Luận văn thạc sỹ mô hình chuỗi thời gian mở trong sự báo chuỗi thời gian mô hình một số thuật toán dự báo trong mô hình chuỗi thời gian mờ

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN







NGUYỄN THỊ KIM LOAN





MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ
TRONG DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN





LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN


Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH

Mã số: 60.48.01
Giáo viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN CÔNG ĐIỀU



THÁI NGUYÊN – 2015






MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN
5
1. Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên 5
1.1. Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên
5
1.2. Quá trình ngẫu nhiên dừng 6
1.3. Hàm tự tƣơng quan 7
1.4. Toán tử tiến, toán tử lùi 8
2. Quá trình ARMA 9
2.1. Quá trình tự hồi quy 9
2.2. Quá trình trung bình trƣợt 11
2.3. Quá trình tự hồi quy trung bình trƣợt
13
3. Ƣớc lƣợng tham số mô hình ARMA
15

4. Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian tài chính
16
CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT TẬP MỜ VÀ CHUỖI THỜI GIAN MỜ
23
1. Lý thuyết tập mờ 23
1.1. Tập mờ 23
1.2. Các phép toán trên tập mờ 25
2. Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ 30
2.1. Quan hệ mờ 30




2.2. Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ 31
3. Hệ mờ 33
3.1. Bộ mờ hoá 33
3.2. Hệ luật mờ 34
3.3. Động cơ suy diễn 35
3.4. Bộ giải mờ 36
3.5. Ví dụ minh hoạ 37
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ THUẬT TOÁN CƠ BẢN TRONG CHUỖI
THỜI
GIAN MỜ VÀ MỘT SỐ THUẬT TOÁN CẢI TIẾN 39
1. Một số khái niệm
39
1.1. Định nghĩa tập mờ và chuỗi thời gian mờ 39
1.2. Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ 40
2. Mô hình một số thuật toán dự báo trong mô hình chuỗi thời gian mờ
41
2.1. Mô hình thuật toán của Song và Chissom 41

2.2. Mô hình thuật toán của Chen 42
2.3. Thuật toán của Singh 43
2.4. Mô hình Heuristic cho chuỗi thời gian mờ 45
3. Ứng dụng trong dự báo chứng khoán
48
3.1. Bài toán chỉ số chứng khoán Đài Loan 48
3.2. Xây dựng chƣơng trình
60
KẾT LUẬN 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

1

MỞ ĐẦU

Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một công cụ hữu hiệu để phân tích
trong kinh tế, xã hội cũng như trong nghiên cứu khoa học. Chính do tầm quan
trọng của phân tích chuỗi thời gian, rất nhiều tác giả đã đề xuất các công cụ để
phân tích chuỗi thời gian.
Trong những năm trước, công cụ chủ yếu để phân tích chuỗi thời gian là
sử dụng các công cụ thống kê như hồi qui, phân tích Furie và một vài công cụ
khác. Nhưng hiệu quả nhất có lẽ là mô hình ARIMA của Box-Jenkins. Mô hình
này đã cho một kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu. Tuy nhiên sự phức tạp
của thuật toán đã gây khó khăn khi ứng dụng trong phân tích chuỗi số liệu, nhất
là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phi tuyến của mô hình.
Để vượt qua được những khó khăn trên, gần đây nhiều tác giả đã sử dụng
mô hình chuỗi thời gian mờ. Khái niệm tập mờ được Zadeh đưa ra từ năm 1965
và ngày càng tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhất là trong
điều khiển và trí tuệ nhân tạo. Trong lĩnh vực phân tích chuỗi thời gian, Song và
Chissom đã đưa khái niệm chuỗi thời gian mờ phụ thuộc vào thời gian và không

phụ thuộc vào thời gian để dự báo. Chen đã cải tiến và đưa ra phương pháp mới
đơn giản và hữu hiệu hơn so với phương pháp của Song và Chissom. Trong
phương pháp của mình, thay vì sử dụng các phép tính tổ hợp Max- Min phức tạp,
Chen đã tính toán bằng các phép tính số học đơn giản để thiết lập mối quan hệ
mờ. Phương pháp của Chen cho hiệu quả cao hơn về mặt sai số dự báo và độ
phức tạp của thuật toán.
Từ các công trình ban đầu về chuỗi thời gian mờ được xuất hiện năm 1993,
hiện nay mô hình này đang được sử dụng để dự báo rất nhiều lĩnh vực trong kinh
tế hay xã hội như trong lĩnh vực giáo dục để dự báo số sinh viên nhập trường,

