Ứng dụng của phương trình vi phân trong một số bài toán mạch điện (LV01209)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2






NGHIÊM THỊ BÌNH




ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: T.S Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất tới phòng sau Đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, đã tận tình
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và tốt nghiệp.
Tôi đặc biệt muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Hùng,
ngƣời đã định hƣớng cho tôi chọn về tài này, và tận tình giúp đỡ, hƣớng dẫn
tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới sự giúp đỡ của gia đình, bạn
bè và các đồng nghiệp trong thời gian qua.
Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm thực
tế còn nhiều hạn chế nên trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy,
tôi rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cũng nhƣ của các
bạn bè, đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả luận văn


Nghiêm Thị Bình


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngàng Toán giải tích với đề tài: “Ứng dụng của phƣơng
trình vi phân trong một số bài toán mạch điện” đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, luận văn này không giống hoàn toàn bất cứ luận văn hoặc

các công trình đã có trƣớc đó.
Tôi cũng xin cam đoan rằng các nội dung tham khảo, thông tin trích dẫn
trong luận văn đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả luận văn



Nghiêm Thị Bình

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Phƣơng trình vi phân 3
1.1.1. Phƣơng trình vi phân cấp một 3
1.1.2. Phƣơng trình vi phân cấp cao 4
1.1.3. Phƣơng trình vi phân hai 6
1.1.4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. 6
1.1.5. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số. 8
1.1.6. Nguyên lý chồng chất nghiệm. 10
1.2. Mạch điện và mô hình mạch điện 11
1.2.1. Định nghĩa mạch điện: 11
1.2.2. Cấu trúc của mạch điện. 11
1.2.3. Các hiện tƣợng điện từ. 12
1.2.4. Mô hình mạch điện 12
1.2.5. Các khái niệm cơ bản trong mạch điện 13

1.3. Các định luật cơ bản trong mạch điện. 15
1.3.1. Định nghĩa dòng điện một chiều 15
1.3.2. Định luật omh 15
1.3.4. Định luật Kirchhoff: 16
Chƣơng 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP
MỘT VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 17
2.1. Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện. 17
2.1.1. Điều kiện đầu của mạch điện. 17
2.1.2. Điều kiện cuối của mạch điện 18

2.2. Phƣơng trình vi phân thuần nhất với mạch điện không chứa
nguồn ngoài. 19
2.2.1. Mạch RC không chứa nguồn ngoài. 20
2.2.2. Mạch RL không chứa nguồn ngoài. 24
2.3. Một số bài toán khác. 29
Chƣơng 3. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP
HAI VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 30
3.1. Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện. 30
3.2. Đáp ứng, tính chất và ý nghĩa vật lý của các đáp ứng của mạch
điện. 32
3.2.1.

Đáp

ứng

tự

nhiên của mạch điện.
32

3.2.2 Đáp ứng ép của mạch điện 33
3.3. Phƣơng trình vi phân cấp hai – mạch điện với hai phần tử tích
trữ năng lƣợng 34
3.3.1. Phƣơng trình vi phân cấp hai đối với các đáp ứng. 34
3.3.2. Đáp ứng tự nhiên của mạch điện. 35
3.3.3. Đáp ứng ép của mạch điện bậc 2. 39
3.3.4. Đáp ứng đầy đủ của mạch điện bậc 2 41
3.3.5. Phƣơng trình vi phân cấp 2 với Mạch RLC khi đóng vào nguồn
điện áp không đổi……………………………………………………… 43
3.4. Ứng dụng Matlab vào bài toán mạch điện. 46
KẾT LUẬN 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong việc nghiên cứu các vấn đề của toán học, lĩnh vực phƣơng trình vi
phân không còn là vấn đề mới mẻ, nhƣng chúng luôn thu hút đƣợc sự quan
tâm mạnh mẽ của các nhà toán học, các nhà ứng dụng học, chúng đƣợc khai
thác rất sâu và rộng.
Ngƣời ta thấy rằng hầu hết các quy luật của khoa học tự nhiên, của kinh
tế, hay của kỹ thuật đều đƣợc phát biểu dƣới dạng các phƣơng trình vi phân.
Từ những năm 60 của thế kỷ 20, nhiều nhà nghiên cứu nƣớc ngoài đã bắt tay
vào nghiên cứu các tính chất định tính các mô hình điều khiển kỹ thuật một
cách mạnh mẽ. Đặc biệt những kiến thức về phƣơng trình vi phân đã đƣợc
ứng dụng vào ngành kỹ thuật điện.
Thật vậy, cuộc sống con ngƣời hiện nay đã gắn liền với ánh sáng của
điện, Câu hỏi đặt ra là những nguồn ánh sáng đó xuất hiện từ đâu? Cơ chế xây
dựng và hoạt động của nó nhƣ thế nào? Một phần đƣợc giải thích nhờ những

