Phương pháp biến đổi tích phân giải các phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
*

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


XUÂN HÒA, 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 HỒNG THỊ THU HUYỀN

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TỐN HỌC

Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC

XUÂN HÒA, 2014


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn
của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc nhất đối với
thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
phịng Sau đại học, các thầy cơ giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học
chuyên ngành Tốn giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả

Hoàng Thị Thu Huyền


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS.
Nguyễn Văn Ngọc. Tôi xin cam đoan rằng nội dung trong luận văn này là trung thực và
không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc
thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả

Mục lục

Hoàng Thị Thu Huyền

1.1 Bài tốn Dirichlet đối với phương trình Poisson trong lớp vơ hạn

5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp biến đối tích phân là một trong những phương pháp giải tích hữu
hiệu giải các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng và các phương
trình tích phân dạng chập tuyến tính. Các biến đổi quan trọng như biến đổi Fourier,
biến đổi Hankel, biến đổi Mellin v.v... từ lâu đã được sử dụng trong việc giải các
phương trình vi phân và phương trình tích phân tuyến tính hệ số hằng số.
Nhờ các tính chất đặc thù của các phép biến đổi tích phân kể trên, các phương
trình đạo hàm riêng, các phương trình tích phân có dạng và miền khảo sát thích hợp có
thể được chuyển về các phương trình đại số tương ứng. Từ đó, sử dụng các cơng thức
nghịch đảo, ta tìm được ẩn hàm mong muốn.
Hệ thống hóa và phân loại các bài tốn giải phương trình đạo hàm riêng bằng
phương pháp biến đổi tích phân là việc làm thiết thực cho công việc học tập, giảng
dạy hay nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng. Vì vậy, đề tài luận văn được lựa
chọn là “Phương pháp biến đổi tích phân giải các phương trình đạo hàm riêng”.
Luận văn gồm có: mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Nội
dung chủ yếu của luận văn này là trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân
sau đây: biến đổi tích phân Fourier, biến đổi Hankel và biến đổi Mellin. Đối với mỗi
phép biến đổi tích phân nói trên, luận văn đã xét một số ứng dụng giải các bài tốn
biên hay bài tốn Cauchy cho các phương trình đạọ hàm riêng cơ bản, đặc biệt là
phương trình truyền sóng và truyền nhiệt. Bản luận văn được hình thành chủ yếu từ tài
liệu [2].

2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa các dạng bài tốn giải phương trình đạo hàm riêng bằng phương
pháp biến đổi tích phân.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biến đổi
Hankel, biến đổi Mellin.
Trong chương 1, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số
ứng dụng giải các bài tốn biên của phương trình điều hịa và song điều hòa trong


6

miền vơ hạn trong nửa mặt phẳng và miền hình dải, giải bài tốn Cauchy đối với
phương trình truyền nhiệt thuần nhất và không thuần nhất trong một thanh dài vơ hạn.
Trong chương 2, luận văn trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Hankel và xét một
số ứng dụng giải bài tốn biên của các phương trình đạo hàm riêng trong hệ tọa độ
cực và tọa độ trụ.
Trong chương 3, luận văn trình bày biến đổi Mellin và một số ứng dụng giải các
phương trình đạo hàm riêng trong các miền hình nêm.

4. Đối tượng và phạm vi nghiền cứu
Bản luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết của các biến đổi tích phân sau đây: biến
đối Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin cùng một số ứng dụng của chúng trong
giải các phương trình đạo hàm riêng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận và phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

6. Những đóng góp mới của đề tài
Giải một số bài toán biên trong cơ học và vật lý khác mà chưa có trong các tài liệu
tham khảo.

Chương 1

/

ọ

Biên đơi Fourier
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Fourier và một số ứng dụng
giải các bài tốn biên của phương trình đạo hàm riêng trong miền vô hạn. Nội dung cơ
bản của chương này được hình thành từ các tài liệu [1, 2, 3].