2

hay trong lĩnh vực dự báo thất nghiệp, trong lĩnh vực dân số, chứng khoán và
trong nhiều lĩnh vực khác như tiêu thụ điện, hay dự báo nhiệt độ của thời tiết…
Tuy nhiên xét về độ chính xác của dự báo, một số thuật toán trên còn cho
kết quả chưa cao. Để nâng cao độ chính xác của dự báo, một số thuật toán cho
moo hình chuỗi thời gian mờ liên tiếp được đưa ra. Chen sử dụng mô hình bậc
cao của chuỗi thời gian mờ để tính toán. Sah và Degtiarev thay vì dự báo chuỗi
thời gian đã sử dụng chuỗi thời gian là hiệu số bậc nhất để nâng cao độ chính
xác. Đây cũng là một phương pháp hay được sử dụng trong mô hình Box-Jenkins
để loại bỏ tính không dừng của chuỗi thời gian. Huarng đã sử dụng các thông tin
có trước trong tính chất của chuỗi thời gian như mức độ tăng giảm để đưa ra mô
hình heuristic chuỗi thời gian mờ.
Trong thời gian gần đây, đề tài này vẫn luôn được một số tác giả nghiên
cứu. Các hướng hiện nay vẫn là tập trung nâng cao độ chính xác dự báo của mô
hình chuỗi thời gian mờ. Bài báo của I-Hong Kuo và các tác giả (2008) đưa ra
phương pháp tăng độ chính xác của dự báo bằng tối ưu các phần tử đám đông
(Particle swarm optimaization). Ching Hsue Cheng và các đồng tác giả (2008)
mở rông nghiên cứu bằng các phương pháp kỳ vọng (Exspectation method) và
Phương pháp lựa chọn mức (Grade Selection Method) thông qua các ma trận

chuyển dịch có trọng. Ngoài ra hiện nay có xu hướng sử dụng kết hợp các phương
pháp khác nhau với chuỗi thời gian mờ như phương pháp mạng Nơ ron như
Cagdas H. Aladag (2008) hay Medey Khascay (2008). Ngay cả một nhà nghiên
cứu sâu trong lĩnh vực này là Huarng cũng đã mở rộng theo hướng này từ năm
2006. Thuật toán di truyền cũng tìm được ứng dụng trong hướng nghiên cứu này.
Năm 2007 có bài báo của Li-Wei Lee sử dụng mối quan hệ mờ và thuật toán di
truyền để dự báo nhiệt độ và chỉ số tài chính của Đài Loan. Ngoài ra một số tác
giả khác tìm những thuật toán khác đơn giản để dự báo như bài báo của Singh
(2007) hay thuật toán dựa vào trend của chuỗi thời gian (Baldwin 2000).

3

Nghiên cứu dự báo chuỗi thời gian luôn là một bài toán gây được sự chú
ý của các nhà toán học, kinh tế, xã hội học, Các quan sát trong thực tế thường
được thu thập dưới dạng chuỗi số liệu. Từ những chuỗi số liệu này người ta có
thể rút ra được những quy luật của một quá trình được mô tả thông qua chuỗi số
liệu. Nhưng ứng dụng quan trọng nhất là dự báo khả năng xảy ra khi cho một
chuỗi số liệu. Những thí dụ dẫn ra trong các bài báo đều đưa ra khả năng dự báo
trong kinh tế như dự báo chỉ số chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu
sử dụng điện, dự báo số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học Các
thí dụ này đều có thể dẫn ra trong mỗi ngành kinh tế kỹ thuật.
Như đã trình bày ở phần trên, có khá nhiều phương pháp dự báo chuỗi thời
gian. Thông thường để dự báo, người ta sử dụng một công cụ khá mạnh của thống
kê là mô hình ARIMA. Mô hình này thích ứng hầu hết cho chuỗi thời gian dừng
và tuyến tính. Trong mỗi bộ chương trình xử lý số liệu đều có một phần để dự
báo chuỗi thời gian. Nhưng đối với các chuỗi số liệu phi tuyến, nhất là trong số
liệu kinh tế, sử dụng mô hình ARIMA kém hiệu quả. Chính vì vậy phải có những
phương pháp khác nhau để xử lý chuỗi số liệu phi tuyến. Đã có nhiều người sử
dụng công cụ mạng nơ ron để xử lý tính chất phi tuyên của chuỗi số liệu. Đây là
một hướng đi đã được nhiều người tiếp cận và đã có những sách chuyên khảo về