kiến thức của phƣơng trình vi phân.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các cơ chế hoạt động của dòng điện
nhờ phƣơng trình vi phân, nhờ sự gợi ý, giúp đỡ và hƣớng dẫn của Thầy giáo,
T.S Nguyễn Văn Hùng tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng
của phƣơng trình vi phân trong một số bài toán mạch điện”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày một số bài toán về mạch điện nhờ
phƣơng trình vi phân
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về một số bài toán về mạch điện một chiều hay xoay chiều,
và cụ thể là quá trình quá độ xảy ra trong mạch điện.
Sử dụng phƣơng trình vi phân để xây dựng và giải một số bài toán về

2
mạch điện.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu: Ứng dụng của phƣơng trình vi phân vào các mạch
điện.
Phạm vi nghiên cứu: Phƣơng trình vi phân, và ứng dụng của phƣơng
trình vi phân vào các bài toán mạch điện.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu của phƣơng trình vi phân.
Phƣơng pháp nghiên cứu của kỹ thuật điện.




3
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Phƣơng trình vi phân

1.1.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1
Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân cấp 1 có dạng tổng quát là
( , , ') 0F x y y 
(1.1)
trong đó hàm F xác định trong miền
3
RD

Nếu trong miền D, từ phƣơng trình (1.1) ta có thể giải đƣợc
y


' ( , )y f x y
(1.2)
thì ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp 1 đã giải ra đạo hàm.
Hàm
()yx


xác định và khả vi trên khoảng
( , )I a b
đƣợc gọi là
nghiệm của phƣơng trình (1.2) nếu:
1.
( , ( ), '( )) Dx x x


với mọi
xD

2.
( , ( ), '( )) 0F x x x


trên I
Bài toán Cauchy: Nghiệm của phƣơng trình vi phân cấp 1 là vô số, cho nên
ngƣời ta thƣờng quan tâm đến nghiệm thỏa mãn những điều kiện nào đấy.
Chẳng hạn tìm nghiệm của phƣơng trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn điều
kiện:
00
()y x y
(1.3)
trong đó
00
,xy
là các số cho trƣớc. Điều kiện (1.3) đƣợc gọi là điều kiện ban
đầu. Bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình (1.1) hoặc phƣơng trình (1.2) thỏa
mãn điều kiện ban đầu (1.3) đƣợc gọi là bài toán Cauchy.
Điều kiện Lipschizz: Trong miền D hàm
( , )f x y
thỏa mãn điều kiện
Lipschizz biến y nếu tồn tại hằng số
0L 
sao cho:

1 2 1 2
( , ) ( , )f x y f x y L y y  

Với
12

( , ) ; ( , )x y D x y D   



4
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Giả sử hàm
( , )f x y
thỏa mãn điều kiện
i, Hàm
( , )f x y
liên tục trong miền D
ii, Hàm
( , )f x y
thỏa mãn điều kiện Lipschizz theo y trong D
Khi đó ứng với mỗi điểm
00
( , ) Dxy
tồn tại duy nhất nghiệm
()y y x
của
phƣơng trình (1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu
00
()y x y

Nghiệm tổng quát: Ta nói rằng hàm
( , )y x C


(1.4)
là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.2) trong miền G nếu:

Từ hệ thức
00
( , )y x C


(1.5)
ta có thể giải ra đƣợc:
00
( , )C x y


với
00
,x y G
(1.6)
Hệ thức (1.4) là nghiệm của (1.2) với mỗi hằng số
C
đƣợc xác định từ (1.6).
Nghiệm riêng: Nghiệm của (1.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy đƣợc đảm bảo, đƣợc gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm kì dị: Nghiệm của phƣơng trình (1.2) mà tại mỗi điểm tính duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ, đƣợc gọi là nghiệm kì dị.
1.1.2. Phƣơng trình vi phân cấp cao
Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân cấp n có dạng tổng quát là:
()
( , , ', '', ,y ) 0
n
F x y y y 
(1.7)
Hàm F đƣợc xác định trong miền G nào đấy của không gian

n
R
. Trong
phƣơng trình (1.7) có thể vắng mặt một trong các biến x, y,
y

, …,
 
n1
y


nhƣng
 
n
y
nhất thiết phải có mặt.
Nếu từ (1.7) ta giải ra đƣợc đạo hàm cấp cao nhất, tức là phƣơng trình (1.7) có
dạng:
(n) ( 1)
( , , ', ,y )
n
y f x y y


(1.8)
thì ta đƣợc PTVP cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất.