1.1
1.1.1

Biến đổi Fourier trong LX(R)
Khái niệm

Định nghĩa 1.1. Cho / e L 1 (R), A e R, hàm / định bởi


7
00

^J Ỉ ( T ) E

/(A) = F [ F } ( A) =

I

XT

(1.1)

DT

00

được gọi là biến đổi Fourier của /. Biến đổi Fourier ngược của hàm / được xác định
bởi công thức
00

Định

lý 1.1.(Định

lý Riemann - Lebegues). G I Ả

Co làkhơng giancác
vơ

hàm

số

/

SỬ

liên

e L 1 (R)
tục

cực. Hơn

tiến

THÌ/

€ CO,

dần

VỚI

về 0 tại

nữa,

—
k h i đ ó , g ( x ) = / (à) h ầ u h ế t t r ê n R.

1.1.2 Các tính chất của biến đổi Fourier T í n h c h ấ t
1.1. fr(x) = f (rx). Ta có
/(A) = -/(-).
r \ r J
Chứng minh.
00

-±= J f ( r x ) e i X * d x

/(A) =

00

=

00

—!= í ỉ { t ) e i U ! r d t

ry 2TĨ J
— 00

□
Tính chất 1.2. Với

Y

e R, đặt

FY

(X) =

F

(X +

Y).

Ta có

/ y (A) = e- iA V(A).
Chứng minh.
00

/y (A) =

~!= Ị ỉ{x + y)e~
00

= e-^fy(X).

00

iXx

dx = -j= J f(t)eiX^dt
—00


8

□


9

Tính chất 1.3. Cho / ễ í 1 (R) thỏa mãn supp / c [— a , a]. Khi đó, f ( z ) , z — X + Ì T là
hàm giải tích trên c.
CHỨNG

MINH.

Với mọi

M

ngun dương, ta có
a
m

D f ( A) = - j = J ( i x ) m f ( x ) e ị X x d x .
—

a

Do / € i 1 (— A , A ) nên tích phân bên phải hội tụ với 771 nguyên dương. Suy ra, / là hàm
giải tích trên c.

□

Tính chất 1.4. Cho / E L 1 (R) thỏa mãn tính chất /' € L L (R) và / liên tục tuyệt đối trên
mọi khoảng hữu hạn. Khi đó,
(/') A = -iA/.
CHỨNG

MINH.

Vì / liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên
00

/(*) = / (0)+ Ị Ỉ ' ( T )
0

dt.

í 11. ■?

Tính chất 1.5. Với /,

G

e L 1 (R), tích chập của / và

G

được

thức
00

(/ * ổ) (z) = J
Khi đó, ta có / *

G

€ L 1 (R) và (/ *

G)A

Ỉ

( X - T ) G (í)

= 2TĨFG.

DT.

xác định

theo

công


1
0
CHỨNG

MINH.

Sử dụng định lý Fubini dễ dàng chứng minh được / *

G

€ i 1 (R). Theo

định lý Fubini, ta có
J ( f * g ) ( x ) e i X x d x = J ị j f (í) g ( x - t ) d t Ị e i X x d x
—

= 2 TT /(A)5(A).
□
Tính chất 1.6. Gọi
C

00

s là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh, nghĩa là / e

và

x p f ^ (x)

V P , Q e N, 3M > 0, Vx,
Khi đó, / e
CHỨNG

s.

MINH.

Cho P ,

Q

e N bất kỳ, ta có
x

suy ra với

< M.

X ^

P+2f(q)


0, thì
* ỉ { q ) (*)
F ( ) E L 1 (R).

Bất đẳng thức trên cho thấy X
Tiếp theo, e L 1 (R) với mọi g e N nên / mũ giảm nhanh hơn — Ẹ khi
P

Q

IAI -» oo, với mọi 5Ẽ N. Do đó,

|A| 5

|A[ 9 /(A)| < M.
Hơn nữa, ta có
(*A) 9(/) í ’(A) = (ỉA) ? [(-ia;) ỉ, /( 2:)] A
= (-i) p (iA)V/(s)] A
= (-i)p (zpỉ){q] (x)
1

< M v à ( X P F ) { Q ] e L (R).

