Phương trình parabolic trong miền không trơn luận văn thạc sĩ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
HÀ THIÊN ĐÒNG
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG MIEN KHÔNG
TRƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46
01 02
Người hướng dẫn khoa học TS. Phạm
Triều Dương
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Triều Dương, thầy đã tận tình
chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau
đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị, bạn bè đã
luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả
Hà Thiên Đồng
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài
“Phương trình parabolic trong miền không trơn” được hoàn thành dưới sự
hướng dẫn của TS. Phạm Triều Dương và bản thân tác giả.
Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả
Hà Thiên Đồng
Mục lục
Kiến thức bổ trỢ
Công thức Green trên đa tạp Riemann
Hàm điều hòa và hàm Green

Toán tử Laplace trên đa tạp mẫu M
ơ
Phân loại các miền theo ý nghĩã xác suất
Nửa nhóm nhiệt trên đa tạp Riemann
Toán tử Laplace trong metric Riemann
Nhân nhiệt và chuyển động Brown trên đa tạp
Dung lượng, tập dày, xác suất va chạm và miền ngoài của một
tập compact
Dung lượng
Dung lượng trong miền không trơn
Dung lượng của hình cầu trên mô hình đa tạp
Tập dày
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Mở đầu
Chương 1. 1.1.
7
7
7
1
2
1
3
1
3
14
15
1.2.
1.3.
Chương 2

2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.2.
1
7
17
19
2
2
23
25
27
3
5
3
6
2.2.1.
2.2.2.
2.2 .3.
2.2 .4.
2.2 .5.
2.2.6.
Xác suất va chạm
Miền ngoài của một tập compact
Danh sách các kí hiệu
*
M đa tạp Riemann liên thông trơn;
d i s t ( x , y ) khoảng cách trác địa trên M giữa điểm x , y E M ;

/z thể tích Riemann trên M ]
ụ ! độ đo Riemann có số đối chiều bằng 1 trên siêu diện
trong M ;
v { x , r ) hàm tăng thể tích;
A toán tử Laplace trên M ;
p ( x , y , t ) nhân nhiệt tương ứng với toán tử —A;
P n ( x , y , t ) nhân nhiệt trong miền Q với điều kiệnbiên Dirichlet trên ỡfỉ;
G ( x , y ) nhân Green của A trên M ;
G n (
x
, y ) nhân Green của A trong miền Í2;
X ị chuyển động Brown trên M ;
P
x
, E
x
độ đo và kì vọng tương ứng trên không gian quỹ đạo
của
chuyển
động Brown bắt đầu từ điểm X £ M ]
f l u x f thông lượng của hàm / xuyên qua siêu mặt trơn định
hướng T;
r
0 J
d
diện tích của mặt cầu đơn vị trong M
d
.
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài

Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace
{Au ( x) = 0, X €E ũ
(0.0.1)
u ( x) = < f( x) X e d í l
được nghiên cứu từ khá lâu trong các miền tùy ý. Như ta đã
biết, trong trường hợp ri là miền có biên trơn, bài toán có
nghiệm với mọi dữ kiện liên tục trên biên theo phương pháp
biến phân qua khái niệm nghiệm yếu. Tuy nhiên, phương pháp
Perron khẳng định sự tồn tại nghiệm (hàm điều hòa) của bài
toán này đối với một lớp các miền rộng hơn rất nhiều. Với việc
khảo sát sự tồn tại các hàm điều hòa trên và điều hòa dưới
trong miền íì, điều kiện đủ đối với tính giải được là "Mọi điểm
trên biên là điểm đều". Điều kiện này có thể được thay bởi
"điều kiện mặt cầu ngoài" - hay là tại mọi điểm x
0
trên biên
díì tồn tại hình cầu đóng B
r
sao cho B
r
n ỡíỉ = {^o}-
Việc thay cách tiếp cận qua biến phân bởi phương pháp
hàm chắn tại biên đã cho ta tính giải được với các miền tổng
quát dạng Hõlder hay biên Lyapunov. Các miền này không có
biên khả vi (trơn) thông thường. Đồng thời ta cũng thấy các
miền nón lồi cũng thỏa mãn điều kiện về mặt cầu ngoài. Khó
khăn duy nhất gặp phải là các miền gấp khúc, hoặc chứa các
điểm xoay lùi vào bên trong, vì tại các điểm đó, ta không kiểm
tra được sự tồn tại của hàm chắn.
Câu hỏi đặt ra là, ta có thể nêu một đặc trưng khá tổng quát về