5
Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm

()y y x
của phƣơng trình (1.7)
hoặc (1.8) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
( 1) ( 1)
0 0 0 0 0 0
( ) , '( ) ' , , ( )
nn
y x y y x y y x y

  
(1.9)
trong đó
( 1)
0 0 0 0
, , ', ,y
n
x y y

là các giá trị cho trƣớc.
Nghiệm tổng quát: Ta giả thiết rằng miền G là miền thỏa mãn định lý về sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình (1.8), tức là nghiệm bài toán
Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm
( 1)
0 0 0 0
( , , ', ,y )
n
x y y

.
Hàm

12
( , , , , )
n
y x C C C


có các đạo hàm riêng theo
x
liên tục đến
cấp n đƣợc gọi là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.8) trong miền G nếu
từ hệ phƣơng trình:
0 0 1
0 0 1
( 1) ( 1)
0 0 1
( , , ,
' '( , , ,

( , , ,
n
xn
nn
xn
y x C C
y x C C
y x C C
















Ta có thể xác định đƣợc:
0 ( 1)
1 1 0 0 0 0
0 ( 1)
2 2 0 0 0 0
0 ( 1)
0 0 0 0
( , , ', ,y )
( , , ', ,y )

( , , ', ,y )
n
n
n
nn
C x y y
C x y y
C x y y

















(1.10)
Và hàm
0 0 0
12
( , , , , )
n
y x C C C


là nghiệm của phƣơng trình (1.8) ứng
với mỗi hệ số
0 0 0
1 2 n
C ,C , ,C
đƣợc xác định từ (1.10) khi

( 1)
0 0 0 0
, , ', ,y
n
x y y


biến thiên trong G.
Nghiệm riêng: Nghiệm của phƣơng trình (1.8) mà tại mỗi điểm của nó
tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đƣợc đảm bảo gọi là nghiệm riêng
của phƣơng trình (1.8).

6
Nghiệm kì dị: Nghiệm của phƣơng trình (1.8) mà tại mỗi điểm của nó
tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ đƣợc gọi là nghiệm kì dị
của phƣơng trình (1.8).
1.1.3. Phƣơng trình vi phân 2
Định nghĩa. Phƣơng phân trình vi cấp 2 có dạng tổng quát là:
( , , ', '') 0F x y y y 
(1.11)
Nếu từ (1.11) giải đƣợc đối với
''y
, thì phƣơng trình (1.11) có dạng:
'' ( , , ')y f x y y
(1.12)
Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm của phƣơng trình (1.11) hoặc
(1.12) thỏa mãn điều kiện ban đầu:
0 0 0 0
( ) , '( ) 'y x y y x y
(1.9)

trong đó
000
, , 'x y y
là các giá trị cho trƣớc.
Điều kiện Lipschizz: Trong miền G hàm
( , , ')f x y y
thỏa mãn điều kiện
Lipschizz biến
,'yy
nếu tồn tại hằng số
0L 
sao cho:

 
1 1 2 2 1 2 1 2
( , ,y ') ( , ,y ') ' 'f x y f x y L y y y y    

Với
1 1 2 2
( , ,y ') ; ( , ,y ')x y G x y G   

Định lý về sự tồn tại nghiệm và duy nhất nghiệm.
Định lý 1.1. Giả sử hàm
( , , ')f x y y
thỏa mãn điều kiện
i, Hàm
( , , ')f x y y
liên tục trong miền G
ii, Hàm
( , , ')f x y y

thỏa mãn điều kiện Lipschizz theo y trong G
Khi đó ứng với mỗi điểm
0 0 0
( , ,y ')x y G
tồn tại duy nhất nghiệm của phƣơng
trình (1.12) thỏa mãn điều kiện ban đầu
00
()y x y
,
00
'( ) 'y x y

1.1.4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2.
Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 là phƣơng trình có dạng:

'' ( ) ' ( ) ( )y p x y q x y f x  
(1.13)

7
trong đó
( ) , ( ) , ( )p x q x f x

là những hàm số liên tục.
Nếu
( ) 0fx

thì (1.13) còn đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính
cấp 2 thuần nhất.
Nếu
( ) 0fx

thì (1.13) còn đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính
cấp 2 không thuần nhất.
Và đặc biệt khi
( ) , ( )p x q x
là những hằng số thì (1.13) còn đƣợc gọi là
phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số là hằng số.
Phƣơng pháp giải:
1. Giải phƣơng trình có dạng:
'' ( ) ' ( ) 0y p x y q x y  
(1.14)

