Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8
Dạng I : Dãy số viết theo qui luật (lớp 6&7)
Bài toán 1
: So sánh giá trị biều thức
3 8 15 9999

4 9 16 10000
A = + + + +
với các số 98 và 99.
Ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
4 9 16 10000 2 3 4 100
A
               
= − + − + − + + − = − + − + − + + −
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
               
=
2 2 2 2
1 1 1 1
99 99
2 3 4 100
B
 
− + + + + = −
 ÷
 
với B =
2 2 2 2

1 1 1 1

2 3 4 100
+ + + +
> 0 Nên A
< 99.
Ta có
( )
1 1 1
1 1k k k k
= −
+ +
với mọi k
1≥
nên
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 3 4 100 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 3 4 99 100 100
B = + + + + < + + + + = − + − + − + + − = − <
Do đó
99 99 1 98A B= − > − =
. Vậy
98 99A< <
Tổng quát:
( ) ( )
2
2
3 8 15 1
2 1

4 9 16
n
n n
n
−
− < + + + + < −
Bài toán 2
: Viết số
2 3 4 999 1000
1 2 3 4 999 1000+ + + + + +
trong hệ thập phân. Tìm ba số đầu
tiên bên trái số đó?
Giải: Ta có
2 3 4 999 1000
1 2 3 4 999 1000A = + + + + + +
; Đặt
1000 3000
3000
1000 10 100000 0000B = = =
1 44 2 4 43

gồm có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1)
Đặt C
2 3 999 1000 3 6 2997 3000
1000 1000 1000 1000 1000 10 10 10 10= + + + + + = + + + +
=
100100100 1000

gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2). Vì B < A < C và B, C đều có 3001
chữ số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái của A là 100.

Bài toán 3:

Cho
( ) ( )
2 2
2
1 1 1 1

14 29 1877
1 2
A
n n n
= + + + + +
+ + + +
. Chứng minh rằng
0,15 0,25A< <
.
Giải : Ta có
( ) ( )
2 2
2
1 1 1 1

14 29 1877
1 2
A
n n n
= + + + + +
+ + + +
( ) ( )

2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1

1 2 3 2 3 4 24 25 26
1 2n n n
= + + + + +
+ + + + + +
+ + + +
( ) ( )
2 2
2 2
1 2 3 6 5B n n n n n= + + + + = + +
. (1)
• Với
1n
≥
từ (1) ta có:
( )
( ) ( )
2 2
3 9 6 3 3 2 3 1 2B n n n n n n< + + = + + = + +
. Từ đó :
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1

3 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 3
A C
n n

 
> + + + + + + =
 ÷
 ÷
+ +
 

Với
C
=
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6

2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 2 3 3 4 25 26 2 26 13n n
+ + + + + + = − + − + + − = − =
+ +
.
Suy ra
1 6 2
. 0,15
3 13 13
A > = >
.
• Với
1n
≥
từ (1) ta có:
( )
( ) ( )
2 2

2 6 4 2 3 2 2 1 2B n n n n n n> + + = + + = + +
. Từ đó :
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1

2 2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 2
A C
n n
 
< + + + + + + =
 ÷
 ÷
+ +
 

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8
Với
C
=
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6

2.3 3.4 1 2 24.25 25.26 2 3 3 4 25 26 2 26 13n n
+ + + + + + = − + − + + − = − =
+ +
.
Suy ra
1 6 3
. 0,25
2 13 13

A < = <
. Vậy
0,15 0,25A< <
Tổng quát:
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1 1

6 3 2 1 2 3 2 3 4 4 2 2
1 2
k k
k k k
− < + + + < −
+ + + + + +
+ + + +
Bài toán 4:
Tính
A
B
biết :
( )
1 1 1 1

2.32 3.33 30 1979.2009
A
n n

= + + + + +
+
;
( )
1 1 1 1

2.1980 3.1981 1978 31.2009
B
n n
= + + + + +
+
.
Giải:
Với các số nguyên dương n và k ta có
( ) ( ) ( )
1 1 n k n k
n n k n n k n n k n n k
+
− = − =
+ + + +
.
Với k = 30 ta có :
30 30 30 1 1 1 1 1 1
30
2.32 3.33 1979.2009 2 32 3 33 1979 2009
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)
2 3 1979 32 33 2009 2 3 31 1980 1981 2009
A = + + + = − + − + + − =
       

= + + + − + + + = + + + − + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Với k = 1978 ta có :
1978 1978 1978 1 1 1 1 1 1
1978
2.1980 3.1981 31.2009 2 1980 3 1981 31 2009
B = + + + = − + − + + −
1 1 1 1 1 1
(2)
2 3 31 1980 1981 2009
   
= + + + − + + +
 ÷  ÷
   
.
Từ (1) và (2) suy ra
1978 989
30 1978
30 15
A
A B
B
= ⇒ = =
.
Bài toán 5
: Tính tổng sau:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 5 4017

1 2 2 3 2008 2009
n
S = + + +
× × ×
.
Giải:
Với
1n ≥
thì
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 1
2 1 2 1 1 1
1 1 1 1 1 1
n n n
n n n n n
n
n n n n n n n n n n n
+ − +
+ + + −

= = = − = −
+ + + + + +
Do đó
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
3 5 4017 1 1 1 1 1 1
1 1
4 4 9 2008 2009 2009
1 2 2 3 2008 2009
n
S = + + + = − + − + + − = −
× × ×
.
Bài toán 6
: Tính các tổng sau:
( )
1.2 2.3 . 1 98.99A n n= + + + + + +
(*) ;
( )
1.99 2.98 100 98.2 99.1B n n= + + + − + + +
Giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
3 1.2.3 2.3.3 3 1 3.98.99 1.2. 3 0 2.3. 4 1 98.99. 100 97A n n= + + + + + + = − + − + + −
.
( )
970200
1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2.3 2.3.4 97.98.99 98.99.100 970200 323400
3

A= + + + − + + + = = ⇒ = =
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1.99 2. 99 1 3. 99 2 98. 99 97 99. 99 98
1.99 2.99 3.99 99.99 1.2 2.3 3.4 98.99
B = + − + − + + − + − =
= + + + + − + + + +
( ) ( )
99
99 1 2 3 99 99. 99 1 . 99.99.50 323400 166650
2
A A= + + + + − = + − = − =
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8
Từ bài toán (*) suy ra
98.99.100
3 98.99.100
3
A A= ⇒ =
.
Nếu
( )
1.2 2.3 3.4 1A n n= + + + + +
. Tính giá trị của B = 3A với B = 3A thì B = (n-1)n(n+1) với
n = 100
( )
( )
( )
( )
1.2 2.3 3.4 1 .3 0.1 1.2 2.3 3.4 1 .3B n n n n= + + + + − = + + + + + − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1. 0 2 3. 2 4 5. 4 6 97. 96 98 99 98 100 .3
 
= + + + + + + + + + + =
 
( )
( )
2 2 2 2 2
1.1.2 3.3.2 5.5.2 7.7.2 99.99.2 .3 2.3. 1 3 5 7 99= + + + + + = + + + + +
( )
2 2 2
6 1 3 99= + + +
. Do đó
( )
2 2 2 2
6 1 3 5 99 99.100.101+ + + + =
hay
2 2 2
99.100.101
1 3 99 166650.
6
+ + + = =
Vậy
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 1 2 2 2 3
1 3 2 1
6
n n n

P n
+ + +
= + + + + =
Công thức tính tổng các bình phương n số tự nhiên
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1
1 2 3
6
n n n
P n
+ +
= + + + + =
Bài toán 7:
Tính
B
A
biết:
( )
1 1 1 1

1.2 2.3 1 2008.2009
A
n n
= + + + + +
+
.
( ) ( )
1 1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 2008.2009.2010
B
n n n
= + + + + +
+ +
.
Ta có
( )
1 1 1
1 1n n n n
= −
+ +
và
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1
1 2 1 1 2n n n n n n n
= −
+ + + + +
Nên:
( )
1 1 1 1 1 2008
1
1.2 2.3 1 2008.2009 2009 2009
A
n n
= + + + + + = − =
+
( ) ( )
2 2 2 2 2 1 1 2019044
2

1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2 2008.2009.2010 1.2 2009.2010 2009.2010
B
n n n
= + + + + + + = − =
+ +
1 2019044 1009522
.
2 2009.2010 2009.2010
B⇒ = =
.
Do đó
1009522 2008 1009522.2009 5047611
:
2009.2010 2009 2008.2009.2010 2018040
B
A
= = =
1011531
2
2018040
=
Bài toán 8
:Goi A là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1001 và B là tích các số
nguyên liên tiếp từ 1002 đến 2002. Hỏi A + B chia hết cho 2003 không?
Giải:
Ta có:
1.2.3.4 1001A =
và
1002.1003.1004 2002B =
.