miền tùy ý sao cho trên đó các bài toán biên Dirichlet đều giải
được duy nhất? Hay nói cách khác, theo phương pháp Perron,
những miền nào trong M
n
cho phép ta tìm được các hàm điều
hòa trên chấp nhận được?
Các nghiên cứu gần đây cho ta thấy tính giải được của bài
toán Dirichlet trong một miền chỉ phụ thuộc hoàn toàn vào
Đánh giá đẳng chu (cùng chu vi) của các miền con G cc íỉ. Ta
đều biết, bất đẳng thức Poincare là một công cụ quan trọng để
chứng minh bất đẳng thức liên hệ về thể tích của các miền con
G trong qua chu vi cho trước của G. Do đó, đây cũng là một
hướng nghiên cứu không cần các điều kiện về
biên trơn đối với dfì cho sự tồn tại nghiệm đối với (0.0.1).
Bản luận văn này sẽ cố gắng trả lời câu hỏi thú vị này thông
qua mối liên hệ chặt chẽ về giải tích của khái niệm hàm điều
hòa trên và dưới trong một miền và khái niệm tồn tại một quá
trình ngẫu nhiên đủ tốt trên miền đó. Trong chương chính của
luận văn, chúng tôi sẽ trình bày một trường hợp tổng quát khi
fì là một miền con của một đa tạp Riemann M tùy ý (ví dụ
M
71
). Chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ sở về nhân nhiệt,
hàm Green, dung lượng và một số tính toán cho các ví dụ. Kết
quả chính trong chương này là trình bày lại điều kiện về tính
luân chuyển của các chuyển động ngẫu nhiên Brown thông qua
tính khác
0 của các dung lượng trong mọi miền con compact của M.
Chúng ta sẽ thấy rõ hàm điều hòa trên tốt nhất theo
nghĩa nghiệm Perron đối với

(0.0.1) chính là xác xuất va chạm của chuyển động Brown xuất
phát từ
điểm đang xét đạt tới biên của miền íĩ.
Chúng tôi cũng chỉ ra đánh giá Đẳng chu liên hệ chặt chẽ
với tính đầy đủ ngẫu nhiên của đa tạp M. Trong các kết quả
trình bày ở chương này, công cụ của Nguyên lí cực trị đối với
các hàm điều hòa trên (hoặc dưới) cho phép ta sử dụng được
phương pháp xấp xỉ miền bằng một dãy vét cạn các miền có
biên trơn, thông qua việc chuyển qua giới hạn trong các tích
phân. Đồng thời cách tiếp cận của giải tích ngẫu nhiên cũng
cho thấy sự quan trọng của các tập mức của hàm điều hòa.
Chúng tôi cũng chỉ ra công thức tính các hàm Green trong các
trường hợp này và nêu lên được bản chất về lan truyền trong
công thức tìm ra. Qua các liên hệ trực tiếp này, chúng ta sẽ
thấy về mặt giải tích ngẫu nhiên, các mặt cong hay các đa tạp
nói chung được chia thành 2 loại chính: loại mặt parabolic (đa
tạp parabolic) không cho phép các chuyển động Brown di
chuyển tự do linh động trong toàn miền (độ cong của đa tạp đủ
lớn), và loại thứ hai là không parabolic - về mặt luân chuyển là
tốt hơn (độ cong nhỏ) và cho phép tồn tại các hàm điều hòa
trên chấp nhận được khác hằng số.
Cần ghi nhớ là các kết quả trong chương này mới chỉ phát
biểu cho đa tạp (hay mặt) có tính khả vi. Tuy nhiên để ý thấy
các đánh giá về dung lượng trong các miền có điểm cực (một
điểm kì dị tách biệt) chỉ phụ thuộc vào các tích phân của các
hàm xác định biên và độ đo về thể tích và chu vi của các miền
con, trong những năm gần đây Maz’ya đã phát triển phương
pháp trên đây với trường hợp biên chứa các điểm dạng cusps
(đỉnh nhọn) hoặc những miền chứa gấp vô hạn (miền
Nikodym). Khi nghiên cứu bài toán biên, phương trình được