Cấu trúc nghiệm của phƣơng trình phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
Định lý 1.2. Nếu
12
( ), ( )y x y x

là hai nghiệm nào đó của phƣơng trình (1.14),
thì

(trong đó
12
,CC
là hằng số tùy ý ), cũng là nghiệm của phƣơng trình (1.14).
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất.
Định lý 1.3. Nếu
12
( ), ( )y x y x

là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phƣơng

trình (1.14) thì nghiệm tổng quát Y phƣơng trình (1.14) là:
1 1 2 2
( ) C ( )Y C y x y x
, trong đó
12
,CC
là hằng số tùy ý.
2. Giải phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
'' ( ) ' ( )y ( )y p x y q x f x  

Định lý 1.4. Nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2
không thuần nhất (1.13) bằng nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.14) cộng
với một nghiệm riêng
y
của phƣơng trình (1.13)
Dựa vào phƣơng pháp biến thiên hằng số Lagrange ta xác định đƣợc
nghiệm riêng:
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )y C x y x C x y x

với
12
( ) , ( )C x C x
là những hàm của .

8
Vậy nghiệm của phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
là:
y Y y

1.1.5. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số.
Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng số là phƣơng
trình có dạng:
'' ' ( )y py qy f x  
(1.15)
trong đó:
,pq
là các hằng số,
()fx
là hàm liên tục.
Nếu
( ) 0fx

thì (1.15) còn đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính
cấp 2 hệ số hằng số thuần nhất.
Nếu
( ) 0fx

thì (1.15) còn đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính
cấp 2 hệ số hằng số không thuần nhất.
Phƣơng pháp giải:
1. Giải phƣơng trình
'' ' 0y p y q y  
(1.16)
Bƣớc 1. Giải phƣơng trình đặc trƣng
2
0k pk q  
, tìm đƣợc nghiệm
12
,kk

Bƣớc 2. Xét 3 trƣờng hợp:
Trƣờng hợp 1. Nếu
12
,k k R
và
12
kk
lúc đó phƣơng trình có hai nghiệm
độc lập tuyến tính:
1
kx
1
()y x e
;
2
kx
2
()y x e

Khi đó nghiệm tổng quát của phƣơng trình là:
12
k
12
ee
k x x
Y C C

12
(,CC

là các hằng số )
Trƣờng hợp 2. Nếu
12
,k k R
và
12
kk
lúc đó ta có hai nghiệm riêng độc lập
tuyến tính là
11
12
( ) , ( )
k x k x
k x e k x xe

Khi đó phƣơng trình có nghiệm tổng quát:
1
12
( )e
kx
Y C C x

Trƣờng hợp 3. Nếu
12
,k k R
là hai số phức liên hợp
12
,k i k i
   
   

9
lúc đó các nghiệm riêng
12
( ) cos ; y ( ) sin
xx
y x e x x e x




Khi đó ta có nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.16) là:
a
12
( cos sin )
x
Y e C x C x



2. Giải phƣơng trình:
'' ' ( )y p y q y f x  
(
,pq
là hằng số)
Nhƣ ta đã biết nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi phân tuyến tính không
thuần nhất là
y Y y

Trong đó Y là nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất,
y
là một
nghiệm riêng của phƣơng trình (1.15). Nếu
()fx
là một hàm liên tục thì cách
tìm nghiệm riêng
y
vẫn phải dùng phƣơng pháp biến thiên hằng số.
Trong chƣơng trình này ta chỉ xét
()fx
ở hai trƣờng hợp sau đây:
 
( ) (x)
( ) ( )cos ( )sin
x
n
x
nm
f x p e
f x p x x p x x e










Trong đó,
( ) , ( )
nm
p x p x
là các đa thức bậc n, m. Còn
,


là các hằng số.

Xét phƣơng trình dạng:
'' ' ( )y p y q y f x  

Trƣờng hợp 1: Nếu


không trùng với nghiệm phƣơng trình đặc trƣng
(
12
,kk


), lúc đó ta sẽ tìm đƣợc nghiệm riêng
y
dƣới dạng
( )e
x
n
y Q x



.
Trong đó
()
n
Qx
là đa thức cùng bậc n với
()
n
Px

Để xác định hệ số của đa thức
()
n
Qx
ta đạo hàm
' ; ''yy
thay vào
phƣơng trình (1.15) ta đƣợc:
2
''( ) (2 ) '( ) ( p q)Q ( ) ( )
x
n n n n
Q x p Q x x P x e