Ta viết B dưới dạng:
( ) ( ) ( )
2003 1001 2003 1000 2003 1B = − − −
. Khai triển B có một tổngngoài
số hạng
1001.1000 2.1−
. Tất cả các số hạng khác của tổng đều chứa một thừa số 2003. Nên
2003. 1001.1000 2.1 2003B n n A= − = −
với n là số tự nhiên. Do đó:
2003A B n+ =
là một số chia
hết cho 2003.
Cách giải khác:
Ta có các cặp số nguyên sau có cùng số dư khi chia cho 2003 ;
( ) ( ) ( )
1002; 1001 ; 1003;1000 ; 2002;1−
. Do đó
1002.1003 2002B
=
và
1001.1000 2.1A
− = −
có cùng
số dư khi chia cho 2003. Nên
( )
A B B A+ = − −
chia hết cho 2003
Nếu a và
1 2
; ; ;

n
a a a
là các số nguyên và n là số tự nhiên lẻ thì
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
. .
n n
a a a a a a a a a a+ − − − M
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8
Dạng II :Phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số (lớp 8)
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
x y y z z x x y y z z x
+ +
− − − − − −
với
; ;x y y z z x
≠ ≠ ≠
. Từ kết quả trên ta có thể
suy ra hằng đẳng thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
x y x z z y x z x y y z
= +
− − − − − −
(*) trong đó x ; y; z đôi một
khác nhau.
Thực chất ở đây ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ
có hai số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau:

Bài toán 1
:
Cho
; ;a b b c c a≠ ≠ ≠
chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
A
a b c
a b a c b c b a c a c b
= + +
− − − − − −
Áp dụng hằng đẳng thức (*)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
A
a b b c
a b a c b c c a a c b a c a c b
= + + +
− − − − − − − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
a b a b b c b c
a b b c
a b a c a b a c b c c a b c c a a b a c b c c a
+ − + −

= − + − = +
− − − − − − − − − − − −
1
a b b c a b b c
a c c a a c a c
+ + + +
= + = − =
− − − −
Bài toán 2
: Cho
; ;a b b c c a≠ ≠ ≠
. Rút gọn biểu thức
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x b x c x c x a x a x b
B
a b a c b c b a c a c b
− − − − − −
= + +
− − − − − −
Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
x b x c x c x a x a x b
B
a b a c b c b a c a c b
− − − − − −
= + + =
− − − − − −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x b x c x c x a x c x a x a x b
a b a c b c c a a c b a c a c b
− − − − − − − −
= + + +
− − − − − − − −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x b x c x c x a x c x a x a x b
a b a c b c c a a c a b a c c b
x b x c x c x a x c x a x b x a x c a b x a b c
a b a c b c c a a b a c a b a c
− − − − − − − −
= + − − =
− − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − −
= + = +
− − − − − − − −
1
x c x a x c x a
a c a c a c
− − − − +
= − = =
− − −
Bài toán 3:
Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c x
a b a c x a b a b c x b c a c b c x x a x b x c
+ + =
− − − − − − − − − − − −
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8

Biến đổi vế trái, ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c
a b a c x a b a b c x b c a c b c x
+ +
− − − − − − − − −
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b b c
a b a c x a b a a c x b c a b c x b c a c b c x
= + + +
− − − − − − − − − − − −
=
( ) ( ) ( )
1 1
( )
a b b c
a b a c x a x b c a b c x b x c
   
= − + −
   
− − − − − − − −
   
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) 1
. .
bx cx

ax bx x x
a b a c x a x b c a b c x b x c a c x a x b c a x b x c
−
−
= + = +
− − − − − − − − − − − − − −
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
x a c
x x
a c x b x a x c a c x b x c x a x b x c x a
−
 
