những
điều kiện chặt chẽ hơn về cấu trúc hình học của không gian. Năm 1965, ba nhà
toán học F. Browder, D. Gohde, w. A. Kirk đã tìm ra điều
kiện đảm bảo cho sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ không giãn. Các điều kiện
bao gồm: tính compact yếu, tính lồi và cấu trúc chuẩn tắc.
Định lí 1.2.3 (Browder-Gohde-Kirk, 1965). Cho c là một tập con lồi, compact
yếu, có cấu trúc chuẩn tắc của không gian Danach X. Khi đó mọi ánh xạ
không giãn t ừ c vào c đều c ó điểm b ấ t động.
1.3. Ánh xạ Lipschitz đều
Sau khi thu được kết quả về tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ không giãn, một
cách rất tự nhiên người ta nghiên cứu bài toán đó cho lớp ánh xạ Lipschitz với hằng số
Lipschitz lớn hơn 1. Tuy nhiên, s. Kakutani đã xây dựng được một phản ví dụ về một
ánh xạ (1 + e) - Lipschitz từ hình cầu đóng đơn vị của không gian Hilbert vào chính
nó mà không có điểm bất động.
Ví dụ 1.3.1 (S. Kakutani). Ký hiệu B là hình cầu đơn vị đóng trong không

gian Hilbert £
2
. Với mỗi £ e (0,1), xét ánh xạ T : B —> B xác định bởi
T x = (e(l - \ \ x \ \ ) , x
1
, x
2
, . . . ) , X = ( x
1
, x
2
, x
3
, ) <E B .
Khi đó T là ánh xạ (1 + s) - Lipschitz nhưng không có điểm bất động
trong B.
Thật vậy, với X

= (XI,X

2

, X

3

, ) & B

ta có:
\\Tx\\

2
= e
2
(l-\\x\\)
2
+ \\x\\
2
< ( l - M )
2
+ N |
2
= l - 2 W + 2 | r f
=
1
-
2
I N I ơ - N 1 ) < ! •
Vậy T

là ánh xạ từ B

vào B.
Tiếp theo ta chứng minh T

là ánh xạ (1 + e)- Lipschitz.
Với X = (x
1:
x
2
,x

3
, ) G B, y = (ỉ/i,ỉ/2,ỉ/3, •••) e B ta có:
\\Tx-Ty\\
2
= 6*{\\x\\-\\y\\)
2
+ \\x-y\\
2
< £
2
\\x - y\\
2
+ \\x - y\\
2
= ự + 1) \\x-
y\\
2
<(e+ir \\x-y\\
2
.
Vậy T

là ánh xạ (1 + e)" Lipschitz.
Cuối cùng ta kiểm tra rằng T

không có điểm bất động trong B.
Giả sử tồn tại X*

= (XL,X

2,

£3, ) G B

mà TX*

= a;*. Khi đó ta có
(e(l - 11^*11);X*I,X*2Ĩ

•••) = (a;ĩ,a;2,X3, )-
Từ đây suy ra X* = e(l — \\x*\\) với mọi ỉ = 1,2,

3,
- Nếu ||a;*|| < 1 thì X*

=

CONST

Ỷ

0 với mọi Ỉ =

1,2,3, Điều này kéo theo X* Ệ £

2

.
- Nếu ||x*|| = 1 thì X*

—

0 với mọi I.

Điều này vô lý vì ||a;*|| = 0 ^ 1 . Vậy T

không có
điểm bất động trong B.
Từ ví dụ của s. Kakutani ta cần phải đặt thêm điều kiện lên các ánh xạ Lipschitz để
đảm bảo cho nó có điểm bất động. K. Goebel và w. A. Kirk đã đề xuất một lớp ánh xạ
mới là lớp trung gian giữa lớp ánh xạ không giãn và lớp ánh xạ Lipschitz, gọi là lớp
ánh xạ Lipschitz đều.
Định nghĩa 1.3.2. Cho (X,d) là một không gian metric, c là tập con khác
rỗng của X. Một ánh xạ T : c —> c được gọi là một ánh xạ Lipschitz đều
(hay k - Lipschitz đều) nếu tồn tại một số k > 1 sao cho
d(T
n
x, T
n
y) < kd{x, y)
Vz,
y e c, Mn e
N.
Nhận xét. Ánh xạ T

là ánh xạ fc-Lipschitz đều nếu và chỉ nếu tất cả các ánh xạ T

N

(N

= 0,1, 2, ) đều là ánh xạ Lipschitz với cùng một hằng số Lipschitz K.
Rõ ràng mọi ánh xạ không giãn từ C

vào C

cũng là ánh xạ Lipschitz đều với K

= 1.