  
     

Trƣờng hợp 2:

Nếu

là nghiệm đơn của phƣơng trình đặc trƣng ( tức là
12
kk


),
thì nghiệm riêng
y
có dạng:
( )e
x
n
y xQ x




10
Trƣờng hợp 3:
Nếu

là nghiệm kép của phƣơng trình đặc trƣng
2
0k pk q  
, thì
nghiệm riêng
y

có dạng:
2
( )e
x
n
y x Q x



Xét phƣơng trình dạng:
 
'' ' ( )cos ( )sin
x
nm
y py qy P x x P x x e


   
(1.17)

Nếu
i


không là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng
đƣợc tìm dƣới dạng:
 
( )cos ( )sin
ax
ll

y Q x x R x x e


.

Trong đó
()
l
Qx
,
()
l
Rx
(
 
max ,l m n
) là đa thức bậc
l
.
Nếu
i


là nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng thì nghiệm riêng đƣợc tìm
dƣới dạng
 
( )cos ( )sin
x
ll
y Q x x R x x e




.

1.1.6. Nguyên lý chồng chất nghiệm.
Giả sử cho phƣơng trình :
12
'' ' ( ) ( )y p y q y f x f x   
(1.18)
Trong đó
,pq
là những hàm số của
x
, hoặc những hằng số.
Nếu
1
()yx
là một nghiệm riêng của phƣơng trình
1
'' ' ( )y p y q y f x  

Nếu
2
()yx
là một nghiệm riêng của phƣơng trình
2
'' ' ( )y p y q y f x  

Thì

12
( ) ( )y y x y x
là một nghiệm riêng của phƣơng trình (1.18)
Thật vậy ta có:
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
12
'' ' ( )'' ( )' ( )
( '' ' ) ( '' ' )
( ) ( )
y p y q y y y p y y q y y
y p y q y y p y q y
f x f x
       
     


Vậy
12
y y y
là một nghiệm riêng của phƣơng trình (1.18)


11
1.2. Mạch điện và mô hình mạch điện
1.2.1. Định nghĩa mạch điện:
Mạch điện là một tập hợp các thiết bị điện, điện tử trong đó có sự biến
đổi năng lƣợng điện sang các dạng năng lƣợng khác. Cấu tạo mạch điện gồm
nguồn điện, phụ tải, dây dẫn ngoài ra còn có các phần tử phụ trợ khác

Nguồn điện: Là nguồn dùng để cung cấp năng lƣợng điện hoặc tín hiệu
điện cho mạch, nguồn đƣợc biến đổi từ các dạng năng lƣợng khác sang điện
năng.
Ví dụ máy phát điện (biến đổi cơ năng thành điện năng), ắc quy (biến đổi
hóa năng sang điện năng).
Phụ tải: Là thiết bị nhận năng lƣợng điện hay tín hiệu điện. Phụ tải biến
đổi năng lƣợng điện sang các dạng năng lƣợng khác.
Dây dẫn: Là thiết bị làm nhiệm vụ truyền tải năng lƣợng điện từ nguồn
đến nơi tiêu thụ.
Ngoài ra còn có các phần tử khác nhƣ: Phần tử làm thay đổi áp và dòng
điện trong các phần khác của mạch (nhƣ máy biến áp, máy biến dòng), phần
tử làm giảm hoặc tăng cƣờng các thành phần nào đó của tín hiệu (các bộ lọc,
bộ khuếch đại),…
1.2.2. Cấu trúc của mạch điện
Nhánh: Là tập hợp gồm nhiều phần tử ghép nối tiếp trong đó mạch điện
đƣợc ghép có cùng một dòng điện.
Nút: Là điểm nối của ba nhánh trở lên.
Tải
Nguồn