vấn đề này thí dụ như cuốn của Mandic và Chambers “ Recurrent neural network
and prediction” in vào năm 2001. Một hướng đi khác là sử dụng khái niệm mờ
để đưa ra thuật ngữ “ Chuỗi thời gian mờ”. Phương pháp sử dụng chuỗi thời gian
mờ đã được đưa ra từ năm 1994 và đến nay vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu
để làm tăng độ chính xác của dự báo.
Trong đề tài này em trình bày phương pháp dự báo chỉ số chứng khoán
bằng công cụ chuỗi thời gian mờ đã được một số tác giả phát triển. Tư tưởng
chính của phương pháp là sử dụng một số khái niệm của Huarng và Chen, Hsu
để phát triển thuật toán mới. Dựa trên thuật toán đề ra, em đã tính toán một bài

4

toán thực tế dựa trên dữ liệu lấy từ thị trường chứng khoán Đài Loan để kiểm
chứng. Kết quả thu được rất khả quan. Độ chính xác của dự báo được nâng lên
khá nhiều so với các thuật toán trước đây đề ra.
Nội dung chính của luận văn nghiên cứu những khái niệm, tính chất và
những thuật toán khác nhau trong mô hình chuỗi thời gian mờ để dự báo cho một
số chuỗi số trong kinh tế xã hội, được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: trình bày các kiến thức cơ bản về chuỗi thời gian.
Chương 2: trình bày Lý thuyết tập mờ và chuỗi thời gian mờ.
Chương 3: trình bày một số thuật toán cơ bản trong chuỗi thời gian mờ và
một số thuật toán cải tiến.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn
Công Điều, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Tác
giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo Viện công nghệ thông tin, khoa Công
nghệ thông tin Đại học Thái Nguyên đã tham gia giảng dạy giúp đỡ em trong
suốt qúa trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời
gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác
giả rất mong các thầy cô giáo và bạn đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện
hơn.

CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ CHUỖI THỜI GIAN


5

Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một lớp mô hình chuỗi thời gian
hết sức thông dụng trong thực tế. Đó là mô hình quy trình trượt
ARMA(Autoregressive Moving Average). Ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng của
quá trình ARMA, xem xét tổng quan về phương pháp ước lượng tham số của lớp
mô hình này và cũng thấy rõ được hạn chế của nó khi áp dụng vào chuỗi thời gian
tài chính. Ngoài ra, mô hình ARMA còn đóng vai trò quan trong như là cơ sở để
xây dựng mô hình ARCH sau này.
1. Chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên
Trước khi đi vào chi tiết tìm hiểu về mô hình ARMA, ta sẽ nhắc lại một
số khái niệm liên quan đến chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên. Dù là ta đi
vào chi tiết mô hình gì đi chăng nữa thì các khái niệm cơ bản này vẫn sẽ theo
chúng ta trong suốt quá trình nghiên cứu về chuỗi thời gian.
1.1. Khái niệm chuỗi thời gian và quá trình ngẫu nhiên
Một chuỗi thời gian là một dãy các giá trị quan sát X:={x
1
, x
2
,……… x
n
}
được xếp thứ tự diễn biến thời gian với x
1

là các giá trị quan sát tại thời điểm
đầu tiên, x
2
là quan sát tại thời điểm thứ 2 và x
n
là quan sát tại thời điểm thứ n.
Ví dụ: Các báo cáo tài chính mà ta thấy hằng ngày trên báo chí, tivi hay
Internet về các chỉ số chứng khoán, tỷ giá tiền tệ, chỉ số tăng cường hay chỉ số
tiêu dùng đều là những thể hiện rất thực tế của chuỗi thời gian.
Bước đầu tiên của việc phân tích chuỗi thời gian là chọn một mô hình toán
học phù hợp với tập dữ liệu cho trước X:={x
1
, x
2
,……… x
n
}nào đó. Để có thể nói
về bản chất của những quan sát chưa diễn ra, ta giả thiết mỗi quan sát x
t
là một
giá trị thể hiện của biến ngẫu nhiên X
t
với t T. Ở đây T được gọi là tập chỉ số.
Khi đó ta có thể coi tập dữ liệu X:={x
1
, x
2
,……… x
n
} là thể hiện của quá trình