nghiên cứu có thể chứa các hệ số không hằng (hệ số biến thiên).
Bằng phương pháp symmetrization (thay các miền bởi miền
đối xứng xuyên tâm) và các sắp xếp lại (rearrangement),
Maz’ya đã chứng minh được các kết quả tương tự về tính giải
được của bài toán phi tuyến elliptic điều kiện biên Dirichlet
dạng
—div(a(x, V u ) ) = f ( x ) , X e
(0.0.2)
u ( x) = < f (x ) X G ổfĩ Kết quả nhận được
cho một số lớp hệ số a ( x ) chỉ ra biên của không
có vai trò thực sự trong tính giải được của (0.0.2).
Trong một số ví dụ, chúng tôi sẽ chỉ ra một số miền cho
phép giải được bài toán biên Neumann.
— d ỉ v { a ( x , V u ) ) = f ( x ) , X e íỉ
(0.0.3)
a ( x , V u ) . n = 0 X £ d Q
Qua đó, chúng ta thấy phương pháp nghiên cứu dung lượng và
hằng số đẳng dung đưa ra các kết quả về giải được với phần
lớn các miền khối dạng tròn xoay mà không cần bất kì tính
chất khác của đạo hàm đối với hàm số xác định biên.
Với mong muốn có thể nghiên cứu được toán tử elliptic bất
kỳ với phương pháp đã đặt ra của các tác giả trên. Chúng tôi
chọn đề tài “Phương trình parabolic trong miền không trơn”
để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ
chuyên ngành Toán giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trong miền không
trơn trên góc độ của lý thuyết xác suất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Vai trò của một phương trình parabolic quyết định đến sự tồn

tại của hàm Green trong miền không trơn.
4. Đối tượng và phạm vi nghiền cứu
Phương trình đạo hàm riêng liên hệ với giải tích ngẫu nhiên.
Bài toán được áp dụng với một lớp rộng các miền chứa điểm kì
dị.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi muốn áp dụng phương pháp Hàm điều
hòa trên (còn được gọi là phương pháp Perron)
trong trường hợp miền không Euclide: tìm ra
các đánh giá tương tự bất đẳng thức Poincare
liên hệ tới giá trị riêng dương bé nhất của
toán tử, áp dụng Phương pháp thế vị để nghiên
cứu sự tồn tại hàm Green trong M.
6. Đóng góp mới của luận văn
Tìm hiểu sâu sắc đặc trưng diện tích-chu vi của miền cho
tính giải được của bài toán biên Dirichlet.
Chương 1 Kiến thức bổ trơ
1.1. Công thức Green trên đa tạp
Riemann
Giả sử u miền tiền compact bất kì trong M
n
và với các hàm
bất kì u , V e C q ( U ) thì
và dịi là phần tử thể tích Riemann được xác định bởi công
thức:
dụ, = Vỡdx
1
dx
2
. . . d x