I
-
+
E
Hình 1.1

12
Vòng: Là tập hợp nhiều nhánh tạo thành vòng kín, vòng có tính chất là
nếu bỏ đi một nhánh thì không tạo thành vòng kín nữa.
Mắc lƣới : Là vòng mà bên trong nó không còn vòng nào khác.
1.2.3. Các hiện tƣợng điện từ
Các hiện tƣợng điện từ gồm hai hiện tƣợng là hiện tƣợng biến đổi năng
lƣợng và hiện tƣợng tích phóng năng lƣợng điện từ.
Hiện tƣợng biến đổi năng lƣợng: Gồm hiện tƣợng nguồn và hiện tƣợng
tiêu tán.
Hiện tƣợng nguồn: Là hiện tƣợng biến đổi năng lƣợng từ các dạng năng
lƣợng (nhƣ cơ năng, hóa năng, nhiệt năng …) thành năng lƣợng điện từ.
Hiện tƣợng tiêu tán: Là hiện tƣợng biến đổi năng lƣợng điện từ thành các
dạng năng lƣợng khác nhƣ nhiệt, cơ, quang, hóa năng … tiêu tán đi không
hoàn trở lại trong mạch nữa.
Hiện tƣợng tích phóng năng lƣợng gồm hiện tƣợng tích phóng năng
lƣợng trong trƣờng điện và trong trƣờng từ.
1.2.4. Mô hình mạch điện
Mô hình mạch điện là mô hình dùng trong lý thuyết mạch đƣợc xây
dựng từ các phần tử lý tƣởng sau đây:
Phần tử điện trở: Là phần tử đặc trƣng cho hiện tƣợng tiêu tán năng
lƣợng điện từ, quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên hai cực của phần tử
điện trở là:
.u Ri
(Hình 1.2)



Phần tử điện cảm: Là phần tử đặc trƣng cho hiện tƣợng tích phóng năng
lƣợng trƣờng từ, quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên hai cực phần tử điện
cảm:

di
UL
dt

(Hình 1.3 )
R
i→
Hình 1. 2. Kí hiệu điện trở

13



Phần tử điện dung: Là phần tử đặc trƣng cho hiện tƣợng tích phóng năng
lƣợng điện trƣờng, quan hệ giữa dòng điện và điện áp trên hai cực tụ điện
du
iC
dt

, là thông số cơ bản của mạch điện, đặc trƣng cho quá trình tích
phóng năng lƣợng điện trƣờng (Hình 1.4 )



Phần tử nguồn: Là phần tử đặc trƣng cho hiện tƣợng nguồn. phần tử
nguồn gồm phần tử nguồn áp và phần tử nguồn dòng.
Phần tử thực: Phần tử thực của mạch điện có thể đƣợc mô tả gần đúng
bởi một hay nhiều phần tử lý tƣởng đƣợc ghép với nhau theo một cách nào
đó.

1.2.5. Các khái niệm cơ bản trong mạch điện
Dòng điện và quy ƣớc chiều dòng điện
Dòng điện là dòng chuyển dời có hƣớng của các điện tích. Cƣờng độ
dòng điện (gọi tắt là dòng điện) là lƣợng điện tích chuyển qua một bề mặt nào
đó (tiết diện ngang của dây dẫn, nếu là dòng điện chảy trong dây dẫn) trong
một đơn vị thời gian.
Dòng điện ký hiệu là: I ( Ampe)
Quy ƣớc chiều dòng điện từ cực dƣơng sang cực âm của nguồn
( 0)i 
,
ngƣợc lại
( 0)i 



2A
A
B
A
B
i
-2A
i
L
Hình 1. 3. Kí hiệu cuộn cảm
C
i
Hình 1.4. Kí hiệu tụ điện
Hình 1. 5. Chiều dòng điện

14
Điện áp
Điện áp giữa hai điểm A và B là công cần thiết để làm dịch chuyển một
đơn vị điện tích (1 culong) từ A đến B.
Điện áp ký hiệu là: U (vôn)
Công suất
Xét mạch điện chịu tác động ở hai đầu một điện áp
U
, qua đó sẽ có dòng
điện
I
, Công suất tức thời đƣợc đƣa vào mạch điện (đƣợc hấp thụ bởi mạch
điện):
P( ) .ItU

Đơn vị công suất là watt (w)
P( )t
là một đại lƣợng đại số nên có thể âm hoặc dƣơng tại thời điểm
t

nào đó. Nếu
P0
thì tại thời điểm
t
đó phần tử thực sự hấp thụ năng lƣợng
với công suất là
P
,
còn nếu
P0

thì tại thời điểm
t

đó phần tử thực sự phát
ra năng lƣợng (tức năng lƣợng đƣợc đƣa từ phần tử mạch ra ngoài) với công
suất là
P
.
Nguồn sức điện động ghép nối tiếp
Là nguồn tƣơng đƣơng với một nguồn sức điện động duy nhất có giá trị
bằng tổng các giá trị sức điện động đó.
1
n
t d k
k
ee








Nguồn điện áp đặc trƣng cho khả năng tạo nên và duy trì một điện áp
trên hai cực của nguồn.
Ký hiệu:
u( )t