6

ngẫu nhiên X
t
, t T . Và vì vậy, ta có thể định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên
như sau
Định nghĩa 1.1(Quá trình ngẫu nhiên)
Một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên X
t
, t T được
định nghĩa trên một không gian xác suất( , , ).
Chú ý:
Trong việc phân tích chuỗi thời gian, tập chỉ số T là một tập các thời điểm,
ví dụ như là tập {1,2 } hay tập (- ,+ ). Tất nhiên cũng có những quá trình ngẫu
nhiên có T không phải là một tập con của R nhưng trong giới hạn của luận văn
này ta chỉ xét cho trường hợp T R. Và thường thì ta xem T là các tập các số
nguyên, khi đó ta sẽ sử dụng ký hiệu tập chỉ số là Z thay vì T ở trên. Một điểm
chú ý nữa là trong luận văn này chúng ta sẽ dùng thuật ngữ chuỗi thời gian để
đồng thời chỉ dữ liệu cũng như quá trình có dữ liệu đó là một thể hiện. 1.2. Quá
trình ngẫu nhiên dừng
Định nghĩa 1.2 (Hàm tự hiệp phƣơng sai)
Giả sử X
t
, t Z là một quá trình ngẫu nhiên có var(X
t
)< với mỗi t
Z. Khi đó hàm tự hiệp phương sai của X
t
được định nghĩa theo công thức sau:

x(r,s): cov(Xr, Xs) E[(Xr EXr)(Xs EXs)],với r, s Z.
Định nghĩa 1.3 (Quá trình dừng)
Chuỗi thời gian X
t
, t Z được gọi là dừng nếu nó thoả mãn 3 điều
kiện sau:
- E X
t
2
, t Z

7

- EX
t
m, t Z
-
x
(r,s)
x
(r t,s t), t,r,s Z

Định lý 1.1
Nếu X
t
, t Z là một quá trình dừng, và nếu như a
t
R, i Z thoả mãn
điều kiện a
i

thì hệ thức Y
t
: a
i
X
t-i
,t Z sẽ định nghĩa một
quá dừng.
i i
Chú ý: Cũng có tài liệu gọi “dừng” theo nghĩa trên là dừng yếu, đừng theo
nghĩa rộng hay dừng bậc hai. Tuy nhiên ở đây ta chỉ xem xét tính dừng theo nghĩa
đã định nghĩa ở trên
Khi chuỗi thời gian X
t
, t Z là dừng thì
yx (r,s) x(r s,0), r,s Z,
Và vì vậy, với một quá trình dừng thì có thể định nghĩa lại hàm tự hiệp
phương sai bằng cách chỉ thông qua hàm một biến. Khi đó, với quá trình dừng
X
t
, t Z ta có:
yx(h) x(h,0) Cov(Xt h,Xt), t,h Z
Hàm số y
x
(.) được gọi là hàm tự hiệp phương sai của X
t
, còn
x
(h)là giá
trị của nó tại “trễ” h. Đối với một quá trình dừng thì ta thường ký hiệu hàm tự

hiệp phương sai bởi (.) thay vì
x
(.).
Với một quá trình dừng thì hàm hiệp phương sai có các tính chất
(0) 0, (h) (0), h Z

8

Và nó còn là một hàm chẵn nghĩa là:
(h) = (-h), h Z.
1.3. Hàm tự tƣơng quan
Định nghĩa 1.4
Hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X
t
, t Z được định
nghĩa tại trễ h như sau:
(h): = (h)/ (0):=corr(X
t+h
,X
t
), t, h Z
Chú ý:
Trong thực tế, ta chỉ quan sát được một thể hiện hữu hạn X:={x
t
, t =
1,2,…n}của một chuỗi thời gian đừng nên về nguyên tắc ta không thể biết chính
xác được các hàm tự hiệp phương sai của chuỗi thời gian đó, muốn ước lượng nó
ta đưa vào khái niệm hàm tự hiệp phương sai mẫu của thể hiện X.
Hàm tự hiệp phương sai mẫu của một thể hiện X được định nghĩa bởi công thức
c(h) : n 1