Suy ra, / € s vì ( X P F Ý Q ' > (x)

□


1
1

1.2

Biến đổi Fourier trong ư

Định lý 1.3. ( P ỉ a n c h e r e ỉ - 1 9 1 0 ) . V ớ i m ọ i / e L 2 (R), N > 0, t a đ ặ t
N

F N { f } ( A) = ^= / f ( x ) e i X x d x .
-N

Khi đó
( A ) F N {/} h ộ i t ụ t r o n g L 2 (R) đ ế n m ộ t h à m F {/} k h i N ^ oo. H ơ n n ữ a ,
00

\\F{Ỉ}\\1=

/

00

\ F {/} (A)| 2 dA =

Ị

\f{x)\2dx=\\f\\l

— 00
( b ) N ế u f £ L 2 (R) n L 1 (R) t h ì F {/} = / h ầ u h ế t t r ê n R.
(c)Nếu đặt

—00

N

(*)= J F { f } ( X ) e ~ a x d X
-N

Ộ
N

t h ì Ộ Ị Ị h ộ i t ụ t r o n g L 2 (R) đ ế n f k h i N ->• oo.
( d ) T o á n t ử F l à m ộ t đ ẳ n g c ấ u t ừ L 2 (R) v à o L 2 (R).
Hệ quả 1.1. Nếu / e L 2 (R) và / Ễ L 1 (R) thì
/ (a:) =

00

- __ / / (A) E ~ I X X D \, với hầu hết X .
V2TĨ J
— 00

Định lý 1.4. ( H a u s d o r f f - Y o u n g ) .

C h o f e L 1 (M) n L 2 (R). G i ả s ử 1 < p < 2 v à q l à s ố đ ố i n g ẫ u c ủ a p, n g h ĩ a l à ,
-

+ - =
1 thì

p q

V ớ i h à m / e L p (R), 1 < p < 2 , c h ú n g t a c ò n đ ị n h n g h ĩ a / n h ư l à g i ớ i h ạ n t r o n g
L q (R) c ủ a d ã y h à m
1 1n
A —> (27ĩ) ^9 Ị f ( x ) e i ^ x d x , k h i n —» 00.

1
' oo

5

^

(ao

ị |/(A)| d x \
1,-00

< < Ị
)

oc

1
2

L ú c đ ó , p h é p b i ế n đ ổ i F o u r i e r l à t u y ế n t í n h l i ê n t ụ c t ừ L p (R) v à o L q (R).
Nó khơng cịn ỉà song ánh và đẳng cự.

1.3

Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng

Xét bài toán sau đây. Tìm hàm
D2U

7T^ + z
ơxz ơy

U(X,Y)

=°>

-00

thỏa mãn phương trình

< X < oo, 0 <

Y

D2U

(1.8)

< 00

và các điều kiện
ĩ i ( a : , 0 ) = g(x), — o o

•u(±oo, y ) = 0,
(1-10)
Lời

giải hìnhthức. Để giải bài tốn (1.8)

< X < 00,

^(± 00, y ) =

(1-9)

0, u ( x , +oo) = 0.

- (1.10), ta sử dụng phương

biến đổi Fourier. Với mỗi một y cố định, lấy biến đổi Fourier (thuận)

pháp

theo X hai

vế của (1.8), ta có
00 00 00

—
—
—

Sử dụng điều kiện đầu tiên trong (1.10), bằng cách tích phân từng phần, ta có
—
—

00

Ị

eiíx

Ỵ~2dx=

—

Thay vào (1.11), ta có phương trình

—

d2ù{i,y) dy2

-ựủiề,v) =

0-

—
Nghiệm tổng quát của phương
trình (1.12) là
—

ủ ( £ , y ) = A(£)e - ^ y + B ( £ ) e ^ \ y ,

(1.12)


1
3

—

trong đó j4(£), B ( Ç ) là các hàm số bất kỳ theo £. Từ điều kiện thứ ba trong

(1.10), suy ra
—

Û(Ç,

+ 00) = 0. Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi B ( Ç ) = 0.