Nguồn áp còn biểu diễn bằng sức điện động
e( )t

Hình 1.6. Nguồn sức điện động mắc nối tiếp
b
e
1
e
2
e
3
a

e
t d
= e
1
+e
2
-e
3
b
a

15
e( )t
: Chiều đi từ điểm có hiệu điện thế thấp đến điểm có hiệu điện thế cao.
u( )t
: Chiều đi từ điểm có hiệu điện thế cao đến điểm có hiệu điện thế thấp.
Nguồn dòng điện ghép song song

Là nguồn dòng điện mắc song song tƣơng ứng với một nguồn dòng duy
nhất có giá trị bằng tổng đại số các các giá trị của nguồn dòng đó.
1
n
t d k
k
Jj









Nguồn dòng điện
()jt
đặc trƣng cho khả năng của nguồn điện tạo nên
và duy trì một dòng điện cung cấp cho mạch ngoài.
1.3. Các định luật cơ bản trong mạch điện.
1.3.1. Định nghĩa dòng điện một chiều
Dòng điện một chiều là dòng điện có chiều và độ lớn không đổi theo thời
gian.
1.3.2. Định luật Omh
Cƣờng độ dòng điện trong một đoạn mạch tỷ lệ thuận với hiệu điện thế ở
hai đầu đoạn mạch, và tỷ lệ nghịch với điện trở của đoạn mạch.

()
U

IA
R





j
3
j
2
j
1

j
t d
= j
1
-j
2
-j
3
i
i


i

i

B
A
U
AB
R
Hình 1. 7. Nguồn dòng điện ghép song song
Hình 1 .8. Định luật Omh

16
1.3.3. Định luật Kirchhoff:
Định luật Kirchhoff I và II là hai định luật cơ bản để nghiên cứu và tính
toán trong mạch điện.
Định luật Kirchhoff I: Là định luật nói lên mối quan hệ giữa các dòng điện
tại một nút. Tổng đại số các dòng điện tại một nút thì bằng không.

1
0
n
k
k
i







Với mạch Hình 1.9 thì:

1 2 3
0i i i  

hoặc
1 2 3
0i i i   

Trong đó nếu ta quy ƣớc các dòng điện đi tới nút mang dấu dƣơng thì
các dòng điện rời khỏi nút mang dấu âm và ngƣợc lại.
Định luật Kirchhoff II: Là định luật chỉ rõ các mối liên hệ giữa điện áp trong
một vòng kín, đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, tổng đại số điện áp rơi
trên các phần tử bằng tổng đại số các suất điện động có trong vòng.
11
nm
kj
kj
Ue

  


Định luật Kirchhoff II phát biểu lại nhƣ sau:
Các điện áp đi theo một vòng kín với chiều tùy ý, và tổng đại số các điện
áp rơi trên các nhánh bằng tổng đại số các suất điện động có trong vòng. trong
đó các suất điện động và dòng điện nào có chiều trùng với chiều đi của vòng
sẽ mang dấu dƣơng, ngƣợc lại. (Hình 1.10)



i

3
i
2
i
1
+
-
-
+
e
2
e
1
I
3
I
2
I
1
R
3
R
2
R
1
I
II
Hình 1 .9. Định luật Kirchhoff I
Hình 1. 10

17
Chƣơng 2
ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
VÀO BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN

2.1. Điều kiện đầu và điều kiện cuối của mạch điện
2.1.1. Điều kiện đầu của mạch điện
Trong khi tìm lời giải cho một mạch điện, ta thấy cần phải tìm một hằng
số tích phân dựa vào trạng thái ban đầu của mạch mà trạng thái này phụ thuộc
vào các đại lƣợng ban đầu của các phần tử tích trữ năng lƣợng.
Dựa vào tính chất:
Hiệu điện thế ngang qua tụ điện và dòng điện chạy qua cuộn dây không
thay đổi tức thời là:
(0 ) (0 )CC
vv


và
(0 ) (0 )LL
ii



Nếu mạch không tích trữ năng lƣợng ban đầu thì
(0 ) (0 )
0
CC
vv



, tụ
điện tƣơng đƣơng mạch nối tắt thì
(0 ) (0 )
0
LL
ii


, cuộn dây tƣơng đƣơng
mạch hở.
Nếu mạch tích trữ năng lƣợng ban đầu: Hiệu điện thế ngang qua tụ tại

0t 

là
0
0
q
V
C


thì ở
0t 
giá trị đó cũng là
0
V
ta thay bằng một nguồn
hiệu điện thế. Dòng điện chạy qua cuộn dây tại
0t 

là
0
I

thì ở
0t 
giá
trị đó cũng là
0
I

ta thay bằng một nguồn dòng điện.
Các kết quả trên đƣợc tóm tắt lại trong bảng nhƣ sau: .