1
n
1
nj h (x j x)(x j h x),0 h n
n

Và c(h): c( h),n h 0,trong đó x n
1
x
j
là trung bình mẫu.
j 1
Khi đó thì hàm tương tự tương quan mẫu cũng định nghĩa thông qua hàm
tự hiệp phương sai mẫu như sau:
r(h): c(h)/c(0), h n.
1.4. Toán tử tiến, toán tử lùi

9

Toán tử lùi B kết hợp với một quá trình ngẫu nhiên X
t
, t Z là quá trình
ngẫu nhiên Y
t
, t Z sao cho
Yt : BX t : X t 1
Toán tử lìu B là toán tử tuyến tính va khả nghịch. Nghịch đảo của nó
B
-1
:=F được gọi là toán tử tiến, định nghĩa bởi công thức:

FXt :=Xt+1
Các toán tử B, F thoả mãn hệ thức
BnXt = Xt-n, FnXt :=Xt+n Và
n aiB i Xt i n0aiXt-i

i 0
Chú ý:
Một cách tổng quát, người ta có thể định nghĩa các chuỗi theo toán tử tiến F
hay toán tử lùi b và muốn thế chúng ta hạn chế trong trường hợp các quá
trình là dừng. Khi đó, giả sử ta có quá trình dừng X
t
, t Z và một dãy {a
i


,i Z tuyệt đối khả tổng, tức là i
a
i
, thì định lý 1.1, quá trình

Y
t
: a
i
X
t i
,t Z cũng là quá trình dừng. Ta ký hiệu a
i
B
i

là ánh xạ đặt
i i
tương ứng quá trình dừng X
t
, t Z với quá trình dừng Y
t
, t Z . Các chuỗi
theo B khi đó sẽ có những tính chất cho phép ta xử lý nó tương tự như đối với
chuỗi nguyên thông thường. Đặc biệt ta có thể thực hiện phép cộng, phép nhân

10

hay phép lấy nghịch đảo. Điều này có vai trò quan trọng trong các phép biến đổi
của đa thức tự hồi quy, đa thức trung bình trượt và các phép biến đổi xử lý chuỗi
thời gian khác.
2. Quá trình ARMA
2.1. Quá trình tự hồi quy
Định nghĩa 1.5 (Quá trình ồn trắng)
Quá trình ngẫu nhiên
t
t Z được gọi là một ồn trắng, ký hiệu
WN(0,
2
), khi nó thoả mãn các điều kiện sau:
E
t s
= 0 (t s)
E
t
2 2

E
t
0, t
Định nghĩa 1.6 (Quá trình tự hồi quy)
Người ta gọi quá trình ngẫu nhiên X
t
, t Z là một quá trình tự hồi
quy cấp P, viết là X
t
AR(p), là một quá trình dừng {X
t
, t Z} thoả mãn
Xt a1Xt 1 a2Xt 2 apXt-p t,ap 0.
với { } là một ồn trắng.
Ta có thể viết biểu thức của quá trình tự hồi quy ở trên bởi công thức
Xt a1Xt 1 a2Xt 2 apXt-p t,ap 0,
Hay ở dạng

11

toán tử

a(z): 1 a1 2 apzp
z a2 z

ở đây a(z) được gọi là đa thức hồi quy.
Chú ý:
Nếu đa thức a(z) ở trên có nghiệm nằm ngoài đĩa tròn đơn vị( z 1)thì X
t

được gọi là quá trình nhân quả tự hồi qui cấp p và nói chung ta chỉ xét các quá
trình nhân quả.
Các đặc trưng của quá trình tự hồi quy cấp p:
- E(X
t
) = 0
p
- (0) a
i
(i) |
2

t 1
p
- (h) ai (h i) 0, h 0
i 1
Lần lượt cho h = 1,2,….p ta được

1 (1) …. (p-2) (p-1)
(1) 1 …. (p-3)
(p-1)
(1)

…. …. …. … …
a
1
(p-2)…. (p-3) 1 (1) a
2
(2)

(p-1) (p

-2) (1) 1
=



aa pp 1 ((pp) 1)