d
.
1.2. Hàm điều hòa và hàm Green
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử ri là một miền trong M
n
và u là
hàm thuộc lớp ơ
2
(íỉ). Hàm u(x) thỏa mẫn phương trình
Laplace
Au = 0,
với mọi X thuộc ri được gọi là hàm điều hòa trong fỉ.
trong đó, là tích vô hướng của 2 véc tơ:
Dạng không thuần nhất của phương trình Laplace
được gọi là phương trình Poisson, tức là phương trình
dạng
Au = f ( x ) .
Nghiệm của phương trình poisson trong miền íỉ là hàm u
thuộc lớp ơ
2
(fỉ) sao cho.
Au = f ( x )
với bất kì X thuộc
Nghiệm như thế còn được gọi là nghiệm cổ điển của
phương trình Poisson trong miền íỉ.
Với một hàm điều hòa u và tập mở tiền compact íỉ bất kì
trong miền xác định của hàm u thì thông lượng của hàm u
xuyên qua biên ỡíỉ là bằng 0, tức là
f l u x u : = [ T^-dịi' — o,
dũ Jdĩì

trong đó, V là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên d í ì (giả sử
biên d í ì
đủ trơn). Hơn nữa, phương trình (|1.2.1|) tương đương với tính
điều hòa của u. Thật vậy, ta có
A ud
/1
= 0,
với bất kì íĩ là miền xác định của u, do đó Au = 0.
Một hàm V xác định trong miền íì c M được gọi là hàm
L
điều hòa trên nếu V liên tục và trên miền tiền compact bất kì u
cc íỉ, hàm điều hòa bất kì u e C
2
(U) n C(ữ), V > u trên
díì thì ta có V > u trên u. Hàm u được gọi là hàm điều hòa
dưới nếu —u là hàm điều hòa trên.
Định nghĩa 1.2.2. Cho tập mở ri c M, ta nói rằng hàm u > 0
là một hàm điều hòa dưới chấp nhận được đối với íĩ nếu u
là hàm điều hòa dưới bị chặn trên M, và sao cho u = 0
trong M\Q và sup u > 0.
Định nghĩa 1.2.3. Thế vị điều hòa dưới òn của một tập mở là
cận trên đúng của tất cả các hàm điều hòa dưới chấp nhận
được u đối với íỉ sao cho u < 1. Thế vị điều hòa trên Sn của
íĩ là cận dưới đúng của tất cả các hàm điều hòa trên chấp
nhận được đối với íỉ.
Nếu không có hàm điều hòa trên (điều hòa dưới) chấp nhận
được thì ta coi = 0 (tương ứng Sf
2
— 0). Từ đó, ta luôn có đẳng
thức sau

b n + S Ị I — 1,
và hàm bn tăng trên mở rộng của ri ngược lại, hàm SQ giảm
trên mở rộng của íỉ.
Định nghĩa 1.2.4. Hàm được gọi là độ đo điều hòa của tập
F := M\n.
Hàm được gọi là hàm thoái vị (hoặc tối giản) của F.
Khi xây dựng hạt nhân nhiệt, ta đưa vào hàm Green G(x, y)
với
Một định nghĩa khác của G(x, y) là, G(x, y) là nghiệm cơ bản
dương nhỏ nhất của phương trình Laplace trên M. Ta quy ước
G = +oo nếu không có nghiệm cơ bản dương, điều này có được
khi tích phân trên phân kỳ. Nếu G Ф oo thì với mỗi y cố định
ta có,
A G ( - , y ) = - d y .
Ví dụ 1.2.1. Trong R
đ
, d > 2 , hàm Green được cho bởi
„Л _ Cd
G
(
X
’ V ) = I _ id— 2 ’
\x - У I
trong đó Cd — (üJ
d
{d — 2)
_1
). Trong M
2
, ta có G = oo.