Như vậy, ta có

— 00
ù { t , y ) = m ) e - ị x i ị v , u ( x , y ) = Ị - Ị А ( 0 е - м * е - х * d Ç . (1.13)

— 00

—

—

—

Để tìm hàm A ( Ệ ) , ta cần phải sử dụng đến điều kiện (1.9). Ta có
—
—

—

Thiết lập tính đúng đắn của lời giải. Giả sử

chặn. Khi đó dễ dàng thấy, với mọi

У

G(T)

là hàm liên tục và bị

> 0, tích phân (1.16) và các tích phân nhận

được t ừ c ơ n g t h ứ c n à y b ằ n g c á c h l ấ y đ ạ o h à m d ư ớ i d ấ u t í c h p h â n t h e o X v à t h e o
у

một số lần tùy ý hội

tụ đều trong miền (|æ| < 00, о <

Y

< 00). Ngoài

ra, ta cũng
—

dễ dàng chứng

minh

biểu thức dưới dấu tích phân (1.16) là hàm
—

do đó, hàm

U(X,Y)

rằng

điều hịa,

xác định bởi cơng thức (1.16) thỏa mãn phương trình (1.8).

— Rõ ràng là các điều kiện trong (1.10) cũng được thỏa mãn. Ta cần phải kiểm
tra sự thỏa mãn của điều kiện biên (1.9). Từ (1.15), theo công thức biến đổi Fourier
ngược, ta có:

—

—

-y\í\
—
—

e

—
00
= I [ eit*
7T J

y

d X , y > 0.
y z + Xz


1
4

—

Nhân hai vế của (1.17) với

rồi trừ theo từng vế với (1.16), ta được

G(X),

—
—
—

Bằng cách đổi biến A =

YR,

ta biến đổi công thức trên về dạng

—
00

=

_1 /" +
7T

J

1

— 00

—
—

y(z,ỉ/) - s(z) =

_

jT.

(1-18)

Do g(í) là hàm bị chặn nên tồn tại M > 0, sao cho
—

—

±^1

IG ( Y R +

X)

- 5(x)| < I G ( Y R + x)| + |í/(:r)| < 2 M .

Giả sử £ là số dương nhỏ bao nhiêu tùy ý. Ta có thể tìm được số dương N =

N ( E ) , sao cho

1

3

2
Do G ( X ) là hàm liên tục nên với mọi

5

6

Y

rất gần khơng và |r| < iV, ta có
4

I g { y r + x ) - g ( x )I <

£

Từ đó, suy ra
N

7

oo

: 1 í dr

K

»7T

x

J

,

y

T + 13
2

2e

)
+

3 7T 7

2

T +

£ 1 í d,T
1=

Ổ

(

e.

Z

)

|

- —00

8

Do tính nhỏ tùy ý của E , ta suy ra
9
lim u ( x , y ) =
g ( x ) . y->+0
10 Có thể chứng minh bài toán (1.8) - (1.10) trong lớp hàm bị chặn khơng thể có

nhiều hơn một nghiệm. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được định lý:


1
5

11

Định lý 1.5. G i ả s ử g ( x ) l à h à m l i ê n t ụ c t h u ộ c L 1 (-oo,oo) v à b ị c h ặ n .

Khi đó, nghiệm của bài tốn (1.8)-(1.10) trong lớp hàm bị chặn là duy
nhất và được cho bởi công thức (1.16).


1
6

1.4 Một số bài tốn biên cho phương trình song điều hịa
trong miền hình dải
1.4.1

Bài tốn biên thứ nhất

12

Chúng ta nghiên cứu nghiệm

$1 ( x , y )

của bài toán giá trị biên cho
bởi phương

13

trình song điều hịa
Ỡ 4 $1 Ỡ 4 $1 Ỡ 4 $1

14
15

trong miền
16

17

n = {( x, Ị / ) : — oo < X < 0 0, 0 < y < h } .