12

Hệ phương trình gọi là hệ phương trình Jule – Walker, song tuyến đối với a
và .
Nghĩa là nếu cho ta sẽ tính được a và ngược lại cho a ta cũng sẽ tính được .
Trong hệ phương trình Jule – Walker, nếu ta đặt
pi
= a
i
, i =1,…p thì
hệ phương trình Jule – Walker tương đương với
( j)
p1
( j p), j 1, , p
Đại lượng
pp
ở trên được gọi là tự tương quan riêng cấp p của quá trình
{X
t
, nó đóng vai trò rất quan trọng trong việc xác định bậc của quá trình tự hồi

quy cũng như việc ước lượng tham số mô hình tự hồi quy sau này.
Trong việc thực tế, khi cho chuỗi quan sát X:= x
1
, t = 1,2…,n thì ta dùng
công thức của tương quan mẫu để tính các r(i), là các giá trị xấp xỉ của (i). Khi
đã có các tự tương quan mẫu ta thay vào hệ phương trình Jule – Walker và giải
nó để tìm các tham số a
1
. Từ đây ta cũng xác định được tương
quan riêng
p1
….,
pp.

2.2. Quá trình trung bình trƣợt
Định nghĩa1.7 (Quá trình trung bình trƣợt)
Một quá trình trung bình trượt cấp q, ký hiệu X
t
MA(q), là một quá
trình X
t
, t Z thoả mãn biểu thức
Xt 1 b1 t 1 bq t q,b1b2, ,bq R,bq 0
với
t
là một ồn trắng.

13

Ta cũng có thể viết biểu thức trung bình trượt ở trên dưói dạng toán tử lìu

tương tự như đối với quá trình tự hồi quy như sau :
Xt = b(B) t,
Trong đó hàm b(.) định nghĩa bởi
b(z) : = 1+b
1
z+…+b
q
z
q.

Ở đây b(z) được gọi là đa thức trung bình trượt .
Chú ý:
Khác với quá trình AR, biểu thức trên luôn xác định duy nhất một quá trình
MA mà không đòi hỏi thêm điều kiện gì đối với các hệ số b
1
. Và với giả
thiết
t
là ồn trắng thì theo định lý 1.1 ta có b(z) (z)
= 1.
Và khi đó
1
có thể biểu diễn dưới dạng
t j; j j jXt j; (z) j jz j

Một chú ý nữa, cũng giống như trường hợp AR, nếu đa thức trung bình
trượt b(z) không có nghiệm có môđun bằng 1 thì ta có thể biểu diễn X
t
dưới
dạng sau:

X t j X t j t ; j
j 1 j
Và có thể xác định
i
bằng cách chia 1(theo luỹ thừa tăng) cho
b(z),(
0
1)

14

Khi quá trình
X
t
có thể biểu diễn ở dạng trên, tức là khi b(z) chỉ có nghiệm
có môđun lớn hơn 1 thì ta nói
X
t
là một quá trình khả nghịch. Và từ nay về sau,
nếu không nói gì thêm thì khi nói về các quá trình AR và MA chúng ta hiểu đó
là các quá trình nhân quả và khả nghịch.
Các đặc trưng của quá trình trung bình trượt:
Trước hết, ta dễ dàng thấy rằng
EXt 0,
Và
2
,s t
E(Xt t )
2

b1,s t i;1 i q


0,s



Mặt khác ta có:
(h): E(XtXt h) E(Xt ( t h b1 1 h 1 bq 1 h q))
Từ đó ta suy ra
(h)
2
(bh b1bh 1 bq hbq),b0 : 1;1 h q



(h) 0,h q
Đặc biệt ta có
(0): var Xt
2
(1 b1
2
bq
2


15

Từ công thức hiệp sai của quá trình trung bình trượt ta suy ra công thức của
tự tương quan như sau:

b
h
b
1
b
h 1
b
q h
b
q
,
h 1,2 q

(h)

1 b1
2
bq
2


0, h. q


2.3. Quá trình tự hồi quy trung bình trƣợt
Định nghĩa 1.8 (quá trình tự hồi quy trung bình trượt)
Một quá trình X
t
, t Z được gọi là quá trình tự hồi quy trung bình
trượt cấp p,q , kí hiệu