18
Phần tử với điều kiện đầu
Mạch tƣơng đƣơng
Giá trị đầu
R

R


L

Mạch hở
(0 ) I (0 ) 0
LL
I    

C

Mạch nối tắt
(0 ) (0 ) 0
CC
VV   



0
(0 ) I (0 )
LL
II   


+
-
Vo

0
(0 ) (0 )
CC
V V V   


2.1.2. Điều kiện cuối của mạch điện
Đáp ứng của mạch đối với nguồn DC gồm đáp ứng tự nhiên dần tới 0 khi
t 
và đáp ứng ép là các dòng điện hoặc hiệu điện thế có giá trị không đổi.
Mặt khác, đạo hàm của hằng số bằng 0 nên:

0
te
c
cc
du
u C i C
dt
   
(mạch hở)
và
0
te
L
LL
di
i C u L
dt
   
(mạch nối tắt)
Do đó, ở trạng thái thƣờng trực DC, tụ điện đƣợc thay bằng một mạch hở
và cuộn dây đƣợc thay bằng một mạch nối tắt.
Kết luận: Đối với các mạch có sự thay đổi trạng thái do tác động của một
khóa K, trạng thái cuối của mạch này có thể là trạng thái đầu của mạch kia.
Bài toán 2.1: Xác định hiệu điện thế
()vt
trong mạch (Hình 2.1a). Biết rằng
mạch đạt trạng thái thƣờng trực trƣớc khi mở khóa K.

(a)
0
I

v(t)
+
-
100
K
1F
15()
3()
4()
8()
2()
+
-
L
1
I
0
V
0
C
-
+

19

(b) (c)


(Hình 2.1b) là mạch tƣơng đƣơng của (Hình 2.1a) ở thời điểm
0t 
, tức
mạch (Hình 2.1a) đạt trạng thái thƣờng trực, tụ điện tƣơng đƣơng với mạch
hở và điện trở tƣơng đƣơng của phần mạch nhìn từ tụ về bên trái:
3(2 4)
8 10( )
3 (2 4)
t
R

   


và hiệu điện thế
(0 )v 
xác định nhờ cầu phân thế
10
và
15

10

(0 ) 100. 40(V)
10 15
v   


Khi
0t 
, khóa
K
mở, ta có mạch tƣơng đƣơng ở (H 2.1c), đây chính là
mạch RC không chứa nguồn ngoài.
0
()
t
v t V e




với
10.1 10 ( )RC s

  
và
0
(0 ) (0 ) 40 ( )VV

    

Suy ra:

10
( ) 40. (V)
t
v t e



Kết luận: Hàm
()vt
giảm dần theo thời gian, đây chính là đặc trƣng của
quá trình tụ xả điện, sau khi đấu điện trở song song với nguồn tụ sẽ xả điện,
thời gian càng lâu thì điện áp hai đầu tụ sẽ xả về bằng 0.

v(0-)
+
-
100
K
15()
3()
4()
8()
2()
+
-
v(t)
1F
10()
+
-

Hình 2.1

20
2.2. Phƣơng trình vi phân thuần nhất với mạch điện không chứa nguồn
ngoài.
2.2.1. Mạch RC không chứa nguồn ngoài.
Xét mạch (Hình 2.2a).
Khóa K ở vị trí 1 để nguồn
0
V
nạp điện cho tụ. Lúc tụ đã nạp đầy (hiệu
điện thế hai đầu tụ là
0
V
) dòng nạp triệt tiêu
(0 ) 0i 
(Giai đoạn này ứng
với thời gian
t  
đến
0t 
)
Bật K sang vị trí 2, ta xem thời điểm này là
0t 
. Khi
0t 
, trong mạch
phát sinh dòng
(t)i
do tụ C phóng điện qua R (Hình 2.2b).

Xác định dòng
(t)i
này (tƣơng ứng với thời gian
0t 
).

(a) (b)

Gọi
()vt
là hiệu điện thế hai đầu tụ lúc
0t 
, Áp dụng định luật Kirchhoff I
cho mạch (Hình 2.2 b)

0
dV V
C
d t R

hay
1
0
dV
V
d t RC


Đây là phƣơng trình vi phân cấp 1 thuần nhất và có nghiệm là:
()

t
RC
v t Ae



A là hệ số tích phân, xác định bởi điều kiện đầu của mạch.
Khi
0
0
0, (0)t V Ae

  
suy ra
0
AV

Vậy:
0
(t) V
t
RC
e



khi
0t 

Dòng điện

()it
xác định bởi:

0
()
( ) e
t
RC
tV
it
RR



khi
0t 
,
0
(0 )
V
i
R


Hình 2.2