Xét bài toán giá trị biên hỗn tạp sau đây.

18

Tìm nghiệm

$1 ( X , Y )

của phương trình (1.19) trong miền n thỏa
mãn điều kiện

19

biên
20
21

I

$1

L=fc

= r

22
23

1

y— 0

_
=

010*0,

y=h

Qy

\y=h

24

27

ỚỈ>1
Ả x ) i 1TV
(!- 20 )

Ô$1
25
26
’ DY

=
y =0

Ui(x),

iẽI.

(1.2Í)

28

Bài tốn này có thể được mơ tả như độ võng của một mặt trong dải với cạnh - Y

= 0 và

Y

=

H

có điều kiện kẹp.

29 Chúng ta sẽ giải bài toán này bằng phương pháp biến đổi Fourier và rút gọn về
một hệ phương trình kép giải bằng biến đổi Fourier ngược. Cho trực tiếp 1 hàm phù
hợp F ( X ) , X e R( ví dụ , F ( X ) e L 1 (R)) và biến đối Fourier ngược được xác định bởi
các công thức
30

№ =
—

31

00

1

f°°

= í f(x)eix*dx,
(1.22)

ỉ(0 = F-Hmo = f- / We-^dx.
(1.23)

32
33

F[f№

2?r J

-oo

Lấy biến đổi Fourier theo biến X cho phương trình song điều hòa (1.19), ta thu


1
7

34

được

35

D^I(Ị,Y)

_

+

=

0i

(124)

36

trong đó

(£,y) = F X [ < & I ( X , y)](£) là biến đổi Fourier theo X của hàm

$1

$1

( X , Y ) . Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.24) đưa về dạng

37

39

ĩi(f,ỉ/) = ^i(0 cosh(|£|ỉ/) + B Ị ( £ ) Y cosh(|£|y)
38
+ơi(0 sinh(l^ly) + D Í I O Y sinh(|£|ĩ/),
(1.25)

trong đó Ai(£), 5i(£)> Ci(^), -Di(£) là hàm tùy ý biến £. Giá trị $ 1( 0, Y ) là hàm

được hiểu theo nghĩa
$ 1( 0, 2/ ) = l im ĩ i (£ , 3/ ).

40
42

41

í->0

Cho thỏa mãn các điều kiện biên (1.20) và (1.21), ta được hệ phương trình đại

số tuyến tính để xác định các hàm số Ai(£), B i(£), ơi(£), Đi(€) sau đây
43 r A í ( Ệ ) cosh(|£|/i) + Bi(£)/icosh(|£|/i) + ơi(£) sinh(|£|/i) + z>i(£)/isinh(|£|/i) = ?
i(£), A i ( í ) | í | s i n h ( | £ | / i ) + £ i ( £ ) [ c o s h ( | £ | / i ) + \ z \ h s i n h ( | £ | / i ) ] + C i ( É ) | É | c o s h ( |
£|/i)

44

45 A i ( 0 = ĩ i ( Z ) ,

(

+ £ , i( 0 [ s i n h ( l£ l / ỉ ) + | ^ | / ỉ c o s h( | ^ | / i) ] = 5 I ( £) ,

46

^B1(0 + c1(№\ = MO47
(1.26)
48

49
50

MO = MO,
B , - = - Ị£Ị [sinh (1^1

H)

+ |g| focosh(|g| /Q]fi(£) + |£Ị sinh(|£Ị
sinh 2 (|£|

51
g| fo)]fli(Q + Ị£| [Ị£|
(|£|

HF

C

,-

=

H

[sinh (|£Ị

+ cosh (Ị£Ị
H)

+ Ị£Ị

Giải hệ (1-26) ta được

H

H)

H)

- (|£|

HF |

[sinh 2 (|

sinh (|g|)ft]/i(Q sinh 2 (|£|

cosh (|£Ị

H ) ] R 1(0

-

H

H)