X
t ARMA(p,q) là một quá trình X
t
, t Z thỏa mãn
Xt a1Xt 1 apXt p t b1 t 1
bq t q,a1,a2, ap,b1,b2, ,bq R,ap 0,bq 0
Trong đó
t
là ồn trắng, a(.) và b(.) lần lượt là đa thức tự hồi quy và đa
thức trung bình trượt có bậc tương ứng là p và q:
a(z): 1 a1z apz
p
b(z): 1 b1z bqz
q

Khi đó ta có thể viết quá trình ARMA ở dạng toán tử như sau a(B)Xt b(B) t
Định nghĩa 1.9 (Quá trình nhân khả nghịch)

16

Một quá trình ARMA(p,q) được gọi là một quá trình nhân quả và khả nghịch
nếu có là một quá trình ARMA(p,q) có a(z) và b(z) thỏa mãn hai điều kiện:
i) a(z) và b(z) không có nghiệm chung
ii) a(z) và b(z) không có nghiệm có môđun không
vượt quá 1 Chú ý:
Do tính nhân quả và khả nghịch cộng với tính chất khả đảo của đa thức toán
tử, ta có thể biểu diễn một quá trình

Xt i 0 i t i, 0 1;i 1 i .
Và có thể tính các hệ số

t
bằng cách chia theo lũy thừa tăng a(z) cho b(z).
Các đặc trưng của quá trình ARMA:
Trước hết ta có
p q
(h) E(XtXt h) t 1a1 (h i) .X (h) i 1bi .X (h i)
Với
.X (k): E( tXt k
Mặt khác ta có thể biểu diễn

Xt k i 0 i t k i
Và ta có

17

0,k 0
e.X (k) k 2,k 0
Lần lượt cho h = 0,1, p trong các chương trình trên và chú ý đến tính chẵn
của hàm (h) ta có hệ phương trình tuyến tính đối với (0), , (p) hay
với (1), (p).
p
(h) a
i
(h i),h q
i 1
Và vì thế
p
(h) ai (h i),h q.
i 1
3. Ước lượng tham số mô hình ARMA

Giả sử ta cần ước lượng các tham số của mô hình ARMA(p,q)
Xt a1Xt 1 apXt p t b1 t 1 bq t q,a1,a2, ,ap,b1,b2, ,bq R,ap 0,b
trong đó
t
đóng vai trò là sai số.
Đối với mô hình ARMA cũng có nhiều phương pháp ước lượng tham số
hiệu quả và được nêu ra chi tiết trong P.Brockwell, R. David, 2001. Dưới đây, ta
sẽ xem xét phương pháp bình phương cực tiểu theo kiểu thuật toán Hannan –
Rissanen. Ý tưởng của thuật toán này là sử dụng hồi quy tuyến tính để ước lượng
các tham số. Nếu q>0 ta còn phải ước lượng các giá trị chưa biết t .
Thuật toán Hannan – Rissanen
Bước 1:
q

18

Dùng ước lượng Yule Walker để ước lượng các tham số mô hình AR(m),
với m > max(p,q).
Xt a1Xt 1 amXt m t, t m 1, ,n.
Bước 2:
Ước lượng vecto tham số (a1, ,ap,b1 ,bq)
t
trên cơ sở cực tiểu hóa
hàm
n
2
theo .
S ( ) t m q 1 (xt a1xt 1 a2xt 2 apxt p b1 t 2 bq t q)

Giải hệ Gauss-Markov, kết quả thu được ở dạng sau:

(Z tZ) 1ZtXn,
Ta cũng có thể dùng phương pháp trực giao hóa Househoder để tìm
Ở đây,
Xn (Xm 1 q, , Xn)
Và
Xm q Xm q 1
Z Xm q 1 Xm q