Một cách khác xây dựng hàm Green G là bằng cách sử
dụng dãy vét cạn. Một dãy {£*;} của tập M được gọi là dãy vét
cạn nếu:
i) Mỗi £ỵ là một miền tiền compact với biên trơn nhẵn;
ii) £ k С С E k + Û
iii) и £
к
= М.
к
Trước tiên xây dựng trong mỗi Eỵ một hàm Green
00
0
G
S k
( x , y ) của bài toán Dirichlet trong hàm này liên tục đến
biên (như là hàm của X , với mỗi у ẽ £ ỵ ) và triệt tiêu trên
Õ £ ỵ . Bằng nguyên lí cực đại, dãy { G
E k
} tăng theo k , và giới
hạn khi к — > oo (hữu hạn hay vô hạn) là hàm Green toàn
cục G ( x , у ). Giới hạn này không phụ thuộc vào sự lựa chọn
của dãy vét cạn.
Nếu M là đa tạp với biên trơn thì hàm Green G và G ị i
được giả thiết tương ứng là thỏa mãn điều kiện biên Neumann
trên дм và дм П íỉ. Ta có các tính chất sau hàm Green
thường sử dụng tới:
1. Hàm Green G ( x , y ) hoặc hữu hạn với X Ỷ y hoặc vô
hạn V x , y . Trong trường hợp đầu, ta sẽ nói rằng G là
hữu hạn. Giá trị của G ( x , y ) trên đường chéo X = y
luôn là vô hạn. Hơn nữa, do tính kì dị của G( x , y ) khi

X — > y có cùng bản chất hàm Green tương ứng trong
đó là:
1 d * 2 i
G ( x , y ) = < ’ ’ với r = dist(a;, y ) —
> 0. (1.2.2)
{ log ị , d = 2,
2. Tính dương nghĩa là G ( x , y ) > 0;
3. Tính đối xứng, G ( x , y ) = G ( y , x );
4. G ( - , y ) là hàm điều hòa theo y . Thật vậy, G ( - , y ) là
điều hòa trên M nếu như coi +oo là một giá trị của hàm;
5. Nếu íĩ là một miền tiền compact với biên trơn thì thông
lượng của G ( - , y ) qua d f ì bằng —1 nếu y G và bằng 0
nếu y ị ri, nghĩa là
f l u x G = [
dG

^

V

^

dịi\x) = Ị ~
1 , y & n
dn Jdíi n II d .o
ở đây V là véc tơ pháp tuyến đơn vị ngoài trên ỡíỉ. Hơn nữa
(1.2.3)
tương đương với G là nghiệm cơ bản. Dòng thứ hai trong
(1.2.3) suy
từ tính điều hòa (harmonicity) của G xác định y trong khi từ

dòng thứ
nhất của (1.2.3) ta có AG = — ôy',
6. G(x, y) là nghiệm cơ bản dương bé nhất của bài toán
Dirichlet trên M và
inf G ( x , y ) = 0.
x e M
1.3. Toán tử Laplace trên đa tạp mẫu M
ơ
Đa tạp M với điểm cực o được goi là đa tạp đối xứng cầu
hay đa tạp mẫu nếu metric Riemann trên S p cho bởi:
A
i ị
{ p
:
ỡ ) d 9
i
d ỡ
j
= Ơ
2
{ p ) d 9
2
.
Trong đó, dd
2
là metric Eucluid chuẩn s
d_1
và ơ ( p ) là hàm
dương trơn của p. Toán tử Laplace trên M
ơ

có thể được viết
dưới dạng như sau:
ở đó, Ag là toán tử laplace trên hình cầu
5'
d_1
, toán tử laplace này không phụ thuộc vào
biến p.
Chương 2 Phân loại các miền theo
ý nghĩa xác suất
2.1. Nửa nhóm nhiệt trên đa tạp Riemann
Cách đơn giản để xây dựng chuyển động Brown trên đa tạp
Riemann M là đầu tiên xây dựng nhân nhiệt nó sẽ có vai trò
như mật độ của xác suất. Nhân nhiệt được định nghĩa là một
hàm p ( t , x , y ) trong đó x , y là các điểm trên M, theo đó, xác
suất chuyển động xuất phát từ điểm X đi vào một tập đo được
c M tới thời gian t là
Trong nhân nhiệt được tính bằng công thức
và nó thỏa mãn phương trình nhiệt
d p 1 d t ~ ầ
A p = 0
’
ở đây cặp biến (t , X ) ( y được coi là cố định) và điều kiện ban
(2.1.1)
đầu
(2.1.2)
trong đó ô y là hàm delta Dirac.
2.1.1. Toán tử Laplace trong metric Riemann
Cho g i j là metric Riemann trên M . Cụ thể trong bất kì hệ tọa
độ (íc
1