-

sinh(Ị£Ị

ft)Âi(g)
52
£Ị
£|
53

H
H)

+ cosh (Ị£|
- |£|

H

H)

sinh (Ị£Ị

sinh 2 (|£|

H)

H ) ] F 1(0 sinh

cosh (|£| fo)]gi(£) + \ T \

2

H

2

- (|£|

(|£|

HF

H)

sinh(Ị£Ị

(l£Ị fe 2 )^i(Q + [|

- (|f|

D =

[sinh (|

H)FI(Z)

sinh 2 (|£| h ) - (|£| h ý | [|£Ị h - cosh (Ị£| h ) sinh (Ị£Ị h ) ] ù 1(0 - [|£Ị
sinh 2 (|g| h ) ] f i(£) sinh 2 (|£| h ) - (lÉl h f

1.4.2

HÝ

Bài toán biên thứ hai
54 Xét phương trình song điều hịa

H)G

i(g)


1
8
Ô 4 $9
Ớ 4 Ỉ >9

55
56

Ớ 4 $9

a2

^'») = ^

+ 2

£w+ lề -°
(1 27)

'

57

trong miền
58

n = {( X , Y ) :

—00

< X < 00, 0 < y <

H}.


1
9

59
I

Xét bài tốn giá trị biên sau. Tìm nghiệm $ 2( X , Y ) của phương trình (1.27)

trong miền n thỏa mãn điều kiện biên
ớ$2
60
= r 2 (z), ^
=92(X),
X£
61
ydy y=h
62
* 2| j , = 0 = / 2( 3) , M [ ^ 2 ] ị y = 0 = u 2 ( x ) ,

520*01

X

€ K,

(1-28)

h

63

(1.29)

xe

trong đó M[$ 2] được xác định theo công thức
64

65

M[$2](x,y) = ^ + v^, 0(1.30)

Bài tốn này có thể được mơ tả như độ võng của một mặt trong dải với cạnh

biên kẹp

Y

=

H,

còn biên

Y

= 0 có gối tựa bản lề. M[$ 2] là momen uốn theo trục O Y .

66 Lấy biến đổi Fourier theo biến X cho phương trình (1.27), ta được
67
+

68

d*$2(f,v) _ ^2d2Ỉ2({,y)
= 0j

(131)

trong đó $ 2(^5 Y ) = F X [ $ 2( X , y)](£) là biến đổi Fourier theo biến X của hàm

$ 2(^3 Y )■ Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.31) đưa về dạng
69

$ 2(£, Y ) = A 2 ( 0 cosh(|£|y) + B 2 ( O Y cosh(|£|y)
70

71

trong đó ^2(0) -^ 2(0 3 C 2( 0: £ > 2(0

+ơ 2 (í) sinh(|£|ỉ/) + D 2 ( O Y Binh(|£|ĩ/),
(1.32)
là hàm tùy ý biến £. Giá trị $ 2( 0, 2/) được hiểu

là
72

$ 2( 0, 2/ ) = l i m Ĩ 2 ( £ , ỉ / ) -

73

74

í->0

Ta có

75
2|£|£> 2 (£),

« 2(0 = M[* 2 ](£,0) =
76

_z/|£| 2 8 2 (£,0) =

(1

- ^)|^| 2 A 2 (0 +

dyz
77

(1.33)

78

trong đó ^ 2(0 là hàm ẩn.