X
m q 1 p
X
m q 2 p
m q
m q 1
m q 1
m 1
m q m 2



19


Xn 1 Xn 2 Xn p n 2 n 2 n q

Ước lượng phương sai
t
theo công thức

2 S( )
HR .
n m q
4. Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian tài chính
Mô hình ARMA thu được thành công lớn khi áp dụng cho các chuỗi thời
gian xuất phát từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ thuật nhưng thất bại khi
áp dụng cho các chuỗi thời gian kinh tế và tài chính. Nguyên nhân chính là giả
thiết về mặt toán học phương sai của các chuỗi thời gian tài chính không thay đổi
theo thời gian là không phù hợp. Và vì vậy mô hình ARMA có thể dự báo được
kỳ vọng nhưng thất bại khi dự báo phương sai của chuỗi thời gian tài chính. Sau
đây ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể để thấy rõ sự không phù hợp của mô hình
ARMA đối với chuỗi thời gian tài chính.
Xét chuỗi số chuỗi số liệu NYSE chứa giá trị của chỉ số chứng khoán giao
dịch hằng ngày trên thị trường NewYork từ tháng ngày 02/01/1990 đến ngày
31/12/2001. Chuỗi gồm 3028 số liệu được lưu dưới tên file là NYSE.txt. Tuy
nhiên thay vì trực tiếp làm việc với chuỗi số liệu gốc, ta lấy logarit tự nhiên của
chuỗi gốc rồi lấy lại sai phân của nó để được một chuỗi mới mà trong lĩnh vực
kinh tế tài chính ta gọi là chuỗi tăng trưởng.
Từ số liệu ở trên, chuỗi giá và chuỗi tăng trưởng được minh họa bằng đồ thị
sau

20


Hình 1.1 Chuỗi giá

Hình 1.2 Chuỗi tăng trưởng
Nhìn vào đồ thị của chuỗi giá, rõ ràng ta thấy nó không có tính dừng.
Ngược lại, chuỗi tăng trưởng có đồ thị rất giống với một quá trình dừng. Khi nhìn
vào đồ thị của chuỗi tăng trưởng ta cũng thấy có xuất hiện những cụm biến động,

có vùng biến đổi về phương sai của chuỗi thời gian. Tiếp theo ta sẽ khai thác đặc
trưng tương quan riêng mẫu của chuỗi tăng trưởng ở trên. Kết quả được minh
họa bằng đồ thị sau:

Hình 1.3 Tự tương quan của chuỗi tăng trưởng

21



Hình 1.4 Tự tương quan riêng của chuỗi tăng trưởng
Ta thấy rằng tương quan riêng của chuỗi tăng trưởng biến đổi trong một
khoảng tương đối hẹp khá giống với tự tương quan riêng của một quá trình dừng.
Tuy nhiên ta lại không thấy được dấu hiệu triệt tiêu của tự tương quan riêng mặc
dù ta đã lấy đến trễ 100. Điều này cho thấy cho chuỗi tăng trưởng chắc chắn
không thể là một quá trình tự hồi quy. Ta cũng biết rằng, về mặt lý thuyết có thể
xấp xỉ mô hình AR nhiều tham số bằng mô hình ARMA với ít tham số hơn. Điều
này cũng cho thấy mô hình ARMA nhiều khả năng không phù hợp với chuỗi
tăng trưởng của chúng ta.
Bây giờ ta lấy bình phương chuỗi tăng trưởng, kết quả cho bởi đồ thị dưới
đây

Hình 1.5 Bình phương chuỗi tăng trưởng
Nhìn vào đồ thị ta có thể ta có thể thấy được việc tạo thành các cụm biến
động trong đó các thời kỳ và biến động mạnh xen kẽ nhau. Ta tính tiếp các đặc
trưng mẫu của bình phương chuỗi tăng trưởng. Kết quả được thể hiện bằng các đồ
thị sau

22

Hình 1.6 Tự tương quan của bình phương chuỗi tăng trưởng

Hình 1.7 Tự tương quan riêng của bình phương chuỗi tăng trưởng
Mặc dù chuỗi tăng trưởng ít tương quan nhưng bình phương của nó lại thể
hiện sự tương quan mạnh. Những dấu hiệu đó cho ta thấy rằng mô hình ARMA
không thực sự phù hợp với chuỗi thời gian qua sát này.
Bây giờ giả sử bằng cách nào đó ta tìm được mô hình ARMA gần nhất với
chuỗi quan sát và đó là mô hình ARMA(1,1). Mục đích ở đây là chúng ta sẽ thấy
rõ ràng sau khi ước lượng, nhiễu thu được sẽ không phải là một ồn trắng như ta
mong muốn nữa. Thật vậy, kết quả ước lượng theo mô hình
ARMA(1,1) là
yt 0.00049332
t

Nhiễu khi đó được tính toán và biểu diễn bởi đồ thị sau