, X
2
, x
d
) trên M, ta có ds
2
= g^dx
l
dxi là phần từ độ
dài, trong đó ta đã giả thiết tổng lấy trên các chỉ số lặp. Kí hiệu
g
ij
là các phần tử của ma trận nghịch đảo ||<7ij||
-1
và đặt g :=
det ||<7ij|| . Khi đó, toán tử Laplace A liên kết với metric giị
được xác định bởi
A
= •
( 2
-
L 3 )
Đây là toán tử eliptic cấp 2 trên M, có thể chứng tỏ (2.1.3) xác
định cùng một toán tử trong các tọa độ khác nhau.
Đôi khi ta biểu diễn toán tử laplace dưới dạng
A = divV,
trong đó gradient V tác động trên hàm /
(Vfỹ = g
l ]
— 7,

K JJ y
dxl ’
và dạng divergence, div tác động trên trường véc tơ F = F
1
-^
với
divF
= ệịủ ■
Áp dụng công thức Green ta có với bất kì miền tiền compact u
và với bất kì các hàm u, V G C q ( U ) ,
/ vAudịẤ = — VvVudịẲ,
Ju J u
trong đó V v V u là tích vô hướng của các véc tơ
v„v« = g^unvvý =
và dịi là phần tử thể tích Riemann xác định bởi
dịi = y/gdx
1
dx
2
dx
d
.
Nếu biên dư là đủ trơn (thuộc ơ
1
) v ầ u , v e c
2
(u) n c
l
( ữ ) ,
khi đó ta có

[ vAudfi = [ — Ị AvAudịẤ,
Ju J du Ju
trong đó dịi' theo tích phân trung bình là phần tử thể tích
Riemann trên đa tạp con du và V là véc tơ đơn vị ngoài du.
2.1.2. Nhân nhiệt và chuyển động Brown trên đa tạp
Với bất kì hàm xác định trên thỏa mãn (2.1.1) và (2.1.2) được
gọi là nghiệm cơ bản của phương trình nhiệt trên M. Dodziuk
đã chứng minh rằng nhân nhiệt luôn luôn tồn tại và là trơn
theo (t, X, y). Hơn nữa, nhân nhiệt có các tính chất sau:
1.Nhân nhiệt có tính chất đối xứng theo X và y, tức là
p { t , x , y ) = p ( t , y , x ) .
2.Nhân nhiệt thỏa mãn đẳng thức nửa nhóm, tức là với bất
kì s G (0, t )
p ( t , x , y ) = / p ( s , x , z ) p ( t - s . z . y ) d ị i { z ) .
J M
3.Với mọi t > 0 và X E M ,
[ p ( t , x , y ) d ị i { y ) < 1.
J M
Từ (2.1.4) và (2.1.5), một quá trình Markov Xị trên M có
thể được xây dựng với mật độ xác suất p , bằng cách sử dụng
các công cụ xác suất quá trình X ị thực ra là tán xạ và được gọi
là chuyển động Brown hoặc quá trình Wiener trên M . Độ đo
tương ứng trong không gian các hàm của các đường xuất phát
từ X được kí hiệu là P
x
.
Cho trước một tập mở Q c M , c ó thể coi là một đa tạp.
Ta kí hiệu P í i là nhân nhiệt của íỉ.
Tính cực tiểu của nhân nhiệt dẫn đến Pn triệt tiêu trên biên
ôíỉ (nếu ỡíỉ đủ trơn). Hay P n tăng theo các mở rộng của miền.

Nhân nhiệt toàn cục có các tính chất sau: trước tiên xác
định P s i với các tập tiền compact ri và sau đó đặt
p := lim P n
k
, k—¥
00
trong đó {rife} là một dãy tăng của các tập mở tiền compact
với biên trơn.
Từ (2.1.4) và (2.1.5), nhân nhiệt p ( t , x , y ) có thể được xét
như nhân của một nửa nhóm toán tử Markov con Pị mà tác
động trên các hàm xác định trên M