79

Cho thỏa mãn các điều kiện biên (1.28) và (1.29) ta được hệ phương trình đại

số tuyến tính để xác định các hàm số ^ 2( 0; B 2 Ì O ’ C Ĩ I Q , -^ 2(0 sau đây
80 r A 2 ( 0 cosh(|£|/ỉ + B 2 { T , ) H ) cosh | £ | H + c2(0 sinh(|£|/ỉ) + D 2 { I ) H sinh(|£|/ỉ) = ?
2 (£)> A 2 (OI£|sinh(|£|/i) + B 2 (0[cosh(|^|/i) + \ Ệ \ H sinh(|£|/i)] + C 2 (OI£l cosh(|£|/i) +
£>2(0[ (L£L/ ) + LÉ|J»COSH(|£|JI)] = g 2 ( 0 ,
81 ^ 2(0 = /2(0:

82
l. (1 - I/)|Í| 2 A 2 ( 0 + 2|Í|D 2 (Í). $,({).
83
(1.34)
SINH

Ỉ


2
0

84

Giải hệ (1.34), ta được

85 M O
86

h ) g 2 ( 0 Ie|[2|í|ft-sinh2(|í|ft)]
[sinh (|g| H ) Ủ 2 ( 0 - [2|£| + Ị Ị - V ) |£l sinh (|£l fe)]/ 2 (0 |É| [2 lÉl H - sinh
2

1.5.1

2

2

2(|í| H ) ]

_ _ 2 |£| H cosh(|£Ị /i)g 2 (0 - 2 Ị£l [cosh (l£ Ị ft) + |£Ị H sinh(|£Ị /Q]r 2 (0
í|ft-Binh2(|í|ft)]
2
2
(|£| H ) Ủ 2 ( Q - |g| [(1 - V ) ( \ Z \ H Ý - 2cosh |g| H ] F 2 ( 0 líl [2 |£| H - sinh 2
£| /ỉ,)]
2
ủ 2 ( 0 - ( l - v m Ỉ 2 ( 0 2 I€l

87 ( 0
Ií|[2|
88
(|
89

Dĩ(0

2ỊC|2[co8h(|^|/t)]f2(0 + |£| /i3Ình(|g|

=

B2

1.5

= / 2 ( 0,

Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt
trong thanh dài vơ hạn
Cơng thức Poisson

90 Bài tốn về truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn đồng chất, bề mặt cách nhiệt
với mơi trường bên ngồi về mặt tốn học được phát biểu như sau T ì m h à m b ị c h ặ n
u ( x , t ) , ( t > 0 , -00 < X < 00) t h ỏ a m ã n p h ư ơ n g t r ì n h

91
92
93

du 0d2u ,
s
( T > 0, -00 < X < oo)

^ =

(1.35)

và điều kiện ban đầu
94

•u| t _ 0 = < P ( X ) , (—00 < X < oo),
(1.36)

95

trong đó,

96

Vận dụng nguyên lý cực trị có thể chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài

Ự>(X)

là hàm liên tục và bị chặn.

toán (1.35)-(1.36).
97

Định lý 1.6. B à i t o á n C a u c h y ( 1 . 3 5 ) - ( 1 . 3 6 ) k h ô n g t h ể c ó n h i ề u h ơ n

một nghiêm bị chặn.
98

CHỨNG

MINH.

Tác động biến đổi Fourier theo biến số X hai vế của phương

trình
(1.35)

, ta được phương trình vi phân thường theo biến
99

T

U t { \ , t ) = — a 2 X 2 U (A, t ) , u (A, t ) = F x [ u ( x , t ) ] ( A).

2
1

100

Từ đây, ta tìm được
101

U(X,t)

=

A(X)e~a2x2t,
(1.37)

102
trong đó, Ẩ(A) là một hàm bất kỳ.
103 Lấy biến đổi Fourier ngược hai vế của (1.37), ta được
104

00

u(x,t) = — J A{\)e~a2xĩịéxx d\.

105

(1.38)

— 00
106

Trong (1.38) cho

T

= 0, sử dụng (1.36), ta có
00

107

(p ( x )

=

=

^ĩ

0) = — I A ( £ ) e i x ^ d X .