= − = =
 
− − − − − − − − − − −
 
. Sau khi biến đổi vế
trái bằng vế phải. Đẳng thức được chứng minh.
Bài toán 4:
Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2b c c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
Giải: Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1b c b a a c
a b a c a b a c a b a c c a a b
− − −
= + = +
− − − − − − − −
(1)
Tương tự ta có:
( ) ( )
1 1c a
b c b a b c a b
−
= +
− − − −
(2)
( ) ( )
1 1a b
c b c a b c c a
−
= +
− − − −
(3)
Từ (1) ;(2) và (3) ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1b c c a a b
a b a c b c b a c a c b c a a b b c a b b c c a
− − −
+ + = + + + + +
− − − − − − − − − − − −
2 2 2

a b b c c a
= + +
− − −
(đpcm)
Bài toán 5
: Rút gọn biểu thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
a bc b ac c ab
a b a c b c b a c a c b
− − −
+ +
+ + + + + +
với
; ;a b b c c a≠ − ≠ − ≠ −
Giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
( ) ( )a bc a ab bc ab a a b b c a a b
a b a c a b a c a b a c a c a b
− + − − + − +
= = = −
+ + + + + + + +
(1)
Tương tự:
( ) ( )
2
b ac b c
b a b c a b b c

−
= −
+ + + +
(2)
( ) ( )
2
c ab c a
c a b c c b c a
−
= −
+ + + +
(3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
0
a bc b ac c ab a b b c c a
a b a c b c b a c a c b a c a b a b b c c b c a
− − −
+ + = − + − + − =
+ + + + + + + + + + + +
Bài toán 6:
Cho ba phân thức
1
a b
ab
−
+
;
1

b c
bc
−
+
;
1
c a
ca
−
+
. Chứng minh rằng tổng ba phân
thức bằng tích của chúng.
Giải:
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7,8
Ta có :
1 1 1
b c b a a c
bc bc bc
− − −
= +
+ + +
nên
1 1 1 1 1 1 1
a b b c c a a b b a a c c a
ab bc ca ab bc bc ca
− − − − − − −
+ + = + + +
+ + + + + + +
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
a b bc ab c a bc ac
a b c a
ab bc ac bc ab bc ac bc
− + − − − + − −
   
= − − + − − = +
   
+ + + + + + + +
   
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b a b c a c c a b a a b c a a b c a b c
b c
ab bc ac bc bc ab ac ab bc ac
− − − − − − − − −
 
= + = − =

 
+ + + + + + + + + +
 
(đpcm).
Bài toán 7
: Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải là số nguyên
dương không?
a b c
a b b c c a
+ +
+ + +
Giải:
Ta có
1
a b c a b c a b c
M
a b b c c a a b c a b c a b c a b c
+ +
= + + > + + = =
+ + + + + + + + + + +
hay M > 1 .
1 1 1 3 3 1 2
b c a b c a
M
a b b c c a a b c b c a c a b
       
= − + − + − < − + + = − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
+ + + + + + + + +
       

hay M < 2
Vậy 1 < M <2 . Do đó M không thể là số nguyên dương.
Bài toán 8
: Đơn giản biểu thức
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1004 2 1004 2 1004a a b b c c
A
a a b a c b b a b c c c b c a
− − − − − −
= + +
− − − − − −
Giải: MTC là :
( ) ( ) ( )
abc a b b c a c− − −
Nên
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1004 2 1004 2 1004bc b c a a ac a c b b ab a b c c
A
abc a b b c a c abc a b b c a c abc a b b c a c
− − − − − − − − −

= + +
− − − − − − − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2008 2008 2008 2008 2008 2008b c ac a b bc a c ab
abc a b b c a c
+ + − − −
=
− − −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2008
2008
2008
c a c b a b a c b a b c
a b b c a c
abc a b b c a c abc a b b c a c abc
 
− + − + −
− − −
 
= = =
− − − − − −
Với
0abc ≠
Bài toán 9
: Tính giá trị của biểu thức:

( )
( )
2
2003 2013 31 2004 1 2003 2008 4
2004 2005 2006 2007 2008
P
× + × − × +
=
× × × ×
Giải: Đặt a = 2004 Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 9 31 1 1 4 4
1 2 3 4
a a a a a
P
a a a a a
 
 
− × + + × − − + +
 
 
=
+ + + +
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2

2 1 9 31 1 3 4 4
1 2 3 4
a a a a a a
a a a a a
   
− + + + − + − +
   
=
+ + + +
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 2 2 3 2 2
9 2 18 9 31 1 3 7 14 8 3
1 2 3 4 1 2 3 4
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
+ − − + + + − + + + + +
= =
+ + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4
1
1 2 3 4
a a a a a
a a a a a
+ + + +
= =

+ + + +
. Vậy P = 1