2tt J
108

Từ đây, suy ra

— 00

00

)e" = J

Ẩ(A)íểA ưe T P ( Z ) T

109
—
110

00

Thay

(1.39)

— 00

(1.39)

vào

(1.38), ta được
111

112

00 00

= /

(

/

v(0e-iHd^e-

a2x ixX

\ dX.
— 00 —00

113

Để thuận tiện, chúng ta biến đổi biểu thức trên đây về dạng:
114
00 00
115
J u ( x , t ) = d X Ị (p(£)e~ a A * cos A(£ — x ) d £
K
—00 —00 00 —— ' 2tt
00
116
=
( p ( £ ) e ~ a x t cos A(£ — x )
118

0

Ị

=

—00

Đổi thứ tự lấy tích phân trong vế phải của biểu thức trên, ta có
119

00 00

120
— Ị
D£

Ị

121
122

dX

U(X,T)

117

—J

E~A

X

* cos A(£ — X )

DX.

(1-40)

—00 0

Tích phân bên trong vế phải của (1-40) có thể tính được. Thật vậy, đổi biến


2
2

123 aXVt = z, A(£ — x) = ụ,z, dX = —-T=, ỊX = -—
124
avt

avt


2
3
Vì thế,

125 00 00
126
i=J{ịì). J
127 0 0
128

/ e~a

A

avtJ

129 130
Lấy đạo hàm J(/i) theo

FI,

* cos A(£ — x ) d £ = — Ị e ~ z cos

avt

fẤZ

d z = —-

ta được
131

00

132 = — J e ~ z
z

sin ị i z d z . 0

133

Việc lấy đạo hàm là hoàn toàn được phép vì tích phân trên đây hội tụ đều.

Tích phân từng phần, ta được
134
№ I —z
— I e cos ụ,z az =
135

1

J w =

'

-2

/

Suy ra,

138

2

_

Ịị_

Tf

\

0

Ta có

136
£
137 J(aO = C E 4
139
140

141

Do đó,

c=

J { 0) =

00

j E-*

2

142
r
-ỈỈL- , „ V
Tĩ ~ 1

143
J(n)= 2
144
1

(g - *) 2
145
d(.
146

= —. 0

6

Thay giá trị này vào (1.40), ta được
“ ( I ’ Ì ) = 2 «J Ĩ
V

v

(

(1.41)
Cơng thức (1.41) được gọi là cơng thức Poisson, còn hàm
148

149

DZ

2

147 (j - *) 2
E ( X , T ) = 7=e 4a 2 í
av 7rí

được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt (1.35).

í

)


2
4

150 Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng với mọi hàm liên tục và bị chặn ( P ( X ) ,


2
5

151

hàm

U(X,T)

được xác định theo công thức (1.41) thỏa mãn phương trình truyền

nhiệt (1.35) với điều kiện đầu (1.36). Để chứng minh, ta chỉ cần chứng tỏ rằng tích
phân (1.41) và các tích phân nhận được bằng cách đạo hàm hình thức dưới d ấ u t í c h
phân hội tụ đều trong mọi hình chữ nhật [— ỉ < X < ỉ, to < t < T], trong

0. Thật vậy, đạo hàm (1.41) theo

T

đó ío >

và theo X một số lần, ta nhận được tổng của các

tích phân dạng
152
153

(g - ĩl
^ y ¥>(£)(£-z)me

—

ịaH d

S(!-42)

—
—

Dễ thấy rằng, tích phân hội tụ đều khi
—

—

T

>

TO

> 0, bởi vì

Ii p ( x + 2a a V t ) e ~ a a m \ < M \ a ị m e ~ a

là hàm khả tích trên (— 00, 00). Vì hàm dưới dấu tích phân (1.41) là nghiệm cơ

bản E ( X , T ) của phương trình truyền nhiệt nên hàm

U(X,T)

được xác định bởi tích

phân(1.41) thỏa mãn phương trình (1.35). Chúng ta sẽ chứng tỏ hàm (1.41) cũng thỏa
mãn (1.36) theo nghĩa
— lim U ( X , T ) = < P ( X ) ,
00. T —^0-|—

—00

Bằng phép đổi biến (1.43), ta biến đổi (1.41) về dạng
—

—
—
—
—

V7T

00
u(x,t) = —J= I ip(x + 2aaVt)e~ a da.
J

(1-44)